民航案例講義2015[1]

1、數(shù)學(xué)模型與民航案例案例匯編目 錄案例1 飛機(jī)的最佳耗油量問(wèn)題11案例2 飛行管理問(wèn)題（1995年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題）3案例3 為什么航空公司要超訂機(jī)票211案例4 飛機(jī)排隊(duì)模型(1989年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽B題)324案例5 飛機(jī)地面除冰問(wèn)題模型435案例6 波音公司飛機(jī)最佳定價(jià)策略541案例7 民航發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)監(jiān)控參數(shù)EGT的時(shí)間序列模型44案例8 航空公司機(jī)型指派問(wèn)題的多目標(biāo)規(guī)劃方法49案例9 基于參數(shù)估計(jì)方法的航空發(fā)動(dòng)機(jī)性能可靠性預(yù)測(cè)53案例10 飛機(jī)排座問(wèn)題56參考文獻(xiàn)7375案例1 飛機(jī)的最佳耗油量問(wèn)題1 一架飛機(jī)從A地經(jīng)B、C、D、E飛往F，飛行員只可能在這些點(diǎn)上決定到下

2、一點(diǎn)時(shí)的飛行高度，任意連接兩點(diǎn)間的距離均為200km，按不同高度飛行時(shí)耗油不同。在適當(dāng)單位下，所需耗油如1-1表所列，表中第一列各行標(biāo)出的是飛機(jī)在前一點(diǎn)的高度，第一行各列為到達(dá)下一點(diǎn)的高度，行列交叉處為相應(yīng)的油耗，“”表示從0m到0m高度的飛行是不可能的。試根據(jù)表1-1的數(shù)據(jù)，決定一個(gè)飛行方案，使總油耗最低。表1-1 飛機(jī)耗油量表高度/m0100020003000400050000400048005520616067201000800160026004000472060802000320480800224031204640300001603205601600304040000080240480

3、160050000000160240 這是一個(gè)多階段決策問(wèn)題，而在A及F兩點(diǎn)高度只能是零，將A、B、C、D、E五點(diǎn)上的決策視為五個(gè)階段，每個(gè)階段的輸入變量是到達(dá)該點(diǎn)的高度，輸出變量是到達(dá)下一點(diǎn)的高度。為了簡(jiǎn)便，每點(diǎn)的決策變量也用到達(dá)下一點(diǎn)的高度表示，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)則是兩點(diǎn)間的油耗。 下面用表格法來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題，從最后一階段，即在E點(diǎn)的決策開(kāi)始考慮。在E點(diǎn)，飛機(jī)可以有除0m外的任何高度，但到達(dá)F時(shí)，高度必須降到0m，考慮所有可能的情況，將它們列于表1-2。表1-2 從E到F最佳決策表 1000020000300004000050000800320000 表1-2中，第一行表示E點(diǎn)的所有可能輸入及

4、對(duì)應(yīng)的最佳決策（此處只有一種決策可能，即到F時(shí)降到0），第二行是相應(yīng)的油耗。 現(xiàn)在考慮由D經(jīng)E到F的所有可能。只要D點(diǎn)的輸入取定，考慮所有可能的決策，再利用表1-2，不難得出相應(yīng)這一輸入的最佳決策及到達(dá)終點(diǎn)的最小油耗，例如，若D的高度是0m，即輸入為0時(shí)，若決定到E時(shí)爬升到1000m，這段飛行油耗是4000，從表9.2可知，到達(dá)終點(diǎn)還要消耗800，故這一決策的消耗合計(jì)為4800。類似地，對(duì)于固定的輸入高度0，可以對(duì)D的任何決策進(jìn)行計(jì)算，在考慮了所有可能之后，知道D點(diǎn)的輸入變量為0時(shí)，最佳策略是到E時(shí)升到1000m，最佳油耗量為4800 。對(duì)D點(diǎn)所有可能輸入加以考慮，將結(jié)果列入表1.3，第一行表

5、示輸入變量取值及與之相應(yīng)的從D到E的最佳決策，第二行表示相應(yīng)于這一決策到達(dá)終點(diǎn)的最佳油耗。表1-3 從D經(jīng)E到F最佳決策表 0100010001000200020003000300040003000500030004800240011205602400 類似地，得到表1-41-6，它們依次是對(duì)從狀態(tài)C、B、A開(kāi)始的子系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果。由于在A處必須從地面起飛，所以表1-6的輸入?yún)?shù)只有一個(gè)，即0 m。表1-4 從C經(jīng)D、E到F最佳決策表 0200010002000200020003000300040004000500050005920372019201120720240表1-5 從B經(jīng)C、D、E

6、到F最佳決策表10002000200020003000300040004000500050004520272016801200480表1-6 從A經(jīng)B、C、D、E到F最佳決策表 030000500072007200從表1-6可知，對(duì)于所討論的問(wèn)題，最小油耗是7200，達(dá)到這一油耗的飛行路線有兩條，它們可逆向由表1-6到1-2得到，其結(jié)果是：1，0m3000m 3000m3000m3000m0m；2，0m5000m5000m5000m5000m0m。案例2 飛行管理問(wèn)題（1995年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題）1 問(wèn)題的提出 在約10000m的高空的正方形區(qū)域內(nèi)，有若干架飛機(jī)做水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架

