人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：點(diǎn)線面的位置關(guān)系與平行關(guān)系_20210103224739

1、點(diǎn)線面的位置關(guān)系與平行關(guān)系知識講解一、點(diǎn)線面的位置關(guān)系用集合表示：1）點(diǎn)在直線上，記作：；點(diǎn)不在直線上，記作；2）點(diǎn)在平面內(nèi)，記作：；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作；3）直線在平面內(nèi)（即直線上每一個點(diǎn)都在平面內(nèi)），記作；4）直線不在平面內(nèi)（即直線上存在不在平面內(nèi)的點(diǎn)），記作；5）直線和相交于點(diǎn)，記作，簡記為；6）平面與平面相交于直線，記作二、平面的三個公理及推論1.三個公理：1） 公理一：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)圖形語言表述：如右圖：符號語言表述：2） 公理二：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面，也可以簡單地說成，不共線的三點(diǎn)確定一個平面圖形語言表述

2、：如右圖，符號語言表述：三點(diǎn)不共線有且只有一個平面，使3）公理三：如果不重合的兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個點(diǎn)的公共直線圖形語言表述：如右圖： 符號語言表述：如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線叫做兩個平面的交線2.三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面3.共面：如果空間中幾個點(diǎn)或幾條直線可以在同一平面內(nèi)，那么我們說它們共面4.重要方法：1）證明三點(diǎn)均在兩個平面的交線上，可以推證三點(diǎn)共線2）證明直線共面通常的方法：先由其中兩條直線確定一個平面，再證

3、明其余的直線都在此平面內(nèi)（納入法）；分別過某些點(diǎn)作多個平面，然后證明這些平面重合（重合法）；也可利用共面向量定理來證明3）公理是證明直線共點(diǎn)的依據(jù)，應(yīng)該這樣理解：如果、是交點(diǎn)，那么是交線；如果兩個不同平面有三個或者更多的交點(diǎn)，那么它們共面；如果，點(diǎn)是a、b的一個公共點(diǎn)，那么三、直線與直線位置關(guān)系1.直線與直線的位置關(guān)系：1）兩直線共面：如果兩條直線在同一平面內(nèi)（即平行或相交），則兩直線共面2）兩直線異面：如果兩直線不同在任何一個平面內(nèi)，則兩直線異面2.求兩條異面直線所成的角：首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）證算”注意，

4、異面直線所成角的范圍是；求異面直線所成角的方法：平移法：一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對邊、梯形的平行對邊、三角形的中位線進(jìn)行平移向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,則兩異面直線所成的角；補(bǔ)體法3.兩條異面直線的公垂線：1）定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做異面直線的公垂線；2）證明：異面直線公垂線的證明常轉(zhuǎn)化為證明公垂線與兩條異面直線分別垂直4.兩條異面直線的距離：1）定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度2）計算方法：公垂線法； 轉(zhuǎn)化成線面距離(點(diǎn)面距離)； 轉(zhuǎn)化成面面距離 空間向量法四、直線與平面的位置關(guān)系1.直線與平面的位置關(guān)系：1）直線在平面內(nèi)：直線上所有的

5、點(diǎn)都在平面內(nèi)，記作，如圖；2）直線與平面相交：直線與平面有一個公共點(diǎn)；記作，如圖；3）直線與平面平行：直線與平面沒有公共點(diǎn)，記作，如圖2.平行線：在同一個平面內(nèi)不相交的兩條直線平行公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行公理（空間平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等3.空間四邊形：順次連結(jié)不共面的四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形這四個點(diǎn)叫做空間四邊形的頂點(diǎn)；所連結(jié)的相鄰頂點(diǎn)間的線段叫做空間四邊形的邊；連結(jié)不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做空間四邊形的對角線如下圖中的空間四邊形，它有四條邊，兩條對角線其中；是三對異面直

6、線五、平面與平面的位置關(guān)系兩個平面平行：沒有公共點(diǎn)，記為；畫兩個平行平面時，一般把表示平面的平行四邊形畫成對應(yīng)邊平行，如右圖：兩個平面相交，有一條交線，六、平行關(guān)系線面平行面面平行判定如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個平面平行符號語言圖形語言性質(zhì)如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和兩平面的交線平行如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行符號語言圖形語言七、垂

