正四面體與正方體的相關(guān)問題歸納

1、1多面體題根多面體題根 解正方體解正方體一、正方體高考十年一、正方體高考十年二、正四面體與正方體二、正四面體與正方體三、正方體成為十年大難題三、正方體成為十年大難題四、解正方體四、解正方體五、解正四面體五、解正四面體2一、正方體高考十年一、正方體高考十年 十年來，立體幾何的考題一般呈十年來，立體幾何的考題一般呈“一小一大一小一大”的形式的形式. .分?jǐn)?shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一分?jǐn)?shù)約占全卷總分的八分之一至七分之一. . 立幾題的難度一般在立幾題的難度一般在0.550.55左右，屬中檔考題，是廣大左右，屬中檔考題，是廣大考生考生“上線競(jìng)爭(zhēng)上線競(jìng)爭(zhēng)”時(shí)勢(shì)在必奪的時(shí)勢(shì)在必奪的“成敗線成敗線”或

2、或“生死生死線線”. .十年的立幾高考，考的都是多面體十年的立幾高考，考的都是多面體. . 其中：其中：（1 1）直接考正方體的題目占了三分之一；）直接考正方體的題目占了三分之一；（2 2）間接考正方體的題目也占了三分之一）間接考正方體的題目也占了三分之一. .因此有人說，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞因此有人說，十年高考，立體幾何部分，一直在圍繞著正方體出題著正方體出題. .3解解 析析外接球的表面積，比起內(nèi)接正方體的全面積來，自然要大一些，但絕外接球的表面積，比起內(nèi)接正方體的全面積來，自然要大一些，但絕不能是它的不能是它的(C)(C)約約6 6倍或倍或(D)(D)約約9 9倍，否定倍，

3、否定(C)(C)，(D)(D)；也不可能與其近似；也不可能與其近似相等，否定相等，否定(A)(A)，正確答案只能是，正確答案只能是(B) .(B) .（1995年）年） 正方體的全面積為正方體的全面積為a2，則其外接球的表面積為，則其外接球的表面積為考題考題 1 （正方體與其外接球）（正方體與其外接球）4考題考題 2 （正方體中的線面關(guān)系）（正方體中的線面關(guān)系）小問題很多，但都不難小問題很多，但都不難. 熟悉正方體各棱、各側(cè)面間位置關(guān)熟悉正方體各棱、各側(cè)面間位置關(guān)系的考生，都能迅速作答系的考生，都能迅速作答. 如解答（如解答（1），只要知道棱），只要知道棱AD與與后側(cè)面垂直就夠了后側(cè)面垂直就夠

4、了.說說 明明11EDAFV（1997年）如圖，在正方體年）如圖，在正方體ABCD- - A1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是BB1、CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)（1）證明）證明ADD1F；（2）求）求AE與與D1F所成的角；所成的角；（3）證明面）證明面AED 面面A1FD1；（4）設(shè)）設(shè)AA1=2,求三棱錐求三棱錐F- -A1ED1的體積的體積 . 5考題考題 3 （正方體的側(cè)面展開圖）（正方體的側(cè)面展開圖）考查空間想象能力考查空間想象能力. 如果能從展開圖（右上）想如果能從展開圖（右上）想到立體圖（右），則能立即判定命題到立體圖（右），則能立即判定命題、為假，為假，而命題而命題、為真，答案是為

5、真，答案是C.解解 析析（2001年）右圖是正方體的平面展開圖在這個(gè)正方年）右圖是正方體的平面展開圖在這個(gè)正方體中，體中，BM與與ED平行；平行；CN與與BE是異面直線；是異面直線；CN與與BM成成60角；角；DM與與BN垂直垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（A）（B）（C）（D）6（2002年）年） 在下列四個(gè)正方體中，能得出在下列四個(gè)正方體中，能得出ABCD的是的是考題考題4 （正方體中主要線段的關(guān)系）（正方體中主要線段的關(guān)系）射影法：作射影法：作AB在在CD所在平面上的射影，由三垂線定理知所在平面上的射影，由三垂線定理知其正確答案為其正確答案為A.平