7、飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行的方向角，以避免碰撞。 假定條件：（1） 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)是任意兩架飛機(jī)的距離大于8 km。（2） 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整幅度不應(yīng)超過(guò)，而要盡可能小。（3） 所有飛機(jī)的飛行速度為800km/h，不受其他因素影響。（4） 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)邊緣時(shí)，與該區(qū)域的飛機(jī)的距離在60km以上。（5） 不考慮飛機(jī)離開(kāi)區(qū)域后的情況。（6） 建模時(shí)暫考慮六架飛機(jī)。 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)

8、模型，列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（方向角誤差不超過(guò)0.01度），要求飛機(jī)的方向角調(diào)整的幅度盡量小。設(shè)該區(qū)域四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0），（160,0），（160,160），（0，160），記錄數(shù)據(jù)如表13.1（其中方向角指飛行方向與 x軸正向夾角）所列。飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)方向角度/()1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入0052表 2-1 飛行位置及方向2 問(wèn)題分析根據(jù)題目的條件，可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面xOy中的一個(gè)正方形，頂點(diǎn)在（0,0），（160，0），（160，160），（0，160）。各架飛機(jī)的飛行方向角

9、為飛行方向與x軸正向夾角（轉(zhuǎn)角）。根據(jù)兩飛機(jī)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為二者距離大于8km，可將每架飛機(jī)視為一個(gè)以飛機(jī)為圓心、以4為半徑的圓狀物體（每架飛機(jī)在空域中的狀態(tài)由圓心的位置向量和飛行速度向量確定）。這樣兩架飛機(jī)是否碰撞就化為兩圓在運(yùn)動(dòng)中是否相交的問(wèn)題。兩圓是否相交只要討論它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)即可。建模時(shí)補(bǔ)充假定條件：（1） 飛機(jī)在所定區(qū)域內(nèi)作直線飛行，不偏離航向。（2） 飛機(jī)管理系統(tǒng)內(nèi)不發(fā)生意外，如發(fā)動(dòng)機(jī)失靈，或其他意外原因迫使飛機(jī)改變航向。（3） 飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域邊緣時(shí)，立即進(jìn)行計(jì)算，每架飛機(jī)按照計(jì)算后的指示立即作方向角調(diào)整。（4） 飛機(jī)管理系統(tǒng)發(fā)出的指令應(yīng)被飛機(jī)立即執(zhí)行，即認(rèn)為轉(zhuǎn)向時(shí)瞬間完成的（忽略飛機(jī)

10、轉(zhuǎn)向的影響，即轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時(shí)間的影響）（5） 每架飛機(jī)在整個(gè)過(guò)程中至多改變一次航向。（6） 新飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域時(shí)，已在區(qū)域內(nèi)部的飛機(jī)的飛行方向已調(diào)整合適，不會(huì)碰撞。（7） 對(duì)每架飛機(jī)方向角的相同調(diào)整量的滿意程度是一樣的。3 模型的建立 3.1.圓狀模型由前面的分析將飛機(jī)作為圓狀模型進(jìn)行研究。兩圓不相交，則表明不會(huì)發(fā)生碰撞事故；若兩圓相交，則表明會(huì)發(fā)生碰撞事故。為了研究?jī)娠w機(jī)相碰撞問(wèn)題，采用相對(duì)速度作為研究對(duì)象，因?yàn)轱w機(jī)是否碰撞的關(guān)鍵是相對(duì)速度。圖2-1給出了任意兩架飛機(jī)之間的關(guān)系。其中符號(hào)含義如下： 第 第 架飛機(jī)的圓心； 第 第 架飛機(jī)的碰撞角； 第 架飛機(jī)相對(duì)第 架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度； 第

11、第 架飛機(jī)的圓心距； 第 架飛機(jī)相對(duì)第 架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度與兩架飛機(jī)圓心連心的夾角（逆時(shí)針為正）；AB，CD兩圓的公切線，/ /AB，/CD。另外再引進(jìn)記號(hào)： 第 架飛機(jī)的飛行方向與x軸正向夾角（逆時(shí)針為正）；第 架飛機(jī)的位置向量；第 架飛機(jī)的速度向量。圖2-1 飛機(jī)間關(guān)系示意圖3.2 .由圓狀模型導(dǎo)出的方程組首先討論 的改變量與第 第 兩架飛機(jī)飛行方向角改變量 的關(guān)系。由題目條件可知，對(duì)第 架飛機(jī)速度大小=A=800，可用復(fù)數(shù)表示速度 =A 。設(shè)第 ，飛機(jī)飛行方向改變前的速度分別是 =A ， = A，改變后的速度分別是 ， 則飛行方向改變前后的相對(duì)速度分別是兩者之商的幅角就是。即交角之差為

