2016年高考天津理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、ï0ïîoo2016 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理科）參考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 P(A U B)=P(A)+P(B)； 如果事件 A ， B 相互獨立，那么 P (AB)=P(A)P(B)； 柱體的體積公式V =Sh ，其中 S 表示柱體的底面面積， h 表示柱體的高；1 錐體體積公式 V = Sh ，其中 S 表示錐體的底面面積， h 表示錐體的高3第卷（共 40 分）一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 （1）【2016 年天津，理 1，5 分】已知集合 A

2、=1,2,3, 4，B = y y =3x -2, x ÎA，則 A I B =（ ）（A） 1（B） 4（C） 1,3（D）1,4【答案】D【解析】把 x =1,2,3,4 分別代入 y =3 x -2 得： y =1,4,7,10 ，即 B =1,4,7,10 ，A =1,2,3,4 ，A I B =1,4， 故選 D【點評】本題重點考查集合的運算，容易出錯的地方是審錯題意，誤求并集，屬于基本題，難點系數(shù)較小一要 注意培養(yǎng)良好的答題習(xí)慣，避免出現(xiàn)粗心錯誤，二是明確集合交集的考查立足于元素互異性，做到不重 不漏（2）【2016 年天津，理 2，5 分】設(shè)變量 x ， y 滿足約束條

3、件 z =2 x +5 y 的最小值為（ ）ìïíïîx -y +2 ³02 x +3 y -6 ³0 ，則目標(biāo)函數(shù) 3 x +2 y -9 £0（A） -4（B）6（C）10（D）17【答案】Bìx -y +2 ³0【解析】作出不等式組 í2x +3 y -6 ³0 表示的可行域，如右圖中三角形的區(qū)域，作出直線l : 2 x +5 y =0 ，圖中的3 x +2 y -9 £0虛線，平移直線 l ，可得經(jīng)過點 (3,0)時，z =2 x +5 y 取得最小值 6，

4、故選 B0【點評】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目 標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最 后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍（3）【2016 年天津，理 3，5 分】在 DABC 中，若 AB = 13 ， BC =3 ， ÐC =120，則 AC =（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】在 DABC 中，若 AB = 13 ，BC =3 ，ÐC =120，AB2=BC2+AC2-2 AC ×BC cos C ，得：13 =9 +

5、AC2+3 AC ，解得 AC =1 或 AC =-4（舍去），故選 A【點評】（1）正、余弦定理可以處理四大類解三角形問題，其中已知兩邊及其一邊的對角，既可以用正弦定理求 解也可以用余弦定理求解（2）利用正、余弦定理解三角形其關(guān)鍵是運用兩個定理實現(xiàn)邊角互化，從而 達(dá)到知三求三的目的（4）（4）【2016 年天津，理 4，5 分】閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出 S的值為（ ）（A）2（B）4（C）6（D）8【答案】B【解析】第一次判斷后：不滿足條件， S =2 ´4 =8 ， n =2 ， i >4 ；第二次判斷不滿足條件 n >3 ； 第三次判斷滿足條件：S

6、 >6 ，此時計算 S =8 -6 =2 ，n =3 ，第四次判斷 n >3 不滿足條件， 第五次判斷 S >6 不滿足條件， S =4 n =4 ，第六次判斷滿足條件 n >3 ，故輸出 S =4 ，故選 B( )ç ÷(ç ÷ç ÷( )( )( ) ( )1313311æöæö22ç÷ç÷【點評】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié) 構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條

7、件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明 確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項（5）【2016 年天津，理 5，5 分】設(shè) a是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為 q 則“ q <0 ”是“對任意的正整數(shù) n ，na +a <0 ”的（ ）2 n -1 2 n（A）充要條件 （B）充分而不必要條件 （C）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】C【解析】 a是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為 q ，若“ q <0 ”是“對任意的正整數(shù) n ， an 2 n -1+a <0 ”不一定 2 n1 1 1 1 æ 1 ö 1成立，例如：當(dāng)首項

