2多自由度剛體車輛模型安全可靠性研究

1、題目：多自由度剛體車輛模型安全可靠性研究摘要01 引言11.1本文的研究背景和意義11.2車橋耦合振動(dòng)帶來的影響11.3車橋耦合模型振動(dòng)的研究現(xiàn)狀31.4本文研究的主要研究內(nèi)容和工作52 多自由度剛體車輛和橋梁的模型及運(yùn)動(dòng)方程的建立62多自由度剛體車倆模型的運(yùn)動(dòng)方程的建立方法62.2多自由度剛體車輛計(jì)算模型及運(yùn)動(dòng)平衡方程的建立62.3橋梁計(jì)算模型及運(yùn)動(dòng)平衡方程的推導(dǎo)103橋面不平整度的數(shù)值模擬193橋面不平度的概述193.2橋面不平度的表達(dá)方法193.3模擬橋面不平整度及分級(jí)參數(shù)204 車輛一橋梁模型的耦合及求解方法224車倆一橋梁耦合模型的假設(shè)224.2求解車輛一橋梁模型耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程的方

2、法244.3求解車輛一橋梁耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程的步驟274.4釆用matlab程序語言求解流程285數(shù)值算例305.1 算例一305.2 算例二315.3算例三356 結(jié)論與展望386.1木文的主要結(jié)論386.2研究展望38致謝39參考文獻(xiàn)40摘要在當(dāng)今社會(huì)的發(fā)展中，為了滿足國家交通領(lǐng)域發(fā)展的迫切需求，車輛一橋梁耦合系統(tǒng) 振動(dòng)帶來的問題不容小覷，因此進(jìn)行車橋耦合振動(dòng)問題分析便顯得尤為重要，有關(guān)車輛與 橋梁耦合系統(tǒng)振動(dòng)問題的研究成果有很重要的硏究意義。木文是以某40m跨徑的混凝土公 路簡支梁橋和汽車為例,將橋梁簡化為euler-bernoulli梁模型、車輛模型簡化為質(zhì)量一彈 簧一阻尼多自由度剛體模

3、型。首先寫出車輛模型和橋梁模型的互相作用的運(yùn)動(dòng)方程，然后 推導(dǎo)出車橋耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平衡方程，最后的求解方法采用的是數(shù)值逐步積分法中的 newmark書方法,計(jì)算出了車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。關(guān)鍵詞：多自由度剛體euler-bernoulli梁 車輛一橋梁耦合模型newmark-/3法 動(dòng)力響應(yīng)abstractin the development of today's society, in order to meet the urgent needs of the development in the field of national transport, the problems o

4、f vehicle -bridge coupling vibration system should not be underestimated. therefore, the analysis of vehicle-bridge coupling vibration problems becomes particularly important, and the research results of vehicle -bridge coupling vibration system have very important significance. in this paper, takin

5、g an example using the bridge built by a simple supported beam and the vehicle , the bridge modelis simplified as euler-bernoulli beam modal, and the vehicle model is simplified as a mass spring damper model with multiple degrees of freedom. in the text, at first j write down the motion equations of

6、 the interaction between vehicle and bridge model them i have pushed the motion balance equation of the vehicle- bridge coupling system and finally the solution is obtained by newmark-p, a method of numerical step-by-step integration , in order to work out the dynamic response of vehicle-bridge coup

7、ling system.keywords: multi-degree of freedom rigid body, euler-bernoulli beam,vehicle-bridge coupling model, newmark p method , dynamic response1 引言1.1本文的研究背景和意義進(jìn)入21世紀(jì)以來，隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的日益進(jìn)步，道路交通的地位 越來越重要，發(fā)達(dá)的道路系統(tǒng)可以體現(xiàn)一個(gè)國家發(fā)展的先進(jìn)水平。與此同時(shí)，為了滿足國 家交通領(lǐng)域跟上社會(huì)發(fā)展的迫切需求，公路交通和軌道交通通常距離建筑物很近（如圖1.1 所示），車輛一橋梁耦合系統(tǒng)振動(dòng)帶來

8、的問題不容小覷。不斷快速增長的、重載車輛和使 用期滿或損壞比較重的橋梁承載力不足間的矛盾日益凸顯，這是世界性的問題。圖1.1高速列車在橋梁上運(yùn)行figure 1.1 high-speed trains running on the bridge在現(xiàn)代各種交通系統(tǒng)中，汽車的流動(dòng)量逐漸加大，汽車或列車的行駛速度不斷提高，車 輛容許承受的載重量也日益增大，此種條件下，車輛和橋梁的互相作用帶來的影響引起人 們的廣泛關(guān)心。以公路汽車在橋梁上運(yùn)行為例，當(dāng)汽車高速在公路橋梁運(yùn)行吋，一定會(huì)導(dǎo) 致橋梁的振動(dòng)，該吋間段內(nèi)橋梁不僅承受著汽車重力的作用，還承受著汽車移動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的 荷載及汽車和橋梁振動(dòng)引起的慣性力等相互

9、動(dòng)力作用。這些相互作用力會(huì)導(dǎo)致橋梁發(fā)生振 動(dòng)，使橋梁各部分可能疲勞破壞。當(dāng)橋梁的振幅過大吋，會(huì)影響汽車在橋梁上運(yùn)行吋的操 縱穩(wěn)定性和安全性。因此，世界各國設(shè)計(jì)橋梁的工程師們一直高度重視車輛和橋梁耦合間 的相互作用。特別是在近些年來，隨著橋梁的跨度不斷增大以及高速公路以及鐵路的快速 發(fā)展，使得車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力相互作用已成為一個(gè)重要的研究課題。12車橋耦合振動(dòng)帶來的影響由于車輛橋梁耦合振動(dòng)導(dǎo)致的環(huán)境振動(dòng)的幅值雖然微小，但這種振動(dòng)具有的持續(xù) 性，它對環(huán)境造成的影響是不可忽視的。這種振動(dòng)帶來的影響通常體現(xiàn)在三方而：（1） 對人們身體健康的影響；（2）對占今中外建構(gòu)筑物安全性能的影響；（3）對實(shí)驗(yàn)室中

