線性判別分析LinearDiscriminantAnaly

1、.1. 問題     之前我們討論的PCA、ICA也好，對樣本數(shù)據(jù)來言，可以是沒有類別標(biāo)簽y的。回想我們做回歸時(shí)，如果特征太多，那么會(huì)產(chǎn)生不相關(guān)特征引入、過度擬合等問題。我們可以使用PCA來降維，但PCA沒有將類別標(biāo)簽考慮進(jìn)去，屬于無監(jiān)督的。     比如回到上次提出的文檔中含有“l(fā)earn”和“study”的問題，使用PCA后，也許可以將這兩個(gè)特征合并為一個(gè)，降了維度。但假設(shè)我們的類別標(biāo)簽y是判斷這篇文章的topic是不是有關(guān)學(xué)習(xí)方面的。那么這兩個(gè)特征對y幾乎沒什么影響，完全可以去除。  &#

2、160;  再舉一個(gè)例子，假設(shè)我們對一張100*100像素的圖片做人臉識(shí)別，每個(gè)像素是一個(gè)特征，那么會(huì)有10000個(gè)特征，而對應(yīng)的類別標(biāo)簽y僅僅是0/1值，1代表是人臉。這么多特征不僅訓(xùn)練復(fù)雜，而且不必要特征對結(jié)果會(huì)帶來不可預(yù)知的影響，但我們想得到降維后的一些最佳特征（與y關(guān)系最密切的），怎么辦呢？2. 線性判別分析（二類情況）     回顧我們之前的logistic回歸方法，給定m個(gè)n維特征的訓(xùn)練樣例（i從1到m），每個(gè)對應(yīng)一個(gè)類標(biāo)簽。我們就是要學(xué)習(xí)出參數(shù)，使得（g是sigmoid函數(shù)）。     現(xiàn)在

3、只考慮二值分類情況，也就是y=1或者y=0。     為了方便表示，我們先換符號(hào)重新定義問題，給定特征為d維的N個(gè)樣例，其中有個(gè)樣例屬于類別，另外個(gè)樣例屬于類別。     現(xiàn)在我們覺得原始特征數(shù)太多，想將d維特征降到只有一維，而又要保證類別能夠“清晰”地反映在低維數(shù)據(jù)上，也就是這一維就能決定每個(gè)樣例的類別。     我們將這個(gè)最佳的向量稱為w（d維），那么樣例x（d維）到w上的投影可以用下式來計(jì)算       

4、60;  這里得到的y值不是0/1值，而是x投影到直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。     當(dāng)x是二維的，我們就是要找一條直線（方向?yàn)閣）來做投影，然后尋找最能使樣本點(diǎn)分離的直線。如下圖：          從直觀上來看，右圖比較好，可以很好地將不同類別的樣本點(diǎn)分離。     接下來我們從定量的角度來找到這個(gè)最佳的w。     首先我們尋找每類樣例的均值（中心點(diǎn)），這里i只有兩個(gè) &#

5、160;        由于x到w投影后的樣本點(diǎn)均值為          由此可知，投影后的的均值也就是樣本中心點(diǎn)的投影。     什么是最佳的直線（w）呢？我們首先發(fā)現(xiàn)，能夠使投影后的兩類樣本中心點(diǎn)盡量分離的直線是好的直線，定量表示就是：          J(w)越大越好。     但是只考慮J

6、(w)行不行呢？不行，看下圖          樣本點(diǎn)均勻分布在橢圓里，投影到橫軸x1上時(shí)能夠獲得更大的中心點(diǎn)間距J(w)，但是由于有重疊，x1不能分離樣本點(diǎn)。投影到縱軸x2上，雖然J(w)較小，但是能夠分離樣本點(diǎn)。因此我們還需要考慮樣本點(diǎn)之間的方差，方差越大，樣本點(diǎn)越難以分離。     我們使用另外一個(gè)度量值，稱作散列值（scatter），對投影后的類求散列值，如下          從公式中可

7、以看出，只是少除以樣本數(shù)量的方差值，散列值的幾何意義是樣本點(diǎn)的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中。     而我們想要的投影后的樣本點(diǎn)的樣子是：不同類別的樣本點(diǎn)越分開越好，同類的越聚集越好，也就是均值差越大越好，散列值越小越好。正好，我們可以使用J(w)和S來度量，最終的度量公式是          接下來的事就比較明顯了，我們只需尋找使J(w)最大的w即可。     先把散列值公式展開    