8、為 2，q =- 時，各項為 2，-1， ，- ，此時 2 + -1 =1 >0 ， + - = >0 ；2 2 4 2 è 4 ø 4而“對任意的正整數(shù) n ，a +a <0 ”，前提是“ q <0 ”，則“ q <0 ”是“對任意的正整數(shù) n ，a +a <0 ”2 n -1 2 n 2 n -1 2 n的必要而不充分條件，故選 C【點評】充分、必要條件的三種判斷方法（1）定義法：直接判斷“若 p 則 q”、“若 q 則 p”的真假并注意和圖 示相結(jié)合，例如“pq”為真，則 p 是 q 的充分條件（2）等價法：利用 pq 與非 q非

9、p，qp 與非 p 非 q，pq 與非 q非 p 的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法（3）集合法： 若 A B，則 A 是 B 的充分條件或 B 是 A 的必要條件；若 AB，則 A 是 B 的充要條件x 2 y 2（6）【2016 年天津，理 6，5 分】已知雙曲線 - =1 b >04 b2)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于 A ，B ，C ，D 四點，四邊形 ABCD的面積為 2b ，則雙曲線的方程為（ ）x 2 3 y 2 x 2 4 y 2 x2 y 2 x 2 y 2 （A） - =1 （B） - =1 （C） -

10、=1 （D） -4 4 4 3 4 42 4 12 【答案】D=1【解析】以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為 x2+y2b=4 ，雙曲線兩條漸近線方程為 y =± x ，2æ b ö æ b ö設(shè) A x, x ，則四邊形 ABCD的面積為 2b ， 2 x ×bx =2b ， x =±1，將 A 1, 代入 xè 2 ø è 2 ø2+y2=4 ，b 2 x 2 y 2可得 1 + =4 ， b 2 =12 ，雙曲線的方程為 - =1 ，故選 D4 4 12【點評】求

11、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)注點：（1）確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件，“定 位”是指確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定 a ，b 的值，常用待定系數(shù)法（2）利用待定系數(shù)法 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?，以避免討論若雙曲線的焦點不能確定時，可設(shè) 其 方 程 為 Ax 2By 2 =1(AB <0 ) 若 已 知 漸 近 線 方 程 為 mx +ny =0 ， 則 雙 曲 線 方 程 可 設(shè) 為m2x2-n2y2=l(l¹0)（7）【2016 年天津，理 7，5 分】已知 DABC 是邊長為 1 的等邊三角形，點 D ， E 分別是邊 A

12、B ， BC 的中點，uuur uuur連接 DE 并延長到點 F ，使得 DE =2 EF ，則 AF ×BC 的值為（ ）5 1 1 11（A） - （B） （C） （D）8 8 4 8【答案】Buuur uuur uuur uuur uuur uuur【解析】由 DD 、 E 分別是邊 AB 、 BC 的中點， DE =2 EF ， AF ×BC = AD +DF ×AC -ABuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur= AB + DE ×AC -AB = AB + AC

13、 ×AC -AB = AC - AB ×AC - AB ，è2 2 ø è2 4 ø 4 4 23 1 1 1 1= - ×1×1×- = ，故選 B4 4 2 2 8【點評】研究向量數(shù)量積，一般有兩個思路，一是建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基 底表示所有向量，兩種實質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡 平面向量的坐標(biāo)運算的引入為向量提供了 新的語言“坐標(biāo)語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算都可用坐標(biāo)來 進(jìn)行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來

14、9;îæ 2 ùçúé2 3 ùê ú（D） ,（C） ,UU3 3 43 34()U ，解得 a = 或 1（舍去），當(dāng)1 £3a £2 時，由圖象可知，符合條件，綜上：a 的取值范圍為 ,í ýê ú( )()( )8æ 1 öç ÷r8( )rr 16 -3rç ÷ç ÷83ìx2 +(4 a -3) x +3a , x <0（8）【2016 年

15、天津，理 8，5 分】已知函數(shù) f ( x ) =íïlog ( x +1) +1, x ³0 a（ a >0 ，且 a ¹1 ）在 R 上單調(diào)遞減，且關(guān)于 x 的方程 f ( x ) =2 -x 恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則 a 的取值范圍是（ ）（A） 0,è 3 û（B） ,ë3 4 ûé1 2 ù ì3 ü é1 2 ö ì3 ü ê ú í ý ê ÷ 

