定積分與不定積分

1、青海民族大學 畢業(yè)論文（設計）論文題目：淺談關于定積分與不定積分的拓展應用以及其兩者所存在的聯(lián)系與區(qū)別學生姓名： 東主才讓 學號： 1111020007 指導教師： 范合寧 職稱： 教授 院 系： 青海民族大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 專業(yè)班級： 2015級數(shù)學與應用數(shù)學（民族師范） 二 年 月 日獨創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的畢業(yè)論文是本人在導師指導下進行的理論學習、實習實踐以及研究所取得的成果，除了文中特別加以標注和致謝之處外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含獲得青海民族大學或其他教育機構的學位或證書而使用過的材料。與我一起探討、工作的同學對本論文所做的任何貢獻均已在論文中作了明確

2、的說明并表示了謝意。畢業(yè)論文作者簽名： 簽字日期： 年 月 日畢業(yè)論文版權使用授權書本畢業(yè)論文作者完全了解青海民族大學有關保留、使用畢業(yè)論文的規(guī)定。特授權青海民族大學可以將畢業(yè)論文的全部或部分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，并采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編以供查閱和借閱。同意學校向國家有關部門或機構送交論文的復印件和磁盤。論文作者簽名： 簽字日期： 年 月 日 指導教師簽名： 簽字日期： 年 月 日 青海民族大學畢業(yè)論文 摘要摘要：一直以來積分問題就是高等數(shù)學院校學習數(shù)學的重點，也是作為研究生入學考試重點考察的內容之一，所以本文對定積分和不定積分的理論拓展延伸，以及分析研究兩者之間的區(qū)別

3、與聯(lián)系。在初等數(shù)學、數(shù)學分析、解析幾何、微積分等學科中的定積分和不定積分的理論知識做了較為系統(tǒng)性總結和分析。并利用一些例題對這些問題做除了詳細解析。關鍵詞：積分，不定積分，定積分，變量，原函數(shù)。AbstractAbstract：Has always been integral problem is the focus of study in colleges and universities in higher mathematics mathematics, also as one of the postgraduate entrance examination focuses on con

4、tent, so in this paper, the indefinite integral and definite integral theory extends, and the analysis of the differences and relations between.In elementary mathematics, mathematical analysis, analytic geometry, calculus and other disciplines of the indefinite integral and definite integral theory

5、made a more systematic summary and analysis. And use a few examples do in addition to the detailed analysis of these problems.Key words: Integral, indefinite integral, definite integral, variable, function.目 錄00000000000000000001引言 2定積分 2.1定積分的定義 2.2定積分的性質 2.3定積分的幾何意義 2.4定積分的應用 2.4.1定積分在初等數(shù)學里的應用 2.4

6、.2定積分在幾何中的應用3不定積分 3.1不定積分的概念及性質 3.2不定積分的第一類換元法 3.3不定積分的第二類換元法 3.4不定積分的分部積分法 3.5不定積分的兩種典型積分4 定積分與不定積分的區(qū)別與聯(lián)系5 結語參考文獻 附錄 致謝 1.引言 積分是微積分學與數(shù)學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對于一個給定的正實值函數(shù)，在一個實數(shù)區(qū)間上的定積分可以理解為在坐標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數(shù)值）。積分的一個嚴格的數(shù)學定義由波恩哈德·黎曼給出（參見條目“黎曼積分”）。黎曼的定義運用了極限的概念，把曲邊梯形設想為一系列

7、矩形組合的極限。從十九世紀起，更高級的積分定義逐漸出現(xiàn)，有了對各種積分域上的各種類型的函數(shù)的積分。比如說，路徑積分是多元函數(shù)的積分，積分的區(qū)間不再是一條線段（區(qū)間a,b），而是一條平面上或空間中的曲線段；在面積積分中，曲線被三維空間中的一個曲面代替。對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。2. 定積分2.1定積分的定義一般地，設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點，作和式：.如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分記為：，其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限說明：（1）定積

8、分是一個常數(shù),即無限趨近的常數(shù)（ 時）稱為，而不是（2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程；變力做功 2.2 定積分的性質性質1 性質2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質）性質3 （定積分的線性性質）性質4 （其中a<c<b）2.3 定積分的幾何意義 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積2.3-1說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負號 分析：一般的，設被積函數(shù)，