12、于是有如下定理：定理 對(duì)第, 第兩架飛機(jī)，其相對(duì)速度方向 的改變量等于兩飛機(jī)飛行角改變量之和的1/2，即3.3決策目標(biāo)題目要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小，這個(gè)盡量小是針對(duì)飛機(jī)而言的，同時(shí)也要求滿意程度（即對(duì)管理層而言，使每架飛機(jī)的幅度都盡量小）。因此構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，可以認(rèn)為若對(duì)方向角調(diào)整量最大的飛機(jī)而言，其調(diào)整達(dá)到滿意程度，則由假設(shè)（7）對(duì)其余飛機(jī)調(diào)整量均可滿意。即要求每架飛機(jī)的調(diào)整量都小于某個(gè)數(shù) （0），故可取決策目標(biāo)為求其最小值min，其中=max|。另外，也可以六架飛機(jī)調(diào)整量的絕對(duì)值之和作為目標(biāo)函數(shù)，其決策目標(biāo)是 3.4.約束條件調(diào)整方向角時(shí)不能超過(guò)，即| | ，=1，2，3，6調(diào)整

13、飛行方向后飛機(jī)不能碰撞，應(yīng)有3.5.數(shù)學(xué)模型總結(jié)以上可得如下優(yōu)化模型：或式（2-1）和式（2-2）都是非線性規(guī)劃，求解困難。下面將式（2-2）轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃。 3.6.化為線性規(guī)劃模型由于可正可負(fù)，為使各變量均非負(fù)，引入新變量：式（2-2）化為4 模型求解4.1. 的計(jì)算可以用MATLAB計(jì)算，其程序?yàn)椋簒=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j alpha(i,j)=0; else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*a

14、sin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2; end endendalpha計(jì)算結(jié)果為alpha = 0 5.3912 32.2310 5.0918 20.9634 2.2345 5.3912 0 4.8040 6.6135 5.8079 3.8159 32.2310 4.8040 0 4.3647 22.8337 2.1255 5.0918 6.6135 4.3647 0 4.5377 2.9898 20.9634 5.8079 22.8337 4.5377 0 2.3098 2.2345 3.8159 2.1255 2.9898 2.3098 0的計(jì)算用MATLAB

15、程序編寫(xiě)為：a=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita計(jì)算結(jié)果為beita = 0 -180 0 -180 0 -180 180 0 0 -180 0 -180 0 0 0 -180 0 -180 180 180 180 0 180 -180 0 0 0

16、-180 0 -180 180 180 180 180 180 04.2. 最優(yōu)解的計(jì)算用MATLAB求解式（2-1）編程如下。首先編寫(xiě)函數(shù)M文件：function f,g=plane(x)alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000, 4.8040024,6.813460,5,807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539, 5.091816,6.613460,4.363673,0.0

17、00000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000, 2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000;beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934 109.263642 0.000000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.310809 24.179830 -42.243563 12.4763

18、11 -58.786243 0.310809 24.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606 174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.914383 14.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)=alpha(1,2)-abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2

19、);g(2)=alpha(1,3)-abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);g(3)=alpha(1,4)-abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)=alpha(1,5)-abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);g(5)=alpha(1,6)-abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);g(6)=alpha(2,3)-abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)=alpha(2,4)-abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)=alpha

20、(2,5)-abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);g(9)=alpha(2,6)-abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)=alpha(3,4)-abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)=alpha(3,5)-abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);g(12)=alpha(3,6)-abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)=alpha(4,5)-abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)=alpha(4,6)-a

21、bs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);g(15)=alpha(5,6)-abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);執(zhí)行命令：x0=0,0,0,0,0,0;v1=-30*ones(1,6);v2=30*ones(1,6);opt=; x=constr('plane',x0,opt,v1,v2)計(jì)算結(jié)果： x=-0.00000576637983-0.000005766379832.58794980234726-0.000012434879850.000036204730951.04151019765274 最優(yōu)解為：5 模型檢驗(yàn)各飛行方

22、向按此方案調(diào)整后，系統(tǒng)各架飛機(jī)均滿足，結(jié)果是正確的。 模型的評(píng)價(jià)與推廣：（1） 此模型采用圓柱模型分析碰撞問(wèn)題是合理的，同時(shí)采用相對(duì)速度作為判別標(biāo)準(zhǔn)，既體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)），又簡(jiǎn)化了模型的計(jì)算。（2） 建模中用了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，將一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，既求到合理的解，又提高了運(yùn)算速度，這對(duì)解決高速飛行的飛機(jī)碰撞問(wèn)題是十分重要的。此模型對(duì)題目所提供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿意的。（3） 由對(duì)稱性知模型中的約束個(gè)數(shù)是 （是飛機(jī)數(shù)），所有約束條件數(shù)是增大時(shí)，約束條件數(shù)是的二次函數(shù)，計(jì)算量增加不大。案例3 為什么航空公司要超訂機(jī)票21 問(wèn)題介紹我們有時(shí)會(huì)在一些刊物上看到旅客

23、們抱怨，他們本已訂上了某天某次班機(jī)的機(jī)票，但當(dāng)?shù)竭_(dá)機(jī)場(chǎng)而在接待室接受檢查時(shí)，卻聽(tīng)到可怕的消息：“對(duì)不起先生，您的航班現(xiàn)已滿員，我們將不得不讓您乘坐下次班機(jī)了?！币苍S哪位的朋友遇到過(guò)這種事，而作者卻有一次個(gè)人的親生經(jīng)歷。在一個(gè)大家熟知的英國(guó)航班途中，他被迫將自己第一天的假期花費(fèi)在了希臘gatwick機(jī)場(chǎng)跑道盡頭的一個(gè)旅館中。這種事情常會(huì)旅客諸多不便甚至怨恨，在計(jì)算機(jī)輔助訂票的當(dāng)今時(shí)代，應(yīng)該可能設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)以降低這種錯(cuò)誤率。本文的目的在于介紹并讓大家理解為什么為了盈利，航空公司定給旅客某次班機(jī)的票數(shù)要多于那次航班所能容納的乘客數(shù)。進(jìn)一步的某型將為我們揭示航空公司這種做法的強(qiáng)制效果。在任何強(qiáng)制服務(wù)及

