考點11 導(dǎo)數(shù)的概念及計算-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（文）考點一遍過_20210103224741

1、考點11 導(dǎo)數(shù)的概念及計算1導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2導(dǎo)數(shù)的運算（1）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c（c為常數(shù)），的導(dǎo)數(shù).（2）能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：；. 常用的導(dǎo)數(shù)運算法則：法則1：.法則2：.法則3：.一、導(dǎo)數(shù)的概念1平均變化率函數(shù)從到的平均變化率為，若，則平均變化率可表示為.2瞬時速度一般地，如果物體的運動規(guī)律可以用函數(shù)來描述，那么，物體在時刻的瞬時速度v就是物體在到這段時間內(nèi)，當無限趨近于0時，無限趨近的常數(shù).3瞬時變化率定義式實質(zhì)瞬時變化率是當自變量的改

2、變量趨近于0時，平均變化率趨近的值作用刻畫函數(shù)在某一點處變化的快慢4導(dǎo)數(shù)的概念一般地，函數(shù)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即.【注】函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是在處的瞬時變化率.5導(dǎo)函數(shù)的概念如果函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一個值x，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，記為或，即.二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即.【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點p(x0，y0)，求曲線過點p的切線，則需分點p(x0，y0)是

3、切點和不是切點兩種情況求解（1）當點p(x0，y0)是切點時，切線方程為yy0=f (x0)(xx0)；（2）當點p(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點坐標p(x1，f (x1)；第二步：寫出過p(x1，f (x1)的切線方程為yf (x1)=f (x1)(xx1)；第三步：將點p的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程yf (x1)=f (x1)(xx1)，可得過點p(x0，y0)的切線方程三、導(dǎo)數(shù)的計算1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)導(dǎo)數(shù)f (x)=c(c為常數(shù))=f (x)=sin xf (x)=cos xf (x)=ln x2導(dǎo)數(shù)的運算法

4、則（1）.（2）.（3）.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f (u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx=yu·ux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積考向一 導(dǎo)數(shù)的計算1導(dǎo)數(shù)計算的原則和方法（1）原則：先化簡解析式，使之變成能用八個求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商，再求導(dǎo)（2）方法：連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)；分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).2求復(fù)合函

5、數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和方法步驟（1）關(guān)鍵環(huán)節(jié)：中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)；正確分析出復(fù)合過程；一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)；善于把一部分表達式作為一個整體；最后結(jié)果要把中間變量換成自變量的函數(shù).（2）方法步驟：分解復(fù)合函數(shù)為基本初等函數(shù)，適當選擇中間變量；求每一層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；每層函數(shù)求導(dǎo)后，需把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù).典例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1），；（2）由題得，則.（3）.（4）.【名師點睛】熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運算法則是正確求導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ).（1）運用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和運算法則求函數(shù)在開區(qū)間(a,b

6、)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的基本步驟：分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征；選擇恰當?shù)那髮?dǎo)公式和運算法則求導(dǎo)；整理得結(jié)果.（2）對較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時，先化簡再求導(dǎo).如對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是根式或分式時，可用對數(shù)的性質(zhì)將真數(shù)轉(zhuǎn)化為有理式或整式求解更為方便；對于三角函數(shù)，往往需要利用三角恒等變換公式，將函數(shù)式進行化簡，使函數(shù)的種類減少，次數(shù)降低，結(jié)構(gòu)盡量簡單，從而便于求導(dǎo). 1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是abcd2已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于abcd考向二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線y=f (x)的切線方程的類型及方法（1）已知切點p(x0, y0)，求y=f (x)過點p的切線方程：求出切線的斜率f (x0)，由點斜式寫出方程；（2）已

7、知切線的斜率為k，求y=f (x)的切線方程：設(shè)切點p(x0, y0)，通過方程k=f (x0)解得x0，再由點斜式寫出方程；（3）已知切線上一點(非切點)，求y=f (x)的切線方程：設(shè)切點p(x0, y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f (x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，最后由點斜式或兩點式寫出方程（4）若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關(guān)系確定切線的斜率，再由k=f (x0)求出切點坐標(x0, y0)，最后寫出切線方程（5）在點p處的切線即是以p為切點的切線，p一定在曲線上.過點p的切線即切線過點p，p不一定是切點因此在求過點p的切線