9、若在上可取負值考察和式不妨設于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）。2.4 定積分的應用2.4.1定積分在初等數(shù)學里的應用近些年來，定積分還越來越多的被廣泛應用到初等數(shù)學中的一些問題上來，下面來討論一下定積分在證明不等式，等式和一些數(shù)列的極限的方面的應用。運用積分來證明不等式，一般要利用到積分的如下性質：設與都在上可積且；則特別的當時，有例1 證明貝努利不等式 已知且且求證：證明：若或且時， 。因此 即為。若或且時因此 由此可得。綜合以上可得：當時，且 且 時有。由上面的證明我們可以推廣，去掉條件時，結論仍然成立所以，我們可以得到一個一般的結論設 則若時，有若或時，有當

10、且僅當時，兩式中的等號成立求和：根據(jù)微分與積分互為逆運算的關系,先對和式積分,利用已知數(shù)列的和式得到積分和,再求導即可.2.4.2定積分在幾何中的應用2.4.2.1定積分微元法 定積分的應用范圍很廣，在這里介紹它在幾何方面和物理方面的一些應用首先說明一種運用定積分解決實際問題時常用的方法將所求量表達成為定積分的分析方法微元法（或元素法）. 在將具體問題中所求的量（如曲邊梯形的面積，變速直線運動的路程）表達成定積分：時，總是把所求量看作是與變量的變化區(qū)間相聯(lián)系的整體量當把區(qū)間劃分為若干小區(qū)間時，整體量就相應地分為若干部分量，而整體量等于各部分量之和，這一性質稱為所求量對于區(qū)間具有可加性.劃分區(qū)間

11、后，在各部分區(qū)間上，求出部分量的近似表達式，由可加性，總量的近似值可以表達成和式（由于點任意選取時，和式極限有確定的值，常取為區(qū)間的左端點），從而這個和式的極限就是所求量的精確值，于是由定積分的定義，總量可用定積分來表達 一般地，如果某一實際問題中所求量滿足以下條件：是與變量的變化區(qū)間有關的量，且對于該區(qū)間具有可加性，所求量就可用定積分來計算.具體步驟如下：（1）確定積分變量，并求出相應的積分區(qū)間（2）在區(qū)間上任取一小區(qū)間，并在該小區(qū)間上找出所求量的微元（3）寫出所求量的積分表達式，然后計算它的值.這里通常稱為所求量的微分（或元素），這種直接在小區(qū)間上找積分表達式從而得出定積分表達式的方法，通

12、常稱為微元法（或元素法）.2.4.2.1定積分求解平面圖形面積直角坐標情形：根據(jù)定積分的幾何意義，由區(qū)間連續(xù)曲線、。及直線所圍成的平面圖形的面積A，由定積分的性質，此式可寫為(利用微元法求解可得同樣的結果)其中d就是面積元素。2.4-1極坐標情形：某些平面圖形，用極坐標計算它們的面積比較方便用微元法計算：由極坐標方程所表示的曲線與射線所圍成的曲邊扇形面積（見圖）以極角為積分變量，積分區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，與它相應的小曲邊扇形面積近似于以為圓心角為半徑的圓扇形面積，從而得到面積元素于是所求面積為2.4.2.3用定積分求解圖形體積旋轉體的體積：設一旋轉體是由曲線與2.4-2直線、及x軸所圍成的

13、曲邊梯形繞x軸旋轉而成（見2.4-2圖）現(xiàn)用微元法求它的體積在區(qū)間上任取，對應于該小區(qū)間的小薄片體積近似于以為半徑，以為高的薄片圓柱體體積，從而得到體積元素為從a到b積分，得旋轉體體積為 類似地，若旋轉體是由連續(xù)曲線與直線及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉而成，則其體積為。3. 不定積分3.1 不定積分的概念與性質原函數(shù)定義1：若，則稱為的原函數(shù)。 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)； 若為的原函數(shù)，則也為的原函數(shù)； 事實上， 的任意兩個原函數(shù)僅相差一個常數(shù)。事實上，由，得故表示了的所有原函數(shù)，其中為的一個原函數(shù)。一般地，原函數(shù)有下面的性質： 設F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，對于任意常數(shù)C，F(xiàn) (

