最新勾股定理筆記要點

1、精品文檔勾股定理基礎(chǔ)知識匯總一、 已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)直角三角形中的邊角關(guān)系CbahAcBD1兩銳角之間的關(guān)系：AB 90o2.邊與高的關(guān)系： abch3.邊與角之間的特殊關(guān)系：在直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；4.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。二、勾股定理在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。即a2b2c2三、勾股定理逆定理如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。4.勾股數(shù)的幾種表達(dá)方式(1).2n1,2n22n, 2n22n1（畢達(dá)哥拉斯）(2) n2 1,2n,n2 1（柏拉圖）(3) m2 n2 , 2mn,

2、 m2 n2 （丟番圖）請?zhí)骄可鲜鋈齻€表達(dá)式， 思考下列問題（ 1）你能從勾股數(shù) 3,4,5； 5, 12,13； 7,24,25；歸納出畢達(dá)哥拉斯給出的表達(dá)式嗎？這組勾股數(shù)有何特征？（ 2）柏拉圖公式與丟番圖公式之間有何聯(lián)系？與你已經(jīng)學(xué)過的哪些公式有關(guān)聯(lián)？四、勾股數(shù)組1.如果三個正整數(shù) a, b, c 滿足關(guān)系 a2b2c2，那五、勾股定理應(yīng)用（ 1）學(xué)習(xí)過勾股定理之后三角形的特殊關(guān)系么 a, b,c 叫做勾股數(shù)。Ao，那么 a : b : c1: 3:2如果302.勾股數(shù)的性質(zhì)Ao，那么 a : b : c1:1:2如 果 a, b, c 是 勾 股 數(shù) ， k 為 正 整 數(shù) ， 那 么

3、如果45如果 a, b,c 是直角三角形的三條直角邊，那么以 aka, kb, kc 也是勾股數(shù)+ b， c + h， h 的長為邊的三條線段能組成直角三角思考：勾股數(shù)的定義中有何限制？形3.常用勾股數(shù)：如果 a, b,c 是直角三角形的三條直角邊，那么以1， 1， 1 的長為邊的三條線段能組成直角三角形3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；abh精品文檔精品文檔（ 2） 藤繞樹問題的解法我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題： “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高

4、為 20 尺，底面周長為 3 尺，有葛藤自點 A 處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點B 處則問題中葛藤的最短長度是尺（ 4）螞蟻最短路徑問題公式FEFADADEcHGHcbGBaCBbaCFEbEDFaADAcHcHGGb（ 3）長方體盒子對角線的長度公式FEAD六、典型例題HG例 1：我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理， 創(chuàng)制了一幅“弦圖”， 后人稱其為“趙爽弦圖” （如圖（ 1），圖（ 2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形BCABCD 、正方形 EFGH 、正方形 MNKT 的面積分別為 S1、 S2、 S3若正方形 EFGH 的邊長為2，則 S1+S2+S

5、3=【答案】 12精品文檔精品文檔2.如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形， 兩直角邊長分別是 a，b ，斜邊長為 c 和一個邊長為 c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形（ 1）畫出拼成的這個圖形的示意圖（ 2）證明勾股定理3.（ 1）如圖 1 是一個重要公式的幾何解釋請你寫出這個公式；（ 2 ） 如 圖 2 ， Rt ABC RtCDE ，B D 90 ，且 B，C，D 三點共線試證明 ACE90 ；abAbEacacbBb CaD圖 1圖 2（ 3）伽菲爾德（ Garfield ， 1881 年任美國第 20 屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖 2 證明了勾股定理 （ 187

6、6年 4 月 1 日，發(fā)表在新英格蘭教育日志上） ，現(xiàn)請你嘗試該證明過程4.問題情境勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行了證明著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言定理表述請你根據(jù)圖 1 中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述） ：（ 3 分）DcAccbaabBbCEa（圖 1）（圖 2）嘗試證明 以圖 1 中的直角三角形為基礎(chǔ)， 可以構(gòu)造出以 a、b為底， 以 a b 為高的直角梯形 （如圖 2）請你利用圖 2，驗證勾股定理； （ 4 分）知識拓展利用

7、圖 2 中的直角梯形，我們可以證明ab2 其證明步驟如下：cBCab ， AD又在直角梯形ABCD 中有 BCAD（填大小關(guān)系） ，即ab2 （3 分）c精品文檔精品文檔5.給出定義， 若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形（ 1）在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；（ 2）如圖，將 ABC 繞頂點 B 按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到 DBE ，連接 AD，DC ，CE，已知 DCB=30 °求證： BCE 是等邊三角形；求證： DC 2+BC2=AC2，即四邊形ABCD 是勾股四邊形7.閱讀材料：例：說明代數(shù)式x2124

8、 的幾何意義，x 3并求它的最小值解：x212如，x 3圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點P x，0 是 x 軸上一點，x212P 與點 A 01， 的距離，則0可以看成點x3222 可以看成點P與點 B3，2 的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA 與 PB 長度之和，它的最小值就是PAPB 的最小值設(shè)點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點為A，則 PAPA ，因此，求 PAPB 的最小值，只需求PA PB 的最小值，而點A B間的直線段距離最短，所以PA PB的、最小值為線段AB 的長度為此，構(gòu)造直角三角形ACB ，因為A C=3，CB=3 ，所以 AB 3 2 ，即原式的最小值為32 根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（ 1）代數(shù)式x21x2219 的值可以6.在 ABC 中， BC=a,AC=b,AB=c，設(shè) c 為最長邊當(dāng)看成平面直角坐標(biāo)系中點P x，0與點 A 11， 、點a2+b2=c2 時， ABC 是直角三角形；當(dāng)a2+b2 c2 時，利用代數(shù)式 a2+b2 和 c2 的大小關(guān)系，探究 ABC 的形B _ 的距離之和 （填寫點 B 的坐標(biāo)）狀 (按角分類 )（ 2）代數(shù)式x249x212x37 的最小值為(1) 當(dāng) ABC 三邊長分別為6,8,9時， ABC 為_ c2；當(dāng) ABC 三邊長分別為6,8,11 時，