初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)匯總

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)1. 定義：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常數(shù)，)0a，那么y叫做x的二次函數(shù) . 2. 二次函數(shù)2axy的性質(zhì)（ 1）拋物線2axy的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是y軸. （ 2）函數(shù)2axy的圖像與a的符號關(guān)系 . 當(dāng)0a時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)0a時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn). （ 3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為2axy）（0a. 3. 二次函數(shù)cbxaxy2的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線 .4.二 次函 數(shù)cbxaxy2用 配 方法 可 化 成 ：khxay2的 形式 ， 其 中abackabh4422，. 5. 二

2、次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn). a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)0a時(shí)，開口向上；當(dāng)0a時(shí)，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 平行于y軸（或重合）的直線記作hx. 特別地，y軸記作直線0 x. 7. 頂點(diǎn)決定拋物線的位置. 幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. 8. 求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，頂點(diǎn)是），（abacab4422，對稱軸是直線

3、abx2. （2）配方法： 運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為khxay2的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k) ，對稱軸是直線hx. （3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失. 9. 拋物線cbxaxy2中，cba,的作用（1）a決定開口方向及開口大小，這與2axy中的a完全一樣 . （2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線cbxaxy2的對稱軸是直線abx2，故：0b時(shí)，對稱軸為y軸；0ab（即a、b同號）

4、時(shí)，對稱軸在y軸左側(cè)；0ab（即a、b異號）時(shí)，對稱軸在y軸右側(cè) . （3）c的大小決定拋物線cbxaxy2與y軸交點(diǎn)的位置 . 當(dāng)0 x時(shí)，cy，拋物線cbxaxy2與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c） ：0c，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); 0c, 與y軸交于正半軸；0c, 與y軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則0ab. 10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2axy當(dāng)0a時(shí)開口向上當(dāng)0a時(shí)開口向下0 x（y軸）（0,0 ）kaxy20 x（y軸）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbx

5、axy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知圖像上三點(diǎn)或三對x、y的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：khxay2. 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)1x、2x，通常選用交點(diǎn)式：21xxxxay. 12. 直線與拋物線的交點(diǎn)（1）y軸與拋物線cbxaxy2得交點(diǎn)為 (0, c). 名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)（2）與y軸平行的直線hx與拋物線cbxaxy2有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,cbhah2). （3）拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)cbxaxy2的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1x、2x，

6、是對應(yīng)一元二次方程02cbxax的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線與x軸相切；沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離 . （4）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（ 3）一樣可能有0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是kcbxax2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)0knkxy的圖像l與二次函數(shù)02acbxaxy的圖像g的交點(diǎn)，由方程組cbxaxynkxy2的解的數(shù)目來確定： 方程組有兩組不同的解時(shí)l與g有兩個(gè)交點(diǎn) ; 方程組只有一組

7、解時(shí)l與g只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)l與g沒有交點(diǎn) . （6）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線cbxaxy2與x軸兩交點(diǎn)為0021，xbxa，由于1x、2x是方程02cbxax的兩個(gè)根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxab444222122122121二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常數(shù)，（2）頂點(diǎn)式：)0,()(2akhakhxay是常數(shù)，（3） 當(dāng)拋物線cbxaxy2與 x 軸有交點(diǎn)時(shí)， 即對應(yīng)二次好方程02cbxax有實(shí)根1x和2x存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式)(212xxxxacbxax，二次函數(shù)cbxa

8、xy2可轉(zhuǎn)化為兩根式)(21xxxxay。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)考點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值（10 分） 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值） ，即當(dāng)abx2時(shí)，abacy442最值。如果自變量的取值范圍是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自變量取值范圍21xxx內(nèi)，若在此范圍內(nèi)， 則當(dāng) x=ab2時(shí)，abacy442最值；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在21xxx范圍內(nèi)的增減性， 如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大， 則當(dāng)2xx時(shí)，cbxaxy222最大，當(dāng)1xx時(shí)，cbxaxy121最小； 如果在此范圍內(nèi)， y 隨 x 的增

9、大而減小， 則當(dāng)1xx時(shí)，cbxaxy121最大，當(dāng)2xx時(shí)，cbxaxy222最小。考點(diǎn)四、二次函數(shù)的性質(zhì)（614 分）1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù))0,(2acbacbxaxy是常數(shù)，圖像a0 a0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=ab2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ab2，abac442） ；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)xab2時(shí)， y 隨 x 的增大而增大， 簡記左減右增；（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=ab2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ab2，abac442） ；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)xab2時(shí)，y 隨 x 的增大而減小，簡記左增右減

10、；名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=ab2時(shí)， y 有最小值，abacy442最小值（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=ab2時(shí)， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函數(shù))0,(2acbacbxaxy是常數(shù)，中，cb、a的含義：a表示開口方向：a0時(shí)，拋物線開口向上， ， ，a0 時(shí)，圖像與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0 時(shí)，圖像與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|個(gè)單位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左

11、移；k 值正上移，負(fù)下移” 概括成八個(gè)字“同左上加，異右下減 ” 三、二次函數(shù)2ya xhk與2yaxbxc的比較請將2245yxx利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請將2yaxbxc配成2ya xhk。總結(jié)：從解析式上看，2ya xhk與2yaxbxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)0a向上hk，x=h xh 時(shí)，y隨 x 的增大而增大；xh 時(shí)，y隨x 的增大而減?。粁h 時(shí)，y有最小值 k 0a向下hk，x=h xh時(shí)，y隨 x 的增大而減??；xh時(shí)，y隨x 的增大而增大；xh時(shí)，y

12、有最大值 k 名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)四、二次函數(shù)2yaxbxc圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)2yaxbxc 化為頂點(diǎn)式2()ya xhk，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖. 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0c，、以及0c，關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)2hc，、與 x 軸的交點(diǎn)10 x ，20 x ，（若與 x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）. 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn) . 五、二次函數(shù)2yaxbxc的性質(zhì)1. 當(dāng)0a時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為2bxa，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2424bacbaa，當(dāng)2b

13、xa時(shí)，y隨 x 的增大而減小；當(dāng)2bxa時(shí)，y隨 x 的增大而增大；當(dāng)2bxa時(shí)，y有最小值244acba2. 當(dāng)0a時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為2bxa，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2424bacbaa，當(dāng)2bxa時(shí)，y隨 x的增大而增大；當(dāng)2bxa時(shí)，y隨 x的增大而減小；當(dāng)2bxa時(shí)，y有最大值244acba六、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a， b， c 為常數(shù) ，0a） ；2. 頂點(diǎn)式：2()ya xhk （ a ， h ， k 為常數(shù) ，0a） ；3. 兩根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是拋物線與x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式

14、都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x 軸有交點(diǎn)，即240bac時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)2yaxbxc中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然0a名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn) 當(dāng)0a時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大； 當(dāng)0a時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大總結(jié)起來， a 決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a 確定的前提下，b

15、決定了拋物線的對稱軸 在0a的前提下，當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)； ab 同號同左上加當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線的對稱軸就是y軸；當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè) a,b 異號異右下減 在0a的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)； a,b 異號異右下減當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線的對稱軸就是y軸；當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè) ab 同號同左上加總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置總結(jié)：同左上加異右下減3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng)0c時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)0c時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； 當(dāng)0c時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，c