六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的仿真研究

1、六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的仿真研究天津工程機(jī)械研究院楊永立摘要：本文分析了六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)分別采用球錢鏈和萬向節(jié)鐵鏈進(jìn)行連接 時(shí)的自由度，運(yùn)用歐拉角、旋轉(zhuǎn)變換的方法推導(dǎo)出位置反解方程，介紹了數(shù)值迭 代法進(jìn)行位置正解的過程。關(guān)鍵詞：并聯(lián)，局部自由度，位置反解，位置正解。1. 簡(jiǎn)介運(yùn)動(dòng)平臺(tái)按結(jié)構(gòu)形式可分為串聯(lián)和并聯(lián)兩大類。與串聯(lián)形式相比，并聯(lián)形式 具有剛度大、承載能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)負(fù)荷小、能實(shí)現(xiàn)包括橫移、縱移、升 沉等多個(gè)口由度運(yùn)動(dòng)等特點(diǎn)。同時(shí)，串聯(lián)形式的優(yōu)點(diǎn)也很明顯，其具有運(yùn)動(dòng)空間 大，測(cè)量精度高，運(yùn)動(dòng)、受力分析相對(duì)簡(jiǎn)單、控制、測(cè)量的實(shí)現(xiàn)相對(duì)容易，且每 個(gè)自由度都能獨(dú)立運(yùn)動(dòng)等特點(diǎn)。六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)（

2、如圖1所示）是由六條油缸通過萬向節(jié)較鏈（或球較鏈）將上、下兩個(gè)平臺(tái)連接而成，下平臺(tái)固定在基礎(chǔ)上，借助六條油缸的伸縮運(yùn)動(dòng)， 完成上平臺(tái)在三維空間六個(gè)口由度（x, y, z, a, b, y ）的運(yùn)動(dòng)，從而可以 模擬出各種空間運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。2. 自由度的確定若在三維空間有n個(gè)完全不受約朿 的物體，任選其中一個(gè)作為固定參照物， 因每個(gè)物體相對(duì)參照物都有6個(gè)運(yùn)動(dòng)門 由度，則n個(gè)物體相對(duì)參照物共有6（n-l） 個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度。若在所有物體之間用運(yùn) 動(dòng)副聯(lián)接起來組成機(jī)構(gòu)，設(shè)第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副 的約束為w （1到5之間的整數(shù)），如果 運(yùn)動(dòng)副的總數(shù)為g,則機(jī)構(gòu)的自由度m為:m = 6(n 一 1)也/=!利用上述公式計(jì)算

3、一下如圖1所示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)（采用球較鏈）的口由度數(shù)。將油 缸分解為缸筒和活塞桿，則總的構(gòu)件數(shù)n=14,油缸與上下平臺(tái)z間的連接為12 個(gè)球較鏈（約束為3）,缸筒和活塞桿構(gòu)成6個(gè)既可以相對(duì)移動(dòng)，又可以相對(duì)轉(zhuǎn) 動(dòng)的運(yùn)動(dòng)副（約束為4）,則平臺(tái)的自由度m為：m = 6(/? 一 i)-弘 =6 (14-1)-(3 x 12+4x6)=18/=i計(jì)算結(jié)果岀人意料，平臺(tái)似乎無法只通過六條油缸進(jìn)行驅(qū)動(dòng)。但是，如果保持上 平臺(tái)和缸筒固雄不動(dòng)，曲球較鏈的特性可知，活塞桿仍然可以相對(duì)其軸線轉(zhuǎn)動(dòng)；同理，缸筒也具有同樣的效應(yīng)。實(shí)踐證明，這種轉(zhuǎn)動(dòng)并不影響上平臺(tái)的空間運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，因此屬于局部自由度。在六口由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際設(shè)計(jì)

4、中，由于球較鏈 的剛度差，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，所以一般采用萬向節(jié)餃鏈（如 圖2所示，約束為4）來代替圖1中的球較鏈，則口出 度m為：8m = 6（ n 一 1）也 =6 （14 1） （4 x 12+4 x 6）=63. 六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)空間姿態(tài)的解算要實(shí)現(xiàn)對(duì)平臺(tái)空間姿態(tài)的控制和測(cè)量，必須掌握它兩個(gè)方向上的解算方法, 即位置反解和位置正解。3.1位置反解（逆向解）:已知輸岀件的位置和姿態(tài)，求解輸入件的位置稱為機(jī)構(gòu)的位置反解。在運(yùn)動(dòng) 平臺(tái)的實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，用戶所給定的一般都是平臺(tái)的六個(gè)空間姿態(tài)參數(shù)x, y,乙q, 0, y,然而要實(shí)現(xiàn)對(duì)平臺(tái)的控制，需要的是六條油缸的長(zhǎng)度li、l2 l6,這正好是已知輸出求

5、輸入，屬于位置反解。也就是說，要實(shí)現(xiàn)對(duì)平臺(tái)空間姿 態(tài)的控制，就必需推導(dǎo)出平臺(tái)的位置反解方程。如圖1所示，在上平臺(tái)建立動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz,在下平臺(tái)建立靜坐標(biāo)系oxy乙那么，上平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)可分解為隨o-xyz坐標(biāo)原點(diǎn)o沿oxyz三個(gè)坐標(biāo)軸方向上 的平移(x、y、z),以及繞他標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)(a, b, y ) o為了避免發(fā)生角度 間的“耦合”，一般采用歐拉角來描述剛體的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，而歐拉幷的定義乂隨旋 轉(zhuǎn)次序的不同而不同。本文將歐拉角定義為依次繞z軸旋轉(zhuǎn)丫，繞y軸旋轉(zhuǎn)b, 繞x軸旋轉(zhuǎn)a o下平臺(tái)各餃點(diǎn)al、a2、-a6的坐標(biāo)(xai,yai,zai)、(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6)和