24、航班數(shù)據(jù)均缺乏的情況下，我們不可能對(duì)某次飛行給出定論，但模型中各個(gè)參數(shù)變化的結(jié)果將會(huì)定性的給出航空公司決策的道理。2 符號(hào)說(shuō)明顯然，在建立數(shù)學(xué)模型前，有必要先定義變量，并解釋所用符號(hào)。一個(gè)人在開(kāi)始建立適當(dāng)復(fù)雜的模型時(shí)，不可能在他一開(kāi)始就用到所用變量。我覺(jué)得必要的是應(yīng)編輯好記號(hào)便于自己用，而且這也有助于其他人讀或用所得模型。到一頁(yè)結(jié)束時(shí)，我總是將我所用符號(hào)記在另一頁(yè)上，建議鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成這種習(xí)慣。而你，作為指導(dǎo)教師，將會(huì)發(fā)現(xiàn)這對(duì)于理解他們所做的工作很有益處。：某次班機(jī)的飛行費(fèi)用：飛行中飛機(jī)所載旅客數(shù)：每個(gè)旅客所償付旅行費(fèi) ：飛行飛機(jī)的容量：對(duì)每一次飛行來(lái)說(shuō)“未到”旅客的人數(shù)：人未到的概率：某次班機(jī)

25、訂票的人數(shù)：飛行所產(chǎn)生的結(jié)余（利潤(rùn)）：留下（例如擠掉）一名已訂票旅客的耗費(fèi)：一個(gè)訂票旅客到達(dá)的概率：一個(gè)旅客“未到”的概率（即）：一次班機(jī)售出的低費(fèi)票數(shù)目：低費(fèi)票相對(duì)于全費(fèi)票的低費(fèi)率3 模型建立建模時(shí)，我發(fā)現(xiàn)通過(guò)階段性建模與查證對(duì)理解問(wèn)題很自然，也很有益。而在每一階段，模型特性均是與我對(duì)所構(gòu)模真實(shí)系統(tǒng)的直覺(jué)相一致，以這種直覺(jué)，我們下面開(kāi)始著手建立一個(gè)航空公司希望來(lái)源于不足訂票的效益模型。3.1 首次嘗試 與某次飛行有關(guān)的費(fèi)用不依賴于飛行所帶乘客人數(shù)。不管飛機(jī)是否滿員，航空公司都必須付錢給飛行員、導(dǎo)航員、工程師及客艙工作人員。一架滿員的飛機(jī)相對(duì)于一架半滿的飛機(jī)所耗掉的燃料差作為總載油量的百分比是

26、非常小的。飛機(jī)起飛時(shí)，須帶有供它到達(dá)目的地的燃料，這部分燃料占其起飛重量的百分比是很大的，而這一般只要求能使飛機(jī)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所剩油量恰如其分為好。起飛、降落或由機(jī)場(chǎng)索要的管理費(fèi)也不與飛機(jī)所載乘客數(shù)有關(guān)。因此，一定精度下，我們可以忽略飛行的各種費(fèi)用差別，而假定進(jìn)行一次飛行的費(fèi)用為定數(shù)，各個(gè)乘客付費(fèi)的總額與飛行耗費(fèi)之差為結(jié)余，或從某種意義上講，就是利潤(rùn)。當(dāng)然，包括其它費(fèi)用（例如：飛機(jī)保養(yǎng)）。 另外，首先盡量地使模型簡(jiǎn)單些，而反過(guò)來(lái)又要包括已有基本公式化模型的更多特征，以此訓(xùn)練學(xué)生較好，當(dāng)然，還應(yīng)常提醒他們不要受細(xì)節(jié)滲雜的干擾而去完善那基本模型，一旦他們對(duì)模型有了基本的了解，他們就會(huì)回過(guò)頭來(lái)去包括更多

27、的影響因素。我發(fā)現(xiàn)，決定了他們的策略后，學(xué)生建模時(shí)最常見(jiàn)的困難就是決定應(yīng)包括的因素，大的與小的，怎樣正好？ 若一次飛行載有個(gè)旅客，則產(chǎn)生的結(jié)余應(yīng)為，這里，是每一個(gè)旅客所付的費(fèi)用，十分明顯，這個(gè)簡(jiǎn)單的模型有我們所期望它的那種特性，當(dāng)所載旅客數(shù)增加時(shí)，利潤(rùn)相應(yīng)增加，能夠取得的最大利潤(rùn)是，這里，N是飛機(jī)的旅客容量。這里有一個(gè)奇點(diǎn)，在奇點(diǎn)處，正好由所載旅客所支付費(fèi)用抵消了飛行費(fèi)用，此時(shí)，比此更少的載客飛機(jī)將賠錢。所有這些都是所期望的。 觀察這個(gè)簡(jiǎn)單模型有：為了取得盡量多的利潤(rùn)，航空公司應(yīng)把目光盯在填滿每次飛行上。一旦接受訂票為，飛機(jī)視為滿載，不能再接受更多的訂票。但問(wèn)題又出來(lái)了：某些旅客也許會(huì)在飛機(jī)起

