考前三個(gè)月高考數(shù)學(xué)(全國甲卷通用理科)知識方法篇專題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第11練Word版含答案(精編版)

1、高效復(fù)習(xí)第 11 練研創(chuàng)新 以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型題型分析 高考展望 在近幾年的高考命題中，以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型時(shí)有出現(xiàn).主要以新定義、新運(yùn)算或新規(guī)定等形式給出問題，通過判斷、運(yùn)算解決新問題.這種題難度一般為中檔，多出現(xiàn)在選擇題、填空題中，考查頻率雖然不是很高，但失分率較高.通過研究命題特點(diǎn)及應(yīng)對策略，可以做到有備無患. 體驗(yàn)高考1.(2015湖北 )已知符號函數(shù)sgn x1，x0，0，x 0，1，x1)，則() a.sgng(x)sgn x b.sgng(x)sgnf(x) c.sgng(x) sgn x d.sgng(x) sgnf(x) 答案c 解析因?yàn)?f(x)是 r 上的增函數(shù)，令

2、f(x) x，所以 g(x)(1a)x， 因?yàn)?a1， 所以 g(x)是在 r 上的減函數(shù) .由符號函數(shù)sgn x1，x 0，0，x 0，1，x0知，sgng(x)1，x0，0，x0，1，x0.所以 sgng(x) sgn x. 2.(2016山東 )若函數(shù) yf(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱 y f(x)具有 t 性質(zhì) .下列函數(shù)中具有t 性質(zhì)的是 () a.ysin xb.yln xc.yexd.yx3答案a 解析對函數(shù) ysin x 求導(dǎo)，得ycos x，當(dāng) x0 時(shí)，該點(diǎn)處切線l1的斜率 k11，當(dāng) x時(shí)，該點(diǎn)處切線l2的斜率 k2 1，k1 k2

3、 1，l1l2；對函數(shù) yln x 求導(dǎo)，得 y1x恒大于 0，斜率之積不可能為1；對函數(shù) yex求導(dǎo)，得yex恒大于 0，斜率之積不可能為 1；對函數(shù)yx3求導(dǎo)，得y 2x2恒大于等于0，斜率之積不可能為1.故選 a. 3.(2015四川 )已知函數(shù)f(x)2x，g(x)x2ax(其中 ar).對于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m高效復(fù)習(xí)f x1 f x2x1x2，ng x1g x2x1x2，現(xiàn)有如下命題：對于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有 m0；對于任意的a 及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有 n0；對于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得 mn；對于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x

4、2，使得 m n. 其中的真命題有_(寫出所有真命題的序號). 答案解析設(shè) a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)，c(x1，g(x1)，d(x2， g(x2). 對于 ，從 y2x的圖象可看出，mkab 0 恒成立，故 正確；對于 ，直線 cd 的斜率可為負(fù)，即n0，故 不正確；對于 ，由 mn 得 f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，令 h(x)f(x)g(x)2x x2ax，則 h(x)2x ln 22xa. 由 h(x)0，得 2x ln 22xa， (*) 結(jié)合圖象知，當(dāng)a 很小時(shí)，方程 (*) 無解， 函數(shù) h(x)不一定有極

5、值點(diǎn)，就不一定存在x1，x2使 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，不一定存在x1，x2使得mn，故 不正確；對于 ，由 m n，得 f(x1)f(x2)g(x2)g(x1)，即 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，令 f(x)f(x) g(x) 2x x2ax，則 f (x)2xln 22xa. 由 f (x)0，得 2xln 2 2xa，結(jié)合如圖所示圖象可知，該方程有解，即 f(x)必有極值點(diǎn)，存在 x1，x2，使 f(x1)f(x2)，使 m n，故 正確 . 高效復(fù)習(xí)故 正確 . 4.(2015福建 )一個(gè)二元碼是由0 和 1 組成的數(shù)字串x1x2xn(nn*)，其中 xk