16、7; ý ë û î þ ë ø î þ【答案】C【解析】 y =log (x+1)+1在0,+¥)遞減，則0<a<1 ，函數(shù) f (x)在R上單調(diào)遞減，則aìïïíïïî3 -4 a³020 <a <10 2 +(4a-3)×0+3a³log (0+1)+1a1 3；解得， £a £ ；由圖象可知，在 0, +¥ 3 4)上，f ( x )

17、=2 -x 有且僅有一個解，故在 (-¥,0)上，f( x ) =2 -x 同樣有且僅有一個解，2當(dāng) 3a >2 即 a > 時，聯(lián)立 x 2 + 4 a -3 +3a =2 -x ，則 D=3(4a-2)2-4(3a-2)=0 ，3 é1 2 ù ì3 ü 4 ë3 3 û î4 þ故選 C【點評】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不 等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解 決；（3）

18、數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解第 II 卷（共 110 分）二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分（9）【2016 年天津，理 9，5 分】已知 a ， b ÎR ， i 是虛數(shù)單位，若 (1+i)(1-bi)=aa，則 的值為 b【答案】2ì1+b =a ìa =2 a【解析】 1 +i 1 -bi =1 +b + 1 -b i =a ， a, b ÎR ， í ，解得： í ， =2 î1-b =0 îb =1 b【點評】本題重點考查復(fù)

19、數(shù)的基本運算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如(a +bi)(c +di) =(ac -bd ) +(ad +bc )i,( a, b, c.d ÎR )，a +bi (ac +bd ) +( bc -ad )i =c +di c 2 +d 2(a , b, c.d ÎR )，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)a +bi( a , b ÎR )的實部為 a、虛部為b、模為 a2+b2、共軛為a -bi（10）【2016 年天津，理 10，5 分】 x 2 - 的展開式中 xè x ø【答案】 -5

20、67的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）【解析】 T r +1=C r (x2)8-r 8æ 1 ö æ 1 ö- = -1 C x ，令 16 -3r =7 ，解得 r =3 x 2 - 的展開式中 x 7 的系數(shù)為 è x ø è x ø(-1)C3=-568【點評】（1）求特定項系數(shù)問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程 來確定指數(shù)（求解時要注意二項式系數(shù)中 n 和 r 的隱含條件，即 n ， r 均為非負(fù)整數(shù)，且 n ³r ）；第二 步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項（2）

21、有理項是字母指數(shù)為整數(shù)的項解此類問題必須合并通項 公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解（11）【2016 年天津，理 11，5 分】已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為 m 3【答案】2ç ÷îæ7 öç ÷【解析】拋 t物線2æ7 öç ÷3( )DAFC DACEp2【解析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，棱錐的底面是底為 2，高為 1 的平行四邊形，故底面面積 S

22、=2 ´1 =2m21，棱錐的高 h =3m ，V = Sh =2m33【點評】（1）解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀 圖（2）三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖 的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)（12）【2016 年天津，理 12，5 分】如圖，AB 是圓的直徑，弦 CD 與 AB 相交于點 E ，BE =2 AE =2 ， BD =ED ，則線段 CE 的長為 【答案】2 33【解析】過 D 作 DH AB 于 H ， BE =2 AE =2 ，BD =ED ， BH =

23、HE =1 ， AH =2 ，BH =1 ， DH 2=AH BH =2 ，則 DH = 2 ，在 RtDDHE 中，則 DE = DH2+HE2= 2 +1 = 3 ，由相交弦定理得： CE ×DE =AE ×EB ， CE =AE ×EB 1 ´2 2 3 = =DE 3 3【點評】1、解決與圓有關(guān)的成比例線段問題的兩種思路：（1）直接應(yīng)用相交弦、切割線定理及其推論；（2）當(dāng)比例式(等積式)中的線段分別在兩個三角形中時，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相 似三角形比例式等積式”在證明中有時還要借助中間比來代換，解題時應(yīng)靈活把握2、應(yīng)用相交 弦定理