28、飛時(shí)為到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)，對(duì)于客機(jī)來(lái)講，標(biāo)準(zhǔn)條件下，對(duì)于全費(fèi)旅客的這種行為可以不受懲罰，他們可以遲到，并且其機(jī)票對(duì)另一次飛行來(lái)說(shuō)仍有效，而對(duì)于某些其它客艙的旅客來(lái)講，卻沒(méi)有這種優(yōu)惠，下面我們將這點(diǎn)考慮在內(nèi)。不能到達(dá)的每一旅客在某種程度上都有潛在的經(jīng)濟(jì)損失。這種旅客在生意上被稱為“未到”。3.2 一個(gè)較好模型讓我們以下列方式來(lái)改進(jìn)上述提出的簡(jiǎn)單模型，假定人“未到”的概率為，而表示某次航班訂票的旅客數(shù)，且允許超過(guò)，當(dāng)有人未到時(shí)，航空公司將從飛行中得到的利潤(rùn)為： （3-1）對(duì)于此次飛行來(lái)講，未定的旅客人數(shù)為一種偶然事件，因此，所獲利潤(rùn)的適當(dāng)表達(dá)式為概率期望利潤(rùn)，我們用表示，則有：= 載有-個(gè)旅客時(shí)的結(jié)余= （

29、3-2）未定的旅客數(shù)也許由于需要缺乏而很小，在這種情況下，航空公司不需要確定多少旅客訂票或超訂多少，而我們所要考慮的問(wèn)題是超過(guò)供應(yīng)情況下航空公司的表現(xiàn)行為。先假定為這種情況，且無(wú)論航空公司設(shè)置多高的訂票水平，都可以完成預(yù)定。這相當(dāng)于白天航行的情形?，F(xiàn)在我們能將（3-2）改寫(xiě)為：由的定義，可得：因此，我們可以看到，因?yàn)閹в泻褪降哪遣糠秩珵檎?，要取得接近于期望利?rùn)的最大值，唯一方法是減少一切而使之盡可能接近于零。如果訂票水平超過(guò)，將可實(shí)現(xiàn)這一情況，實(shí)際上，當(dāng)訂票旅客數(shù)增加時(shí)，“未到”任何大數(shù)的概率減小。這個(gè)模型告訴我們，要訂票旅客數(shù)不肯定出現(xiàn)而事實(shí)上出現(xiàn)的情況下，航空公司實(shí)際上將會(huì)超訂，以便于取得

30、接近于滿載飛行時(shí)的理論極大期望利潤(rùn)值。在這個(gè)模型中未考慮因飛機(jī)客容量而多次超訂帶來(lái)的后果，實(shí)際上，這種策略會(huì)導(dǎo)致大量的旅客被所有的飛機(jī)拋下，且隨著訂票水平的增加而加劇。因此，我們得到，為什么航空公司為盡可能多獲得利潤(rùn)，而故意超訂，但超訂并不現(xiàn)實(shí)，模型需要進(jìn)一步的提煉。3.3 一個(gè)更進(jìn)一步的提煉在航空公司超訂飛行的情況下，會(huì)在機(jī)場(chǎng)有越來(lái)越多的旅客因飛機(jī)客容量而不能飛走，這些超員則須移往別處，或者在后續(xù)飛機(jī)上提供座位，此時(shí)，航空公司也許會(huì)靠付某種費(fèi)用給旅客以消民憤；或者，旅客決定坐另一家航空公司的飛機(jī)，此時(shí)需退票，航空公司要付管理費(fèi)而造成經(jīng)濟(jì)損失，還有，隨著名聲的敗壞使航空公司的公開(kāi)形象遭受損失。

31、我們假定，對(duì)于訂票到達(dá)而不能上機(jī)的旅客（在商業(yè)上稱之為“被擠掉者”），不管是以什么形式，航空公司要支付賠償費(fèi)。這樣就需要建立對(duì)于超定帶有一定懲罰性的更復(fù)雜模型，以便取得較高的平均收入總額。 若到達(dá)機(jī)場(chǎng)要檢票上機(jī)的旅客數(shù)為，由這次飛機(jī)獲取利潤(rùn)為： （3-3）那么，航空公司由一次飛行獲取的平均或期望利潤(rùn)為一個(gè)和式，它是所有可能未到人數(shù)對(duì)應(yīng)情況下的利潤(rùn)乘以相應(yīng)概率的和。因此，我們有：而且是“未到”的數(shù)學(xué)期望值，用來(lái)表示之，則 （3-4） 現(xiàn)在，我們得到了一個(gè)相對(duì)復(fù)雜些的直接結(jié)果，要驗(yàn)證其正確性，檢查結(jié)果的有效性，并尋找錯(cuò)誤，我常以一兩種特殊情況來(lái)檢驗(yàn)其是否像我期望的那樣，與此同時(shí)，也檢查這階段的計(jì)算