6、(k1，2，n)稱為第k 位碼元 .二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由 0 變?yōu)?1，或者由1 變?yōu)?0). 已知某種二元碼x1x2 x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：x4x5x6x70，x2x3x6x70，x1x3x5x70，其中運(yùn)算定義為 000，01 1，101，110. 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k 等于 _. 答案5 解析(1)x4x5x6x7 11011，(2)x2x3x6x710010；(3)x1x3x5x710111.由(1)(3)知 x5，x7有一個(gè)錯(cuò)誤， (2)中沒

7、有錯(cuò)誤， x5錯(cuò)誤，故k 等于 5. 5.(2016四川 )在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)p(x， y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義p 的“伴隨點(diǎn)”為pyx2y2，xx2y2；當(dāng) p 是原點(diǎn)時(shí)， 定義 p 的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線c 上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線c定義為曲線c 的“伴隨曲線” . 現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn) a 的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)a，則點(diǎn)a的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)a；單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線 c 關(guān)于 x 軸對稱，則其“伴隨曲線”c關(guān)于 y 軸對稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線. 其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號). 答案解析設(shè) a 的坐標(biāo)為 (x，y)，則其“伴隨點(diǎn)”為ayx2y2

8、，xx2y2，a的“伴隨點(diǎn)”橫坐標(biāo)為xx2y2yx2y22xx2y22 x，同理可得縱坐標(biāo)為y，故a( x，y)，錯(cuò)誤；設(shè)單位圓上的點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (cos ， sin )， 則 p的“伴隨點(diǎn)”的坐標(biāo)為p(sin ， cos )，則有 sin2 (cos )21，所以 p也在單位圓上，即單位圓的“伴隨曲線”是它自身，高效復(fù)習(xí)正確；設(shè)曲線 c 上點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 (x，y)，其關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)a1(x， y)也在曲線c 上，所以點(diǎn)a 的“伴隨點(diǎn)”ayx2 y2，xx2 y2，點(diǎn) a1的“伴隨點(diǎn)”a1yx2 y2，xx2 y2，a與 a1關(guān)于 y 軸對稱，正確；反例：例如y1 這條直線，則a(0

9、，1)，b(1，1)，c(2，1)，這三個(gè)點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”分別是 a (1，0)，b12，12，c15，25，而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，下面給出嚴(yán)格證明：設(shè)點(diǎn) p(x， y)在直線 l： axbyc0 上， p 點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為p(x0， y0)， 則x0yx2y2，y0 xx2y2，解得xy0 x20y20，yx0 x20y20.代入直線方程可知，ay0 x20y20bx0 x20y20c0，化簡得 ay0bx0c(x20 y20)0. 當(dāng) c0時(shí)， c(x20y20)是一個(gè)常數(shù)，點(diǎn)p的軌跡是一條直線；當(dāng) c0時(shí)， c(x20y20)不是一個(gè)常數(shù)，點(diǎn)p的軌跡不是一條直線. 所以，一條直線的“伴

10、隨曲線”不一定是一條直線，錯(cuò)誤. 綜上，真命題是. 高考必會題型題型一與新定義有關(guān)的創(chuàng)新題型例 1已知函數(shù)yf(x)(xr).對函數(shù)yg(x)(x i)，定義g(x)關(guān)于 f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù) yh(x)(xi)，yh(x)滿足：對任意xi，兩個(gè)點(diǎn) (x，h(x)，(x，g(x)關(guān)于點(diǎn) (x，f(x)對稱 .若 h(x)是 g(x)4x2關(guān)于 f(x)3xb 的“對稱函數(shù)”，且h(x)g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b 的取值范圍是 _. 答案(2 10， ) 解析由已知得h x 4x223xb，所以 h(x)6x2b4x2. h(x)g(x)恒成立，即 6x2b4x24x2，高效復(fù)習(xí)3x b4