7、直關(guān)系線面垂直面面垂直判定如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行其他性質(zhì)：（1）一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線（2）推論1：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面；（3）推論2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行；（4）垂直于同一直線的兩個平面平行（1）兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個

8、平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面定理可簡記為：面面垂直線面垂直（2）定理：兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩相交平面的交線垂直于第三個平面經(jīng)典例題一選擇題（共8小題）1如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是bc1，cd1的中點(diǎn)，則下列說法錯誤的是（）amncc1bmn平面acc1a1cmnabdmn平面abcd【解答】解：在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別是bc1，cd1的中點(diǎn)，以d為原點(diǎn)，da為x軸，dc為y軸，dd1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體abcda1b1c1d1中，棱長為2，則b（2，2，0），c1（0，2，2），m（1，2，1），d

9、1（0，0，2），c（0，2，0），n（0，1，1），mn=（1，1，0），cc1=（0，0，2），mncc1=0，mncc1，故a正確；a（2，0，0），ac=（2，2，0），acmn=22+0=0，acmn，又mncc1，accc1=c，mn平面acc1a1，故b成立；ab=（0，2，0），mn=（1，1，0），mn和ab不平行，故c錯誤；平面abcd的法向量n=（0，0，1），mnn=0，又mn平面abcd，mn平面abcd，故d正確故選：c2如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為b1c1，c1d1的中點(diǎn)，點(diǎn)p是底面a1b1c1d1內(nèi)一點(diǎn)，且ap平面efdb，則 tana

10、pa1的最大值是（）a22b1c2d22【解答】解：連結(jié)ac、bd，交于點(diǎn)o，連結(jié)a1c1，交ef于m，連結(jié)om，設(shè)正方形abcda1b1c1d1中棱長為1，在正方形abcda1b1c1d1中，e，f分別為b1c1，c1d1的中點(diǎn)，點(diǎn)p是底面a1b1c1d1內(nèi)一點(diǎn)，且ap平面efdb，ao=pm，a1p=c1m=ac4=24，tanapa1=aa1a1p=124=22tanapa1的最大值是22故選：d3如圖是某幾何體的平面展開圖，其中四邊形abcd為正方形，e，f分別為pa，pd的中點(diǎn)在此幾何體中，以下結(jié)論一定成立的是（）a直線 bepfb直線ef平面pbcc平面bce平面padd直線pb與

11、dc所成角為60°【解答】解：如圖所示，連接ef，bepf顯然不正確，是異面直線；e、f分別為pa、pd的中點(diǎn)，efad，adbc，efbc，直線ef平面pbc，選項b正確；efbc，ef平面pbc，bc平面pbc，由于不能推出線面垂直，故平面bce平面pad不成立選項c不正確；直線pb與dc所成角就是pb與ab所成角，不確定為60°，選項d不正確；故選：b4有一正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）木料abca1b1c1，其各棱長都為2，已知q1，q2分別為上，下底面的中心，m為q1q2的中點(diǎn)，過a，b，m三點(diǎn)的截面把該木料截成兩部分，則截面面積為（）a7b1639c3194

12、d2【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；正三棱柱abca1b1c1中，各棱長都為2，m為q1q2的中點(diǎn)，過a，b，m三點(diǎn)的截面為等腰梯形abef，理由如下，取ef的中點(diǎn)p，連接dp，由對稱性知dp交q1q2于點(diǎn)m，mdq2mpq1，由正三角形的中心性質(zhì)知，ef=13a1b1=23，梯形的高為pd=22+(233)2=433，則截面面積為s=12×（23+2）×433=1639故選：b5棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中，e為棱ad中點(diǎn)，過點(diǎn)b1，且與平面a1be平行的正方體的截面面積為（）a5b25c26d6【解答】解：取bc中點(diǎn)f，a1d1中點(diǎn)g，連結(jié)df、b

