高中數(shù)學(xué)2.5等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案新人教版必修5-新人教版高二必修5數(shù)學(xué)學(xué)案

1、等比數(shù)列及其前n 項(xiàng)和【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等比數(shù)列的定義，理解等比中項(xiàng)的概念；掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)；2. 掌握等比數(shù)列的性質(zhì)和前n 項(xiàng)和公式及公式證明思路；會(huì)用它們靈活解決有關(guān)等比數(shù)列的問題；3. 能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；4. 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列 . 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（0q） ，即：1(0)nnaq qa. 要點(diǎn)詮釋：由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每

2、一項(xiàng)均不為0，因此 q 可不能是0；“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)q”，這里的項(xiàng)具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個(gè)；隱含條件：任一項(xiàng)0na且0q；“0na”是數(shù)列na成等比數(shù)列的必要非充分條件；常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列。不為0 的常數(shù)列是公比為1 的等比數(shù)列；證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)*1(0)nnaq nnqa，. 利用這種形式來判定，就便于操作了. 要點(diǎn)二、等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a、g、b成等比數(shù)列，那么稱數(shù)g為a與b的等比中項(xiàng) . 其中g(shù)ab。要點(diǎn)詮釋：只有當(dāng)a與b同號(hào)即0ab時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)， 且a與b有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng). 當(dāng)a與b異號(hào)或有

3、一個(gè)為零即0ab時(shí)，a與b沒有等比中項(xiàng)。任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)， 且當(dāng)a與b確定時(shí)，等差中項(xiàng)2abc唯一 . 但任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b不一定有等比中項(xiàng)，且當(dāng)a與b有等比中項(xiàng)時(shí)，等比中項(xiàng)不唯一。當(dāng)0ab時(shí)，a、g、b成等比數(shù)列2gbgabgabag。2gab是a、g、b成等比數(shù)列的必要不充分條件。要點(diǎn)三、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為1a，公比為q的等比數(shù)列na的通項(xiàng)公式為：111(*0)nnaaqnnaq，推導(dǎo)過程：（1）歸納法：根據(jù)等比數(shù)列的定義1nnaqa可得1(2)nnaaq n：2 1211aa qa q；23 132111()aa qa q qa qa q；234 1

4、43111()aa qa qqa qa q；111(2)nnnaaqa qn當(dāng) n=1 時(shí)，上式也成立歸納得出：111(*0)nnaaqnnaq，（2）疊乘法：根據(jù)等比數(shù)列的定義1nnaqa可得：21aqa，32aqa，43aqa，1nnaqa，把以上1n個(gè)等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡(jiǎn)得：11nnaqa，即11(2)nnaa qn又 a1也符合上式111(*0)nnaaqnnaq，. (3) 迭代法：2211221nnnnnaaqaqaqa q111(*0)nnaaqnnaq，. 要點(diǎn)詮釋：通項(xiàng)公式由首項(xiàng)1a和公比q完全確定，一旦一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比確定，該等比數(shù)列就唯一確定了

5、 . 通項(xiàng)公式中共涉及1a、n、q、na四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程，便可求出第四個(gè)量. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣已知等比數(shù)列na中，第m項(xiàng)為ma，公比為q，則：n mnmaaq證明： 11nnaaq，11mmaaq1111nnmnmmaaqqaaqn mnmaaq由 上 可 知 ， 等 比 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 可 以 用 數(shù) 列 中 的 任 一 項(xiàng) 與 公 比 來 表 示 ， 通 項(xiàng) 公 式111(*0)nnaaqnnaq，可以看成是1m時(shí)的特殊情況。要點(diǎn)四、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式1 等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式111(1)(1)(1)11nnnnaqsaa qaqqqq推導(dǎo)

6、過程：（1）利用等比性質(zhì)由等比數(shù)列的定義，有qaaaaaann12312根據(jù)等比性質(zhì)，有qasasaaaaaannnnn1121321(1)nnq saa q當(dāng)1q時(shí)，qqaasnn11或qqasnn1)1(1. （2）錯(cuò)位相減法等比數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和123nnsaaaa，當(dāng)1q時(shí)，1naa，1231nnsaaaana；當(dāng)1q時(shí)，由11nnaa q得：22111111nnnsaa qa qa qa q23111111nnnqsa qa qa qa qa q1111(1)1nnnnq saa qaa qaq（）qqaasnn11或qqasnn1)1(1. 即111(1)(1)(1)11nnn

7、naqsaa qaqqqq要點(diǎn)詮釋：錯(cuò)位相減法是一種非常常見和重要的數(shù)列求和方法，適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列求和問題，要求理解并掌握此法. 在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，要注意區(qū)分1q和1q. 當(dāng)1q時(shí)，等比數(shù)列的兩個(gè)求和公式，共涉及1a、n、q、na、ns五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程組，便可求出其余兩個(gè)量. 要點(diǎn)五、等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列na的公比為q若, ,m n p qn，且mnpq, 則mnpqaaaa，特別地，當(dāng)2mnp時(shí)2mnpaaa. 下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ka,kma,2kma, 組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為mq. 若na，nb是項(xiàng)數(shù)相

