高中數(shù)學(xué)2.1.2演繹推理學(xué)案新人教B版選修1-2-新人教B版高中選修1-2數(shù)學(xué)學(xué)案

1、2.1.2 演繹推理1. 理解演繹推理的意義.( 重點(diǎn) ) 2. 掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.( 難點(diǎn) ) 3. 了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系.( 易混點(diǎn) ) 基礎(chǔ)初探 教材整理演繹推理閱讀教材 p32p33例 1 以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題. 1. 演繹推理(1) 含義：由概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規(guī)則得到正確結(jié)論的過(guò)程，叫做演繹推理 . (2) 特點(diǎn)：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真. 2. 三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理m是p小前提所研究的特殊情況s是m結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷s是p判斷 (正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)

2、 演繹推理一般模式是“三段論”形式.( ) (2) 演繹推理的結(jié)論是一定正確的.( ) (3) 演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( ) 【解析】(1) 正確 . 演繹推理一般模式是“三段論”形式，即大前提、小前提和結(jié)論. (2) 錯(cuò)誤 . 在演繹推理中， 只有“大前提”“小前提”及推理形式都正確的情況下，其結(jié)論才是正確的 . (3) 錯(cuò)誤 . 演繹推理是由一般到特殊的推理. 【答案】(1) (2) (3) 質(zhì)疑手記 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn) 1：解惑：疑問(wèn) 2：解惑：疑問(wèn) 3：解惑： 小組合作型 把演繹推理寫成三段論的形式將下列演繹推理寫成三段論的形式

3、. (1) 一切奇數(shù)都不能被2 整除， 75 不能被 2 整除，所以75 是奇數(shù) . (2) 三角形的內(nèi)角和為180， rtabc的內(nèi)角和為180. (3) 菱形的對(duì)角線互相平分. (4) 通項(xiàng)公式為an3n2(n2)的數(shù)列 an為等差數(shù)列 . 【精彩點(diǎn)撥】三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“如果b?c，a?b，則a?c. ”其中，b?c為大前提，提供了已知的一般性原理；a?b為小前提，提供了一個(gè)特殊情況；a?c為大前提和小前提聯(lián)合產(chǎn)生的邏輯結(jié)果. 【自主解答】(1) 一切奇數(shù)都不能被2 整除 .( 大前提 ) 75 不能被 2 整除 .( 小前提 ) 75 是奇數(shù) .( 結(jié)論 ) (

4、2) 三角形的內(nèi)角和為180 .( 大前提 ) rtabc是三角形 .( 小前提 ) rtabc的內(nèi)角和為180.( 結(jié)論 ) (3) 平行四邊形的對(duì)角線互相平分.( 大前提 ) 菱形是平行四邊形.( 小前提 ) 菱形的對(duì)角線互相平分.( 結(jié)論 ) (4) 數(shù)列 an 中，如果當(dāng)n2時(shí)，anan1為常數(shù)，則 an為等差數(shù)列 .( 大前提 ) 通項(xiàng)公式an 3n2，n2 時(shí)，anan1 3n2 3(n1)2 3(常數(shù) ).( 小前提 ) 通項(xiàng)公式為an3n2(n2)的數(shù)列 an為等差數(shù)列 .( 結(jié)論 ) 1. 三段論推理的根據(jù)，從集合的觀點(diǎn)來(lái)講，若集合m的所有元素都具有性質(zhì)p，s是m的子集，那么

5、s中所有元素都具有性質(zhì)p. 2. 演繹推理最常用的模式是三段論，在大前提和小前提正確，推理形式也正確時(shí)，其結(jié)論一定是正確的. 再練一題 1.(1) 三段論：“只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的”中的“小前提”是( ) a. b. c.d. (2) 將推斷“若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等，所以若1和2 是對(duì)頂角，則1和2 相等”改寫三段論的形式. 【解析】(1) 大前提為，小前提為，結(jié)論為.【答案】d (2) 兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等，大前提1 和2 是對(duì)頂角，小前提1 和2 相等 . 結(jié)論演繹推理的應(yīng)用證明f(x) x3x在 r上為增函數(shù)，