24、、切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān) 的相似三角形等（13）【2016 年天津，理 13，5 分】已知 f (x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間 (-¥,0)上單調(diào)遞增若實數(shù) a 滿 足 f (2a-1)>f(-2)，則a的取值范圍是 æ1 3 ö【答案】 ,è2 2 ø【解析】 f (x)是定義在R 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間 (-¥,0)上單調(diào)遞增， f (x)在區(qū)間(0,+¥)上單調(diào)遞減， 則 f (2a-1)>f(-2)，等價為f(2a-1)>f(2)，

25、即-2<2a-1<2，則a-1<1 ，即 1 <a <3 2 2 2【點評】不等式中的數(shù)形結(jié)合問題，在解題時既要想形又要以形助數(shù)，常見的“以形助數(shù)”的方法有：（1）借助數(shù) 軸，運用數(shù)軸的有關(guān)概念，解決與絕對值有關(guān)的問題，解決數(shù)集的交、并、補運算非常有效（2）借助 函數(shù)圖象性質(zhì)，利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題是數(shù)形結(jié)合的基本方法，需注意的問題是準(zhǔn)確把握代 數(shù)式的幾何意義實現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化ìx =2 pt 2（14）【2016 年天津，理 14，5 分】設(shè)拋物線 í （ t 為參數(shù)， p >0 ）的焦點 F ，準(zhǔn)線為 ly =2 pt過

26、拋物線上一點 A 作 l 的垂線，垂足為 B 設(shè) C p,0 ，AF 與 BC 相交于點 E 若 CF =2 AF ，且 DACE 的面積為 3 2 ，è2 ø則 p 的值為 【答案】 6ìx =2 pt 2 æp öí （ 為參數(shù)， p >0 ）的普通方程為： y 2 =2 px 焦點為 F ç ,0 ÷，îy =2 pt è ø如圖：過拋物線上一點 A 作 l 的垂線，垂足為 B ，設(shè)C p,0 ， AF 與 BC 相交 è2 øAE AB 1于點 E C

27、F =2 AF ，CF =3 p ，AB = AF = p ，A p , 2 p ，DACE 的面積為 3 2 ， = = ，2 EF CF 21 1 1可得 S =S 即： ´ ´3 p ´ 2 p =3 2 ，解得 p = 6 3 3 2【點評】（1）凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理（2）若 P(x , y0 0)為拋物線 y 2 =2 px (p>0)上一點，由定義易得 PF =x + ；若過焦點的弦 AB 的端點坐標(biāo)為 A (x, y )，0 1 1B (x, y22)，則弦長為 AB =x +x +p ， x +x

28、可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，1 2 1 2()æp ö æ pöç ÷ ç ÷é p pùê ú()233ç÷2 2êùú4 412é p pùê ú()ê úê úêú( )則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到三、解答題：本大題共 6 題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（1

29、5）【2016 年天津，理 15，13 分】已知函數(shù)f x =4tan x sin -x cos x - - 3 è2 ø è 3 ø（1）求 f (x)的定義域與最小正周期；（2）討論 f(x)在區(qū)間 - , ë 4 4 û上的單調(diào)性解：（1） f (x)ì p ü æ pö æ pö的定義域為 íx x ¹ +k p,k ÎZ ý f x =4tan x cos x cos çx - ÷- 3 =4sin x c

30、os çx - ÷- 3 î þ è ø è ø=4sin xæ1 3 ö ç cos x + sin x ÷ è ø- 3 =2sin x cos x +2 3 sin 2 x - 3=sin 2 x + 3 (1-cos2 x )-3 =sin 2 x - 3cos2 x=2sin (2x)-p3所以， f (x)2p的最小正周期 T = =p2（2）令 z =2 x -p3é p p，函數(shù) y =2sin z 的單調(diào)遞增區(qū)間是 - +2 k