32、錯(cuò)誤，教會(huì)學(xué)生不斷挑自己工作的不足很重要。例如我們?cè)冢?-4）中令，（對(duì)于一切）來(lái)檢查一下結(jié)果，這相當(dāng)于旅客不能到達(dá)的偶然性為零，即所有訂票上機(jī)的旅客都到達(dá)了。此時(shí)，（3-4）退化為：這表明，若飛機(jī)客容量為個(gè)旅客訂了機(jī)票，且他們?nèi)?，利?rùn)將是從滿員飛行利潤(rùn)中去掉被擠掉留下的那部分旅客。在這種情況下，當(dāng)時(shí)，可得到最大平均利潤(rùn)，這與第一個(gè)簡(jiǎn)單模型一致。目前，我們對(duì)的形式?jīng)]做任何假定。為從已提煉的模型獲取更多的東西，對(duì)這些概率作出似乎合理的假定是有益的，也許，最簡(jiǎn)單的假定莫過(guò)于其任一旅客出現(xiàn)的概率為，為未到的概率為。進(jìn)一步假定旅客的到達(dá)是相互獨(dú)立的，這將會(huì)有二項(xiàng)分布的： （3-5）當(dāng)然，這種“未到”

33、為相互獨(dú)立的假定并不完全有效。事實(shí)上，部分旅客會(huì)成雙或成群到達(dá)（或未到）。然而，讓我們暫不考慮這種附帶的困難，這樣有，而（3-4）式變成： （3-6）現(xiàn)在所要做的是如何是平均飛行利潤(rùn)最大。（3-6）式中，平均利潤(rùn)的表達(dá)式依賴于支付與賠償費(fèi)不受航空公司短期控制的影響（這些費(fèi)用是由IATA來(lái)規(guī)定的），為外部限制，而只有訂票水平為航空公司的可控參數(shù)。要求出（3-6）式中部分和，最好由數(shù)值方法求解。不過(guò)很明顯，最優(yōu)訂票水平應(yīng)至少為飛機(jī)客容量。因?yàn)橛桑?a）式可知，時(shí)，期望利潤(rùn)退化為：（3-7）它是的一個(gè)增函數(shù)。由（3-5）式知，隨著訂票水平的變化而取不同的值，這些變化可手工計(jì)算。若有條件用計(jì)算機(jī)的話，

34、應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生編一個(gè)程序來(lái)計(jì)算任何組合下的期望利潤(rùn)。接著，在的某個(gè)固定情況下，用它來(lái)決定最優(yōu)的訂票水平，若用手（或用一個(gè)非程序化計(jì)算器）來(lái)計(jì)算，我將首先同他們探討所有簡(jiǎn)化后的可能情況，例如，若充分大（對(duì)于 客機(jī)，對(duì)于波音747有，用泊松分布來(lái)代替這里的二項(xiàng)分布不會(huì)有太大差別。另一方面，（3-6）式部分和中的項(xiàng)數(shù)為，且為找到最優(yōu)訂票水平，部分和的項(xiàng)數(shù)必定隨的增大而增多。從而工作量將會(huì)因一個(gè)小飛機(jī)（比如說(shuō)80個(gè)座位的feederliner）而減小。小型飛機(jī)超定10%時(shí)只有8項(xiàng)，相反，450個(gè)座位的噴氣式飛機(jī)10%超定時(shí)的部分和卻要加45項(xiàng)。（3-6）式中部分和是的函數(shù)，可寫(xiě)一個(gè)計(jì)算機(jī)程序來(lái)計(jì)算給定值下

35、的部分和，由于期望利潤(rùn)是的函數(shù)，航空公司要求以近似于60%的一個(gè)奇異載重因子來(lái)計(jì)算，也就是假定0.6，則：（3-8） 對(duì)于客容量為300的一個(gè)飛機(jī)假定，編程并用計(jì)算機(jī)計(jì)算期望利潤(rùn)，結(jié)果見(jiàn)表3-1。顯然，最大期望利潤(rùn)時(shí)的超訂水平為確定的。且我們還可以計(jì)算個(gè)或更多個(gè)旅客被擠掉的概率為：或更多旅客被擠掉）=表3-1中包括了至少一個(gè)和至少5個(gè)旅客被擠掉的概率。 表3-1 300個(gè)座位的飛機(jī)，當(dāng)時(shí)的期望利潤(rùn)和被擠掉的概率3000.583330.0000.0003010.588610.0000.0003020.593890.0000.0003030.599160.0000.0003040.604440.0

36、000.0003050.609720.0010.0003060614980.0020.0003070.620220.0050.0003080.625420.0150.0003090.630520.0270.0003100.635470.0510.0023110.640180.0270.0053120.644540.0510.0113130.648460.0880.0243140.651850.1420.0463150.654650.2110.0813160.656830.2940.1313170.658390.3870.1963180.659390.4850.2773190.659880.58

37、10.3673200.659960.6710.4643210.659700.7510.5613220.659190.8180.6523230.658490.8710.7343240.657660.9120.8033250.656750.9420.8603260.655780.9630.9033000.500000.0000.0003010.505000.0000.0003020.510000.0000.0003030.515000.0000.0003040.520000.0000.0003050.525000.0000.0003060.530000.0000.0003070.535000.00

