高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.3直線與平面的夾

1、1.2.3 直線與平面的夾角學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解斜線和平面所成的角的定義，體會(huì)夾角定義的唯一性、合理性2會(huì)求直線與平面的夾角( 重點(diǎn)、難點(diǎn) ) 通過(guò)學(xué)習(xí)空間線面角，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)傾斜的大樹，因傾斜而聞名的斜塔，高昂的塔克炮筒，發(fā)射導(dǎo)彈的壯觀場(chǎng)面在這些畫面中都讓我們依稀看到了直線與平面相交的影子，如果把大樹、斜塔、炮筒、導(dǎo)彈抽象成直線，把地面抽象成平面，怎樣來(lái)刻畫直線相對(duì)于平面的傾斜程度？1直線和平面所成的角2最小角定理3用空間向量求直線與平面的夾角如果v是直線l的一個(gè)方向向量，n是平面的法向量，設(shè)直線l與平面所成角的大小為，則2v，n或v，n2，特別地 cos sin

2、 v，n或 sin |cos v，n| 思考：直線l的方向向量s與平面的法向量n的夾角一定是直線和平面的夾角嗎？ 提示 不是直線和平面的夾角為2s，n1思考辨析 ( 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1) 直線與平面的夾角不是銳角就是直角( ) (2) 斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角是銳角( ) (3) 斜線與平面的夾角為 0,90 ( ) (4) 直線與平面的夾角為 0,90 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 提示 (1) 錯(cuò)誤，角的度數(shù)還可以是零度(2) 根據(jù)線面角的定義知正確(3) 斜線與平面的夾角為 (0,90 ) (4) 正確2若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120

3、，則直線l與平面所成的角等于 ( ) a120b60c30 d以上均錯(cuò)c 設(shè)直線l與平面所成的角為，則 sin | cos 120| 12，又090，30 3已知向量m，n分別為直線l和平面的方向向量、 法向量， 若 cosm，n32，則直線l與平面所成的角為 _60 設(shè)直線l與平面所成的角為，則sin |cos m，n | 32又0,90 ，60 4在正方形abcd-a1b1c1d1中，cb1與平面aa1c1c所成角的大小為_30 如圖，連接b1d1交a1c1于o， 連接oc， 因?yàn)閹缀误w是正方體， 所以ob1平面aa1c1c，所以b1co是cb1與平面aa1c1c所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1

4、，則ob122，cb12，sin b1co22212，可得b1co30即cb1與平面aa1c1c所成角的大小為30 公式 cos cos 1cos 2的應(yīng)用【例 1】boc在平面內(nèi)，oa是平面的一條斜線，若aobaoc60，oaoboca，bc2a，求oa與平面所成的角 思路探究 根據(jù)定義或cos cos 1cos 2求解 解法一：oaoboca，aobaoc60，abaca又bc2a，ab2ac2bc2abc為等腰直角三角形同理boc也為等腰直角三角形取bc中點(diǎn)為h，連接ah，oh，ah22a，oh22a，aoa，ah2oh2ao2aho為等腰直角三角形ahoh又ahbc，ohbch，ah平

5、面oh為ao在平面內(nèi)的射影，aoh為oa與平面所成的角在 rtaoh中， sin aohahao22aoh45oa與平面所成的角為45法二：aobaoc60，oa在內(nèi)的射影為boc的平分線，作boc的角平分線oh交bc于h又oboca，bc2a，boc90故boh45，由公式cos cos 1cos 2，得 cosaohcosaobcosboh22，oa與平面所成的角為45求線面角的關(guān)鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉(zhuǎn)化為平面角在本例中，也可以直接作ahbc于h，進(jìn)而證明ah平面，從而證明h是點(diǎn)a在平面內(nèi)的射影解法二則靈活應(yīng)用公式cos cos 1cos 2求線面角