6、移法：可迅速排除平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故選（，故選（A）.解解 析析7（2003年）年） 棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為心，以這些線段為棱的八面體的體積為 考題考題 5 （正方體與正八面體）（正方體與正八面體）解解 析析將正八面體一分為二，得將正八面體一分為二，得2個(gè)正四棱錐，正四棱個(gè)正四棱錐，正四棱錐的底面積為正方形面積的錐的底面積為正方形面積的 ，再乘，再乘 得得 .答案選答案選C.2131618 考題考題 6 （正方體中的三角形）（正方體中的三角形）解解 析析在正方體上任選在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連

7、成三角形可得個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得 個(gè)三角形，要得直個(gè)三角形，要得直角非等腰三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)角非等腰三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)(即正方體的一邊與即正方體的一邊與過此點(diǎn)的一條面對(duì)角線過此點(diǎn)的一條面對(duì)角線)，共有，共有24個(gè)，得個(gè)，得 ，所以選，所以選C. 38C2438C9在三棱錐在三棱錐OABC中，三條棱中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是是AB邊的中點(diǎn)，則邊的中點(diǎn)，則OM與平面與平面ABC所成角的正弦所成角的正弦值是值是 考題考題 7 2006年四川卷第年四川卷第13題題正方體的一正方體的一“角角”如圖，在長(zhǎng)方體如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA

8、1B1C1D1中，中，E、P分別是分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，M、N分別是分別是AE、CD1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求證：）求證：MN面面ADD1A1；（2）求二面角）求二面角PAED的大?。坏拇笮?；（3）求三棱錐）求三棱錐PDEN的體積的體積. 考題考題8 2006年四川卷第年四川卷第19題題兩正方體的兩正方體的“并并”P10如圖，在棱長(zhǎng)為如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，P是側(cè)棱是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，CP=m. ()試確定試確定m,使得直線使得直線AP與平面與平面BDD1B1所成角的正切值為所成角的正切值為3 ；(

9、)在線段在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的使得對(duì)任意的m，D1Q在平面在平面APD1上的上的射影垂直于射影垂直于AP.并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論.2分析：分析：熟悉正方體對(duì)角面和對(duì)角線的考生，對(duì)第熟悉正方體對(duì)角面和對(duì)角線的考生，對(duì)第()()問，可心算問，可心算出結(jié)果為出結(jié)果為m=1/3=1/3；對(duì)第；對(duì)第()()問，可猜出這個(gè)問，可猜出這個(gè)Q點(diǎn)在點(diǎn)在O1點(diǎn)點(diǎn). .可是由于可是由于對(duì)正方體熟悉不多，因此第對(duì)正方體熟悉不多，因此第()()小題成了大題，第小題成了大題，第()()小題成了小題成了大難題大難題. . 考題考題9 （2006年湖北卷第年湖北卷第18題）題

10、）11 考題考題 10 （2006年安徽卷第年安徽卷第16題）題）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面，在平面，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和和4，P是是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平到平面的距離可能是：面的距離可能是：3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)論正確的為以上結(jié)論正確的為_.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）12二、正四面體與正方

11、體二、正四面體與正方體從從“正方體高考十年正方體高考十年”和和“全國(guó)熱炒正方體全國(guó)熱炒正方體”中，我們中，我們看到正方體在立體幾何中的特殊地位看到正方體在立體幾何中的特殊地位. 在實(shí)踐中，正方在實(shí)踐中，正方體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看體是最常見的多面體；在理論上，所有的多面體都可看作是由正方體演變而來作是由正方體演變而來. 我們認(rèn)定了正方體是多面體的我們認(rèn)定了正方體是多面體的“根基根基”. 我們?cè)谒伎嘉覀冊(cè)谒伎迹海?）正方體如何演變出正四面體？）正方體如何演變出正四面體？（2）正方體如何演變出正八面體？）正方體如何演變出正八面體？（3）正方體如何演變出正三棱錐？）正方體如何