38、00.0003080.540000.0000.0003090.545000.0000.0003100.550000.0000.0003110.560000.0000.0003120.565000.0000.0003130.570000.0000.0003140.575000.0000.0003150.579990.0000.0003160.584990.0010.0003170.589970.0010.0003180.594950.0020.0003190.599910.0040.0003200.604830.0070.0003210.609710.0120.0013220.614530.01

39、90.0023230.619250.0300.0033240.623850.0450.0063250.628280.0650.0103260.632510.0910.0163270.636500.1250.0253280.640190.1650.0393290.643570.2120.0573300.646590.2650.0803310.649220.3240.1113320.651470.3860.1483330.653330.4510.1923340.654800.5170.2423350.655900.5810.2983360.656650.6430.3593370.657100.70

40、10.4233380.657270.7530.4883390.657200.8000.5533400.656930.8400.6153410.656490.8750.6753420.655920.9030.7293430.9270.7783440.655230.9450.8213450.654470.9600.859在這兩種情況下，可以看到，當(dāng)分別超定20和39張票時(shí)，最大期望利潤(rùn)提高。擠掉5個(gè)或更多旅客的概率實(shí)際為46%和55%。每一擠掉旅客的賠償率影響情況見(jiàn)表中的結(jié)果。其結(jié)果與直覺(jué)期望相一致。當(dāng)與每一個(gè)擠掉者聯(lián)系的罰值增加時(shí)，最大期望利潤(rùn)時(shí)的超定水平相應(yīng)減小。擠掉任何給定數(shù)旅客的相應(yīng)概率（

41、作為一例，這里給出了擠掉至少5個(gè)的概率值）減少。表3-2 300個(gè)座位的飛機(jī)，時(shí)，期望利潤(rùn)相對(duì)于飛行固定耗費(fèi)最大時(shí)的訂票水平最大時(shí)的訂票水平.1321663.56.2320660.46.3319658.37.4318656.28.5317655.20(a)最大時(shí)的訂票水平.1342661.73.2339657.55.3338654.49.4337652.42.5336650.36(b)最大時(shí)的訂票水平.1364660.77.2361655.64.3359652.55.4357649.44.5356646.40(c)在此有一個(gè)好的練習(xí)供與學(xué)生一起討論，那就是如何估計(jì)航空公司要達(dá)到的b值，它可能由

42、非常確定的直接費(fèi)用和一些相對(duì)不明確的間接費(fèi)用（像信譽(yù)與未來(lái)顧客減少所帶來(lái)的損失）組成。由此將會(huì)引導(dǎo)出對(duì)敏感性的討論，要取得問(wèn)題的充分理解并估計(jì)模型預(yù)測(cè)中可能的錯(cuò)誤，就要改變涉及的參量并觀察輸出相對(duì)于這些變化的敏感性。還有要考慮的另一個(gè)有趣事情也許就是改變選擇超訂水平的準(zhǔn)則。一個(gè)航空公司訂票的準(zhǔn)則應(yīng)該是確定的?？杉俣ㄆ溆休^低的一定擠掉任何旅客的概率。并啟用廣告以強(qiáng)調(diào)其相對(duì)于所有競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手有最低的擠掉率。那么，要求學(xué)生給出這種經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)的測(cè)量模型以估價(jià)這種策略。并比較這種設(shè)置超定水平策略下的期望利潤(rùn)與前述超定策略下可獲得的最大期望利潤(rùn)。這自然地引導(dǎo)向多種準(zhǔn)則決定的整體范圍和無(wú)共同計(jì)量單位準(zhǔn)則間的二分概

43、率問(wèn)題。表3-2中數(shù)字表明擠掉5個(gè)或更多個(gè)旅客的概率對(duì)b 作為g的百分比值的變化是極為敏感的，另一方面，期望利潤(rùn)對(duì)于這種變化來(lái)說(shuō)是相對(duì)不敏感的，實(shí)踐中，這往往使航空公司決策者錯(cuò)誤地超估b值。要精確估計(jì)b值十分困難，對(duì)于超估來(lái)說(shuō)，較低的平均利潤(rùn)下，懲罰很小，而在降低擠掉可觀數(shù)目旅客的概率方面，益處卻很大。3.4再進(jìn)一步的提煉假若某次班機(jī)只是擠掉一兩個(gè)旅客，可能可以保持平靜，但一小組的不滿意旅客會(huì)使航空公司當(dāng)眾出丑，而航空公司祝愿這種冒險(xiǎn)越小越好，也許在公式化訂票策略時(shí)，航空公司會(huì)采取一種策略，即取低于極大期望利潤(rùn)但又可以使大數(shù)目旅客被擠掉的概率減少到可接受的程度的最優(yōu)值。一種變通的辦法是努力想辦

