高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：3.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域rr值域1,11,1r單調(diào)性遞增區(qū)間：(kz) 遞減區(qū)間：(kz)遞增區(qū)間：2k，2k (kz) 遞減區(qū)間：2k，2k (kz)遞增區(qū)間：(kz)最值x2k(kz)時(shí)，ymax1；x2k(kz)時(shí)，ymin1x2k(kz)時(shí)，ymax1；x2k(k

2、z)時(shí)，ymin1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心(k，0)，kz對(duì)稱中心，kz對(duì)稱中心，kz對(duì)稱軸l：xk，kz對(duì)稱軸l：xk，kz無對(duì)稱軸周期性22易誤提醒1正切函數(shù)的圖象是由直線xk(kz)隔開的無窮多支曲線組成，單調(diào)增區(qū)間是，kz不能說它在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)，如<，但是tan >tan ，正切函數(shù)不存在減區(qū)間2三角函數(shù)存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)易錯(cuò)用“”聯(lián)結(jié)3研究三角函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱中心、奇偶性及對(duì)稱軸時(shí)易忽視“kz”這一條件必記結(jié)論函數(shù)yasin(x)，當(dāng)k(kz)時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)k(kz)時(shí)是偶函數(shù)；函數(shù)yacos(x)，當(dāng)k(kz)時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)k(kz)時(shí)是奇函

3、數(shù)自測(cè)練習(xí)1函數(shù)ytan 3x的定義域?yàn)?)a.b.c.d.解析：由3xk，得x，kz.答案：d2設(shè)函數(shù)f(x)sin，xr，則f(x)是()a最小正周期為的奇函數(shù)b最小正周期為的偶函數(shù)c最小正周期為的奇函數(shù)d最小正周期為的偶函數(shù)解析：f(x)sincos 2x，f(x)是最小正周期為的偶函數(shù)答案：b3已知函數(shù)f(x)sin(>0)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象()a關(guān)于直線x對(duì)稱 b關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱c關(guān)于直線x對(duì)稱 d關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解析：f(x)sin(>0)的最小正周期為，2，即f(x)sin.經(jīng)驗(yàn)證可知fsinsin 0，即是函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)答案：b4函數(shù)y32cos的最大值為

4、_，此時(shí)x_.解析：函數(shù)y32cos的最大值為325，此時(shí)x2k，即x2k(kz)答案：52k(kz)考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域、值域|1函數(shù)y的定義域?yàn)?)a.b.，kzc.，kzdr解析：cos x0，得cos x，2kx2k，kz.答案：c2函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()a1 bc0 d.解析：因?yàn)?x，所以2x，由正弦函數(shù)的圖象知，1sin，所以函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為，故選b.答案：b3已知函數(shù)f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|，則f(x)的值域是_解析：f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|畫出函數(shù)f(x)的圖象(實(shí)線)，如

5、圖，可得函數(shù)的最小值為1，最大值為，故值域?yàn)?答案：1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解2求三角函數(shù)值域(最值)的三種方法(1)將所給函數(shù)化為yasin(x)的形式，通過分析x的范圍，結(jié)合圖象寫出函數(shù)的值域(2)換元法：把sin x(cos x)看作一個(gè)整體，化為二次函數(shù)來解決(3)數(shù)形結(jié)合法，作出三角函數(shù)圖象可求考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性|(2015·高考重慶卷)已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在上的單調(diào)性解(1)f(x)sinsin xcos2xco

6、s xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期為，最大值為.(2)當(dāng)x時(shí)，02x，從而當(dāng)02x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法(1)代換法：求形如yasin(x)k的單調(diào)區(qū)間時(shí)，只需把x看作一個(gè)整體代入ysin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可若為負(fù)，則要先把化為正數(shù)(2)圖象法：作出三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象直接寫出單調(diào)區(qū)間 1已知>0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()a.b.c. d(0,2解析：由<x<得<x<，又