12、演變出正三棱錐？（4）正方體如何演變出斜三棱錐？）正方體如何演變出斜三棱錐？13考考 題題 1 （正四面體化作正方體解）（正四面體化作正方體解）說說 明明本題如果就正四面體解正四面體，則問題就不是一個(gè)小題目本題如果就正四面體解正四面體，則問題就不是一個(gè)小題目了，而是有相當(dāng)計(jì)算量的大題了，而是有相當(dāng)計(jì)算量的大題. 此時(shí)的解法也就淪為拙解此時(shí)的解法也就淪為拙解.14拙解拙解 硬碰正四面體硬碰正四面體15聯(lián)想聯(lián)想 、 、 的關(guān)系的關(guān)系正四面體的棱長(zhǎng)為正四面體的棱長(zhǎng)為 ，這個(gè)正四面體豈不是由棱長(zhǎng)為，這個(gè)正四面體豈不是由棱長(zhǎng)為1的正方體的的正方體的6條條“面對(duì)角線面對(duì)角線”圍成？圍成？2則三棱錐則三棱錐

13、BA1C1D是棱長(zhǎng)為是棱長(zhǎng)為 的正四面體的正四面體. .于是正于是正四面體問題可化歸為對(duì)應(yīng)的正方體解決四面體問題可化歸為對(duì)應(yīng)的正方體解決. .2為此，在棱長(zhǎng)為為此，在棱長(zhǎng)為1的正方體的正方體BD1中，中，（1）過同一頂點(diǎn)）過同一頂點(diǎn)B作作3條面對(duì)角線條面對(duì)角線BA1、BC1、BD；（2）將頂點(diǎn)）將頂點(diǎn)A1，C1，D依次首尾連結(jié)依次首尾連結(jié). .A1C1DBACA1B1D1C1DB16妙解妙解 從正方體中變出正四面體從正方體中變出正四面體以以 長(zhǎng)為面對(duì)角線，可得邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為面對(duì)角線，可得邊長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1，這個(gè)正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，這個(gè)正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為 ，則其外

14、接，則其外接球的半徑為球的半徑為 ，則其外接球的表面積為，則其外接球的表面積為S=4R2=4( )23以以 為棱長(zhǎng)的正四方體為棱長(zhǎng)的正四方體B-A1C1D與以與以1為棱長(zhǎng)的正方體為棱長(zhǎng)的正方體有共同的外接球，故其外接球的表面積也為有共同的外接球，故其外接球的表面積也為S=3.答案為答案為A.232323217尋根尋根 正方體割出三棱錐正方體割出三棱錐在正方體中割出一個(gè)內(nèi)接正四面體后，還在正方體中割出一個(gè)內(nèi)接正四面體后，還“余余下下”4個(gè)正三棱錐個(gè)正三棱錐.每個(gè)正三棱錐的體積均為每個(gè)正三棱錐的體積均為1/6，故內(nèi)接正四面體的，故內(nèi)接正四面體的體積為體積為1/3 .這這5個(gè)四面體都與正方體個(gè)四面體

15、都與正方體“內(nèi)接內(nèi)接”而而“共球共球”.事實(shí)上，正方體的內(nèi)接四面體（即三棱錐）共有事實(shí)上，正方體的內(nèi)接四面體（即三棱錐）共有 - -12=58個(gè)個(gè).至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根至此可以想通，正方體為何成為多面體的題根.48C18按理說，立體幾何考題屬中檔考題，難度值追求在按理說，立體幾何考題屬中檔考題，難度值追求在0.4到到0.7之間之間. 所以，十年來立幾考題所以，十年來立幾考題哪怕是解答題也哪怕是解答題也沒有出現(xiàn)在壓軸題中沒有出現(xiàn)在壓軸題中. 從題序上看，立幾大題在從題序上看，立幾大題在6個(gè)大題的中間部分，立幾小個(gè)大題的中間部分，立幾小題也安排在小題的中間部分題也安排在小題的中

16、間部分.然而，不知是因?yàn)槭强忌韬?，還是命題人粗心，竟然然而，不知是因?yàn)槭强忌韬?，還是命題人粗心，竟然在立幾考題中弄出了大難題，其難度超過了壓軸題的難在立幾考題中弄出了大難題，其難度超過了壓軸題的難度，從而成為近十年高考難題的高難之最！度，從而成為近十年高考難題的高難之最！三、正方體成為十年大難題三、正方體成為十年大難題19命題命題 將正方體一分為二將正方體一分為二20032003年全國(guó)卷第年全國(guó)卷第1818題，天津卷第題，天津卷第1818題，河南卷第題，河南卷第1919題等，是當(dāng)年題等，是當(dāng)年數(shù)學(xué)卷的大難題數(shù)學(xué)卷的大難題. 其難度，超過了其難度，超過了當(dāng)年的壓軸題當(dāng)年的壓軸題.在命題人看來