44、法去增加實(shí)際出現(xiàn)旅客訂到機(jī)票的可能性，這可以通過(guò)有APEX ，ABC和其他特殊費(fèi)方案來(lái)實(shí)現(xiàn)。用這種方案，旅客能以較低的票價(jià)得到僅對(duì)某次班機(jī)有效的機(jī)票，若旅客未到，機(jī)票失效，旅客會(huì)損失掉這部分錢。顯然，一些旅客（主要是度假者）將接受這種限制以減少耗費(fèi)，這部分旅客將不會(huì)輕率地錯(cuò)過(guò)班機(jī)。因此，我們可以假定他們“未到”的概率為零。則這部分旅客形成了一個(gè)固定的旅客基數(shù)，他們是可靠的上機(jī)者。假定個(gè)旅客以票價(jià)訂了低價(jià)機(jī)票，那么，由個(gè)低費(fèi)旅客和個(gè)全費(fèi)旅客產(chǎn)生的利潤(rùn)為： （3-9）而人未到的概率現(xiàn)在為個(gè)全費(fèi)旅客中未到人的概率，例如飛行期望利潤(rùn)為： （3-10）這個(gè)式子能編程計(jì)算而用來(lái)解釋變化的影響，像前邊一樣，

45、如果我們對(duì)飛行耗費(fèi)比全比率費(fèi)用的關(guān)系作出一個(gè)近乎實(shí)際的假設(shè)，這里的計(jì)算困難也可以減小，假定奇點(diǎn)載重時(shí)以適當(dāng)比例混合的全費(fèi)與低費(fèi)旅客占了座位的60%，從而，當(dāng)?shù)唾M(fèi)旅客比例增加時(shí)，因償付全費(fèi)的旅客比例減少了，全費(fèi)用基數(shù)應(yīng)相應(yīng)增加，相應(yīng)奇異條件就是：即因此，由（3-10）式與此方程結(jié)合有等價(jià)于（3-7）的式子：（3-11）修改以前的程序即可用來(lái)計(jì)算這種情況下的?，F(xiàn)在，模型已被提煉成為這里的一個(gè)有充分多變量及參量的式子，并且表達(dá)方式實(shí)用而清楚，就建模本身而言，教導(dǎo)學(xué)生做到這一點(diǎn)很有益，在工業(yè)及商業(yè)環(huán)境中的數(shù)學(xué)家所需要有的技能之一就是以清楚而且通俗的方式為非數(shù)學(xué)家提供并表述他們的發(fā)現(xiàn)。表3-3給出了用模

46、型（3-11）算出的一些典型結(jié)果。其中的及是針對(duì)闡述目的而選擇的。要改變關(guān)于的影響是可能的，只要改變各種不同的訂票水平以及即可。從表3-3我們可以看出，當(dāng)增加時(shí)，極大化的訂票水平降低，而擠掉旅客的概率也相應(yīng)減小。這正是我們所期望的。表3-3 低價(jià)票的不同預(yù)訂水平下，300個(gè)座位的飛機(jī)，時(shí)，期望利潤(rùn)及被擠掉概率的變化情況。3000.583330.0000.0003010.588610.0000.0003020.593890.0000.0003030.599160.0000.0003040.604440.0000.0003050.609720.0010.0003060614980.0020.000

47、 307 0.62022 0.005 0.000 308 0.62541 0.013 0.000 309 0.63050 0.027 0.000 310 0.63542 0.051 0.002 311 0.64008 0.008 0.005 312 0.64436 0.142 0.011 313 0.64817 0.211 0.0243140.651400.2940.0463150.654000.3870.0813160.655910.4850.1313170.657170.5810.1963180.657810.6710.2773190.657900.7510.3673200.657750.

48、8180.464(a) 3000.579710.0000.0003010.585220.0000.0003020.590720.0000.0003030.596230.0000.0003040.601730.0010.0003050.607210.0040.0003060612630.0110.0003070.617950.0250.0003080.623070.0530.0013090.627880.0960.0033100.632220.1590.0093110.635970.2410.0233120.639030.3380.0473130.641320.4430.0873140.6431

49、50.6510.2243160.643820.7410.3183170.643470.8150.421(b) 3000.575760.0000.0003010.581510.0000.0003020.587270.0000.0003030.593010.0020.0003040.598710.0080.0003050.604290.0220.0003060.609650.0520.0003070.614610.1040.0023080.618990.1790.0073090.622630.2780.0203100.625410.3930.0463110.627280.5130.0933120.

50、628290.6280.1643130.628540.7300.2583140.628170.8130.369(c) 3000.571430.0000.0003010.577460.0000.0003020.583460.0040.0003030.589360.0160.0003040.595000.0480.0003050.600160.1090.0003060.604560.2030.0033070.607980.3280.0143080.613020.4640.0473090.611590.6000.0973100.611930.7200.1843110.611520.8160.301(d) 本文建立了模型卻沒(méi)有給出任何確定的結(jié)論，這只因?yàn)閷?duì)許多外部參量沒(méi)有做進(jìn)一步的研究而不能確定出其確定值，然而，本文著重說(shuō)明了成功提煉而建立模型的過(guò)程，以及用模型來(lái)獲取定量結(jié)果（如：趨勢(shì)的與直覺(jué)的）并組織觀察多變量函數(shù)參量變化的方法。4 進(jìn)一步建模工作的建議本章所考慮的正是大量相似問(wèn)題之一。同樣，一個(gè)資料擁有者可以公開(kāi)出借、雇傭或出售，但其必須考察可以實(shí)現(xiàn)或不可以實(shí)現(xiàn)的顧客預(yù)訂問(wèn)題。下面列