6、上平臺(tái)各較點(diǎn)al、a2、a6的動(dòng)坐標(biāo) (xal,yal,zai ) >(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6)為已知,只要求出對(duì)應(yīng)姿態(tài)參數(shù) x,y, z, a , b, y的上平臺(tái)各較點(diǎn)的靜坐標(biāo)(xai,yai,zal)、(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6),運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式便可以求出li、l2-l6o以al和al為例來計(jì)算與其相連的油缸的長(zhǎng)度llo在如上所述對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行 分解的情況下，靜坐標(biāo)(xai,yai,zai)和動(dòng)坐標(biāo)(xal,yal,zal)有如下變換公式：具中t是關(guān)丁“ a、b、y的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,公式中只有矩陣t未知，下面就來 = txki+y_&

7、#171;i _z求該旋轉(zhuǎn)變換炬陣。圖3歐拉角坐標(biāo)系根據(jù)木文定義的歐拉角，建立如圖3所示的四個(gè)坐標(biāo)系。-廠乂、。'-巧'、o"-巧"、of w 首先繞z軸旋轉(zhuǎn)y,其變換關(guān)系如下:x=x'cos y y'sin yy= xr sin y + y'cos yz=z'寫成矩陣形式為:xcos/-sin/ysin/cos/z00o- 廠x 廠x0x9y=cxy1fz_z_繞)，'軸旋轉(zhuǎn)b,其變換關(guān)系為:0sin 0xx10xny=bxy"0cos/?z"繞*軸旋轉(zhuǎn)q,其變換關(guān)系為:xn100mxxr=0co

8、s <7-sin axttf y=axy,f,ff_0sin acos afffz_zm _將上述三個(gè)變換公式合并，得:xxy= cxbxaxttf yrtf由上述變換過程可知，在只有旋轉(zhuǎn)，沒有平移的情況下，(x“i,y“i,z汨)等 同于(x,y,z),同為靜坐標(biāo),而(xab yal,zal)等同于(/,*/)，同為動(dòng)坐標(biāo),所以，旋轉(zhuǎn)變換矩陣t=cxbxa=sin crsin/ + cos a sin 0 cos y一 sin a cos y + cos a sin 0 sin ycos a cos cos 0 cos y 一 cos crsin/ + sin a sin 0 cos

9、/ cos i sin / cos a cos y + sina sin /3 sin y-sin 0sin a cos 0將矩陣t代入前面的變換公式，即可求出al的靜坐標(biāo)(xal, yalzal),從而可以求出油缸的長(zhǎng)度li為:厶二 j(x如-x+(打一匕)2 +(z 創(chuàng) _zj2同理可得:a2-xa2)2+(ya2-ya2)2(za2-za2)2s = j(x“6 一乂狀尸 +(打6 一乙6)2 +(z“6 乙處尸3.2位置正解(順向解)：已知機(jī)構(gòu)輸入件的位置，求解機(jī)構(gòu)輸出件的位置和姿態(tài)稱為機(jī)構(gòu)的位置正 解。由于六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)，直接測(cè)量平臺(tái)的六個(gè)自由度的空間姿態(tài) 相當(dāng)困難，但可

10、以通過位移傳感器測(cè)出每條油缸的長(zhǎng)度，再經(jīng)過位置正解間接求 出平臺(tái)的空間姿態(tài)。到目前為止，述沒有直接的正解方程式，只能采用數(shù)值迭代 的方法，利用計(jì)算機(jī)快速運(yùn)算的特點(diǎn)來逼近求解平臺(tái)姿態(tài)。日前所提出的迭代求 解的方法很多，本文所采用的是牛頓法，其基本原理就是將非線性方程組變成線 性方程組，求出近似解，然后在此近似解基礎(chǔ)上進(jìn)一步迭代，逐步逼近非線性方 程組真解。由位置反解方程組可得：fi(x, y, z, a, b, y )=li2- ( xal-xai)2+( yai-yai)2+( zal-zai)2=0 f2(x, y, z, a, b, y )=l22 - ( xa2-xa2)2+( ya2-

11、ya2)2+( za2-za2)2=o f6(x, y, z, ci, 0, y )=l62 - ( xa6-xa6)24-( ya6-ya6)2+( za6-za6)2=0 此時(shí)，六條油缸長(zhǎng)度l】、l2 -l6已知，需耍求解平臺(tái)的空間姿態(tài)x, y,乙a , b, y。設(shè) x=(x, y, z, a , b , y)' , f(x)=(f】()，f2(), f?(),仃()，f5()，f6()， 則位置正解的迭帶公式為：xk+i二xk-f (xk)一】f (xq移項(xiàng)，得到六個(gè)方程六個(gè)未知數(shù)的線性方程組：f (x/ 池+1 - xk)+ f (xao求解方程組便可以得到xk+。選擇適當(dāng)?shù)某跏键c(diǎn)x()(如：x()= (0,0,0,0,0,0)和終 止條件(如：ixk+】xklve,其中e為所求解的精度),經(jīng)過多次迭代便可求出滿 足精度要求的x, y, z, a, b, 丫值。4.結(jié)論本文運(yùn)用solidworks軟件建立了六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的三維模型(如圖4所 示)，并構(gòu)造了與圖3對(duì)應(yīng)的歐拉角坐標(biāo)系(如圖5所示)，分別輸入油缸的長(zhǎng) 度和平臺(tái)的空間姿態(tài)參數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，本文所