6、，也是常用的方法 跟進(jìn)訓(xùn)練 1如圖所示，在四棱錐p-abcd中，abcd是正方形，pd平面abcd若pbc60，求直線pb與平面abcd所成的角 解由題意得cbd45，pbd即為直線pb與平面abcd所成的角cospbccos coscbd，pbc60即 cos 60 cos cos 45 ， cos 22，45用定義法解決直線與平面的夾角問(wèn)題 探究問(wèn)題 1用定義法求直線與平面夾角的關(guān)鍵是什么？ 提示 尋找直線與平面的夾角，即準(zhǔn)確確定直線在平面內(nèi)的投影2定義法求直線與平面夾角的基本思路是什么？ 提示 若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，則直線與平面的夾角為0；若直線與平面垂直，則直線與平面的夾角為

7、2；若直線與平面相交但不垂直，設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為o，在直線上任取異于o點(diǎn)的另一點(diǎn)p，過(guò)p作平面的垂線pa，a為垂足，則oa即為直線在平面內(nèi)的投影，aop即為直線與平面的夾角，然后通過(guò)解三角形求出直線與平面夾角的大小【例 2】如圖所示，在三棱錐p-abc中，pa平面abc，paab，abc60，bca90(1) 求證：bc平面pac；(2) 若d為pb的中點(diǎn)，試求ad與平面pac夾角的正弦值 思路探究 (1) 證明bc和平面pac內(nèi)的兩條相交直線垂直(2) 作出ad在平面pac內(nèi)的射影后，構(gòu)造三角形求解 解(1) 因?yàn)閜a平面abc，bc? 平面abc，所以pabc又bca90，所以acbc，

8、又ac? 平面pac，pa? 平面pac，paaca，所以bc平面pac(2) 取pc的中點(diǎn)e，連接de因?yàn)閐為pb的中點(diǎn)，所以debc，所以de平面pac連接ae，則ae是ad在平面pac內(nèi)的投影，所以dae是直線ad與平面pac的夾角設(shè)paaba，在直角三角形abc中因?yàn)閍bc60，bca90，所以bca2，dea4，在直角三角形abp中，ad22a，所以 sin daedeada422a24即ad與平面pac夾角的正弦值為241( 變問(wèn)法 ) 若本例條件不變，問(wèn)題(2) 改為：d為pb上的一點(diǎn)，且bd13pb，試求ad與平面pac夾角的正弦值 解由已知bcac，bcpa，acpaa，所以

9、bc平面pac，bcpc，過(guò)pb的三等分點(diǎn)d作debc，則de平面pac，連接ae，ad，則dae為ad與平面pac的夾角，不妨設(shè)paab1，因?yàn)閍bc60，所以bc12，de231213，pb2，bd23在abd中，ad2ab2bd22abbdcos 4559， ad53， 所以 sin daedead135355即ad與平面pac夾角的正弦值為552( 改問(wèn)法 ) 若本例的題 (2) 條件不變，求ad與平面pbc的夾角的正弦值，結(jié)果如何？ 解由例題 (1) 知bc平面pac，所以平面pac平面pbc過(guò)a作aepc所以ae平面pbc連接ed，則ade為ad與平面pbc的夾角設(shè)pa2a，ab2

10、a，所以pb22a故ad2a在apc中，ap2a，acabsin 60 2a323a，所以pc3a24a27a，設(shè)acp，則aeacsin acappc3a2a7a237a2217a，所以 sin adeaead221a72a427即ad與平面pbc夾角的正弦值為427用定義法求直線與平面的夾角找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角( 或夾角的某一三角函數(shù)值) 用向量求直線與平面所成的角【例 3】如圖，在直三棱柱a1b1c1-abc中，acbc，acbc1，cc1 2，點(diǎn)m是a1b1的中點(diǎn)(1) 求證：b1c平面ac1m；(2) 求aa1與平面ac1m所成角的正弦