6、并指出證明過(guò)程中所運(yùn)用的“三段論”.【精彩點(diǎn)撥】可利用函數(shù)單調(diào)性定義證明. 【自主解答】在 r上任取x1，x2，且x10. 因?yàn)閒(x) x3x，所以f(x2) f(x1) (x32x2) (x31x1) (x32x31) (x2x1) (x2x1)(x22x2x1x211) (x2x1) x2x12234x211，因?yàn)閤2x12234x2110，所以f(x2) f(x1)0，即f(x2)f(x1) ，所以f(x) x3x在 r上是增函數(shù) . 在證明過(guò)程中所用到的“三段論”：大前提是“增函數(shù)的定義”，小前提是“題中的f(x) 經(jīng)過(guò)正確的推理滿足增函數(shù)的定義”，結(jié)論是“f(x) 是增函數(shù)”.1.

7、 應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡(jiǎn)潔，如果前提是顯然的，則可以省略. 2. 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決與證明都蘊(yùn)含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)大前提、小前提，注意前一個(gè)推理的結(jié)論會(huì)作為下一個(gè)三段論的前提. 再練一題 2. 如圖 2-1-10 所示，d，e，f分別是bc，ca，ab邊上的點(diǎn)，bfda，deba，求證：deaf. 寫出“三段論”形式的演繹推理. 圖 2-1-10【證明】同位角相等，兩直線平行，( 大前提 ) bfd和a是同位角，且bfda，( 小前提 ) 所以dfae.( 結(jié)論 ) 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，( 大前

8、提 ) deba且dfea，( 小前提 ) 所以四邊形afde為平行四邊形.( 結(jié)論 ) 平行四邊形的對(duì)邊相等，( 大前提 ) de和af為平行四邊形的對(duì)邊，( 小前提 ) 所以deaf.( 結(jié)論 ) 探究共研型 合情推理與演繹推理的綜合應(yīng)用探究 1 我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了等比數(shù)列，你有沒(méi)有想到是否也有等積數(shù)列呢？類比“等比數(shù)列”，請(qǐng)你給出“等積數(shù)列”的定義. 【提示】如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起， 每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的乘積是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個(gè)常數(shù)叫做公積. 探究 2 若an是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a12，公積為6，試寫出 an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 . 【提示】由于 an 是等積數(shù)

9、列，且首項(xiàng)a12，公積為6，所以a23，a32，a4 3，a52，a63，即 an的所有奇數(shù)項(xiàng)都等于2，所有偶數(shù)項(xiàng)都等于3，因此 an的通項(xiàng)公式為an2，n為奇數(shù)，3，n為偶數(shù) .其前n項(xiàng)和公式sn5n2，n為偶數(shù)，5（n1）225n12，n為奇數(shù) .探究 3 甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)a，b，c三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)b城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)c城市；丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市. 由此可判斷乙去過(guò)的城市為a，b，c三個(gè)城市中的哪一個(gè)？【提示】由題意可推斷：甲沒(méi)去過(guò)b城市， 但比乙去的城市多，而丙說(shuō)“三人去過(guò)同一城市”，說(shuō)明甲去過(guò)a，c城市，而乙“沒(méi)去過(guò)c城市”，說(shuō)明乙

10、去過(guò)城市a，由此可知，乙去過(guò)的城市為a. 如圖 2-1-11所示，三棱錐a-bcd的三條側(cè)棱ab，ac，ad兩兩互相垂直，o為點(diǎn)a在底面bcd上的射影 . 圖 2-1-11(1) 求證：o為bcd的垂心；(2) 類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個(gè)關(guān)系，并給出證明. 【精彩點(diǎn)撥】(1) 利用線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化證明o為bcd的重心 . (2) 先利用類比推理猜想出一個(gè)結(jié)論，再用演繹推理給出證明. 【自主解答】(1) 證明：abad，acad，ad平面abc，adbc，又ao平面bcd，aobc，adaoa，bc平面aod，bcdo，同理可證cdbo，o為bcd的垂心 .

