高中數(shù)學(xué)專題數(shù)列求和學(xué)案(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5數(shù)學(xué)學(xué)案

1、專題數(shù)列求和目標(biāo) 1.記住數(shù)列求和的幾種常用方法；2.會用數(shù)列求和的幾種常用方法解答一些數(shù)列求和問題重點(diǎn) 數(shù)列求和的方法及應(yīng)用難點(diǎn) 對數(shù)列求和方法的理解知識點(diǎn)數(shù)列的求和方法填一填 1 公式法 (分組求和法 ) 如果一個數(shù)列的每一項是由幾個獨(dú)立的項組合而成，并且各獨(dú)立項也可組成等差或等比數(shù)列，則該數(shù)列的前n 項和可考慮拆項后利用公式求解2 裂項相消求和法對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數(shù)列，在求和時常用“裂項法”，分式的求和多利用此法可用待定系數(shù)法對通項公式進(jìn)行拆項，相消時應(yīng)注意消去項的規(guī)律，即消去哪些項，保留哪些項，常見的拆項公式有：1n n k1k (1n1n k)；若 an為等差數(shù)列，公

2、差為d，則1an an11d(1an1an1)；1n 1nn 1n等3 錯位相減法若數(shù)列 an為等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應(yīng)項乘積組成的新數(shù)列為 anbn，當(dāng)求該數(shù)列的前n 項的和時，常常采用將anbn的各項乘以公比q，然后錯位一項與 anbn的同次項對應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯位相減法4 倒序相加法如果一個數(shù)列an，與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加求和法類型一分組求和法求和例 1已知數(shù)列 an的前 n 項和 snn2 n2，nn*. (1)求

3、數(shù)列 an 的通項公式；(2)設(shè) bn2an(1)nan，求數(shù)列 bn的前 2n 項和解(1)當(dāng) n1 時， a1 s11；當(dāng) n2 時，ansnsn 1n2n2n12 n12n. an1 也適合 an n. 綜上可知數(shù)列an的通項公式為ann. (2)由(1)知 bn2n(1)nn. 記數(shù)列 bn的前 2n 項和為 t2n，則 t2n(2122 22n) (12 342n)記 a2122 22n，b 12 342n，則 a2 122n12 22n12，b(12)( 34) (2n1)2nn. 故數(shù)列 bn的前 2n 項和 t2nab22n1n 2. 如果一個數(shù)列的通項公式可寫成cnan bn

4、的形式，而數(shù)列an，bn是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可采用分組求和法. 變式訓(xùn)練1求數(shù)列 112，314， 518，2n1 12n的前 n 項和解： sn112 3145182n 1 12n(135 2n1)12141812n12n1 n212112n112n2112n. 類型二裂項相消法求和例 2sn為數(shù)列 an的前 n 項和已知an0，a2n2an4sn3. (1)求 an的通項公式；(2)設(shè) bn1anan1，求數(shù)列 bn的前 n 項和分析 (1)利用已知的關(guān)系式構(gòu)造一個新的等式，兩式相減消去sn，轉(zhuǎn)化為an與 an1之間的遞推關(guān)系求解(2)將(1)中得到的通項代入

5、求出bn的通項，再利用裂項相消法求和解(1)由 a2n2an4sn3，可知 a2n12an 14sn13.，得a2n1a2n2(an1an)4an 1，即 2(an 1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由 an0，得 an 1an2. 又 a212a14a13，解得 a1 1(舍去 )或 a13. 所以 an是首項為3，公差為2 的等差數(shù)列，通項公式為an2n 1. (2)由 an2n1 可知bn1anan 112n1 2n31212n112n3. 設(shè)數(shù)列 bn的前 n 項和為 tn，則tnb1b2bn1213151517 12n 112n3n3 2n 3. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列