10、靈敏儀 器止常工作的影響。121對人體的影響地鐵這種出行方式確實(shí)給人們的生活帶來了很多的便利，但是因?yàn)榱熊嚭偷罔F設(shè)備的 運(yùn)行產(chǎn)生的振動(dòng)隨著空氣和固體的傳播，也會(huì)對地鐵周邊的人的健康和生活造成不利的影 響。根據(jù)其對人體作用形式的差異將振動(dòng)方式分為兩種：局部振動(dòng)和全身振動(dòng)，而車橋耦 合振動(dòng)帶來的影響主耍是后者。研究表明：振動(dòng)會(huì)對人的身體健康造成不利的影響(如 表1所示)，振動(dòng)還會(huì)降低人們的生活和干擾人們正常的睡眠質(zhì)量。表1每個(gè)振動(dòng)頻率段對人們健康的影響tab.l the effects of various vibration on the human body激振頻率(hz)對人體生理機(jī)能的影響

11、<1超低頻振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)病，引起暈船暈車等1-4影響人們的神經(jīng)和呼吸循環(huán)系統(tǒng)4-10102020300導(dǎo)致人們的胸口、腸胃痛、皮臍溫度下降，不 能控制手指運(yùn)動(dòng)引起眼球脹痛、咽喉疼、語言表達(dá)能力降低、及腦電波失常引起手指血管和神經(jīng)損傷振動(dòng)可能造成人體的危害主要有以下兒個(gè)因素：振動(dòng)頻率和強(qiáng)度、暴露的長短時(shí)間、 工作方法和環(huán)境狀況，也與個(gè)人的自身的素質(zhì)條件有關(guān)。對于這種長期存在的振動(dòng)源，應(yīng) 該從振源本身以及積極采取防護(hù)措施著手，減少環(huán)境振動(dòng)對人體產(chǎn)生的各種危害。122對建筑物安全的影響一般的情況下，這種由交通荷載中車橋耦合振動(dòng)造成的環(huán)境振動(dòng)產(chǎn)生的危害不是很明 顯，不像地震等自然災(zāi)害會(huì)直接造成建

12、筑的坍塌，但因?yàn)檫@種振動(dòng)保持的很持久，經(jīng)過一 定長的時(shí)間后，也會(huì)使建筑物產(chǎn)生裂縫，甚至破壞，當(dāng)然這種影響對飽經(jīng)風(fēng)霜的古建筑來 說是更加嚴(yán)重的。2013年8月3日，羅馬市開始對距離羅馬斗獸場四周比較近的的道路實(shí)行 了道路交通管理制度，環(huán)繞著古斗獸場的帝國廣場大道只允許公交車通行，禁止私人車輛 在此通行，把車輛分流到附近的道路，采取這項(xiàng)措施的目的就是為了避免振動(dòng)損壞了古建 筑。在我國也有類似的現(xiàn)象產(chǎn)生，例如西安大雁塔、北京戒臺(tái)寺等許多名勝古跡都不同程 度地受到了振動(dòng)的破壞，有些情況甚至非常嚴(yán)重。上個(gè)世紀(jì)八十年代，北京地鐵部分車站 修建的大型瓷磚壁畫，由于長年列車行駛產(chǎn)生的振動(dòng)，使部分瓷磚脫落，在一

13、定程度上還 影響了行車安全。1.2.3對敏感儀器正常運(yùn)轉(zhuǎn)的影響車橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)還能導(dǎo)致精密機(jī)床和儀器的運(yùn)行時(shí)出現(xiàn)異常，引起讀數(shù)不準(zhǔn)，更 嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)鹞ｋU(xiǎn)的事故。在現(xiàn)在的工程研究中，車橋耦合振引起的微小振動(dòng)對部分精密儀器的使用有嚴(yán)重的影響。在建設(shè)我國北京地鐵的過程中，就曾擔(dān)心地鐵振動(dòng)可能 會(huì)影響附近北京大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)室精密儀器止常使用，為此國家環(huán)?？偩忠约氨本┦械南嚓P(guān) 負(fù)責(zé)部門多次召開專門會(huì)議進(jìn)行協(xié)商，委托北京交通大學(xué)、北京地鐵總公司等研究中心研 究處理措施和解決方案；國內(nèi)某大型汽車廠的中央計(jì)量室的被迫遷移，也是由于受到臨近 道路車輛頻繁行駛的振動(dòng)的影響無法工作的緣故。1.3車橋耦合模型振動(dòng)

14、的研究現(xiàn)狀車輛在橋梁上行駛過程中會(huì)使橋梁產(chǎn)牛振動(dòng)，橋梁的振動(dòng)反過來會(huì)引起車輛的振動(dòng)， 車輛和橋梁之間互相影響、互相作用的現(xiàn)象被稱為車橋耦合振動(dòng)。伴隨人類社會(huì)的迅速發(fā) 展，隨著導(dǎo)致的振動(dòng)問題更加嚴(yán)重，同時(shí)，人們也更加關(guān)注車輛一橋梁耦合振動(dòng)對環(huán)境的 影響和對?；钯|(zhì)量的危害，這激發(fā)了各國研究人員的高度重視和興趣。在很多國家，該方 向問題已被視為主要的研究方向。131車橋耦合模型振動(dòng)的古典硏究橋梁和車輛的相互作用的硏究是從19世紀(jì)早期開始出現(xiàn)鐵路后，人們注意到列車移動(dòng) 荷載對橋梁的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)開始的，到現(xiàn)在已經(jīng)有近200年的發(fā)展歷史。在1940年之前的研 究中，研究學(xué)者采用了側(cè)重點(diǎn)不一樣的方法：主要是以

15、試驗(yàn)研究為主要手段和偏向于理論 分析硏究兩種方法。車輛和橋梁的互相作用問題的研究經(jīng)常運(yùn)用實(shí)驗(yàn)和理論結(jié)合的分析 方法。即運(yùn)用試驗(yàn)分析得到的結(jié)果來驗(yàn)證理論模型分析結(jié)果的可靠性和正確性。研究車輛和橋梁模型耦合系統(tǒng)的振動(dòng)問題的發(fā)展過程中，人們建立了從簡單的到復(fù)雜的各 種耦合模型。圖1.2可以呈現(xiàn)出分析模型的演變過程，梁的模型連續(xù)的彈性體，只是荷載 的簡化形式不同。主要有以下幾種模型l5m6j：(a) 勻速運(yùn)動(dòng)的集中力模型：在最早的車輛模型，即把車輛看成集中力簡支梁橋上勻速 運(yùn)動(dòng)。(b) 勻速運(yùn)動(dòng)的正弦力模型：將車輛模型看成勻速運(yùn)動(dòng)的正弦力，研究期間橋梁的振動(dòng) 響應(yīng)。timonshenkokrylov在