11、x2恒成立 . 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出直線y3xb 及半圓 y4x2(如圖所示 )，可得b102，即 b210，故答案為 (210， ). 點(diǎn)評解答這類題目關(guān)鍵在于解讀新定義，利用定義的規(guī)定去判斷和求解是這類題目的主要解法 . 變式訓(xùn)練1若函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間a，b上存在x0(ax0b)，滿足f(x0)f b f aba，則稱函數(shù)y f(x)是a，b上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn).例如 y |x|是2，2上的“平均值函數(shù)”，0 就是它的均值點(diǎn).若函數(shù) f(x)x2mx1 是1，1上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是_. 答案(0，2) 解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2mx1

12、是1，1上的 “平均值函數(shù) ”，所以關(guān)于x 的方程x2mx1f 1 f 12在區(qū)間 (1，1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即x2mx 1 m 在區(qū)間 ( 1，1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即x2mxm10，解得 xm1 或 x1.又 1 不屬于 ( 1，1)，所以 xm 1 必為均值點(diǎn)，即1m11，即 0 m2，所以實(shí)數(shù)m 的取值范圍是(0，2). 題型二綜合型函數(shù)創(chuàng)新題例 2以 a 表示值域?yàn)閞 的函數(shù)組成的集合，b 表示具有如下性質(zhì)的函數(shù) (x)組成的集合：對于函數(shù) (x)，存在一個(gè)正數(shù)m，使得函數(shù) (x)的值域包含于區(qū)間m，m.例如，當(dāng)1(x)x3，2(x)sin x 時(shí)， 1(x)a，2(x)b.現(xiàn)有如下命題：設(shè)函

13、數(shù)f(x)的定義域?yàn)閐，則“ f(x)a”的充要條件是“? br，? ad，f(a)b”；函數(shù) f(x)b 的充要條件是f(x)有最大值和最小值；若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域相同，且f(x)a，g(x)b，則 f(x)g(x)?b；若函數(shù)f(x)aln( x2)xx2 1(x2， ar)有最大值，則f(x)b. 其中的真命題是_.(寫出所有真命題的序號) 高效復(fù)習(xí)答案解析因?yàn)?f(x)a，所以函數(shù)f(x)的值域是r，所以滿足 ? br，? ad，f(a)b，同時(shí)若? br，? ad，f(a)b，則說明函數(shù)f(x)的值域是r，則 f(x)a，所以 正確；令 f(x)1x，x(1，2，取 m

14、1，則 f(x)? 1，1，但是 f(x)沒有最大值， 所以 錯(cuò)誤；因?yàn)?f(x)a， g(x)b 且它們的定義域相同(設(shè)為 m， n)，所以存在區(qū)間 a，b? m，n，使得 f(x)在區(qū)間 a，b上的值域與g(x)的值域相同，所以存在x0?a，b，使得 f(x0)的值接近無窮，所以f(x)g(x)?b，所以 正確；因?yàn)楫?dāng)x2 時(shí)，函數(shù) yln( x2)的值域是 r， 所以函數(shù)f(x)若有最大值， 則 a0， 此時(shí) f(x)xx21.因?yàn)閷?? xr，x212|x|，所以12xx2112. 即12f(x)12，故 f(x)b，所以 正確 . 點(diǎn)評此類題目包含了與函數(shù)有關(guān)的較多的概念、性質(zhì)及對基

15、本問題的處理方法.解答這類題目，一是要細(xì)心，讀題看清要求；二是要熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)及其判斷應(yīng)用的方法，掌握基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)等. 變式訓(xùn)練2如果 yf(x)的定義域?yàn)閞，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a 使得 f(x a)f(x)成立，則稱此函數(shù)具有“p(a)性質(zhì)” . 給出下列命題：函數(shù) ysin x 具有“ p(a)性質(zhì)”；若奇函數(shù)yf(x)具有“ p(2)性質(zhì)”，且f(1)1，則 f(2 015)1；若函數(shù)yf(x)具有“ p(4)性質(zhì)”，圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對稱，且在(1，0)上單調(diào)遞減，則 yf(x)在(2， 1)上單調(diào)遞減，在(1，2)上單調(diào)遞增；若不恒為零的函數(shù)y f