6、中的每項通項 分解，然后重新組合使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的.利用裂項法的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項，考察是否能分解成兩項的差，這兩項一定要是同一數(shù)列相鄰相間 的兩項，即這兩項的結(jié)論應(yīng)一致. 變式訓(xùn)練2已知等差數(shù)列an滿足： a3 7，a5 a7 26，an的前 n 項和為 sn. (1)求 an及 sn；(2)令 bn1a2n1(nn*)，求數(shù)列 bn 的前 n 項和 tn. 解： (1)設(shè)等差數(shù)列 an的首項為a1，公差為d，由于 a3 7，a5a726， a1 2d7,2a110d26，解得 a1 3，d2. 由于 an a1 (n1)d，snn a1 an2， an 2n1， snn

7、(n2)(2) an2n1， a2n 14n(n 1)，因此 bn14n n1141n1n1. 故 tnb1 b2bn. 1411212131n1n 11411n1n4 n1. 數(shù)列bn 的前 n 項和 tnn4 n1. 類型三錯位相減法求和例 3已知 an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1 a2 6，a1a2a3. (1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2) bn為各項非零的等差數(shù)列，其前n 項和為 sn.已知 s2n1 bnbn1，求數(shù)列bnan的前 n項和 tn. 解(1)設(shè) an的公比為q，由題意知： a1(1 q)6，a21qa1q2，又 an0，解得 a12，q2，所以 an2n. (2

8、)由題意知：s2n 12n1 b1 b2n 12 (2n1)bn 1，又 s2n1bnbn1，bn10，所以 bn2n1. 令 cnbnan，則 cn2n12n. 因此 tnc1 c2cn325227232n 12n12n 12n，又12tn3225237242n12n2n 12n1，兩式相減得12tn3212122 12n12n12n1，所以 tn52n 52n. 一般地，如果數(shù)列 an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an bn的前 n 項和時，可采用錯位相減法.,在寫出 “sn”與 “qsn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊 ”以便下一步準(zhǔn)確寫出“snqsn” 的表達(dá)式 . 變式訓(xùn)練

9、3在數(shù)列 an 中， a11，點(diǎn) (an，an1)在直線 xy2 0 上(1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2)已知 tna12a222a323an2n，求 tn. 解： (1)由條件知anan 120， an1an2. 數(shù)列an 是以 1 為首項， 2 為公差的等差數(shù)列 an 12(n1)2n1. (2)tn123225232n12n，12tn1223235242n12n1.由得12tn12222223 22n2n12n13212n12n12n1， tn 312n22n12n. 類型四倒序相加法求和例 4已知定義在r 上的函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(1 008,2)數(shù)列 an的前 n 項和

10、為 sn，且滿足anf(n)，n n*.求 s2 015. 解由條件得f(21 008x)f(x) 22，即 f(2 016x)f(x)4. 于是有 a2 016nan4(n n*)又 s2 015a1a2a3a2 014a2 015，s2 015a2 015a2 014a2 a1. 兩式相加得2s2 015(a1a2 015)(a2 a2 014)(a2 014 a2)(a2 015a1) 2 015(a1a2 015)2 015 4. 故 s2 0152 01524 030. 如果一個數(shù)列的前n 項中，距首末兩項“等距離 ”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n 項和變式訓(xùn)練4設(shè)

11、 f(x)12x2，求 f(5)f(4) f(0) f(5)f(6)的值解： f(x)12x2，f(1x)121x22x22 2x12 2x22x， f(x)f(1 x)112 2x22x22， f(x)f(1 x)正好是一個定值設(shè)所求式子的和為s，則 2s2212， s3 2. 類型五并項法求和例 5已知數(shù)列 an滿足 a12，anan12n3，求數(shù)列 an的前 n 項和 sn. 分析 本題如果由遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項，再求前n 項和，則過程較繁由遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，可考慮相鄰兩項并項求和，此時需對n 的奇偶性作分類討論解當(dāng) n 為偶數(shù)時，sn(a1a2)(a3a4)(an 1an) (213)(233)2(n1)3 21 3 (n1)3n2n23n2. 當(dāng) n 為奇數(shù)時，sna1(a2 a3)(a4a5)(an1an) 2(22 3) (243) 2(n1)3 2224(n1) 3n12n23n62. 故數(shù)列 an的前 n 項和為 snn2 3n2，n為偶數(shù)，n2 3n62， n為奇數(shù) .在數(shù)列中有相鄰兩項或幾項