13、1f、db1、dg、gb1，gf，棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中，e為棱ad中點(diǎn)，bedf，a1egd，又a1ebe=e，dgdf=d，a1e、be平面a1be，dg、df平面dfb1g，過點(diǎn)b1，且與平面a1be平行的正方體的截面為四邊形dfb1g，df=fb1=b1g=dg=4+1=5，db1=4+4+4=23，gf=25-3=22，過點(diǎn)b1，且與平面a1be平行的正方體的截面面積為：s菱形fb1gd=12×db1×gf=12×23×22=26故選：c6已知兩個平行平面，直線l，過l上一點(diǎn)p作與l所成角為40°的直線m，則直線m

14、與的交點(diǎn)m的軌跡是（）a橢圓b拋物線c雙曲線d圓【解答】解：兩個平行平面，直線l，過l上一點(diǎn)p作與l所成角為40°的直線m，l是旋轉(zhuǎn)軸，m是母線，平面平面，截面平行于旋轉(zhuǎn)軸，直線m與的交點(diǎn)m的軌跡是雙曲線故選：c7如圖，已知四邊形abcd是邊長為1的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且md=nb=1，e為mc的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）a平面bce平面abnbmcanc平面cmn平面amnd平面bde平面amn【解答】解：分別過a，c作平面abcd的垂線ap，cq，使得ap=cq=1，連接pm，pn，qm，qn，將幾何體補(bǔ)成棱長為1的正方體bc平面abn，bc平面bce

15、，平面bce平面abn，故a正確；連接pb，則pbmc，顯然pban，mcan，故b正確；取mn的中點(diǎn)f，連接af，cf，acamn和cmn都是邊長為2的等邊三角形，afmn，cfmn，afc為二面角amnc的平面角，af=cf=62，ac=2，af2+cf2ac2，即afc2，平面cmn與平面amn不垂直，故c錯誤；dean，mnbd，平面bde平面amn，故d正確故選：c8下列說法中錯誤的是（）如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直，那么該直線與這個平面必相交；如果一條直線和平面內(nèi)的兩條平行線垂直，那么該直線必在這個平面內(nèi)；如果一條直線和平面的一條垂線垂直，那么該直線必定在這個平面內(nèi)；如果一條

16、直線和一個平面垂直，那么該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線abcd【解答】解：在中，如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直，那么該直線與這個平面相交、平行或該直線在該平面內(nèi)，故錯誤；在中，如果一條直線和平面內(nèi)的兩條平行線垂直，那么該直線與平面相交、平行或在這個平面內(nèi)，故錯誤；在中，如果一條直線和平面的一條垂線垂直，那么該直線與平面相交、平行或在這個平面內(nèi)，故錯誤；如果一條直線和一個平面垂直，那么由線面垂直的性質(zhì)定理得該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線，故正確故選：d二填空題（共2小題）9在幾何體pabc中，pab是正三角形，平面pab平面abc，且ab=bc=2，abbc，則pabc外接球的表面積等于283【

17、解答】解：pab是正三角形，所以三棱錐的外接球的球心一定在三角形pab的中心的垂線上，因為平面pab平面abc，所以作go平面pab，abbc，外接球的球心也在平面abc的重心的垂線上，作oe平面abc交ac于e，o為外接球的球心，由題意可知ec=1，gd=13×32×2=33，外接球的半徑為：oc=(33)2+(2)2=73外接球的表面積為：4×(73)2=283故答案為：28310如圖，已知球o的面上有四點(diǎn)a、b、c、d，da平面abc，abbc，da=ab=bc=2，則球o的體積等于6【解答】解：取cd的中點(diǎn)m，連接ma，mb，da平面abc，bc平面abc

18、，bcad，又bcab，abad=a，bc平面abd，又bd平面abd，bcbd，acd，abd都是直角三角形，ma=mb=mc=md，m為外接球的球心，ad=ab=bc=2，bd=2，cd=4+2=6，外接球半徑為r=62外接球的體積v=43(62)3=6故答案為：6三解答題（共6小題）11如圖，在直三棱柱abca1b1c中，已知acb=90°，bc=cc1，e，f分別為ab，aa1的中點(diǎn)（1）求證：直線ef平面bc1a1；（2）求證：efb1c【解答】證明：（1）由題知，ef是aa1b的中位線，所以efa1b（2分）由于ef平面bc1a1，a1b平面bc1a1，所以ef平面bc1