7、ysin t在區(qū)間上遞減，且，解之得.答案：a2求函數(shù)ytan的單調(diào)區(qū)間解：把函數(shù)ytan變?yōu)閥tan.由k<2x<k，kz，得k<2x<k，kz，即<x<，kz.故函數(shù)ytan的單調(diào)減區(qū)間為(kz)考點(diǎn)三三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對(duì)稱性|正、余弦函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形正切函數(shù)的圖象只是中心對(duì)稱圖形，應(yīng)把三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性結(jié)合，體會(huì)二者的統(tǒng)一歸納起來常見的命題角度有：1三角函數(shù)的周期性2三角函數(shù)的奇偶性3三角函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心4三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用探究一三角函數(shù)的周期性1函數(shù)y的最小正周期為_解析：ysin的最小正周期t，t.

8、答案：2(2015·高考湖南卷)已知>0，在函數(shù)y2sin x與y2cos x的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2，則_.解析：由題意，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)間的最短距離即相鄰的兩交點(diǎn)間的距離，設(shè)相鄰的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為p(x1，y1)，q(x2，y2)，易知|pq|2(x2x1)2(y2y1)2，其中|y2y1|()2，|x2x1|為函數(shù)y2sin x2cos x2sin的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離，恰好為函數(shù)最小正周期的一半，所以(2)22(2)2，.答案：探究二三角函數(shù)的奇偶性3若函數(shù)f(x)sin(0,2)是偶函數(shù)，則()a.b.c. d.解析：由ysin是偶函數(shù)知k，kz，

9、即3k，kz，又0,2，.答案：c探究三三角函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心4若函數(shù)ycos(n*)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的最小值為()a1 b2c4 d8解析：由題知k(kz)6k2(kz)min2，故選b.答案：b5函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對(duì)稱軸是()ax bxcx dx解析：正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸過圖象的最高(低)點(diǎn)，故令xk，kz，xk，kz.即k1，則x.答案：c探究四三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用6(2015·揭陽一模)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)sin(x)取得最小值，則函數(shù)yf()a是奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱b是偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱c是奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x對(duì)稱d是偶函數(shù)且圖象關(guān)

10、于直線x對(duì)稱解析：當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，sin1，2k(kz)f(x)sinsin.yfsin(x)sin x.yf是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x對(duì)稱答案：c7(2015·高考天津卷)已知函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)，xr.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則的值為_解析：f(x)sin xcos xsin，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，所以f()sin±，所以2k，kz，即2k，kz，又函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以2，即2，取k0，得2，所以.答案：函數(shù)f(x)asin(x)的奇偶性、周

11、期性和對(duì)稱性(1)若f(x)asin(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大或最小值；若f(x)asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.(2)對(duì)于函數(shù)yasin(x)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線xx0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷11.換元法求三角函數(shù)的最值問題【典例】(1)求函數(shù)ycos2xsin x的最大值與最小值(2)求函數(shù)ysin xcos x3cos xsin x的最值思路點(diǎn)撥利用換元法求解，令tsin x或令tsin xcos x轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解(1)令tsin

12、 x，|x|，t.yt2t12，當(dāng)t時(shí)，ymax，t時(shí)，ymin.函數(shù)ycos2xsin x的最大值為，最小值為.(2)令tsin xcos x，t， 又(sin xcos x)22sin xcos x1，sin xcos x，yt2t，t，t對(duì)，y小f×，y大f().方法點(diǎn)評(píng)(1)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可設(shè)sin xt，再化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)(2)形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可設(shè)tsin x±cos x，再化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)跟蹤練習(xí)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y3sin x2cos2x

13、的最小值是_，最大值是_解析：由x，知sin x1.又y3sin x2cos2x2sin2xsin x122，當(dāng)sin x時(shí)，ymin，當(dāng)sin x1或時(shí)，ymax2.答案：2a組考點(diǎn)能力演練1(2015·唐山期末)函數(shù)f(x)12sin2的最小正周期為()a2 b c. d4解析：f(x)12sin2cos x，f(x)的最小正周期t2，故選a.答案：a2函數(shù)f(x)cos 2x2sin x的最大值與最小值的和是()a2 b0c d解析：f(x)12sin2x2sin x22，所以函數(shù)f(x)的最大值是，最小值是3，所以最大值與最小值的和是，故選c.答案：c3已知函數(shù)ysin x的