16、研究車輛和橋梁的相互作用過程，用簡諧力載荷對因車輪 偏心對橋梁產(chǎn)生的沖擊作用進(jìn)行了模擬，在理論上研究了產(chǎn)生共振的原理' 兇。(c) 勻速純滾動(dòng)而無滑動(dòng)的質(zhì)量模型：此處考慮了移動(dòng)過程產(chǎn)生載荷的質(zhì)量，假設(shè)車輪 一直不脫離路而，處于一直接觸狀態(tài)。即考慮了質(zhì)量的慣性力。在19世紀(jì)50年代，wms求 岀了 “非跳躍的質(zhì)量經(jīng)過無質(zhì)量的橋”的近似wl9jo stokes運(yùn)用級(jí)數(shù)展開法得岀了解析解u叭(d) 勻速運(yùn)動(dòng)彈簧阻尼一質(zhì)量模型：將車輛簡化成為一個(gè)質(zhì)量一阻尼一彈簧系統(tǒng)?？?慮了車體和車輪的慣性力以及它們之間的作用力，研究了車輛在簡支梁橋運(yùn)動(dòng)的情況。(a) 勻速不變荷載的車橋耦合模型(b) 簡諧力

17、作用卜的車橋耦合模型(a) the same uniform axle load coupled model(b) bridge coupling model under harmonic force(c) 移動(dòng)質(zhì)量過橋模型(<1)雙自由度車橋耦合模型(c) the quality of the mobile bridge model (d) two degrees of freedom axle coupling model圖1.2車橋耦合振動(dòng)古典模型的演化figure 1.2 evolution of the classical model of coupled vibration鑒

18、于各種模型的特點(diǎn)，“彈簧一質(zhì)量一阻尼''模型是比較合理的一種模型，相對比較接 近現(xiàn)代車輛分析模型。在使用前應(yīng)該仔細(xì)考慮選擇哪種模型模擬出來的結(jié)果更精確。1.3.2車橋耦合模型振動(dòng)的現(xiàn)代研究20世紀(jì)60年代和70年代時(shí)間，伴隨計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及不斷研究進(jìn)步的有限元技術(shù)，使 得研究車一橋模型耦合振動(dòng)從耦合系統(tǒng)的力學(xué)模型、模擬的激勵(lì)源到采用側(cè)研究方法和數(shù) 值計(jì)算手段等都有了很大的飛躍i川，數(shù)值計(jì)算和研究方法在日本和一些歐洲國家的橋梁設(shè) 計(jì)中得到了普遍的運(yùn)用。在國內(nèi)外中，朱光漢、松浦章夫和等建立了相對完善的力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)平衡方 程。朱光漢、dhargarg心很早地研究出了車橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)的

19、空間模型并計(jì)算出 振動(dòng)方程組。在模型中，把車輛看作同時(shí)具有豎直、俯仰、以及側(cè)傾的多自由度剛體，橋 梁看成三維空間結(jié)構(gòu)，能夠有效地模擬出橋梁豎直的響應(yīng)以和橋梁的應(yīng)力。2000年，林梅、肖盛燮1國應(yīng)用了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)屮的原理，對橋梁在車輛載荷的作用下 的動(dòng)態(tài)響應(yīng)以及性能進(jìn)行了分析討論，并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行了數(shù)值模擬。分別在不同車速和 車型的情況下，分析了橋梁的響應(yīng)和動(dòng)態(tài)性能改變特點(diǎn)。分析出了影響橋梁動(dòng)態(tài)性能的主 要要素。2002年，程保榮i分別對車輛和橋梁進(jìn)行了有限元離散化，利用模態(tài)綜合法先將車 輛和橋梁分別看成是各個(gè)子結(jié)構(gòu)聚合成的超級(jí)單元，然后再組成白由度數(shù)較少的車橋耦合 系統(tǒng)。在求解車輛在橋梁上運(yùn)動(dòng)時(shí)

20、車輛和橋梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，先對車橋耦合系統(tǒng)采用 恥法得出模態(tài)坐標(biāo)系下的各個(gè)響應(yīng)，然后再轉(zhuǎn)化到廣義坐標(biāo)下，則得到每個(gè)子結(jié) 構(gòu)的真實(shí)響應(yīng)。2003年張慶"i把車輛簡化為具有兩自由度的彈性剛體模型，考慮了剛體和阻尼的影 響。把橋梁簡化為具有阻尼振動(dòng)的連續(xù)梁。運(yùn)用拉格朗口運(yùn)動(dòng)方程求出了車輛與橋梁耦合 系統(tǒng)的振動(dòng)方程，最后利用振型疊加法求出了車輛在橋梁上運(yùn)動(dòng)時(shí)橋梁的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。2003年張軍分別將車橋模型視為一個(gè)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)的兩個(gè)部分，運(yùn)用模態(tài)綜合 法來求解了它的振動(dòng)響應(yīng)，分析了它的振動(dòng)過程。從分析結(jié)果可以看出，使用模態(tài)綜合法 能將橋梁和車輛z間的接觸關(guān)系是系統(tǒng)的耦合條件，這樣可以使邊界條件更加

21、清晰明了。2005年，王解軍1運(yùn)用平面梁單元和1/2車輛模型，研究出滿足計(jì)算跨度大的橋梁和 車輛響應(yīng)的車輛一橋梁耦合系統(tǒng)的單元模型。運(yùn)用功率譜密度函數(shù)模擬了隨機(jī)路面的粗糙 程度，討論了有阻尼時(shí)對車輛運(yùn)動(dòng)的慣性力作用下的橋振動(dòng)響應(yīng)的影響。2006年王潮海絢運(yùn)用模態(tài)綜合分析法，將車輛預(yù)橋梁的耦合系統(tǒng)的振動(dòng)分為橋梁部分 模態(tài)分析、車輛一橋梁耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析兩個(gè)階段。使用現(xiàn)在人們常用于分析結(jié)構(gòu)的軟件 模態(tài)分析了橋模型部分，并在該基礎(chǔ)上寫出了整車的車輛模型和橋梁模型構(gòu)成的隨時(shí)間變 化的振動(dòng)方程，運(yùn)用數(shù)值積分法進(jìn)行求解。1.4本文研究的主要研究內(nèi)容和工作木文主要做了以下的工作：(1) 將車輛模型和橋梁模型