14、x)+C也是f(x)的原函數(shù)，并且f(x)在區(qū)間I上任何一個原函數(shù)都可以表示成F(x)+C的形式。不定積分定義2：的所有原函數(shù)稱為的不定積分，記為，積 分號，被積函數(shù)，積分變量。顯然對于不定積分的定義，說明如下： （1）函數(shù)f(x)的不定積分 等于函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F (x)+C，常數(shù)C不要漏寫，F(xiàn)(x)只能表示一個原函數(shù)，這也正是原函數(shù)和不定積分的區(qū)別；不定積分記號， 由積分記號“ ”和被積式“f(x)dx”構成，書寫時不要漏掉dx. （2）在不定積分 中，積分變量是x；在不定積分 中，積分變量是x，被積分函數(shù) 是關于x的指數(shù)函數(shù)；在 中，積分變量是u，被積函數(shù) 是關于u的冪函數(shù)。 強

15、調：F（x）與f(x)是定義在同一區(qū)間I上，這里的區(qū)間I可以是閉區(qū)間或半閉區(qū)間或開區(qū)間；F（x）是f(x)的一個原函數(shù)，不是所有的原函數(shù)；求原函數(shù)（在不計所加常數(shù)C的情況下）與求導數(shù)互為逆運算。 3.1.2不定積分基本積分公式（略）3.1.3不定積分的性質例3求下列不定積分1234563.2 不定積分的換元法3.2.1第一類換元法（湊微分法）1、例1、求不定積分2、例2、求不定積分3. 例1求不定積分1234567例4、求不定積分891011121314153.3不定積分的第二類換元法3.3.1 三角代換例1、解：令，則原式=例2、解：令原式=例3、解：令，則原式= 例4、解：令，則 原式=例

16、5、解：令，則原式= 例6、解：令，則原式=小結：中含有可考慮用代換3.3.2無理代換例1、解：令原式=例2、解：令原=3.3.3 倒代換例1、解：令原式 3.4不定積分分部積分法分部積分公式：，故 （前后相乘）（前后交換）例1、例2、例3、或解：令原式3.5 不定積分兩種典型積分3.5.1有理函數(shù)的積分有理函數(shù)可用待定系數(shù)法化為部分分式，然后積分。例1、將化為部分分式，并計算解：故或解： 例2、例3、4不定積分與定積分的區(qū)別與聯(lián)系 單純的積分，也就是已知導數(shù)求原函數(shù)，而若F(x)的導數(shù)是f(x)，那么F(x)+C（C是常數(shù)）的導數(shù)也是f(x)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，

17、因為F(x)+C的導數(shù)也是f(x)，C是無窮無盡的常數(shù)，所以f(x)積分的結果有無數(shù)個，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。不定積分計算的是原函數(shù)（得出的結果是一個式子）定積分計算的是具體的數(shù)值（得出的借給是一個具體的數(shù)字）不定積分是微分的逆運算，而定積分是建立在不定積分的基礎上把值代進去相減積分。 而相對于不定積分，就是定積分。 所謂定積分，其形式為f(x) dx (上限a寫在上面，下限b寫在下面)。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。定積分就是把直角坐標系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數(shù)個矩形，然后把某個區(qū)間a,

18、b上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b的面積。實際上，定積分的上下限就是區(qū)間的兩個端點a,b.不定積分。設F（x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作，即f(x)dx=F(x)+C.其中叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分.由定義可知：求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積

19、分.求導數(shù)與求原函數(shù)或不定積分（在不計所加任意常數(shù)時）互為逆運算。求一個函數(shù)的不定積分，允許結果在形式上不同，但結果的導數(shù)應相等。 定積分的正式名稱是黎曼積分。用自己的話來說， 把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-尼茲公式，它的內容是：若F'(x)=f(x)那么f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯(lián)系，可見其在微積分學以至更高等的數(shù)學上的重要地位，因此

20、，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數(shù)學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是： 如果，那么 這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數(shù)的自變量，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個定值是沒意義的。雖然這種寫法是可以的，但習慣上常把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。正這個理論揭示了積分與黎曼積分本質的聯(lián)系，可見其在微積分學乃至整個高等數(shù)學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。4 結語定積分與實際應用聯(lián)系較近，牛頓曾利用積分從萬有引力導出行星三定律定積分在物理，化學，經(jīng)濟，工程中也有重要的應用，我也相信，隨著人類認識的不斷發(fā)展，定積分將越來越起著重要的作用參考文獻 1劉玉蓮，數(shù)學分析上冊（第二版），北京：高等教育出版社20112劉玉蓮，數(shù)學分析下冊（第二版），北京：高等教育出版社2011 3鐘玉泉，復變函數(shù)（第三版），北京：高等教育出版社20044王高雄，常微分方程（第三版），北京：高等教育出版社201