31、 p, +2 kë 2 2p , k ÎZ . ûp p p p 5p 由 - +2 k p£2 x - £ +2k p，得 - +k p£x £ +k2 3 2 12 12p,k ÎZ .é p pù ì p 設(shè) A =ê- , ú,B =íx - +kë û îp£x £5p12+kp,k ÎZüýþ，易知 A I B = - , ë 12 4 

32、1;é p pù é p pù é p pù所以，當(dāng) x Î - , 時， f x 在區(qū)間 - , 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 - ，- 上單調(diào)遞減ë 4 4 û ë 12 4 û ë 4 12 û【點評】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角， 即注重角的變換角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公 式等，選用恰當(dāng)?shù)墓剑墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負(fù)取舍是解題正確的保證

33、 對于三角函數(shù)來說，常常是先化為 y =A sin(wx+j)+k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角恒等變換要堅持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是 同化思想的體現(xiàn)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運用降次公式（16）【2016 年天津，理 16，13 分】某小組共 10 人，利用假期參加義工活動已知參加義工活動次數(shù)為 1，2， 3 的人數(shù)分別為 3，3，4現(xiàn)從這 10 人中隨機(jī)選出 2 人作為該組代表參加座談會（1） 設(shè) A 為事件“選出的 2 人參加義工活動次數(shù)之和為 4”，求事件 A 發(fā)生的概率；（2） 設(shè) X 為選出的 2 人參加義工活動次

34、數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（1）由已知，有 P (A)=C1C 1 +C 2 3 4 4C 2101 1 = , 所以，事件 A 發(fā)生的概率為 3 3（2）隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 0,1,2.P (X=0 )=C 2 +C 2 +C 2 4 C 1C 1 +C 1C1 3 3 4 = ， P X =1 = 3 3 3 4C 2 15 C 210 10=715，P (X=2 )=C1C 13 4C 210=415所以，隨機(jī)變量 X 分布列為：XP0 1 24 7 415 15 15隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)4 7 4=0 ´ +1´

35、 +2 ´ =1 15 15 15【點評】求均值、方差的方法（ 1）已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義 (公式) 求 解；（2）已知隨機(jī)變量 的均值、方差，求 的線性函數(shù) ab 的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用 的均值、方差的性質(zhì)求解；（3）如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布 (如兩點分布、二項分布等 )， 可直接利用它們的均值、方差公式求解（17）【2016 年天津，理 17，13 分】如圖，正方形 ABCD的中心為 O ，四邊形 OBEF 為矩形，平面 OBEF 平面 ABCD，點 G 為 AB 的中點， AB =BE =2 3( )()，1112 x =

36、0ì11î()2n ×CF =02îïîOA ×n 632222 2 43 3 42 2æöæö5 5 5 55 5 5BH ×n 72 8 47æöç ÷2åå1nk()()()2åååç÷ç÷2222 nn( )（1） 求證： EG / / 平面 ADF ；（2） 求二面角 O -EF -C 的正弦值；2（3）設(shè) H 為線段 AF 上的點，且

37、AH = HF ，求直線 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值uuur uuur uuur解：依題意， OF 平面 ABCD ，如圖，以 O 為點，分別以 AD, BA, OF 的方向為 x 軸， y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得O(0,0,0) ， A (-1,1,0),B(-1,-1,0), C (1,-1,0),D(11,0),， E ( -1, -1,2), F (0,0,2), G ( -1,0,0) uur uuuruuur uuur ur ìïn×AD=0（1 ） AD =(2,0,0), AF = 1, -1,2 設(shè) n =

38、x, y , z 為平面 ADF 的法向量，則 íur uuurïîn×AF=0uur uuur uuur uur即 í 不妨設(shè) z =1 ，可得 n =(0,2,1)，又EG =(0,1,-2)，可得EG ×n =0 ，x -y +2 z =0又因為直線 EG Ë 平面ADF ，所以 EG / / 平面 ADF uuur uuur uuur（2）易證，OA =(-1,1,0)為平面OEF 的一個法向量依題意，EF =(1,1,0),CF =(-1,1,2)設(shè)uur uuuruur ìïn×EF