22、進(jìn)行簡化：車輛模型分別簡化為1/4車輛模型、1/2車輛模 型、7自由度的三維整車車輛模型，不考慮車輛自身內(nèi)部各個(gè)部分結(jié)構(gòu)的相互作用。橋梁 模型簡化為簡支梁橋模型，進(jìn)一步將簡支梁橋模型簡化為伯努利一歐拉梁模型。(2) 運(yùn)用直接平衡法和拉格朗日方程法求出了車輛模型的運(yùn)動(dòng)平衡方程。對于橋梁 模型，利用有限元法和模態(tài)疊加法得出其模態(tài)方程。根據(jù)車輪的輪胎與橋梁接觸點(diǎn)處的位 移協(xié)調(diào)條件建立車橋耦合模型系統(tǒng)的振動(dòng)方程。(3) 木文采用法對耦合方程組求解和分析。選用了不同的車輛模型和橋梁 模型進(jìn)行耦合對橋梁的振動(dòng)和車輛的振動(dòng)響應(yīng)的影響。(4) 總結(jié)：對木文的內(nèi)容和得出的結(jié)果進(jìn)行分析和總結(jié)，得出結(jié)論并提出未來的

23、展 望。2 多自由度剛體車輛和橋梁的模型及運(yùn)動(dòng)方程的建立2. 1多自由度剛體車輛模型的運(yùn)動(dòng)方程的建立方法由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的理論知識(shí)可知，建立車輛的運(yùn)動(dòng)方程有多種方法0,采用最多的是 直接平衡法和拉格朗日法。即：直接平衡法：尺（2-1）式中：m：車輛模型的質(zhì)量。側(cè)）：車輛模型運(yùn)動(dòng)的加速度。f（r）：車輛模型所受外力的合力。拉格朗h方程法：2（% 二護(hù)（2-2）dt狒g抖“ &g式屮：t：車輛模型的總動(dòng)能。v：車輛模型的總彈性勢能。q：車輛模型的阻尼消耗的總能量。上述兩種方法可以得出的車輛模型的運(yùn)動(dòng)方程相同。運(yùn)用直接平衡法比較簡單明確。 對于具有多白由度的剛體車輛模型，采用拉格朗口方程法更簡

24、單方便。2. 2多自由度剛體車輛計(jì)算模型及運(yùn)動(dòng)平衡方程的建立車倆的構(gòu)造有多種形式，是很復(fù)雜的。從振動(dòng)的角度來說，車倆是具有多自由度的“質(zhì) 量彈簧阻尼,，組成的剛體系統(tǒng)。多自由度剛體車輛計(jì)算模型常常將車倆看作由車體、 車輪及把車體和車輪聯(lián)結(jié)起來的各種減振裝置和彈性裝置組成的總系統(tǒng)。2.2.1建立1/4車輛模型的運(yùn)動(dòng)平衡方程車倆的1/4模型由車體和一個(gè)車輪及輪胎組成，簡化為僅有車體和車輪豎直振動(dòng)方向 兩個(gè)自由度的系統(tǒng)。如圖2所示。由直接平衡法得，該車倆模型的運(yùn)動(dòng)平衡方程為：（1）車體的平衡方程：甲難+q（舉殍）+心（刃y2）= 0（2-3）（2）車輪的平衡方程:加2婢+(2(月 )+ k2(y2-

25、 d(x)- c(舉 蘭)-£|(必兒)=0 整理成矩陣形式為；°1 加2 b簫 02 撕旅x)+£d(x)(2-4)(2-5)圖2.1 1/4車輛模型figure 2.1 1/4 vehicle model2.2.2建立1/2車輛模型的運(yùn)動(dòng)平衡方程車輛的1/2模型由車體和兩個(gè)車輪及輪胎組成。其中含有車輛的前后兩軸，因?yàn)榍昂?車軸的相對位移能夠使車體產(chǎn)生豎向扭轉(zhuǎn)，貝91/2車輛模型具有3個(gè)豎向自由度和一個(gè)扭 轉(zhuǎn)自由度。如下圖2.2所示。圖2.2 1/2車輛模型figure 2.2 1/2 vehicle model由直接平衡法得，車輛模型的運(yùn)動(dòng)平衡方程為:令：1、

26、= oyel2 = a2e（1）車體的力平衡方程：叫媒+gi瞬+藕-跆+心】（九+謝刃）+%（弟 魏-謝+2（y礦qik- y2）=°(2-6)（2）車體的力矩平衡方程:j胎5侮 敬劃廣匕心廣qh n 口2（噸費(fèi)2典）厶kgqhy2）l2 = 0(2-7)（3）車輛前輪的平衡方程：甲洋5（彫+冷% 韻卜燈（九+9山刃）厶+ 5（舉殆+©（廿%）=0(2-8)（4）車輛后輪的平衡方程：叫強(qiáng)c$2（妬駁j&）-代/y廣qq %）+g（拓的+燈（力仏）=0 車輛的運(yùn)動(dòng)平衡方程寫為矩陣形式為：%©欝< /= y(2-9)(2-10)式中:mv=；5：m2ky

27、= /q= ?輕/2 +卩®ri 匕2'2i csli c2csri s5 + cs25c$2-唧 cs5 + 50"cs 20+ %紂+皿1a匕2【2sr51a &22 緒+ s"ks、 ks2ks + kn0c/2番+ k2車輛和橋梁模型在車輪與橋而接觸點(diǎn)處的相互作用力為:kfd+fvb= & ° c鷹+ kadxd=d22.2.3建立7白由度整車模型的運(yùn)動(dòng)平衡方程車輛的三維整車模型共有7個(gè)白由度，如圖2.3所示。分別是：車身俯仰角g和側(cè)傾角j及豎向位移y和四個(gè)車輪的豎直萬向的位移 (=1,2,3, 4)。side viewy