16、(x)同時(shí)具有“ p(0)性質(zhì)”和“ p(3)性質(zhì)”， 則函數(shù) yf(x)是周期函數(shù). 其中正確的是 _(寫出所有正確命題的編號). 答案解析因?yàn)?sin (x) sin x sin (x)，所以函數(shù)ysin x 具有 “p(a)性質(zhì) ”，所以 正確；因?yàn)槠婧瘮?shù)yf(x)具有 “p(2)性質(zhì) ”，所以 f(x2)f(x) f(x)，所以 f(x4)f(x)，周期為4，因?yàn)?f(1)1，所以 f(2 015)f(3) f(1) 1. 所以 不正確；高效復(fù)習(xí)因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)具有 “p(4)性質(zhì) ”，所以 f(x4)f(x)，所以 f(x)的圖象關(guān)于直線x2 對稱，即 f(2x)f(2 x)，因?yàn)?/p>

17、圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對稱，所以 f(2x) f(x)，即 f(2x) f(x)，所以得出f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)，因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對稱，且在 (1，0)上單調(diào)遞減，所以圖象也關(guān)于點(diǎn)(1，0)成中心對稱，且在 (2， 1)上單調(diào)遞減；根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得出在(1，2)上單調(diào)遞增，故正確；因?yàn)榫哂?“p(0)性質(zhì) ”和“p(3)性質(zhì) ”，所以 f(x) f(x)， f(x3)f(x)f(x)，所以 f(x)為偶函數(shù)，且周期為3，故 正確 . 高考題型精練1.對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a0，使得 x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x)f(2ax)，則稱 f(x)為準(zhǔn)偶

18、函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是() a.f(x)cos(x1) b.f(x)xc.f(x)tan xd.f(x)x3答案a 解析由題意知，若f(x)是準(zhǔn)偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸是直線xa，a 0，選項(xiàng)b，c，d中，函數(shù)沒有對稱軸；函數(shù)f(x)cos(x1)，有對稱軸，且x 0 不是對稱軸，選項(xiàng)a 正確 .故選 a. 2.設(shè) f(x)的定義域?yàn)閐，若 f(x)滿足條件： 存在 a，b? d，使 f(x)在a，b上的值域是a2，b2，則稱 f(x)為“倍縮函數(shù)” . 若函數(shù)f(x) ln(ext)為“倍縮函數(shù)”，則t 的范圍是 () a.14，b.(0，1) c. 0，12d. 0，14答案d 解析

19、因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ln(ext)為“ 倍縮函數(shù) ”，所以存在 a，b? d，使 f(x)在a，b上的值域是a2，b2，高效復(fù)習(xí)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ln(ext)為增函數(shù)，所以ln eat a2，ln ebt b2，即eat e2a，ebt e2b，即方程 exe2xt0 有兩個(gè)不等的正根，即124t0，t0，解得 t 的范圍是0，14. 3.設(shè)函數(shù) yf(x)的定義域?yàn)閐，若對于任意x1，x2d 且 x1x22a，恒有 f(x1)f(x2)2b，則稱點(diǎn) (a，b)為函數(shù) yf(x)圖象的對稱中心.研究并利用函數(shù)f(x)x33x2sin x 的對稱中心，可得f(12 016)f(22 016) f(4

20、 0302 016)f(4 0312 016)等于 () a. 16 124 b.16 124 c.8 062 d.8 062 答案c 解析如果 x1x22，則 f(x1)f(x2)x313x21sin x1x323x22sin x2x313x21sin x1(2x1)33(2x1)2sin (2x1) 4. 令 sf(12 016)f(22 016)f(4 0302 016)f(4 0312 016)，又 sf(4 0312 016)f(4 0302 016)f(12 016)，兩式相加得2s 44 031，所以 s 8 062.故選 c. 4.函數(shù) f(x)在 a，b上有定義，若對任意x1