8、;      我們定義上式中中間那部分          這個(gè)公式的樣子不就是少除以樣例數(shù)的協(xié)方差矩陣么，稱為散列矩陣（scatter matrices）     我們繼續(xù)定義          稱為Within-class scatter matrix。     那么回到上面的公式，使用替換中間部分，得 &

9、#160;             然后，我們展開分子          稱為Between-class scatter，是兩個(gè)向量的外積，雖然是個(gè)矩陣，但秩為1。     那么J(w)最終可以表示為          在我們求導(dǎo)之前，需要對分母進(jìn)行歸一化，因?yàn)椴蛔鰵w一的話，w擴(kuò)大任何倍，都成立，我

10、們就無法確定w。因此我們打算令，那么加入拉格朗日乘子后，求導(dǎo)          其中用到了矩陣微積分，求導(dǎo)時(shí)可以簡單地把當(dāng)做看待。     如果可逆，那么將求導(dǎo)后的結(jié)果兩邊都乘以，得          這個(gè)可喜的結(jié)果就是w就是矩陣的特征向量了。     這個(gè)公式稱為Fisher linear discrimination。   

11、  等等，讓我們再觀察一下，發(fā)現(xiàn)前面的公式          那么          代入最后的特征值公式得          由于對w擴(kuò)大縮小任何倍不影響結(jié)果，因此可以約去兩邊的未知常數(shù)和，得到          至此，我們只需要求出原始樣本的均值和方差就可以求出最佳

12、的方向w，這就是Fisher于1936年提出的線性判別分析。     看上面二維樣本的投影結(jié)果圖：     3. 線性判別分析（多類情況）     前面是針對只有兩個(gè)類的情況，假設(shè)類別變成多個(gè)了，那么要怎么改變，才能保證投影后類別能夠分離呢？我們之前討論的是如何將d維降到一維，現(xiàn)在類別多了，一維可能已經(jīng)不能滿足要求。假設(shè)我們有C個(gè)類別，需要K維向量（或者叫做基向量）來做投影。     將這K維向量表示為。  

13、0;  我們將樣本點(diǎn)在這K維向量投影后結(jié)果表示為，有以下公式成立               為了像上節(jié)一樣度量J(w)，我們打算仍然從類間散列度和類內(nèi)散列度來考慮。     當(dāng)樣本是二維時(shí)，我們從幾何意義上考慮：          其中和與上節(jié)的意義一樣，是類別1里的樣本點(diǎn)相對于該類中心點(diǎn)的散列程度。變成類別1中心點(diǎn)相對于樣本中心點(diǎn)的協(xié)方差矩陣，

14、即類1相對于的散列程度。     為          的計(jì)算公式不變，仍然類似于類內(nèi)部樣本點(diǎn)的協(xié)方差矩陣          需要變，原來度量的是兩個(gè)均值點(diǎn)的散列情況，現(xiàn)在度量的是每類均值點(diǎn)相對于樣本中心的散列情況。類似于將看作樣本點(diǎn)，是均值的協(xié)方差矩陣，如果某類里面的樣本點(diǎn)較多，那么其權(quán)重稍大，權(quán)重用Ni/N表示，但由于J(w)對倍數(shù)不敏感，因此使用Ni。   &#

15、160;      其中          是所有樣本的均值。     上面討論的都是在投影前的公式變化，但真正的J(w)的分子分母都是在投影后計(jì)算的。下面我們看樣本點(diǎn)投影后的公式改變：     這兩個(gè)是第i類樣本點(diǎn)在某基向量上投影后的均值計(jì)算公式。              

16、下面兩個(gè)是在某基向量上投影后的和               其實(shí)就是將換成了。     綜合各個(gè)投影向量（w）上的和，更新這兩個(gè)參數(shù)，得到               W是基向量矩陣，是投影后的各個(gè)類內(nèi)部的散列矩陣之和，是投影后各個(gè)類中心相對于全樣本中心投影的散列矩陣之和。   

17、0; 回想我們上節(jié)的公式J(w)，分子是兩類中心距，分母是每個(gè)類自己的散列度?，F(xiàn)在投影方向是多維了（好幾條直線），分子需要做一些改變，我們不是求兩兩樣本中心距之和（這個(gè)對描述類別間的分散程度沒有用），而是求每類中心相對于全樣本中心的散列度之和。     然而，最后的J(w)的形式是          由于我們得到的分子分母都是散列矩陣，要將矩陣變成實(shí)數(shù)，需要取行列式。又因?yàn)樾辛惺降闹祵?shí)際上是矩陣特征值的積，一個(gè)特征值可以表示在該特征向量上的發(fā)散程度。因此我們使用行列式來計(jì)算（