17、，其載體是將正方在命題人看來，其載體是將正方體沿著對(duì)角面一分為二，得到了體沿著對(duì)角面一分為二，得到了一個(gè)再簡(jiǎn)單不過的直三棱柱一個(gè)再簡(jiǎn)單不過的直三棱柱.圖中的點(diǎn)圖中的點(diǎn)E E正是正方體的中心正是正方體的中心.20考題考題如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面中，底面是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACB=90.側(cè)棱側(cè)棱AA1，D、E分別是分別是CC1與與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面在平面ABD上的射影是上的射影是ABD的重心的重心G.()求求A1B與平面與平面ABD所成角的大小所成角的大小(結(jié)果結(jié)果用反三角函數(shù)值表示用反三角函數(shù)值表示)；()求點(diǎn)求點(diǎn)A1到平面到平面

18、AED的距離的距離.21解解 析析（轉(zhuǎn)下頁）（轉(zhuǎn)下頁）考場(chǎng)反饋：按出題人給出的圖形（右上），答題時(shí)無法作輔助線考場(chǎng)反饋：按出題人給出的圖形（右上），答題時(shí)無法作輔助線.22（轉(zhuǎn)下頁）（轉(zhuǎn)下頁）解解 析（續(xù)上）析（續(xù)上）考場(chǎng)反饋：按出題人給出的這種解析，無法在原圖上顯示考場(chǎng)反饋：按出題人給出的這種解析，無法在原圖上顯示.23解解 析（續(xù)上）析（續(xù)上）（解畢）（解畢）閱卷人說：在見到的答卷中，幾乎沒有看到這種閱卷人說：在見到的答卷中，幾乎沒有看到這種“標(biāo)準(zhǔn)答案標(biāo)準(zhǔn)答案”.24難點(diǎn)突破：斜二測(cè)改圖法，把問題轉(zhuǎn)到正方體中難點(diǎn)突破：斜二測(cè)改圖法，把問題轉(zhuǎn)到正方體中.本題難在哪里？從正方體內(nèi)切出的直三棱柱

19、的本題難在哪里？從正方體內(nèi)切出的直三棱柱的畫法不標(biāo)準(zhǔn)！畫法不標(biāo)準(zhǔn)！25難題（難題（0318）的題圖探究）的題圖探究正方體立體圖常見的畫法有兩種：正方體立體圖常見的畫法有兩種：（1）斜二測(cè)法（圖右）斜二測(cè)法（圖右）此法的缺點(diǎn)：此法的缺點(diǎn)：A1、B、C 三點(diǎn)三點(diǎn)“共線共線”導(dǎo)致導(dǎo)致“三線三線”重合重合（2）正等測(cè)法（圖右）正等測(cè)法（圖右）此法的缺點(diǎn)：此法的缺點(diǎn)：A、C、C1、A1“共線共線”導(dǎo)致導(dǎo)致“五線五線”重合重合難題的圖近乎第二種畫法（圖右）：難題的圖近乎第二種畫法（圖右）：將正方體的對(duì)角面置于正前面將正方體的對(duì)角面置于正前面.26四、解正方體四、解正方體正方體既然這么重要，我們就不能把這個(gè)

20、正方體既然這么重要，我們就不能把這個(gè)“簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的正方體單的正方體”看得太簡(jiǎn)單看得太簡(jiǎn)單. 像數(shù)學(xué)中其他板塊的基礎(chǔ)內(nèi)容一樣，越簡(jiǎn)單的像數(shù)學(xué)中其他板塊的基礎(chǔ)內(nèi)容一樣，越簡(jiǎn)單的東西，其基礎(chǔ)性就越深刻，其內(nèi)涵和外延的東東西，其基礎(chǔ)性就越深刻，其內(nèi)涵和外延的東西就越多西就越多.我們既然認(rèn)定了正方體是多面體的根基，那我我們既然認(rèn)定了正方體是多面體的根基，那我們就得趁著正方體很們就得趁著正方體很“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”的時(shí)候，把它的的時(shí)候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的關(guān)系，都弄上上下下、左左右右、里里外外的關(guān)系，都弄個(gè)清楚明白！個(gè)清楚明白！27正方體，（正方體，（ ）個(gè)面，）個(gè)面， 線面距轉(zhuǎn)（線面距轉(zhuǎn)（ ）面距，