21、， x2 a，b，有 fx1x2212f(x1)f(x2)，則稱f(x)在a，b上具有性質(zhì)p.設(shè) f(x)在1，3上具有性質(zhì)p，現(xiàn)給出如下命題：f(x)在1，3上的圖象是連續(xù)不斷的；f(x2)在 1，3 上具有性質(zhì)p；若 f(x)在 x2 處取得最大值1，則 f(x) 1，x1，3；對任意x1，x2，x3，x41，3，有 fx1 x2 x3 x4414f(x1)f(x2)f(x3)f(x4).其中真命題的序號是 () a.b.c.d.答案d 解析令 f(x)1，x1，0，1x3，1，x3，可知對 ? x1，x21，3，都有 fx1x2212f(x1)f(x2)，高效復(fù)習(xí)但 f(x)在1， 3上

22、的圖象不連續(xù)，故不正確；令 f(x) x，則 f(x)在1， 3上具有性質(zhì)p，但 f(x2) x2在1，3 上不具有性質(zhì)p，因?yàn)閤1x222x21x222x1x242 x21x22412(x21 x22)12f(x21)f(x22)，故 不正確；對于 ，假設(shè)存在x01，3，使得 f(x0)1，因?yàn)?f(x)maxf(2)1，x1，3，所以 f(x0)1. 又當(dāng) 1 x0 3 時(shí)，有 14x03，由 f(x)在1， 3上具有性質(zhì)p，得f(2)fx04x0212f(x0)f(4x0)，由于 f(x0)1，f(4 x0)1，與上式矛盾. 即對 ? x1， 3，有 f(x)1，故 正確 . 對于 ，對

23、 ? x1，x2，x3，x41，3，fx1x2x3x44fx1 x22x3x42212fx1x22fx3x421212f x1 f x212f x3f x414f(x1)f(x2) f(x3)f(x4)，故 正確 . 5.已知函數(shù)f(x)1 |2x1|，x0，1.定義： f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，fn(x) ffn1(x)，n2，3，4，滿足fn(x)x 的點(diǎn) x0，1稱為 f(x)的 n 階不動點(diǎn) .則 f(x)的 n 階不動點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 () a.nb.2n2c.2(2n1) d.2n答案d 解析函數(shù) f(x)1|2x1|2x，0 x12，22x，12x1，當(dāng) x 0，12

24、時(shí)， f1(x)2xx? x 0，當(dāng) x12， 1 時(shí)， f1(x)22xx? x23，f1(x)的 1 階不動點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2. 高效復(fù)習(xí)當(dāng) x 0，14時(shí)， f1(x)2x，f2(x)4xx? x0，當(dāng) x14，12時(shí)， f1(x)2x，f2(x)24xx? x25，當(dāng) x12，34時(shí)， f1(x)22x，f2(x)4x2x? x23，當(dāng) x34， 1 時(shí)， f1(x)22x，f2(x)44xx? x45. f2(x)的 2 階不動點(diǎn)的個(gè)數(shù)為22，以此類推，f(x)的 n 階不動點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2n. 6.若集合 a1，2，3，k，b4，7，a4，a23a ，其中 an*，kn*，f：xy3x1，x

25、a，yb 是從定義域a 到值域 b 的一個(gè)函數(shù)，則ak_. 答案7 解析由對應(yīng)法則知1 4，27，310，k3k1，又 an*， a4 10，a23a10，解得 a 2(舍去 a 5)，所以 a416，于是 3k1 16，k5.ak7. 7.如果定義在r 上的函數(shù)f(x)，對任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為“ h 函數(shù)” . 給出下列函數(shù)：yx2； yex1； y2xsin x； f(x)ln|x|， x0，0，x0.以上函數(shù)是“h 函數(shù)”的所有序號為 _. 答案解析由已知x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2

