微積分復習教案

1、學習必備歡迎下載第一講 極限理論一 基本初等函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性和圖象，其中函數(shù)圖像是重中之重，由函數(shù)圖像可以輕易的得到函數(shù)的其它要素。二 求極限的各種方法當)(xf為連續(xù)函數(shù)時 ,fdx0, 則有)()(lim00 xfxfxx例 1 計算極限xxxarcsinlim22設nm,為非負整數(shù) ,0,000ba則mnmnbamnaxbxbxbaxaxaxannnnmmmmx當當當,0lim0011101110例 2 計算極限：4213limxxx1679143223limxxxx用兩個重要極限求1sinlim0 xxx（0sinlimxxx，1)()(sinlim0)(xf

2、xfxf）結論：當0 x時，xxxxxarctanarcsintansin，2cos12xx。exxx)11(lim（exxx10)1(lim，exfxfxf)()()(11(lim）實質：外大內(nèi)小，內(nèi)外互倒例 4 計算極限：xxx310)21(limxxx10)sin1(lim未定式的極限（00，0，00，0）羅必達法則例 5 計算極限：xxxlnsinlim0 xxx)(sinlim0)1sin1(lim0 xxx設法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同時有理化等方法）例 6 計算極限：xxx11lim0123lim1xxx用等價無窮小量代換（切記：被代換的部分和其他部分必須是相

3、乘關系?。├?7 計算極限)cos1(tansinlim2220 xxxxx學習必備歡迎下載無窮小量乘有界變量仍是無窮小量。例 8 計算極限：xxx1sinlim2021coslimxxxx三 連續(xù)和間斷 1.連續(xù)的定義 2.間斷點的定義和分類四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（這里有一些證明題值得注意）。第二講 微分學一 導數(shù)概念導數(shù)：00000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx左導數(shù)：00000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx右導數(shù)：00000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx實質 ：差商

4、的極限。例 1 計算極限 ：hxfhxfh)()(lim000 xxxfxfx)()(lim000二 各種求導法導數(shù)公式表（p94）和四則運算法則（p85）例 2 設2sinlog54)(43xxxxfax，求)(xf；例 3 設xxxxxfcscarctansin1)(，求)(xf，)4(f；復合函數(shù)的求導（p90）例 4 求下列函數(shù)的導數(shù)xexf2arctan)(xexftan)(隱函數(shù)求導（方法：把y當作x的函數(shù)，兩邊對x求導）例 5 求下列隱函數(shù)的導數(shù)0yexyxyxyln532對數(shù)求導法（多用于冪指函數(shù)和由多因子相乘構成的函數(shù)的求導）例 6 求下列函數(shù)的導數(shù)xxysin)23)(1(

5、12xxxy由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導重點：由參數(shù)方程)()(tytx確定的函數(shù))(xfy的導數(shù)為)()(ttdxdy；例 7 設ttytxarctan)1ln(，求dxdy；學習必備歡迎下載三 高階導數(shù)例 8 設xyarctan2，求y；例 9 設nxxey，求)(ny；四 微分重點：函數(shù))(xfy的微分是dxxfdy)(例 10 設xexy223，求dy；例 11 設yexy2，求dy；五 單調(diào)性和極值（可能出現(xiàn)證明題）重點：由)( xf的符號可以判斷出)(xf的單調(diào)性；求)(xf的極值方法：求出)( xf，令其為零，得到駐點及不可導點，姑且統(tǒng)稱為可疑極值點；判斷在可疑極值點兩側附近)(

6、xf的符號，若左正右負，則取得極大值；若左負右正，則取得極小值；若同號，則不取得極值。例 12 求函數(shù))1ln( xxy的單調(diào)區(qū)間和極值點。例 13 證明：當02x時，恒有xxsin。六 最值問題求函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的最值之步驟：求出)(xf，令其為零， 得到可疑極值點 （駐點和不可導點） ， 并求出函數(shù)在這些點處的取值；求出函數(shù)在區(qū)間端點取值)(af，)(bf；比較函數(shù)在可疑點和區(qū)間端點上的取值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。例 14 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最值。52)(24xxxf，3 , 211xxy，4,0七 凹凸性和拐點重點：凹凸性概念：設)(xf在區(qū)間),(ba內(nèi)連

7、續(xù)，若對),(,21baxx（21xx） ，有2)()()2(2121xfxfxxf（2)()()2(2121xfxfxxf）則稱)(xf在),(ba內(nèi)是凹函數(shù)（凸函數(shù)） 。 （用此定義可以證明一些不等式，見下例）。由)(xf的符號可以判斷出)(xf的凹凸性。)(xf為正號則)(xf是凹函數(shù)，)(xf為負號則)(xf是凸函數(shù)。判斷)(xf的拐點之方法：求出)( xf，令其為零，得到)(xf等于0的點和)(xf不存在的點； 判斷在這些點兩側附近)( xf的符號， 若為異號， 則該點是拐點；若同號，則該點不是拐點。例 15 求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點。1234xxy3xy例 16 證明：當21xx

8、時，必有221212xxxxaaa（0a） 。學習必備歡迎下載八微分中值定理（容易出現(xiàn)證明題）第三講積分學一 不定積分與原函數(shù)的概念與性質原函數(shù)：若)()(xfxf，則稱)(xf為)(xf的一個原函數(shù)。不定積分：)(xf的全體原函數(shù)稱為)(xf的不定積分，即cxfdxxf)()(，這里)()(xfxf不定積分的性質（p174,共 2 個）特別強調(diào)：cxfdxxf)()(；cxfxdf)()(（切記常數(shù)c不可丟）二 求不定積分的各種方法直接積分法（兩個積分表p174 和 p185）例 3 計算積分：dxxxxx)1(122dxxxxcossin2cos第一換元法（湊微分法）重點：)()()()(

9、)()(xdxgdxxxgdxxfxf整理cxgcugduugxu)()()()(變量還原積分令常用湊微分公式：)(111nnxdndxx，)(21xddxx，)(ln1xddxx，)(cossinxdxdx)(sincosxdxdx，)(tansec2xdxdx，)(cotcsc2xdxdx，)(sectansecxdxdxx，)(csccotcscxdxdxx。例 4 計算積分：xdxtand2cossindxxxx8442241ln(1ln)xdxxx第二換元法重點：dxttfdxxftxdttdx)()()()()(令cxgctgdutgttf)()()(1)()(變量還原積分整理常用換元方法：被積函數(shù)中若有nbax，令nbaxt；若有kx和lx，令mtx，這里m是k，l的最小公倍數(shù)。被積函數(shù)中若有22xa，令taxsin；被積函數(shù)中若有22xa，