28、afront view圖2.3 7自由度三維整車車輛模型figure 2.3 7 degrees of freedom 3d vehicle model vehicle運(yùn)用拉格朗口方程：c(幕)丄+學(xué)+_¥=0,可以得出具有7白由度的整車力暢 弘扌刼 4的車輛模型的運(yùn)動(dòng)平衡方程。用矩陣形式表示為：mvcvkvy= fvh(2-11)a1 =心 + j + ks3 + ks4a2=伙$+(匕+ 03其中.人3 二(ks2 + ks4 )/5 -(心 +)4八人4=(心+5"； + kj；a5 = - ksl2l6 + s + £$3*6 “$4“5 a6 =伙

29、63;1 + kql； + 伙$2 + kj；b2b4b3b5b6q="cs_ c2c.“65 + 5巾 + c$3al = j + c$2 + c$3 + cv432= ©+ cj2 -(c$3 + c$4 ”3 其中.b3=(c$2 + c$4”5 © + c$3”6b4= ci + cs2)l2 - (cs3 + c$4”335 = 5從6 + c$2叢 + c$3*6 c$4”：b6= ©+ c$3”：+ ©+ c$4"；位移y、速度匡、加速度碼為:y=ty q jm=解 &j&瞥律輕朋弾在接觸點(diǎn)處車輛模型和橋

30、梁模型的作用力為:c/3 醬 + kt3d3c/4 碑 + kl4d4lfvb= 0 ° c舲 k“d cl2+ kt2d22. 3.橋梁計(jì)算模型及運(yùn)動(dòng)平衡方程的推導(dǎo)本文所利用的橋模型是簡支梁橋模型，將橋梁簡化成伯努利一歐拉梁模型。在車輛一橋梁模型的耦合系統(tǒng)中無論運(yùn)用什么類別的橋梁模型，橋梁模型的振動(dòng)方程 都能夠滿足下式，即：(2-12)m+ct+ku=佩卜行式中：m：橋梁質(zhì)量矩陣。ioc：橋梁阻尼矩陣。k：橋梁剛度矩陣。閔、旳、：有限元橋梁模型中的加速度，速度和位移矢量矩陣。fbv：車倆和橋梁模型在接觸點(diǎn)處的相互作用力向量，與",大小相等。fj：車輛的重力，即橋梁受到車輛

31、的靜力。2.3.1橋梁有限元計(jì)算模型的建立(1) 選取梁單元：因?yàn)檐嚇蝰詈舷到y(tǒng)中分別只考慮車輛和橋梁部分豎直方向的振動(dòng)，所以應(yīng)用有限元法 將橋梁模型離散為平面梁單元。如圖2.4所示，建立其橋梁有限元方程。圖2.4平面梁單元figure 2.4 beam element(2) 推導(dǎo)平而梁單元的剛度矩陣：平而梁單元節(jié)點(diǎn)位移向量：wy = i ji nj jjt平面梁單元節(jié)點(diǎn)力向量：fy= g mj qj mj平面梁單元節(jié)點(diǎn)力向量和單元節(jié)點(diǎn)位移向量的關(guān)系式：fe=kud式中：kj就是要求的平面梁單元的剛度陣。通過運(yùn)用位移差值函數(shù)求梁單元的剛度陣。因?yàn)閺囊阎牧簡卧?jié)點(diǎn)能得到4個(gè)已知的邊界條件，則用具

32、有四個(gè)未知系數(shù)的三次多項(xiàng)式來表示豎直方向的位移斤的位移形式。假設(shè)沿單元長度橫向位移的變化為門叫37n = axx + axr + 卒+ a4由微分關(guān)系，得轉(zhuǎn)角/的位移為:dn小7小=3djr + 2。2兀+ 冬 dx由單元邊界條件得，當(dāng)x=0時(shí)，n= gj = j 當(dāng)x= /時(shí)，n=仙=j j。帶入上述公式求解得:h (0) = ni = a4 dn(0).- = 7 /= 5dxn(l) = n. = c/jz3 + a2l2 + a3l + a4 dn 2dxj =3al + 2矽+ 5j整理成矩陣形式為:(/w=8簞 3x2 * 2x3i2 fw 6x6兀/32x2 x3 3x2+ -i

33、 ii 4x 3x21+ / /2x-2j22x3y6x2l3x3f3x2%20 y b7 (2-13)式中:n：單元形函數(shù)矩陣。/(%)：單元位移函數(shù)。梁單元發(fā)生彎曲變形的曲率器,則得到梁單元兒何方程為:=廊a "ji n$ nde=nbde4 6x t t式屮:2 6x設(shè)梁單元的彈性模量是e,則梁單元因?yàn)閺澢鷳?yīng)變產(chǎn)生的應(yīng)力是：5 = eyr o則得出平面 梁單元應(yīng)力矩陣:$= enr=ndlbde式中:d= eo由虛功原理的理論知，當(dāng)橋梁位于平衡位置，橋并梁產(chǎn)牛的連續(xù)微小變形均符合條件 時(shí)，作用在橋梁上的外力在橋梁的位移上做的虛功t與每個(gè)微段的合力在橋梁上做的內(nèi)虛 功w-tt相等

34、。設(shè)在梁端的力f使梁單元處于平衡狀態(tài)時(shí)，在可能存在的虛位移影響下, 由于梁端的虛位移/產(chǎn)生的虛應(yīng)變?yōu)?o則外部施加的力所做的虛功和：t= dtf在平面梁單元的虛應(yīng)變仏上，梁單元的應(yīng)力$ 做的內(nèi)力虛功為:w=ef sdv將«= nbde, (s = ndtbde代入上式得:w= nd t bf n dbd dv根據(jù)虛功原理t= w得到：d f f= od f bj n dlbd edv即：f'= 蝌fif n dbj (dv = n fif n dbjlv d"則可以求出梁單元的剛度矩陣為:ky= 6 nb ndlblv而n2dydz= i是梁單元的橫截面對梁主軸的求