26、)x2f(x1)得(x1x2) f(x1)f(x2)0，所以函數(shù)f(x)在 r上是增函數(shù) .對于 ，yx2在(，0)上為減函數(shù)，在(0， )上為增函數(shù)，其不是“h 函數(shù)” ；對于 ，yex1 在 r 上為增函數(shù)，所以其為“h 函數(shù) ”；對于 ，由于 y2cos x0 恒成立，所以y 2xsin x 是增函數(shù)，所以其為“h 函數(shù) ”；對于 ，由于其為偶函數(shù)，所以其不可能在r 上是增函數(shù)，所以不是“h 函數(shù) ”.綜上知，是 “h 函數(shù) ”的序號為 . 8.已知二次函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為b1a，b1a(0b0”的充要條件，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是_. 答案(1，2) 解析由條件可得f(x)(1

27、a2)(xb1a)(xb1a)，結(jié)合xa，card az 4知 a1，所以 f(x)開口向下，所以f(x)0 的解集為b1a，b1a，且 0b1 a1.結(jié)合數(shù)軸分析，知4b1a高效復(fù)習(xí)3，即 3a3b4a4，又 0ba1，所以 3a3ba1，得 1a2. 9.設(shè) f(x)是定義在 (0， )上的函數(shù)，且f(x)0，對任意a 0，b0，若經(jīng)過點(diǎn) (a，f(a)，(b，f(b)的直線與x 軸的交點(diǎn)為 (c，0)，則稱 c 為 a，b 關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)， 記為 mf (a，b).例如，當(dāng) f(x)1(x0)時(shí)，可得mf(a，b)cab2，即 mf(a，b)為 a，b 的算術(shù)平均數(shù). (1)當(dāng)

28、 f(x)_(x0)時(shí)， mf (a，b)為 a，b 的幾何平均數(shù)；(2)當(dāng) f(x)_(x0)時(shí)， mf (a，b)為 a，b 的調(diào)和平均數(shù)2abab. (以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可) 答案(1)x(2)x解析設(shè) a(a，f(a)，b(b， f(b)，c(c，0)，則三點(diǎn)共線. (1)依題意， cab，則求得f aaf bb，故可以選擇f(x)x(x0). (2)依題意， c2aba b，求得f aaf bb，故可以選擇f(x)x(x 0). 10.對于函數(shù)f(x)，若存在區(qū)間ma， b(其中 ab)，使得 y|yf(x)，xmm，則稱區(qū)間m 為函數(shù) f(x)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”

29、. 給出下列4 個(gè)函數(shù)：f(x)(x1)2； f(x) |2x1|；f(x)cos 2x； f(x)ex. 其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)是_.(填出所有滿足條件的函數(shù)序號) 答案解析據(jù)已知定義，所謂的“穩(wěn)定區(qū)間 ”即函數(shù)在區(qū)間a，b內(nèi)的定義域與值域相等. 問題可轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)yf(x)的圖象與直線yx 是否相交，若相交則兩交點(diǎn)所在區(qū)間即為函數(shù)的 “穩(wěn)定區(qū)間 ”. 數(shù)形結(jié)合依次判斷， 均符合條件，而不符合條件 .綜上可知， 均為存在 “ 穩(wěn)定區(qū)間 ”的函數(shù) . 11.若函數(shù) f(x)在定義域d 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間i 上是增函數(shù)， 且 f(x)f xx在 i 上是減函數(shù)， 則稱 yf(x)在 i 上是“非

30、完美增函數(shù)” . 已知f(x) ln x，g(x)2x2xaln x(a r). (1)判斷 f(x)在(0，1上是否為“非完美增函數(shù)”；(2)若 g(x)在1， )上是“非完美增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 . 解(1)易知 f(x)1x0 在(0，1上恒成立， 所以 f(x)ln x 在(0，1上是增函數(shù) .f(x)f xx高效復(fù)習(xí)ln xx，求導(dǎo)得f(x)1ln xx2，因?yàn)?x(0，1，所以 ln x0，即 f(x)0 在(0，1上恒成立，所以 f(x)ln xx在(0，1上是增函數(shù) .由題意知， f(x)在(0，1上不是 “非完美增函數(shù)”.(2)若 g(x)2x2xaln x(ar)