39、=0 ìx +y =0n = x , y , z 為平面 CEF 的法向量，則 íuuruuur ，即 í 不妨設(shè) x =1 ，-x +y +2 z =02 uuur uuruur uuur uur uuur uur可得 n =(1,-1,1)因此有cos <OA, n >=uuur uur2=- ，于是 sin <OA, n >= ，OA ×n 3 2 323所以，二面角 O -EF -C 的正弦值為 3uuur uuuur uuur（3）由 AH = HF ，得 AH = AF 因為 AF =(1,-1,2)，所以AH = A

40、F =ç , - , ÷，進(jìn)而有 H ç- , , ÷， 3 5 è ø è øuuur uuruuur uuur uur從而 BH = , , ，因此 cos <BH , n >=uuur u2ur=- 直線 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值為 è5 5 5 ø BH ×n 21 212【點評】1、利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑 ：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐 標(biāo)運算2、利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題（1） a ¹0 ， b

41、 ¹0 ， a b Û a·b0 ；（2） a = a2；（3） cos a , b =a ×ba b（18）【2016 年天津，理 18，13 分】已知 a是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為 d 對任意的 n ÎN *， b 是 an n和 a 的等比中項n +1（1）設(shè) c =b 2 -b 2 ， n ÎN *，求證：數(shù)列 c 是等差數(shù)列；n n +1 n nn2 n n 1 1（2）設(shè) a =d ， T = ( -1)k b2 ， n ÎN *，求證 < T 2 d 2k =1 k =1 k解：（1）由題意得 b

42、2 =a a ，有 c =b 2 -b 2 =a a -a a =2da ，因此 c -c =2 d (a -a )=2d2，n n n +1 n n +1 n n +1 n +2 n n +1 n +1 n +1 n n +2 n +1所以 c是等差數(shù)列nn (a +a )（2） T = -b2 +b 2 + -b2 +b 2 + -b2 +b 2 =2d (a +a +L +a )=2d× 2 2 n =2d 2 n (n+1) n 1 2 3 4 2 n -1 2 n 2 4 2 nn 1 1 n 1 1 n æ1 1 ö 1 æ 1 ö

43、 1所以 = = - = ×1 - < T 2d k (k+1)2 d èk k +1 ø 2d è n +1 ø 2dk =1 k k =1 k =1【點評】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型（ 1）若 a b ±c ，且 b，c為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法n n n n nìïbn，n為奇數(shù)，求 a 的前 n 項和（2）通項公式為 a =íïîcn，n為偶數(shù)等差數(shù)列，可采用分組求和法求和的數(shù)列，其中數(shù)列 b，c是等比數(shù)列或n n（19）【2016 年天津，理 19，14 分】設(shè)橢

44、圓x2 y 2+a 2 3=1 a > 3 的右焦點為 F ，右頂點為 A 已知1 1 3e+ =OF OA FA，()B BîB-12kB,4k 2 +3 4 k 2 +3Hç÷4 4()()13 2()-¥,1-1 - ,1 +1 + , +¥ç÷ç÷ç÷()ç÷ ç÷ ç÷3 3 3 3其中 O 為原點， e 為橢圓的離心率 （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點 A 的直線l與橢圓交于點 B （ B 不在 x 軸上），

45、垂直于 l的直線與 l交于點 M ，與 y 軸交于點H 若 BF HF ，且 ÐMOA£ÐMAO ，求直線 l的斜率的取值范圍解：（1）設(shè) F (c,0 )，由1 1 3c+ =OF OA FA1 1 3c，即 + = ，可得 a 2 -c 2 =3c 2 ，又 a 2 -c 2 =b 2 =3 ，所以 c 2 =1 ， c a a ( a -c )x 2 y 2因此 a 2 =4 ，所以橢圓的方程為 + =1 4 3（2）設(shè)直線 l的斜率為 k (k¹0)，則直線l的方程為 y =k(x -2)ìx2 y 2ï + =1設(shè) B x