11、(2) 猜想：s2abcs2acds2abds2bcd. 證明如下：連接do并延長(zhǎng)交bc于e，連接ae，bo，co，由(1) 知ad平面abc，ae? 平面abc，adae，又aoed，ae2eoed，12bcae212bceo12bced，即s2abcsbocs bcd. 同理可證：s2acdscodsbcd，s2abdsbodsbcd. s2abcs2acdsabdsbcd (sbocscods bod) s bcdsbcds2bcd. 合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真. 但合情推理常常幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結(jié)論一定正確

12、(前提和推理形式都正確的前提下). 再練一題 3. 已知命題：“若數(shù)列an 是等比數(shù)列，且an0，則數(shù)列bnna1a2an(nn)也是等比數(shù)列” . 類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論. 【解】類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列 an 是等差數(shù)列，則數(shù)列bna1a2ann也是等差數(shù)列 . 證明如下：設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d，則bna1a2annna1n（n1）d2na1d2(n1)，所以數(shù)列 bn是以a1為首項(xiàng)，d2為公差的等差數(shù)列. 構(gòu)建體系 1. 演繹推理中的“一般性原理”包括( ) 已有的事實(shí)；定義、定理、公理等；個(gè)人積累的經(jīng)驗(yàn). a

13、.b.c.d.【解析】演繹推理中的“一般性原理”包括“已有的事實(shí)”“定義、定理、公理等”.【答案】a 2. 下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是( ) a.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果a與b是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則ab180b.某校高三 (1) 班有 55 人，(2) 班有 54 人，(3) 班有 52 人，由此得出高三所有班級(jí)中的人數(shù)都超過(guò)50 人c.由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)d.在數(shù)列 an中，a1 1，an12an 11an 1(n2)，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4猜想出an的通項(xiàng)公式【解析】a是演繹推理， b，d是歸納推理， c是類比推理 . 【答案】a 3. 用三段論證明

14、命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a20” ，你認(rèn)為這個(gè)推理 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 37820013】a.大前提錯(cuò)誤b.小前提錯(cuò)誤c.推理形式錯(cuò)誤d.是正確的【解析】這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a20”. 顯然結(jié)論錯(cuò)誤，原因是大前提錯(cuò)誤. 【答案】a 4. 函數(shù)y2x5 的圖象是一條直線，用三段論表示為：大前提： _ ；小前提： _ ；結(jié)論： _ ；【答案】一次函數(shù)的圖象是一條直線函數(shù)y2x5 是一次函數(shù)函數(shù)y2x5 的圖象是一條直線5. 用三段論的形式寫出下列演繹推理. (1) 矩形的對(duì)角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對(duì)角線

15、相等；(2)ycos x(xr) 是周期函數(shù) . 【解】(1) 因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的對(duì)角線相等. 結(jié)論(3) 因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)，大前提而ycos x(xr) 是三角函數(shù)，小前提所以ycos x(xr) 是周期函數(shù) . 結(jié)論我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)( 四) ( 建議用時(shí)： 45 分鐘 ) 學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo) 一、選擇題1. (2016保定高二檢測(cè))下面幾種推理中是演繹推理的為( ) a.由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電b.猜想數(shù)列112，123，134，的通項(xiàng)公式為an1n（n1）(nn) c.