18、此處我感覺有點(diǎn)牽強(qiáng)，道理不是那么有說服力）。     整個(gè)問題又回歸為求J(w)的最大值了，我們固定分母為1，然后求導(dǎo)，得出最后結(jié)果（我翻查了很多講義和文章，沒有找到求導(dǎo)的過程）          與上節(jié)得出的結(jié)論一樣          最后還歸結(jié)到了求矩陣的特征值上來了。首先求出的特征值，然后取前K個(gè)特征向量組成W矩陣即可。     注意：由于中的 秩為1

19、，因此的秩至多為C（矩陣的秩小于等于各個(gè)相加矩陣的秩的和）。由于知道了前C-1個(gè)后，最后一個(gè)可以有前面的來線性表示，因此的秩至多為C-1。那么K最大為C-1，即特征向量最多有C-1個(gè)。特征值大的對應(yīng)的特征向量分割性能最好。     由于不一定是對稱陣，因此得到的K個(gè)特征向量不一定正交，這也是與PCA不同的地方。4. 實(shí)例      將3維空間上的球體樣本點(diǎn)投影到二維上，W1相比W2能夠獲得更好的分離效果。         &#

20、160;  PCA與LDA的降維對比：            PCA選擇樣本點(diǎn)投影具有最大方差的方向，LDA選擇分類性能最好的方向。      LDA既然叫做線性判別分析，應(yīng)該具有一定的預(yù)測功能，比如新來一個(gè)樣例x，如何確定其類別？      拿二值分來來說，我們可以將其投影到直線上，得到y(tǒng)，然后看看y是否在超過某個(gè)閾值y0，超過是某一類，否則是另一類。而怎么尋找這個(gè)y0呢？ 

21、     看            根據(jù)中心極限定理，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和符合高斯分布，然后利用極大似然估計(jì)求            然后用決策理論里的公式來尋找最佳的y0，詳情請參閱PRML。      這是一種可行但比較繁瑣的選取方法，可以看第7節(jié)（一些問題）來得到簡單的答案。5. 使用LDA的一些限制

22、      1、 LDA至多可生成C-1維子空間      LDA降維后的維度區(qū)間在1,C-1，與原始特征數(shù)n無關(guān)，對于二值分類，最多投影到1維。      2、 LDA不適合對非高斯分布樣本進(jìn)行降維。            上圖中紅色區(qū)域表示一類樣本，藍(lán)色區(qū)域表示另一類，由于是2類，所以最多投影到1維上。不管在直線上怎么投影，都難使紅色點(diǎn)和藍(lán)色點(diǎn)

23、內(nèi)部凝聚，類間分離。      3、 LDA在樣本分類信息依賴方差而不是均值時(shí)，效果不好。            上圖中，樣本點(diǎn)依靠方差信息進(jìn)行分類，而不是均值信息。LDA不能夠進(jìn)行有效分類，因?yàn)長DA過度依靠均值信息。      4、 LDA可能過度擬合數(shù)據(jù)。6. LDA的一些變種1、 非參數(shù)LDA      非參數(shù)LDA使用本地信息和K臨近樣本

24、點(diǎn)來計(jì)算,使得是全秩的，這樣我們可以抽取多余C-1個(gè)特征向量。而且投影后分離效果更好。2、 正交LDA      先找到最佳的特征向量，然后找與這個(gè)特征向量正交且最大化fisher條件的向量。這種方法也能擺脫C-1的限制。3、 一般化LDA      引入了貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)等理論4、 核函數(shù)LDA      將特征，使用核函數(shù)來計(jì)算。7. 一些問題      上面在多值分類中使用的  

25、;          是帶權(quán)重的各類樣本中心到全樣本中心的散列矩陣。如果C=2（也就是二值分類時(shí)）套用這個(gè)公式，不能夠得出在二值分類中使用的。            因此二值分類和多值分類時(shí)求得的會(huì)不同，而意義是一致的。      對于二值分類問題，令人驚奇的是最小二乘法和Fisher線性判別分析是一致的。     

26、下面我們證明這個(gè)結(jié)論，并且給出第4節(jié)提出的y0值得選取問題。      回顧之前的線性回歸，給定N個(gè)d維特征的訓(xùn)練樣例（i從1到N），每個(gè)對應(yīng)一個(gè)類標(biāo)簽。我們之前令y=0表示一類，y=1表示另一類，現(xiàn)在我們?yōu)榱俗C明最小二乘法和LDA的關(guān)系，我們需要做一些改變            就是將0/1做了值替換。      我們列出最小二乘法公式        &#