一道有關面積最值問題的探究與推廣

1、一道有關三角形面積最值問題的探究與推廣摘要 通過對問題“二次函數(shù)y = x2bx + c的圖象與兀軸交于a、兩點(a在3的左邊)，與y軸交于點c,頂點為m , mab為直角三角形，圖象的對稱軸 為一直線x = -2,點p為拋物線上位于a、c兩點z間的一個動點，求apac的而積 的最大值”的三種不同角度的解答，發(fā)現(xiàn)三種解法思路迥異，但都是數(shù)形結合， 最后殊途同歸，并jl1從思路二、三口j看出點的橫坐標為-3,由解題過程可知：2點4橫坐標為-3,點c橫坐標為()，恰好等于土巴，經(jīng)過對對這個問題的2 2一般性探究，得到了該問題的一般結論：對于拋物線y=ax2+bx+c(ao)f a. b 為拋物線上

2、任兩點，c為4、間的拋物線上任一點，當點c的橫坐標等于4、的橫坐標之和一半時，aa3c面積最大.關鍵詞二次函數(shù) 三角形面積 面積最大值一問題呈現(xiàn)己知：如圖1,二次函數(shù)y = x2+bxc的圖象與兀軸交于a、b兩點(a在b的左邊)，與y軸交于點c,頂點為m, amab為直角三角形，圖象的對稱軸為直線x = -2,點p為拋物線上位于a、c兩點z間的一個動點，則apac的面積的最大值為()27r11小 27d. 3a-b.c.428二問題探究探究思路1如圖2,由x = 2得：-匕=-2 ,即b = 4 o dh amab為,且4、2b關于x = -2對稱，得mab為等腰rta ,從而ab = 2dm

3、 ,這樣 j16 4c=2(4 c),解得c = 3 .得拋物線的解析式為y =+4兀+ 3,要使apacffi 積最大，可過p做ac的平行線/,交y軸于e,當11僅當/與拋物線冇一個交點 時，/與4c間的距離最大。設/:y = x + k,聯(lián)立y = x?+4兀+ 3與y = x + k得3 3x2 +3x + 3-k =0 ,木從 ts a = 9-4(3-/:) = 0 ,得 k = 一，艮卩 y = x + ,從而4 4。£ = 3-扌=專所以(sgc)max =saace = x x 3 =評：這種思路利用了同底等高的兩個三角形而積相等的特點，將求apac的最大 面積問題轉

4、化為求aace的最大面積問題，從而簡化了計算.探究思路2如圖3,由在坐標平面內拋物線內含冇三角形面積的求法公式：s=-水平寬x鉛垂高，如思路一求出拋物線的解析式y(tǒng) = f+4x + 3,可知 2a(-3,0),b(-1,0),從而直線ac的解析式為尸尤+3,過點p作平行于y軸的直線 交 ac 于點 d , 設 p(m,m2+4m+3), 貝u d(加，加+3), 從 而 dp=(rn 一3)(-m2 +4m+3)= -m2-3m ,這樣由 spc = *4ox dp 得smpc = *3x( 一加 2 一 3加)二 _才伽+亍)2 + #'所以當加=一寸吋(sqmax =' 評

5、:這個思路利用坐標線段化的方法,借助于新的面積公式s二丄水平寬x鉛垂高,2自然地得到了 apac面積的二次函數(shù)關系，從而利用二次函數(shù)的性質，較為流暢 地求得了結果.距離公式得:3 從而當"弓寸,4分t這樣兒十3探究思路3設p(m,m2+4m+3),由于直線ac : x- y+3=0 ,所以由點到直線的°m - m" -4m3-+3評：這種解法利用點到直線的距離公式，轉化為二次函數(shù)求最值，過程簡潔明快. 綜上可知：三種解法思路迥異，但都是數(shù)形結合，最后殊途同歸，并且從思 路二、三可看出點的橫坐標為-三，由解題過程可知：點人橫坐標為-3,點。橫 2坐標為0, 一丄恰好

6、等于土£,這是一種巧合還是意味著必然？直覺告訴我：2 2這里面必有其內在的規(guī)律果不其然，經(jīng)過研究，我得到了該問題的一般結論.三問題的推廣 定理 對于拋物線y=ax2+bx+c(a0)f 4、3為拋物線上任兩點，c為a、b z 間的拋物線上任一點，當點c的橫坐標等于4、b的橫坐標z和一半時，mbc 面積最大.證明 若d>0,設agyj'bgq'ccwb),且點在點a的右側如圖，過c做直線軸，分別過a、b作4m丄于m ,作bn11于n,貝isuc = samnb _ smc _ ac/vz?=一0)+2 一兒)(兀2 一西)一(兀。一兀j-® )b)區(qū)一兀

7、0)，©2 一0)=空(丫| 一 丁0)心2 一兀0)+空32 一兒)心0 一州)=£(兀21 一心1 一兀2北+兀(0+兀(2 西2 兀0)'()+兀10)= -x2y1-x1y2 +x() (y 2 y j+兒(西一 d )1i00o= x2(ax +州 +c)-xl(ax2 +bx2 +c) + x0(6fx," +bx + c-ax2 -bx2 -c)+(ax02 + bx0 + c)(xt -x2)j1 2=axx2(x -x2) + c(x2 -x,) + axq(西 + x2)(x2 -x) + bxq(x2 -x,) + (tzx0 + bx0 + c)(x, - x2)=*q（x x2）x02 一（州 + 兀2）x（）+xx2因l(x,-x2)a<0,故當&qu