31、在1， )上是 “非完美增函數(shù)”，則 g(x)2x2xaln x在1， )上單調(diào)遞增， g(x)g xx22x2aln xx在 1， )上單調(diào)遞減 . 若 g(x)在1， )上單調(diào)遞增，則g (x)22x2ax0 在1， )上恒成立，即a2x2x 在1， )上恒成立 .令 h(x)2x2x，x 1， )，因?yàn)?h(x)2x220 恒成立，所以 h(x)在1， )上單調(diào)遞減， h(x)maxh(1)0，所以 a0. 若 g(x)在1， )上單調(diào)遞減，則g (x)4x3a 1ln xx20 在1， )上恒成立，即 4axaxln x0 在1， )上恒成立 .令 t(x) 4axaxln x， x

32、1， )， 因?yàn)?t(x) aln x，由 知 a0，所以 t(x)0 恒成立，所以t(x) 4axaxln x 在1， )上單調(diào)遞減，則t(x)maxt(1)a4.要使 t(x) 4axaxln x0 在1， )上恒成立，則a40，即 a4，此時(shí) g(x)4x3a 1 ln xx20 在1， )上恒成立 . 綜合 知，實(shí)數(shù)a 的取值范圍為0， 4.12.已知函數(shù)f(x)ax ln x，g(x)ex. (1)當(dāng) a0 時(shí)，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式g(x)xmx有解，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；(3)定義：對于函數(shù)y f(x)和 yg(x)在其公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x0，稱 |f(x0)

33、g(x0)|的值為兩函數(shù)在x0處的差值 .證明：當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù)yf(x)和 yg(x)在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大于2. (1)解f(x)的定義域是 (0， )，f(x)a1x(x0). 當(dāng) a 0時(shí)， f(x)0，f(x)在(0， )上單調(diào)遞增；當(dāng) a 0時(shí)，由 f(x)0，解得 x1a，則當(dāng) x (0，1a)時(shí)， f(x)0， f(x)單調(diào)遞增，當(dāng) x(1a， )時(shí)， f(x)0，f(x)單調(diào)遞減 . 綜上，當(dāng)a0 時(shí)， f(x)在(0， )上單調(diào)遞增；高效復(fù)習(xí)當(dāng) a0 時(shí)， f(x)在(0，1a)上單調(diào)遞增，在(1a， )上單調(diào)遞減 . (2)解由題意： exxmx有解，即exxxm

34、 有解，因此只需mxexx，x(0， )有解即可 . 設(shè) h(x)xexx，h(x)1exxex2 x 1ex(x12 x). x12 x21221，且 x(0， )時(shí) ex 1，1ex(x12 x)0，即 h(x) 0，故 h(x)在(0， )上單調(diào)遞減 . h(x)h(0) 0，故 m 0. (3)證明當(dāng) a0 時(shí)， f(x)ln x，f(x)與 g(x)的公共定義域?yàn)?0， )，|f(x)g(x)| |ln x ex|exln x ex x(ln xx). 設(shè) m(x)exx 0，則 m(x)ex10， x(0， )，m(x)在(0， )上單調(diào)遞增， m(x)m(0)1. 又設(shè) n(x)ln xx，x(0， )，n(x)1x1，當(dāng) x(0，1)時(shí)， n(x)0， n(x)單調(diào)遞增，當(dāng) x(1， )時(shí)， n(x) 0，n(x)單調(diào)遞減，所以 x 1 為 n(x)的極大值點(diǎn)，即n(x)n(1) 1，故|f(x)g(x)| m(x)n(x)1 (1)2. 即公共定義域內(nèi)任一點(diǎn)差值都大于2.合理分配高考數(shù)學(xué)