2022年AG不等式的證明及其推廣.

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載平均不等式ag 不等式：1.中學里面我們稱之為基本不等式：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 1）abab （ a、b0）2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a b（ 2）b a0 （ a、b同號）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22（ 3） a +b2ab（ a、b為實數(shù)）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.推廣：設a=a1、,an,ak0 , 1kn ,就 ana=1nnak 稱為 a1, ,an 的算術k 1精品學習資料精選學習資料 - -

2、 - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載平均值, gna= na1a 2an 稱為 a1、, an 的幾何平均值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載gn aana,即 na1a 2a1a2anann精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載稱為 ag不等式,當且僅當 a1=a1=an時等號成立 .ag不等式為最重要的基本不等式, 利用這個不等式,可將和的形式縮小為積的形式,或者將積的形式放大為和的形式,因而這可以表達成兩個等價的共軛命題：（ 1）其和為s的 n 個正數(shù)之積,在這些數(shù)都相等的時候最大,最大值為s/nn

3、.（ 2）其積為的 n 個正數(shù)之和,在這些數(shù)都相等的時候最小,最小值為n2.因此 ag 不等式有很多特殊的應用價值,例如在幾何學中求最大最小問題時,給定表面積的全部長方體中,正方體具有最大的體積；而給定體積的全部長方體中,正方體具有最小的表面積等 .3.加權形式的ag 不等式：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載gna、q ana、q,式中 gna、q=n（ ak） qkn,ana、q=qk ak ,qk0 ,qk1 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nk 1k 1k 1通過對數(shù)變換可以將這兩種平均聯(lián)系起來,記 lna=lna1、,lnan,就 lngna、q lnan

4、a、q,即正數(shù) a1, ,an的加權幾何平均gna、q的對數(shù)等于a1, ,an 的對數(shù) lna1、,lnan精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載的加權算術平均.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n同時,對于加權形式的ag 不等式的進一步推廣為：設ajk>0,qk>0,且qkk 11 ,就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載m naij qk n majk qkaj1,當且僅當maj 2=majn= m,（ j=1、,m）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載j 1k 1k 1j 1

5、aj1j 1aj 2j 1ajnj 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載時等號成立 .4.關于 ag 不等式的證明：n這里面介紹的為幾個典型的.簡潔的和新的出色的證明方法,為了表達便利,下面將精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n a1a 2a1a 2anna記為 gnaana,并設 a1,an 為不全相等的正精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載數(shù)（由于 a1=a1=an 時,等號成立）,與 na1a 2ana1a2nan 等價的為：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n如akk 11 ,就nakn;k 1

6、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n如akk 1n1,就akk 11 n .n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1821 年 cauchy 用反向數(shù)學歸納法給出了一個出色的證明：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載第一步：假設n=k時, 時候該式也成立：n a1a 2ana1a2nan 成立,簡單推出n=2k的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a1a 2k2k1 a1a2=（2 kakak1+ak2ka 2k1）2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下

7、載 a1ak 1/k + ak1a 2k 1/ka1ak ak1a 2 k 1/2k精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由此推出 n=2m 時, na1a 2a1a2anan 成立 .n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載mm其次步：設n2 ,就比存在rn ,使得 n+r=2 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nr anannra1an n an rana1ananan1/n+r （有r 個 an精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載連乘） =gn nan r1/n+r .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學

8、習資料 - - - 歡迎下載即 ann+rgn nan r. 從而angn .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載另外一種思路為從an1gn1 推出angn 成立,事實上精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ananana1nn1anann1a1a 2anan1/n+1 ,即ann+1a1anan,從而精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載an na1an = gnn,即angn.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載同時也可以用數(shù)學歸納法來證明下式的成立精品學習資料精

9、選學習資料 - - - 歡迎下載na k1,就k 1naknk 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明如下： n=1時,命題明顯為真.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載假設 n1時,命題為真,當n1 時,如全部的xk1,就其和等于n1 ,不然精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載不妨設 x11、 xn11（對如干個xi 進行一個排列, 把最小的重新定為x1 ,最大的定為xn1 ）,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載我們記 yx1xn1 ,這時便有x2 x3x

10、ny1 ,由于歸納假設精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2x3xnyn精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載另外, x1xn1yx1xn1x1xn11x1 1xn11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載+得, x1xn1n1 ,因而對n1 的情形也成立,證畢！ehlers、1954精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載教材大多采納的為利用函數(shù)的凹凸性去證明,這里我們直接證明加權平均不等式,ag 不等式只為其中的一種特別