8、同的等比數(shù)列，則2na、21na、nka（k是常數(shù)且0k） 、1na、mna(mn,m是常數(shù) ) 、nnba、nnab也是等比數(shù)列；連續(xù)k項(xiàng)和（不為零）仍是等比數(shù)列. 即ks,2kkss,32kkss，成等比數(shù)列. 要點(diǎn)六、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列na中，111nnnaaaqqq，若設(shè)1acq, 則：nnac q（1）當(dāng)1q時(shí)，nac，等比數(shù)列na是非零常數(shù)列。它的圖象是在直線yc上均勻排列的一群孤立的點(diǎn) . （2）當(dāng)01qq且時(shí)，等比數(shù)列na的通項(xiàng)公式nnac q是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)；它的圖象是分布在曲線1xayqq（01qq且）上的一些孤立的點(diǎn). 當(dāng)1q且10a時(shí)，等比數(shù)列na是遞增數(shù)

9、列；當(dāng)1q且10a時(shí)，等比數(shù)列na是遞減數(shù)列；當(dāng)01q且10a時(shí)，等比數(shù)列na是遞減數(shù)列；當(dāng)01q且10a時(shí)，等比數(shù)列na是遞增數(shù)列。（3）當(dāng)0q時(shí)，等比數(shù)列na是擺動(dòng)數(shù)列。要點(diǎn)詮釋： 常數(shù)列不一定是等比數(shù)列，只有非零常數(shù)列才是公比為1 的等比數(shù)列 . 【典型例題】類型一：等比數(shù)列的定義【高清課堂：等比數(shù)列及其前n 項(xiàng)和 381054 典型例題例1】例 1設(shè)na是公比為q的等比數(shù)列，1q，令1nnba1,2,n，若數(shù)列nb有連續(xù)四項(xiàng)在集合53, 23,19,37,82中，則6q【答案】 9 【解析】由題知na有連續(xù)的四項(xiàng)在集合54, 24,18,36,81中，則必有 -54 ，-24 為相隔兩

10、項(xiàng)，又1q2549244q，32q69q【總結(jié)升華】此例中要注意等比數(shù)列項(xiàng)的特征，找到關(guān)鍵的兩項(xiàng)54, 24，問題就可迎刃而解了. 舉一反三：【變式】如果1, , , , 9a b c成等比數(shù)列，那么（）a.3,9bac b.3,9bacc.3,9bac d.3,9bac【答案】 b 例 2. 已知數(shù)列na的首項(xiàng)為1122,1,2,3,31nnnaaana，【思路點(diǎn)撥】本題的變形中要有極強(qiáng)的目標(biāo)意識(shí)。證明：數(shù)列11na是等比數(shù)列 . 【解析】由12,1nnnaaa得，111111.222nnnnaaaa11111(1),2nnaa又11212,133aa數(shù)列11na是首項(xiàng)為12，公比為12的等

11、比數(shù)列 . 【總結(jié)升華】證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，要緊扣定義，這里是采用了轉(zhuǎn)化與化歸的策略. 舉一反三：【變式】已知數(shù)列na中111,230(2).nnaaan判斷數(shù)列1na是等比數(shù)列，并說明理由【答案】1na是等比數(shù)列111,230(2).nnaaan112(1)nnaa，數(shù)列1 na是首項(xiàng)為2，公比為 -2 的等比數(shù)列類型二：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例 3已知等比數(shù)列na，若1237aaa，1238a a a，求na. 【思路點(diǎn)撥】等比數(shù)列的計(jì)算，一般優(yōu)先考慮使用性質(zhì)，使計(jì)算簡(jiǎn)捷?！窘馕觥?2nna或32nna；法一： 2132a aa，312328a a aa，22a從而13135,4aaa

12、 a解之得11a，34a或14a，31a當(dāng)11a時(shí)，2q；當(dāng)14a時(shí)，12q。故12nna或32nna。法二 ：由等比數(shù)列的定義知21aa q，231aa q代入已知得2111211178aa qa qaa q a q21331(1)7,8aqqa q211(1)7,(1)2(2)aqqa q將12aq代入（ 1）得22520qq，解得2q或12q由（ 2）得112aq或1412aq，以下同方法一【總結(jié)升華】列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零） . 舉一反三：【變式 1

13、】an為等比數(shù)列，a1=3，a9=768，求 a6?！敬鸢浮?96法一： 設(shè)公比為q，則 768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；法二： a52=a1a9a5=48q=2，a6=96?！咀兪?2】an為等比數(shù)列，an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值?！敬鸢浮?64；21894516a aa，又 an 0，a45=4 34445464564a a aa。類型三：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式例 4求等比數(shù)列1 11, ,3 9的前 6 項(xiàng)和?！敬鸢浮?64243；【解析】11a，13q，6n666111331364112324313s【總結(jié)升華】等比數(shù)列中1, , ,n