16、半徑為r的圓的面積sr2，則單位圓的面積sd.由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(xa)2(yb)2r2，推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中球的方程為 (xa)2 (yb)2 (zc)2r2【解析】a，b為歸納推理，d為類比推理， c為演繹推理 . 【答案】c 2. 已知abc中，a30，b 60，求證：ab. 證明：a30，b60，ab，ab，畫線部分是演繹推理的( ) a.大前提b.小前提c.結(jié)論d.三段論【解析】結(jié)合三段論的特征可知，該證明過(guò)程省略了大前提“在同一個(gè)三角形中大角對(duì)大邊”，因此畫線部分是演繹推理的小前提. 【答案】b 3. “因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogax是增函數(shù) ( 大前提 ) ，而ylog13x

17、是對(duì)數(shù)函數(shù) ( 小前提 ) ，所以ylog13x是增函數(shù) ( 結(jié)論). ”上面推理錯(cuò)誤的是( ) a.大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)b.小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)c.推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)d.大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)【解析】大前提ylogax是增函數(shù)錯(cuò)誤，當(dāng)0a1 時(shí)，函數(shù)ylogax是減函數(shù) . 【答案】a 4. 在abc中，e，f分別為ab，ac的中點(diǎn)，則有efbc，這個(gè)問(wèn)題的大前提為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 37820014】a.三角形的中位線平行于第三邊b.三角形的中位線等于第三邊的一半c.ef為中位線d.efcb【解析】三段論中的大前提是指一個(gè)已知的一般性結(jié)論，本題中指： 三角形的中位線平行于第三邊，故選a

18、. 【答案】a 5. 定義運(yùn)算“ ?”為：a?baba2b2，若 1?m3，則m的取值范圍是 ( ) a.( 2，1) b.( 1，2) c.( 2， 1) d.(1 ，2) 【解析】依題意， 1?m3，即m1m23，整理得m2m20，解得 2mbc，cd是ab邊上的高，求證：acdbcd”.圖 2-1-12證明：在abc中，因?yàn)閏dab，acbc，所以adbd，于是acdbcd. 則在上面證明的過(guò)程中錯(cuò)誤的是_( 填序號(hào) ). 【解析】由adbd，得到acdbcd的推理的大前提應(yīng)是“在同一三角形中，大邊對(duì)大角”，小前提是“adbd”，而ad與bd不在同一三角形中，故錯(cuò)誤. 【答案】三、解答題

19、9. 用三段論證明通項(xiàng)公式為ancqn(c，q為常數(shù)，且cq0)的數(shù)列 an是等比數(shù)列 . 【證明】設(shè)an1，an是數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)，則從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列叫等比數(shù)列，( 大前提 ) 因?yàn)閍n1ancqn1cqnq(常數(shù) ) ，( 小前提 ) 所以 an是等比數(shù)列 .( 結(jié)論 ) 10. 已知a0 且函數(shù)f(x) 2xaa2x是 r上的偶函數(shù)，求a的值 . 【解】由于f(x) 是偶函數(shù)，所以f( x) f(x)對(duì)xr恒成立，即2xaa2x2xaa2x，所以1a2xa2x2xaa2x，整理得a1a(2x2x) 0，必有a1a 0. 又因?yàn)閍0，所以a1. 能力提升 1.

20、 (2016海淀區(qū)模擬) 下面是一段“三段論”推理過(guò)程：若函數(shù)f(x) 在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增， 則在 (a，b)內(nèi)，f(x)0 恒成立 . 因?yàn)閒(x) x3在 ( 1，1) 內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在 ( 1，1) 內(nèi)，f(x) 3x20 恒成立 . 以上推理中 ( ) a.大前提錯(cuò)誤b.小前提錯(cuò)誤c.結(jié)論正確d.推理形式錯(cuò)誤【解析】f(x) 在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b) 內(nèi)，f(x) 0 恒成立，故大前提錯(cuò)誤，選a. 【答案】a 2. 設(shè)是 r內(nèi)的一個(gè)運(yùn)算，a是 r的非空子集 . 若對(duì)于任意a，ba，有aba，則稱a對(duì)運(yùn)算封閉. 下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法( 除數(shù)不等于零) 四則運(yùn)算都封閉的是(