11、值 解(1) 證明：在直三棱柱a1b1c1-abc中，acbc，acbc1，cc12，點(diǎn)m是a1b1的中點(diǎn)以c為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則b1(0,1,2)，c(0,0,0)，a(1,0,0)，c1(0,0,2)，a1(1,0,2)，m12，12，2 ，b1c(0 ，1，2) ，ac1( 1,0,2) ，am 12，12，2 ，設(shè)平面ac1m的法向量n(x，y，z) ，則nac1x2z0，nam12x12y2z 0，取z 1，得n(2 ， 2,1) ，b1cn0，b1c?平面ac1m，b1c平面ac1m(2)aa1(0,0,2)，平面ac1m的法向量n(2 ， 2,1) ，設(shè)aa1與

12、平面ac1m所成角為，則aa1與平面ac1m所成角的正弦值：sin |aa1n|aa1| |n|22313，所以aa1與平面ac1m所成角的正弦值為13用向量法求線面角的步驟(1) 建立空間直角坐標(biāo)系；(2) 求直線的方向向量ab；(3) 求平面的法向量n；(4) 計(jì)算：設(shè)線面角為，則 sin |nab|n| |ab| 跟進(jìn)訓(xùn)練 2已知棱臺(tái)abc-a1b1c1，平面aa1c1c平面a1b1c1，b1a1c160，a1b1c190，aa1accc1a1c12，d，e分別是bc和a1c1的中點(diǎn)(1) 證明：deb1c1；(2) 求de與平面bcc1b1所成角的余弦值 解(1) 證明：過(guò)點(diǎn)a作ao平

13、面a1b1c1，交a1c1于點(diǎn)o，連接b1o，設(shè)aa1accc1a1c12 2，則a1o1，a1b12，b1oa1c1，b1o3，以o為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則b32，12，3 ，c(0,2 ， 3) ，d34，54，3 ，e()0，1，0，b1(3， 0,0) ，c1(0,3,0)，de 34，14，3 ，b1c1( 3，3,0) ，又deb1c10，deb1c1(2)cb1(3， 2，3) ，cc1(0,1 ，3) ，設(shè)平面bcc1b1的法向量n(x，y，z) ，則ncb13x2y3z0，ncc1y3z0，取y3，得n(3 ，3，1) ，de 34，14，3 ，設(shè)de與平面bc

14、c1b1所成角為，則 sin |den|de| |n|4313cos 1431321113de與平面bcc1b1所成角的余弦值為11131知識(shí)：掌握線面角的概念以及最小角定理2方法： ( 轉(zhuǎn)化思想 ) 利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的關(guān)系首先要找出并利用空間直角坐標(biāo)系或基向量( 有明顯的線面垂直關(guān)系時(shí)盡量建系) 表示出向量，其次理清要求角和兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系1若直線l與平面所成角為3，直線a在平面內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是( ) a 0，23b2，23c3，23d3，2d 由最小角定理知直線l與直線a所成的最小角為3，又l，a為異面直線

15、，則所成角的最大值為2 2已知長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中，abbc4，cc12，則直線bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值為 ( ) a32b52c105d1010c 連接a1c1交b1d1于o點(diǎn)，由已知得c1ob1d1，且平面bdd1b1平面a1b1c1d1，c1o平面bdd1b1，連接bo，則bo為bc1在平面bdd1b1上的射影，c1bo即為所求c1o1242 4222，bc1422225，sin c1boc1obc12225105 3若平面的一個(gè)法向量為(1,1,1)，直線l的方向向量為(0,3,4)，則l與所成角的正弦值為 _7315 設(shè)l與平面所成的角為，則 sin |1 01314|302324273257315 4在正三棱錐p-abc中，pa4，ab3，則側(cè)棱pa與底面abc所成角的正弦值為_154 如圖，在正三棱錐p-abc中，pa4，ab3，設(shè)p在底面上的射影為o，則o為abc的中心，由已知求得ao1，又pa4，po421215sin paopopa154即側(cè)棱pa與底面abc所成角的正弦值為154 5在正四棱錐