21、）面距，（ ）個(gè)頂點(diǎn)（）個(gè)頂點(diǎn)（ ）棱。）棱。 尋找（尋找（ ）要根據(jù)。）要根據(jù)。頂點(diǎn)連線（頂點(diǎn)連線（ ）條，）條， 異面直線求距離，異面直線求距離，一頂（一頂（ ）線來相交。）線來相交。 確定（確定（ ）是難題。）是難題。三頂確定三角形，三頂確定三角形， 正方體，是個(gè)寶，正方體，是個(gè)寶，要求三頂不共（要求三頂不共（ ）。）。 各種關(guān)系藏得巧。各種關(guān)系藏得巧。四頂確定四面體，四頂確定四面體， 正四面體（正四面體（ ）條棱，）條棱，要求四頂不共（要求四頂不共（ ）。）。 選自選自6面（面（ ）線；）線；三種線段結(jié)數(shù)緣，三種線段結(jié)數(shù)緣， 正八面體（正八面體（ ）個(gè)頂，）個(gè)頂，根根1、根、根2和（和

22、（ ）。）。 6面（面（ ）對(duì)得準(zhǔn)。）對(duì)得準(zhǔn)。68 12 28 7 線線 面面點(diǎn)點(diǎn)射影射影垂足垂足6對(duì)角對(duì)角6中心中心根根3關(guān)于正方體關(guān)于正方體 你已經(jīng)知道了多少？你已經(jīng)知道了多少？關(guān)于正方體關(guān)于正方體 還有許多許多！還有許多許多！例如，例如，8個(gè)頂點(diǎn)中，個(gè)頂點(diǎn)中，4頂共面的有（頂共面的有（ ）個(gè)，）個(gè)，4頂異面的（頂異面的（ ）個(gè)。）個(gè)。正是正是4頂異面的個(gè)數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個(gè)數(shù)。頂異面的個(gè)數(shù)，決定了正方體中三棱錐的個(gè)數(shù)。28五、解正四面體五、解正四面體統(tǒng)計(jì)十年的高考立幾題，除直接考統(tǒng)計(jì)十年的高考立幾題，除直接考“解正方體解正方體”的題目比的題目比重最大以外，接下來的就是重最大以外，

23、接下來的就是“解正四面體解正四面體”的題目了的題目了. 其實(shí)，正四面體并不能與正方體平起平坐，正四面體本質(zhì)其實(shí)，正四面體并不能與正方體平起平坐，正四面體本質(zhì)上是正方體的上是正方體的“演生體演生體”，通俗地說：正四面體是正方體，通俗地說：正四面體是正方體的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了的兒子！如果把正方體弄清楚了，正四面體就隨之清楚了.在十年的高考在十年的高考“正四面體正四面體”中，凡是就中，凡是就“兒子解兒子兒子解兒子”的的解法，都是拙法；凡是由解法，都是拙法；凡是由“老子解兒子老子解兒子”的辦法都是妙法！的辦法都是妙法！29正四面體棱長(zhǎng)設(shè)作正四面體棱長(zhǎng)設(shè)作1，則對(duì)應(yīng)的正方體棱長(zhǎng)為，則對(duì)應(yīng)的正方體棱長(zhǎng)為底面正三角形高為（底面正三角形高為（ ）；）； 底面正三角形的外半徑為（底面正三角形的外半徑為（ ）；）；正三角形的內(nèi)半徑為（正三角形的內(nèi)半徑為（ ）；）； 正四面體的斜高為（正四面體的斜高為（ ）；）；斜高在底面上的射影為（斜高在底面上的射影為（ ）；）； 斜面與底面成角余弦值（斜面與底面成角余弦值（ ）；）；正四面體高為（正四面體高為（ ）；）； 外接球半徑為（外接球半徑