8、方程時，應(yīng)首先檢驗點p是否在已知曲線上典例2 已知函數(shù).（1）求這個函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若過點的直線與這個函數(shù)圖象相切，求直線的方程.【解析】（1），當時，這個函數(shù)的圖象在處的切線方程為.（2）設(shè)直線與這個函數(shù)的圖象的切點為，則直線的方程為，由直線過點，得，則直線的斜率為，從而直線的方程為.【規(guī)律總結(jié)】求切線方程的步驟：(1)利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)(2)求斜率(3)寫出切線方程注意導(dǎo)數(shù)為0和導(dǎo)數(shù)不存在的情形 3若為奇函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為abcd1函數(shù)f(x)=2x在x=0處的導(dǎo)數(shù)是a0 b1cln2 d1ln22若曲線在點處的切線的斜率為，則a2b3c4d53已知函數(shù)f(x)

9、的圖象如圖，f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是a0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)b0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)c0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)d0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)4設(shè)是上的偶函數(shù)，當時，則在處的切線方程為abcd5已知在上連續(xù)可導(dǎo)，為其導(dǎo)函數(shù)，且，則abc0d6放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同

10、位素銫137的衰變過程中，其含量m(單位：太貝克)與時間t(單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系：，其中為時銫137的含量，已知時，銫137含量的變化率為(太貝克/年)，則a5太貝克 b太貝克 c太貝克 d150太貝克7已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有a0b1c2d38設(shè)過曲線f(x)=ex+x+2a（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點處的切線為l1，總存在過曲線g(x)=a2(1-2x)-2sinx上一點處的切線l2，使得l1l2，則實數(shù)a的取值范圍為a-1,1 b-2,2c-1,2 d-2,19已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，且滿足fx=2xf'e+lnx，則f'e=_10曲線y=a

11、ex+2的切線方程為2x-y+6=0，則實數(shù)a的值為_11若點p是函數(shù)y=圖象上任意一點，直線l為點p處的切線，則直線l斜率的取值范圍是_12已知曲線，求:（1）曲線在點處的切線方程；（2）曲線過點的切線方程.13已知函數(shù)的圖象過點，且在點處的切線方程為（1）求和的值；（2）求函數(shù)的解析式1（2019年高考全國卷文數(shù)）曲線y=2sinx+cosx在點(，-1)處的切線方程為ab cd2（2019年高考全國卷文數(shù)）已知曲線在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則a ba=e，b=1c d，3（2018年高考全國卷文數(shù)）設(shè)函數(shù).若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為abcd4（2019年高考全

12、國卷文數(shù)）曲線在點處的切線方程為_5（2019年高考天津文數(shù)）曲線在點處的切線方程為_.6（2018年高考天津文數(shù)）已知函數(shù)f(x)=exlnx，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f （1）的值為_7（2018年高考全國卷文數(shù)）曲線在點處的切線方程為_8（2017年高考全國卷文數(shù)）曲線在點（1，2）處的切線方程為_9（2017年高考天津文數(shù)）已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為_10（2019年高考江蘇）在平面直角坐標系中，p是曲線上的一個動點，則點p到直線的距離的最小值是 .11（2019年高考北京文數(shù)節(jié)選）已知函數(shù)（）求曲線的斜率為1的切線方程；12（2018年高考

13、全國卷文數(shù)節(jié)選）已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；變式拓展1【答案】c【解析】根據(jù)題意，其導(dǎo)數(shù)，故選c【名師點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)運算法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算法則求解即可.2【答案】a【解析】由可得，當時，解得：，則，故，故選a.【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是理解為一個常數(shù)，考查學(xué)生的基本的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時，對求導(dǎo)，取，求出，再取，即可求出.3【答案】d【解析】是奇函數(shù)，.曲線在處的切線的斜率為4.故選d.【名師點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查求導(dǎo)和切線的斜率的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.求解時，先根據(jù)函

14、數(shù)的奇偶性求出a=2，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率.考點沖關(guān)1【答案】c【解析】因為fx=2x,所以f'x=ln2×2x,則f'0=ln2×20=ln2，故選c2【答案】d【解析】，故選d.【名師點睛】本題考查了曲線的切線方程，熟悉函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的幾何意義以及求導(dǎo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求解時，先求其導(dǎo)函數(shù)，再將x=1代入其斜率為，可得答案.3【答案】c【解析】結(jié)合函數(shù)的圖象可知過點a(2,f(2)的切線的傾斜角較大，過點b(3,f(3)的切線的傾斜角較小，又因為過點a(2,f(2)的切線的斜率k1=f'(2)，過點b(3,f(3)的切線的斜率k