14、定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?，則ba的值不可能是()a. b.c d.解析：畫出函數(shù)ysin x的草圖分析知ba的取值范圍為.答案：a4已知函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)，ff0，且f(x)在區(qū)間上遞減，則()a3 b2c6 d5解析：f(x)在上單調(diào)遞減，且ff0，f0，f(x)sin xcos x2sin，ff2sin0，k(kz)，又·，>0，2.答案：b5若函數(shù)f(x)cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且<<，則函數(shù)yf為()a奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增b偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增c偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減d奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)cos(2

15、x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則k，kz.即k，kz，又<<，則，則yfcoscossin 2x，所以該函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故選d.答案：d6(2015·長沙一模)若函數(shù)f(x)2tan的最小正周期t滿足1<t<2，則自然數(shù)k的值為_解析：由題意知，1<<2，即k<<2k.又kn，所以k2或k3.答案：2或37已知函數(shù)f(x)2sin(>0)的最大值與最小正周期相同，則函數(shù)f(x)在1,1上的單調(diào)增區(qū)間為_解析：由題知2，得，f(x)2sin，令2kx2k，kz，解得2kx2k，kz，又x1,1，所以x，所以函數(shù)f(x)在1

16、,1上的單調(diào)遞增區(qū)間為.答案：8已知函數(shù)f(x)cos xsin x(xr)，給出下列四個(gè)命題：若f(x1)f(x2)，則x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱其中真命題的是_解析：f(x)sin 2x，當(dāng)x10，x2時(shí)，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命題；f(x)的最小正周期為，故是假命題；當(dāng)x時(shí)，2x，故是真命題；因?yàn)閒sin，故f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，故是真命題答案：9已知函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期為.(1)求當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)的值；(2)若f(x)的圖象過點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：由f(x)的最小正周

17、期為，則t，2.f(x)sin(2x)(1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，f(x)f(x)sin(2x)sin(2x)，展開整理得sin 2xcos 0，由已知上式對(duì)xr都成立，cos 0，0<<，.(2)f(x)的圖象過點(diǎn)時(shí)，sin，即sin.又0<<，<<.，.f(x)sin.令2k2x2k，kz，得kxk，kz.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kz.10(2016·長沙模擬)設(shè)函數(shù)f(x)sin2cos2.(1)求yf(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，當(dāng)x0,1時(shí)，求函數(shù)yg(x)的最大值解：(1)

18、由題意知f(x)sincos1·sin1，所以yf(x)的最小正周期t6.由2k2k，kz，得6kx6k，kz，所以yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kz.(2)因?yàn)楹瘮?shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，所以當(dāng)x0,1時(shí)，yg(x)的最大值即為x3,4時(shí)，yf(x)的最大值，當(dāng)x3,4時(shí)，x，sin ，f(x)，即當(dāng)x0,1時(shí)，函數(shù)yg(x)的最大值為.b組高考題型專練1(2014·高考陜西卷)函數(shù)f(x)cos的最小正周期是()a. bc2 d4解析：由周期公式t.答案：b2(2015·高考四川卷)下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是()aycos bysincysin 2xcos 2x dysin xcos x解析：采用驗(yàn)證法由ycossin 2x，可知該函數(shù)的最小正周期為且為奇函數(shù)，故選a.答案：a3(2015·高考浙江卷)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，單調(diào)遞減區(qū)間是_解析：由題意知，f(x)sin，所以最小正周期t.令2k2x2k(kz)，得kxk(kz)，故單調(diào)遞減區(qū)間為(kz)答案：(kz)4(2014·高考北京卷)