35、的慣性矩，則上式可以表示為:將3代入上式得出，平面梁單元的單元?jiǎng)偠染仃?6eii2§6£/4ei|/21|12£/ i尸 細(xì)6eii22ei復(fù)/21k=2ei6eipi26ei2eii2112ei6eipi26ei4eii216112614/2612126/12612卩614/2(2-14)（3）確定梁單元的質(zhì)量矩陣:運(yùn)用虛功原理知識(shí)，假設(shè)單元節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生虛位移d滿足單元定義的位移。虛位移/ = ”訂。梁單元的慣性力對梁單元做的虛功是:t= fffmdv=- d tnrndv=- ? r tv ndv(df (2-15)因?yàn)樘撐灰凭哂须S意性，所以最后d在虛功的等式里

36、被約去。通過上式的最右側(cè)項(xiàng)得(2-16)出梁單元的質(zhì)量矩陣:m= q r ?/ ndv其中：形函數(shù)n= n, n2他n假定沿梁的長度,平面梁單元的質(zhì)量是均勻的。梁單元的整體質(zhì)量是m = ral,即:m= q r nadx0|5622/541引i2/4/213/3/2:<®4"/iii13/156221加/-3/2-22/4/2ral420(2-17)式（215）得到的并不是梁單元的單元質(zhì)量矩陣，而是一致質(zhì)量矩陣。運(yùn)用一致質(zhì)量 矩陣求解時(shí)比較麻煩。當(dāng)集中質(zhì)量矩陣符合靜力等效原則時(shí)，不考慮它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響, 可以將平面梁單元一致質(zhì)量矩陣簡化成集中質(zhì)量矩陣，能夠大大簡化計(jì)

37、算。如下式所示:(2-18)la（4）組裝整體橋梁的質(zhì)量矩陣和整體剛度矩陣橋梁單元的質(zhì)量和剛度的矩陣得出后，對梁的每個(gè)有限元單元的位置進(jìn)行定位。先定 義成單元向量，再將每個(gè)有限元單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進(jìn)行組裝，組裝后得到橋梁的整體質(zhì)量矩陣m和剛度矩陣k。如圖2.5所示，以一座具有i跨斤米長的簡支梁橋梁為例, 橋梁每處的橫截而均勻相同的?？箯潙T性矩是/,彈性模量是e,第i段處的橋墩到橋端 的距離為無米，把整個(gè)橋梁均勻地離散化成n個(gè)梁單元，并且各個(gè)梁單元的長度/均等于1米。圖2.5米長的i跨簡支梁橋figure 2.5 n m long simply supported beam運(yùn)用矩陣位移法，可

38、以把橋梁的質(zhì)量矩陣按照“對號(hào)入座”的方法，使各個(gè)橋梁單元的 質(zhì)量矩陣內(nèi)部的元素直接放入總質(zhì)量矩陣內(nèi)。此種方法僅用于人工計(jì)算處理簡單的質(zhì)量矩 陣。對劃分的單元數(shù)量和具有的自由度數(shù)很多的橋梁模型，必須依靠計(jì)算機(jī)編輯程序來組 裝橋梁的質(zhì)量矩陣。整體橋梁的剛度矩陣k的組裝可以參照組裝質(zhì)量矩陣的方法。(5) 確定橋梁的阻尼矩陣研究學(xué)者經(jīng)常運(yùn)用的最多的為粘滯阻尼理論。它與前面所述的橋梁的剛度矩陣和質(zhì)量 矩陣相同。利用有限元的方法，根據(jù)虛功原理中的理論得到橋梁的阻尼矩陣：tc= qcirn ndv(2-19)式屮：g表征橋梁的粘滯阻尼特性。當(dāng)?shù)贸隽簡卧淖枘峋仃嚭?，求整體的橋梁阻尼矩陣參照生成總剛度矩陣的方

39、法。但 是上式屮的假設(shè)和橋梁的真實(shí)狀況不符合，由于無法算出來它的粘滯阻尼特性g,則在實(shí)（2-20）（2-21）際中通常是用質(zhì)量矩陣m和剛度矩陣k來描述，其表達(dá)式為:c= a當(dāng) =2時(shí)，得到現(xiàn)在最常用的rayleigh阻尼矩陣：c= am+ bk2（兀“'x.wwi vv.（比+旳）（旳wj2（xj wj -?！癹（鴨+旳）（旳鴨）式中。和b值由下式得到:（2-22）式中:鴨和鄉(xiāng)：橋梁的第j和第丿階的固有頻率;不和兀廠 橋梁的第i階和第/階振型的模態(tài)阻尼比。由于車橋耦合系統(tǒng)中橋梁模型使用的是模態(tài)振型疊加法，則真正參與計(jì)算的是橋梁的 模態(tài)方程，則不需要計(jì)算有限元橋梁模型的方程中的阻尼矩陣c

40、。2.3.2推導(dǎo)橋梁模型的模態(tài)方程設(shè)橋梁模型中的位移向量是、振型函數(shù)是f、正則坐標(biāo)是q、取橋梁的前n階 振型來表示它的位移向量u。則其表達(dá)式為: = j +j 22 + k + j nqn = a :幾么(243)寫成矩陣形式為：(u=nq(2-24)采用振型表示橋梁的位移的優(yōu)點(diǎn)有罰：(1) 振型是高數(shù)中定義的特征向量，不同振型之間正交；(2) 振型能很好的的表示橋梁的位移，僅僅取幾個(gè)低階振型就能滿足很好的近似。(1)橋梁模型的固有振型和頻率橋梁模型的自由振動(dòng)頻率是，振動(dòng)方程變?yōu)榍筇卣髦祮栴}：(k / m 財(cái)二 0(2-25)當(dāng)橋梁模型運(yùn)用集中質(zhì)量矩陣時(shí)，質(zhì)量矩陣m是對角矩陣。對于伯努利歐拉梁

41、， 將它看成是連續(xù)自由振動(dòng)的系統(tǒng)來求解特征值。由橋梁的邊界條件能夠得岀橋梁的n階振 型/ 和固有頻率叫：j “ = c sin()(2-26)式中：e：梁的彈性模量。a :梁的截面面積。l：梁的長度。r :梁的密度。c：幅值系數(shù)。(2)橋梁模型模態(tài)方程中參數(shù)的確定求岀橋梁模型的振型j和固有頻率w后，運(yùn)用振型疊加法可以寫岀橋梁的模態(tài)方程, 進(jìn)而求解方程的有關(guān)參數(shù)。ffa/f+ ffcf+ fkjfq= ff(/；v- 耳)(2-27)式中：mj=fna/f, c,>fncf, kj=fnnf，耳)則上式寫為：%酸+心甥+心0=化(2-28)由振型的正交性得，當(dāng)八丿時(shí):(2-29)將上式代入