46、, y ，由方程組 í4 3 ，ïy =k (x-2)消去 y ，整理得 (4k2+3)x2 -16k 2 x +16k 28k 2 -6 8k 2 -6-12 =0 解得 x =2 ，或 x = ，由題意得 x = ，4 k 2 +3 4k 2 +3從而 y = 由（1）知， F (1,0) 4 k 2 +3uuur uuur，設(shè) H (0,y )，有FH =(-1,y )，BF = H Hæ9 -4 k 2 12k ö ç ÷è øuuur uuur由 BF HF ，得 BF ×HF =0 ，所以9

47、-4k 2 12ky 9 -4 k+ H =0 ，解得 y =4 k 2 +3 4k 2 +3 12 k2因此直線 MH 的方程為1 9 -4 k y =- x +k 12k2設(shè) M (x , y )，由方程組 M Mìïíïî1 9 -4 k y =- x +k 12k y =k ( x -2)2消去 y ，解得 x =M20 k12( k22+9+1)在 DMAO中， ÐMOA £ÐMAO Û| MA |£|MO | ，即(x -2M)2+y2M£x 2M+y2M，化簡得 x &#

48、179;1 ，即M20 k 2 +9 12( k 2 +1)³1 ，解得 k £-6 6或 k ³ 所以，直線 l 4 4的斜率的取值范圍為æ 6 ù é 6 ö ç-¥,- úU ê , +¥÷ è û ë ø【點評】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：（1）利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確 定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間 建立等量關(guān)系；（3）利

49、用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用基本 不等式求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍（20）【2016 年天津，理 20，14 分】設(shè)函數(shù) f ( x) =(x-1)3-ax-b， x ÎR ，其中 a ， b ÎR （1）求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若 f (x)存在極值點 x ，且 f (x)=f(x)，其中x ¹x ，求證： x +2 x =3 ；0 1 0 1 0 1 0（3）設(shè) a >0 ，函數(shù) g x = f x ，求證： g (x)在區(qū)間0,2上的最大值不小于 4解：（1）由f (

50、x)=(x-1)-ax-b，可得f' (x)=3(x-1)-a下面分兩種情況討論：當(dāng) a £0 時，有f ' (x)=3(x-1)2-a³0恒成立，所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (-¥,+¥)3a 3a當(dāng) a >0 時，令 f ' x =0 ，解得 x =1 + ，或 x =1 - 3 3當(dāng) x 變化時， f ' (x)，f(x)的變化情況如下表：xæ 3a ö 3a æ 3a 3a ö 3a æ 3a ö ç ÷ 1 - ç

51、 ÷ 1 + ç ÷ è 3 ø 3 è 3 3 ø 3 è 3 øf ' (x) f (x)單調(diào)遞增0極大值單調(diào)遞減0極小值單調(diào)遞增æ 3a 3a ö æ 3a ö æ 3a ö所以 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ç1- ,1 + ÷，單調(diào)遞增區(qū)間為 ç-¥,1- ÷，ç1+ , +¥÷è ø è ø è 

52、48;22( ) ()30000() ()()()( )8a 2a a30 00000000() ()()ç÷ ç÷ ç÷ ç÷3 3 3 3ç÷3ç÷3ïç÷ ç÷3 3î( )9ç÷ ç÷3 3ç÷ ç÷3 3ëû11（2）因為 f(x)存在極值點，所以由（1）知 a >0 ，且 x ¹10，由題意

53、，得 f ' (x)=3(x-1)-a=0，0 0即 (x-1)=0a32a a，進(jìn)而 f x = x -1 -ax -b =- x - -b 3 3f 3 -2 x = 2 -2 x -a 2 -2 x -b = 1 -x +2 ax -3a -b =- x - -b = f x ，且 3 -2 x ¹x3 3 3由題意及（1）知，存在唯一實數(shù)滿足 f (x)=f(x)，且x ¹x ，因此 x =3 -2 x ，所以 x +2 x =3 1 0 1 0 1 0 1 0（3）設(shè) g (x)在區(qū)間0,2上的最大值為 M ， max x,y表示 x, y 兩數(shù)的最大值下面分三種情況同理：，3a 3a當(dāng) a ³3 時， 1 - £0 <2 £1 + ，由（1）知， f x 在區(qū)間 0, 2 上單調(diào)遞減，所以 f x3 30,2上的取值范圍為 é&