14、na n q s a中的“知三求二”主要還是運(yùn)用方程的思想解決. 舉一反三：【變式 1】設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn，若 s3+s6=2s9，求數(shù)列的公比q. 【解析】若q=1，則有 s3=3a1，s6=6a1，s9=9a1. 【答案】342q因 a10，得 s3+s62s9，顯然 q=1 與題設(shè)矛盾，故q1.由3692sss得，369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得 q3(2q6-q3-1)=0 ，由 q0，得 2q6-q3-1=0 ，從而 (2q3+1)(q3-1)=0 ，因 q31，故312q，所以342q?！咀兪?2】在等比數(shù)列na中，166naa

15、，21128naa，126ns，求n和q?！敬鸢浮?2q或 2，6n；211nnaaaa，1128na a解方程組1112866nna aaa，得1642naa或1264naa將1642naa代入11nnaa qsq，得12q，由11nnaa q，解得6n；將1264naa代入11nnaa qsq，得2q，由11nnaa q，解得6n。12q或 2，6n。類型四：靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)例 5. 在83和272之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_?！敬鸢浮?216；【思路點(diǎn)撥】等比數(shù)列的計(jì)算，一般優(yōu)先考慮使用性質(zhì)，如果不宜用性質(zhì)，則回歸為基本量a1、q 的問題，列出 a

16、1、q 的方程組?！窘馕觥糠ㄒ唬?設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為na，其公比為q，183a，445127823aa qq，48116q，294q23362341111aaaa q a qa qaq33389621634。法二： 設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為na，公比為q，則183a，5272a，加入的三項(xiàng)分別為2a，3a，4a，由題意1a，3a，5a也成等比數(shù)列，238273632a，故36a，23234333216aaaaaa【總結(jié)升華】法一注重了等比數(shù)列中的特征量q 的求解，；法二中注重了等比中項(xiàng)的特征. 舉一反三：【變式 1】等比數(shù)列na中，若569aa, 求3132310loglog.logaaa. 【答案】

17、10 na是等比數(shù)列，110293847569aaaaaaaaaa1032313logloglogaaa553123103563log ()log ()log 910aaaaaa【變式 2】若等比數(shù)列na滿足nnnaa161，則公比為（）（ a）2 （b）4 （c）8 （ d）16 【答案】 b 類型五：等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的性質(zhì)例 6已知等比數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和為 sn, 且 s10=10, s20=40, 求： s30=？【思路點(diǎn)撥】等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k 項(xiàng)和，第2 個(gè) k項(xiàng)和，第3 個(gè) k 項(xiàng)和，第n 個(gè) k 項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。

18、【答案】 130；【解析】法一： s10，s20-s10， s30-s20構(gòu)成等比數(shù)列， (s20-s10)2=s10(s30-s20) 即 302=10(s30- 40), s30=130. 法二： 2s10s20，1q, 101)1(10110qqas,20120(1)401aqsq, 102011,14qq103q, 511qa 130)31)(5(1)1(330130qqas. 【總結(jié)升華】性質(zhì)的應(yīng)用有些時(shí)候會(huì)更方便快捷. 舉一反三：【變式 1】等比數(shù)列na中，公比q=2, s4=1, 則 s8=_. 【答案】 17；s8=s4+a5+a6+a7+a8=s4+a1q4+a2q4+a3q

19、4+a4q4=s4+q4(a1+a2+a3+a4)=s4+q4s4=s4(1+q4)=1(1+24)=17 【變式 2】在等比數(shù)列na中，已知48ns，260ns，求3ns。【答案】 63【變式 3】等比數(shù)列na中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 則 a5+a6=_. 【答案】 4；令 b1=a1+a2=a1(1+q) ，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知： b1, b2, b3成等比數(shù)列，b3=122bb=324362=4, 即 a5+a6=4. 【變式 4】等比數(shù)列na中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求

20、a7+a8+a9的值。【答案】 448；an 是等比數(shù)列， (a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3, q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例 7已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32，則成等差數(shù)列. 若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列. 求原來的三個(gè)數(shù). 【思路點(diǎn)撥】恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提. 考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式. 【解析】法一： 設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d, a,a+d. 則 a-d, a, a+d+32成等比數(shù)列，a-d, a-4, a+d成等比數(shù)列

21、 . )2.().)()4()1.().32)(22dadaadadaa由(2) 得 a=8162d.(3) 由(1) 得 32a=d2+32d .(4) (3) 代 (4) 消 a，解得83d或 d=8. 當(dāng)83d時(shí),269a；當(dāng) d=8 時(shí) ,a=10 原來三個(gè)數(shù)為92,926,9338或 2,10,50. 法二： 設(shè)原來三個(gè)數(shù)為a, aq, aq2，則 a, aq,aq2-32 成等差數(shù)列， a, aq-4, aq2-32 成等比數(shù)列)2).(32()4()1.(322222aqaaqaqaaq由(2) 得24aq，代入 (1) 解得 q=5 或 q=13 當(dāng) q=5 時(shí) a=2；當(dāng) q=13 時(shí)29a. 原來三個(gè)數(shù)為2，10，50 或92，926,9338. 【總結(jié)升華】 選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡(jiǎn)單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列， 可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為yx，x, xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a，公比 q 來解決