42、模態(tài)方程后，得出k訂和m訂都是對角矩陣，矩陣中的任何兩個(gè)耦合的項(xiàng)都 等于零。對于阻尼矩陣c,在應(yīng)用模態(tài)疊加法時(shí)，參與計(jì)算的是橋梁模型的模態(tài)方程。因此,不需要計(jì)算橋梁模型的有限元方程中的阻尼矩陣c。若橋梁模型的每一階振型的阻尼比是兀,x2l> , xi , l , xn ,貝|j：% =計(jì)算岀cj,因?yàn)閙訂是對角矩陣，則可知c訂也是對角矩陣。因此，確定了橋梁模態(tài)方程中的每個(gè)矩陣。因?yàn)閙j, cj和心均是對角矩陣， 則把橋梁的振動(dòng)方程解耦成了n個(gè)互不關(guān)聯(lián)的獨(dú)立方程式，并不是方程組。然而，與橋 梁的有限元方程屮的階數(shù)相比，模態(tài)方程屮的階數(shù)只用選取有限個(gè)振型使階數(shù)變少。(3)模態(tài)正規(guī)化對模態(tài)方程

43、進(jìn)行正規(guī)化，更加簡化了橋梁的模態(tài)方程。設(shè)加顧是橋梁模態(tài)質(zhì)量矩陣m加中的第i行d列的元素。令:第i階振型的正規(guī)化后的模態(tài)丿/是:r用正規(guī)化模態(tài)代替一般模態(tài)后，模態(tài)方程寫為：網(wǎng)酸+ c0+ khq= fh(2-30)式中:kh：正規(guī)化的橋梁剛度矩陣。q：止規(guī)化的橋梁阻尼矩陣為。mh：正規(guī)化的橋梁質(zhì)量矩陣。其中:到此，確定了橋梁模型的正規(guī)化模態(tài)方程。在使用計(jì)算機(jī)求解過程中，因?yàn)榇嬖谟杏?jì)算誤 差和精度等缺點(diǎn)，mb, q. kh的非對角線上有非常小的不是零元素，對于非零的元 素直接用零值替代。3 橋面不平整度的數(shù)值模擬3.1橋面不平度的概述車橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)受多方面的要素的影響，具有隨機(jī)振動(dòng)的性質(zhì)。為了

44、更加精確地 表征橋梁的振動(dòng)，除了需模擬車輛的載荷以外，也應(yīng)考慮橋面的不平順性對振動(dòng)的影響。車輛在橋梁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，車輛和橋梁就構(gòu)建成為了相互作用的系統(tǒng)。振動(dòng)的原因劃分為 系統(tǒng)內(nèi)部激勵(lì)和系統(tǒng)外部的激勵(lì)兩種類型。橋面不平度是發(fā)牛在系統(tǒng)自身，屬于系統(tǒng)的 內(nèi)部激勵(lì)，是誘發(fā)橋梁振動(dòng)最重要的原因。同時(shí)，它影響著汽車在橋面上行駛的安全性、 穩(wěn)定性和乘客的舒適性。除此之外，還是導(dǎo)致橋面損傷及構(gòu)件疲勞破壞的主要原因。因此, 國內(nèi)外研究學(xué)者的廣泛關(guān)注橋面不平度的研究。3. 2橋面不平度的表達(dá)方法忽略了橋的撓度的影響時(shí)，橋面和路面的不平整度是相同的。路面的不平整度指路面 與地基水平基準(zhǔn)平面的偏差。實(shí)驗(yàn)表明，路面的不平度

45、有零均值、各狀態(tài)經(jīng)歷的穩(wěn)定的 gauss的隨機(jī)過程i鉤。路面的特性大多用功率譜來表述，刻畫出了路面不平度。余志生在文獻(xiàn)中討論了路面的特征，介紹了路面不平度功率譜和不同頻率相互轉(zhuǎn) 化的方法。將橋面對理想的基準(zhǔn)水平而的高度q沿路線長度/的變化譏/）定義為橋面不平 度函數(shù)或縱斷面曲線。如圖3.1中的橋面橫向坐標(biāo)用丿表示。fig.3.1 pavement profile curve國家標(biāo)準(zhǔn)gb70312-861251中規(guī)定的路而不平整度的功率譜密度函數(shù)是:(3-1)式中：m路面的空間頻率/加】。是波長/的倒數(shù)。治路面的參考空間的頻率，取0.im 1 ogv(/i0):路面的參考空間頻率的功率譜密度值，

46、即不平整度系數(shù)。w：頻率指數(shù)，決定路面功率譜密度的頻率，取w為2o3. 3模擬橋面不平整度及分級(jí)參數(shù)gb7031-86中分析處理測量得到的隨機(jī)數(shù)據(jù)，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法確定了各級(jí)路而不平整 度的系數(shù)，如表3所示。表3 gb7031-86中的路面不平整度系數(shù)表table 3 gb7031-86 the pavement roughness coefficient table路而等級(jí)_路面不平整度系數(shù)/綁切2/上限下限幾何均值a83216b3212864c128512256d51220481024e204881924096f81923276816384g3276813107265536h13107252

47、4288262144研究學(xué)者在模擬路面不平度的問題上，進(jìn)行了大量試騎，不斷地研究出不同的模擬方 法?，F(xiàn)在用的最多的方法有廠叫諧波疊加法、白噪聲法、濾波白噪聲法和運(yùn)用arma模 型積分法等。本文運(yùn)用的是諧波疊加法門刀，將橋面不平整度用具有隨機(jī)相位的余弦函數(shù) 之和來模擬,即:r(x) = a j4g(兔)d川cos(2pnkx+fk)(3-2)k=其中:兔二坷 + 伙.-)d« (k - 1,2l n)dn= (% n,)/n式中：n,：有效空間頻率下限。nj有效空間頻率上限。n ：空間頻率帶被劃分的份數(shù)；是在0,2內(nèi)服從均勻隨機(jī)分布的數(shù)。口橋面的縱向坐標(biāo)。上述的參數(shù)中，除幾外其它的參數(shù)