11、情形；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載下證明： gna、q ana、q, 式中gna、q=n（ ak） qkn, ana、q=qk ak , qk0 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載k 1k 1nqk1 ,k 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明： 留意到假如ak 中有等于0 時, 不等式自然成立,現(xiàn)在只需要考慮ak 都為正數(shù)的情形.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由于指數(shù)函數(shù)e xexp x 為嚴格的上凸函數(shù),所以我們有：精品

12、學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nnak qk = expk 1k 1k ln aknk explnk 1ak nkak ,當且僅當k 1ak 都相等精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的時候成立；這時候我們再令k1 、 k n1、2、 n 時,該式子就為非負的幾何平均數(shù)不大于精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載算術平均數(shù)（ag 不等式）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載仍可以利用young 不等式： a 1/p b 1/q1 / p a1 / qb , 1 /

13、 p1 / q1、1p,得到精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載an11/n ·an1-1/n11nan111an1n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載記 gan1 1/n · an1 1-1/n , a1nan111an1 .n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就an1ana 2anagnggn1 n1an1 n11/2n,即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載an1gn1 .證畢！（ dia

14、nanda）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載補充說明的為young 不等式的證明：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載young 不等式（ p-q 不等式）：設p、 q0、 1p11 ,就當 1p q時,成立精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載| ab |1 | a | pp1q | b | q；當 0p1 的時候, 不等式反向, 當且僅當| b | a |p-1的時候精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載等號成立 .證明這個不等式的方法有很多,這里只給出四種證明的方法：精品學習資料精選學習

15、資料 - - - 歡迎下載代數(shù)方法： 利用 bernoulli 不等式： x0、01. x1x1 . 再取1 、 xbq精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載q/ a p.bernoulli 不等式的證明很簡單,只需要用數(shù)學歸納法即可證明,這里不再去證明微分法：固定x0、 求一元函數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1yx pp1y qqxy在 0、上 的 極 值 ,在精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載y0x0 （式中1）時取到最小值.即yq1y00.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習

16、資料 - - - 歡迎下載積分法：設yx 為 0、 a上嚴格遞增的連續(xù)函數(shù),精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載比較面積得ababx dx00y dy、 a、 b0 （這里的和函數(shù)互為反函數(shù)） ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載然后我們取xx p-1 即可證得！精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載考慮二元函數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f x、 yxyx 1/p y 1/q在凸域 d pq x、 y: x、 y0 上的凸性 .精品學習資料精選學習資料

17、- - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載lagrange 乘數(shù)法：求fxn x1xn 在條件x1xna下的最大值,作幫助函數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f xx1xn 1/n + x1xna .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f 對 xk 求偏導數(shù)f ' xk0 ,得出精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載fxnkxk 、 k1、 n. 即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載對 k 求和,得到nfxnx1

18、xnna. 即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f xa .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由以上兩個式子,我們可以得到xka. 于 為f在na 、 ann點 取 得 最 大 值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載aaanan,即x1xnnnnn1x1 nxn .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載再補充利用四個個不等式去證明的方法：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載利用不等式expx1x ,得出精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1e

19、xp 0expnaknk 1 anna kexp1k 1annakk 1angnn.an精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載利用不等式exp xx e xe , 即 xeln x. 于為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ake ln ak、 k1、 n.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載我們可以挑選權系數(shù)qq1、 qn 、 qkn0、 且qkk 11、 使得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載gn a、 q n ak qke.k 1精品學習資料精選學習資料 -

20、 - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為從 ake ln ak 、 k1、n. 式子對 k 求和,得到精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nqkakk 1neqk ln akk 1elnnak qkk 1neakk 1 qk ,這就為加權平均不等式.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載利用不等式ln xx1 x0 、得到lo ak akak1、 ak對k求和得到,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - -

21、 - 歡迎下載nlog ak nakk 1n0、 即loggnakloggn nn log gn 0. 從而我們精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載k 1anank 1 ananan精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載得到log gnan0、 即 gnan1 . 證畢！精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載利用不等式xn x n1n1、 x0.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載取 xa1 an1/n-1,就從不等式上方的不等式得到an na 2ana1n-1,n1

22、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載對上式逐次使用不等式得到：anna1a 2a3nann-22a1a 2angn n . 證畢！精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（akerberg、b. 1963）5.深度的推廣精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載我們通過加權平均不等式來證明：設aik0、 k1、n、i0、 i1、m、m、i1.i 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n就有不等式k 1maik ii 1mni 1k 1aiki精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明：當上述右邊等于0 時,明顯左邊也等于0.我們考慮右邊不為0 的情形,利用加權平均不等式