15、2=f'(3)，直線ab的斜率kab=f(3)-f(2)3-2=f(3)-f(2)，故f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)，應(yīng)選c.4【答案】d【解析】由是上的偶函數(shù)得，當時，則，故在處的切線方程為，即，故選d.【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線問題，一般是先求切線的斜率，再利用點斜式求解切線.解答本題時，結(jié)合偶函數(shù)的特點先求出時的解析式，然后再求解處的切線.5【答案】c【解析】對x求導(dǎo)數(shù)得，f （x）=f （x），所以f （x）是r上的奇函數(shù)，則f （0）0，f （2）f （2），即f （2）+f （2）0，所以f 

16、9;（2）+f '（2）f '（0）f '（1）0，故選c【名師點睛】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的計算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.求解時，根據(jù)條件判斷函數(shù)f （x）的奇偶性，利用奇偶性的性質(zhì)進行求解即可6【答案】d 【解析】因為，所以，解得.所以，所以時，銫137的含量為（太貝克）.7【答案】c【解析】若直線與曲線切于點，則，又，解得，過點與曲線相切的直線方程為或，故選c【名師點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題

17、求解本題時，設(shè)切點為，則，由于直線經(jīng)過點，可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程8【答案】c【解析】因為切線l1，l2的切點分別為(x1,f(x1),(x2,g(x2),而f'(x)=ex+1,g'(x)=-a-2cosx，所以f'(x1)=ex1+1,g'(x2)=-a-2cosx2.因為l1l2，所以(ex1+1)(-a-2cosx2)=-1，a+2cosx2=1ex1+1.因為1ex1+1(0，1），a+2cosx2a-2,a+2，所以(0，1)a-2,a+2，因此0a-2,a+21，則-1a2，選c9【

18、答案】-e-1【解析】求導(dǎo)得f'x=2f'e+1x，把x=e代入得f'e=e-1+2f'e，解得f'e=-e-110【答案】2【解析】根據(jù)題意，設(shè)曲線y=aex+2與2x-y+6=0的切點的坐標為（m，aem+2），導(dǎo)數(shù)為y'=aex+2，則切線的斜率k=aem+2 ，又由切線方程為2x-y+6=0，即y=2x+6，則k=aem+2=2，則切線的方程為y-aem+2=aem+2（x-m）， 又由aem+2=2，得切線方程為y-2=2（x-m），即y=2x-2m+2， 則有-2m+2=6，解得m=-2，則切點的坐標為（-2，2），則有2=a

19、5;e-2+2，a=2. 11【答案】【解析】 1sin2x1，01+sin2x2，則，直線l斜率的取值范圍是1，+）故答案為【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線的斜率問題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).求解時，先求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，導(dǎo)數(shù)的范圍就是切線的斜率的范圍. 12【解析】（1）的導(dǎo)數(shù)為，所以曲線在點處的切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即為.（2）設(shè)切點為，所以，所以切線方程為，所以，所以，所以，所以切線方程為.【名師點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，求切線的方程，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查直線的點斜式方程，屬于基礎(chǔ)題（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令求得切線

20、的斜率，由點斜式方程即可得到切線的方程；（2）設(shè)切線的切點(a，)，再利用已知求出a的值得解.13【解析】（1）在點處的切線方程為，故點在切線上，且切線斜率為，得且 （2）過點，由得，又由，得，聯(lián)立方程得，解得，故直通高考1【答案】c【解析】則在點處的切線方程為，即故選c【名師點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題學(xué)生易在非切點處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點，設(shè)出切點，再求導(dǎo)，然后列出切線方程2【答案】d【解析】切線的斜率，將代入，得.故選d【名師點睛】本題

21、求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點在曲線上得到含有a，b的等式，從而求解，屬于?？碱}型.3【答案】d【解析】因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f'(x)=3x2+1，所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f'(0)x，化簡可得y=x.故選d.【名師點睛】該題考查的是有關(guān)曲線y=f(x)在某個點(x0,f(x0)處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結(jié)論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函數(shù)不存在奇次項，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)

22、公式求得f'(x)，借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點斜式求得結(jié)果.4【答案】【解析】所以切線的斜率，則曲線在點處的切線方程為，即【名師點睛】準確求導(dǎo)數(shù)是進一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導(dǎo)數(shù)的運算法則掌握不熟，而導(dǎo)致計算錯誤求導(dǎo)要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求5【答案】【解析】，故所求的切線方程為，即.【名師點睛】曲線切線方程的求法：（1）以曲線上的點(x0，f(x0)為切點的切線方程的求解步驟：求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；求切線的斜率f(x0)；寫出切線方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化簡（2）如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程6【答案】e【解析】由函數(shù)的解析式可得f'(x)=ex×lnx+ex×1x=exlnx+1x，則f'(1)