48、均是確定性。本文在參照國標(biāo)對路面不平度的定 義后，模擬了前六種路而等級(jí)。本文通過用matlab編制的計(jì)算程序來模擬各種路而等 級(jí)的不平整度情況。本文為了保證模擬的曲線達(dá)到一定的可信度，取橋而的長度為300 米。模擬了前三個(gè)橋而等級(jí)的曲線，圖3.2所示。0.0150.0100.0050.000-0.005一 0.010路線長度on）-0.0150.020-0.020a級(jí)路面不平整度曲線a level pavement roughness curve- 0.04 -路線長度（m）b級(jí)路血不平整度曲線b level pavement roughness curveo o o o-o-oe)坦追汩0o

49、c級(jí)路面不平整度曲線c level pavement roughness curve圖3.2路而不平整度模擬曲線figure 3.2 pavement roughness simulated curves4 車輛一橋梁模型的耦合及求解方法在車輛和橋梁模型的耦合系統(tǒng)中，運(yùn)用耦合的方法求車輛一橋梁耦合振動(dòng)的響應(yīng)。利 用車輛和橋梁模型在輪胎和橋而的接觸點(diǎn)處的位移關(guān)系，使單獨(dú)的橋梁模型和單獨(dú)的車輛 模型耦合成整體系統(tǒng)模型。這種耦合方法消除了車橋在接觸點(diǎn)處具有的自由度。橋梁模型 和車輛模型間的互相影響及輪胎和橋而接觸點(diǎn)處具有的位移關(guān)系是討論車橋耦合振動(dòng)響 應(yīng)的重要部分。4.1車輛一橋梁耦合模型的假設(shè)車輛

50、是一個(gè)具有多自由度的極其復(fù)雜的剛體，為了便于進(jìn)行研究乂使其符合車輛的實(shí) 際運(yùn)動(dòng)狀況和條件,作出下列假設(shè)|絢、1291:1）車體看作為剛性體,前后車橋視看成集中質(zhì)量；2）車輛沿直線勻速運(yùn)動(dòng)，并且在運(yùn)動(dòng)過程中輪胎始終不脫離地面；3）前后車輪受到的路面不平度激勵(lì)的功率譜存在時(shí)間差；4）由于車輛中對橋面影響較大的主要是車體的仰俯振動(dòng)和垂直振動(dòng)，所以忽略車體其 它自由度的振動(dòng)對橋面的影響。根據(jù)上面的理論假設(shè)，我們將公路上的車輛（即汽車、卡車、貨車）模型簡化成具有 四個(gè)自由度的平面模型。如圖4.1所示。q、zf、z八兀分別是車身的仰俯位移、前后車 輪垂直方向的和車身位移。圖4車橋耦合系統(tǒng)模型fig4.1

51、a coupled vehicle- ridge model圖4中，j、叫、m、叫分別表示汽車的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、車身的質(zhì)量和前后輪的質(zhì) 量。°、心表示汽車的前后輪胎的阻尼和剛度系數(shù)。今、©表示汽車的前后懸架阻尼和剛度系數(shù)。/、/是汽車的前后輪橋到車體的質(zhì)心距離。z拠為車輪作用位置處的橋梁的豎直方向的位移。假設(shè)車輪與路面一直保持接觸，第0個(gè)車輪的位移用z“表示。貝気=z拠o應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理寫出車輛模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為陸鋼+©劃+兇.匕=恥）(4-1)式中:仲廠krlr kf+ s；k»ukflfk 吋 +00kr + «車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中的剛度矩陣與阻尼矩

52、陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu)是相同的，僅用阻尼系數(shù)c代替 剛度矩陣中的剛度系數(shù)r就可以得到車輛模型的阻尼矩陣。橋梁模型運(yùn)用euler-benoulli梁。將橋梁模型用有限元方法離散后，橋梁模型的振動(dòng)方程為下列形式:(4-2)式中：cb: rayleigh阻尼矩陣mh:協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣離散化的橋梁單元受到的外荷載是由汽車的自身重力引起的確定荷載坨，如下式所示:式中：nlf:前輪胎與橋梁接觸點(diǎn)處的單元位移形函數(shù)向量。nlr:后輪胎與橋梁接觸點(diǎn)處的單元位移形函數(shù)向量。將以上各式聯(lián)立，得出車輛一橋梁模型耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，如下式所示:汁c離+kz=)(4-3)式中：位移z= zc q zf zr z如 l z/羽。k：

53、耦合系統(tǒng)的剛度矩陣m：耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣c：耦合系統(tǒng)的阻尼矩陣他們的矩陣結(jié)構(gòu)為：c滬 cb + 叭 n” n“n：k*= kb + 叭n點(diǎn)鳳其中：c嚴(yán)穩(wěn) 0 cwfnjf cwrnlrkt= | 0 kwfnrf kwrntr由于汽車的白身重力施加的確定性載荷可以采用數(shù)值積分法直接計(jì)算。車輛一橋梁耦合系統(tǒng)方程中的外激勵(lì)項(xiàng)是確定性載荷©04. 2.求解車輛一橋梁模型耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程的方法車橋耦合方程重新寫為下列形式：冊科+ c罔 + kz= f(4-4)這是一個(gè)隨時(shí)間不斷變化系數(shù)的二階線性方程組，得到它的解析解難度很大，只能運(yùn) 用數(shù)值積分方法對其進(jìn)行求解。人們利用的最多的并且效果最好的方法是逐步積分法。 對于車輛橋梁耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，把它的彈性力矩陣、阻尼力矩陣、慣性力矩陣 和外載荷用憶(0、/(/)、”；(/)、皿)來表示。在任何一個(gè)時(shí)刻/，方程都可以寫成下式形 式：/(/)+必(。+仄(/)= m)(4-5)在很短的時(shí)間dr過后，上式重新寫成為：敘+ dr)+ 伉 a+ dr)+dr)= /?(/+ dz)(4-6)兩式相減便得出在時(shí)刻/處的時(shí)間增量dr時(shí)間斷內(nèi)的車輛一橋梁耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 方程的增量表達(dá)式為：(4-7)do)+