19、a1（6分）（2）由題知，四邊形bcc1b1是正方形，所以b1cbc1（8分）又a1c1b1=acb=90°，所以a1c1c1b1在直三棱柱abca1b1c1中，cc1平面a1c1b1，a1c1平面a1c1b1，從而a1c1cc1，又cc1c1b1=c1，cc1，c1b1平面bcc1b1，所以a1c1平面bcc1b1，又b1c平面bcc1b1，所以a1c1b1c.（10分）因為a1c1bc1=c1，a1c1，bc1平面bc1a1，所以b1c平面bc1a1（12分）又a1b平面bc1a1，所以b1ca1b又由于efa1b，所以efb1c（14分）12如圖，在四棱錐pabcd中，adb=

20、90°，cb=cd，點(diǎn)e為棱pb的中點(diǎn)（1）若pb=pd，求證：pcbd；（2）求證：ce平面pad【解答】證明：（1）取bd的中點(diǎn)o，連結(jié)co，po，因為cd=cb，所以cbd為等腰三角形，所以bdco因為pb=pd，所以pbd為等腰三角形，所以bdpo又poco=o，所以bd平面pco因為pc平面pco，所以pcbd解：（2）由e為pb中點(diǎn)，連eo，則eopd，又eo平面pad，所以eo平面pad由adb=90°，以及bdco，所以coad，又co平面pad，所以co平面pad又coeo=o，所以平面ceo平面pad，而ce平面ceo，所以ce平面pad13如圖，已知p

21、a垂直于矩形abcd所在的平面，m，n分別是ab，pc的中點(diǎn)，若pda=45°，（1）求證：mn平面pad；（2）求證：mn平面pcd【解答】證明：（1）如圖，取pd的中點(diǎn)e，連接ae，nee、n分別為pd，pc的中點(diǎn)，en=12cd，又m為ab的中點(diǎn)，am=12cd，en=am，四邊形amne為平行四邊形mnae，mn平面pad（5分）（2）pa平面abcd，pda=45°，pad為等腰直角三角形，aepd，又cdad，cdpa，adpa=a，cd平面pad，ae平面pad，cdae，又cdpd=d，ae平面pcd，mn平面pcd（10分）14如圖，在三棱錐pabc中，p

22、a=pb=ab=2，bc=3，abc=90°，平面pab平面abc，d，e分別為ab，ac中點(diǎn)（1）求證：de平面pbc；（2）求證：abpe；（3）求三棱錐pbec的體積【解答】證明：（1）d，e分別為ab，ac的中點(diǎn)，debc，又de平面pbc，bc平面pbc，de平面pbc（2）連接pd，debc，又abc=90°，deab，又pa=pb，d為ab中點(diǎn)，pdab，又pdde=d，pd平面pde，de平面pde，ab平面pde，又pe平面pde，abpe（3）平面pab平面abc，平面pab平面abc=ab，pdab，pd平面pab，pd平面abc，pab是邊長為2的等

23、邊三角形，pd=3，e是ac的中點(diǎn)，vp-bec=12vp-abc=12×13×12×2×3×3=3215如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為直角梯形，adcb，adc=90°，平面pad底面abcd，q為ad的中點(diǎn)，bc=12ad，m是棱pc上的點(diǎn)（）求證：平面pqb平面pad；（）若pa=pd=2，bc=1，cd=3，異面直線ap與bm所成角的余弦值為277，求pmpc的值【解答】證明：（）adbc，bc=12ad，q為ad的中點(diǎn)四邊形bcdq為平行四邊形，cdbqadc=90°，aqb=90°，即qbad又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=adbq平面padbq平面pqb，平面pqb平面pad解：（）pa=pd，q為ad的中點(diǎn)，pqad平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=adpq平面abcd以q為原點(diǎn)分別以qa、qb、qp為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則q（0，0，0），a（1，0，0），p(0，0，3)，b(0，3，0)，c(-1，