南航戴華《矩陣論》第五章Hermite矩陣與正定矩陣-課件PPT

1、2021/8/261第第5 5章章 HermiteHermite矩陣與正定矩陣矩陣與正定矩陣5.1 Hermite5.1 Hermite矩陣與矩陣與HermiteHermite二次型二次型5.4 Hermite5.4 Hermite矩陣的特征值矩陣的特征值* *5.3 5.3 矩陣不等式矩陣不等式5.2 Hermite5.2 Hermite正定（非負(fù)定）矩陣正定（非負(fù)定）矩陣2021/8/2625.1 Hermite5.1 Hermite矩陣與矩陣與HermiteHermite二次型二次型5.1.1 Hermite5.1.1 Hermite矩陣矩陣5.1.2 5.1.2 矩陣的慣性矩陣的慣性5

2、.1.3 Hermite5.1.3 Hermite二次型二次型2021/8/2635.1.1 HermiteHermite矩陣矩陣Hermite矩陣具有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)矩陣具有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)：(1) 如果如果 A是是Hermite矩陣，則對(duì)正整數(shù)矩陣，則對(duì)正整數(shù) k，Ak 也是也是 Hermite矩陣矩陣；(2) 如果如果 A是可逆是可逆Hermite矩陣，則矩陣，則A-1 是是Hermite矩陣矩陣；(3) 如果如果 A,B是是Hermite矩陣，則對(duì)實(shí)數(shù)矩陣，則對(duì)實(shí)數(shù)k,p, kA+pB 是是 Hermite矩陣矩陣； 若若A,B是是Hermite矩陣，則矩陣，則 AB是是Hermite矩陣的矩

3、陣的 充分必要條件是充分必要條件是AB = BA；(5) A是是Hermite矩陣的充分必要條件是對(duì)任意方陣矩陣的充分必要條件是對(duì)任意方陣 S， SH AS是是Hermite矩陣矩陣。2021/8/264定理定理5.1.1.,)(是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)必要條件是對(duì)任意必要條件是對(duì)任意矩陣的充分矩陣的充分是是則則設(shè)設(shè)AxxCxHermiteACaAHnnnjk 定理定理5.1.2 設(shè)設(shè) A為為n 階階Hermite矩陣，則矩陣，則 (1) A的所有特征值全是實(shí)數(shù)的所有特征值全是實(shí)數(shù)； (2) A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量是互相正交的的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量是互相正交的。定理定理5.1.3 設(shè)設(shè) ，則

4、，則 A是是Hermite矩陣的充分矩陣的充分必要條件是存在酉矩陣必要條件是存在酉矩陣U使得使得nnCA )1 . 1 . 5(),(21nHdiagAUU 均為實(shí)數(shù)。均為實(shí)數(shù)。其中其中n ,212021/8/265定理定理5.1.4 設(shè) ，則則 A是實(shí)對(duì)稱矩陣的充分是實(shí)對(duì)稱矩陣的充分必要條件是存在正交矩陣必要條件是存在正交矩陣Q使得使得nnRA )2 . 1 . 5(),(21nTdiagAQQ 均為實(shí)數(shù)。均為實(shí)數(shù)。其中其中n ,212021/8/2665.1.2 矩陣的慣性矩陣的慣性定理定理5.1.5 設(shè)設(shè) A是是n 階階Hermite矩陣，則矩陣，則 A相合于矩陣相合于矩陣)3 . 1

5、. 5(0000000 rnsrsOIID其中其中 r = rank(A)，s是是 A的正特征值（重特征值按的正特征值（重特征值按重?cái)?shù)計(jì)算）的個(gè)數(shù)重?cái)?shù)計(jì)算）的個(gè)數(shù)。(5.1.3)中矩陣稱為中矩陣稱為n 階階Hermite矩陣矩陣 A的的相合標(biāo)準(zhǔn)形。2021/8/267定理定理5.1.6(Sylvester慣性定律）慣性定律） 設(shè)設(shè) A,B是是n 階階Hermite矩陣，則矩陣，則 A與與B相合的充分必要條件是相合的充分必要條件是)6 . 1 . 5()()(BInAIn 的的慣慣性性。為為矩矩陣陣則則稱稱記記特特征征值值按按重重?cái)?shù)數(shù)計(jì)計(jì)算算）。軸軸上上特特征征值值的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)（重重平平面面、左

6、左半半開(kāi)開(kāi)平平面面和和虛虛的的位位于于復(fù)復(fù)平平面面上上右右半半開(kāi)開(kāi)分分別別表表示示和和、設(shè)設(shè)AAInAAAAInAAAACAnn)()(),(),()()()()(, 2021/8/2685.1.3 Hermite5.1.3 Hermite二次型二次型式式，系系數(shù)數(shù)為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的二二次次齊齊個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)變變量量由由nxxn,1)10. 1 . 5(),(111jininjijnxxaxxf ，稱為，稱為其中其中jiijaa nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,則則 A為為Hermite矩陣。稱矩陣矩陣。稱矩陣A為為Hermite二次型的二次型的矩陣矩陣，并且稱

7、并且稱 A的秩為的秩為Hermite二次型的秩二次型的秩。二二次次型型。Hermite記2021/8/269 利用利用Hermite二次型的矩陣二次型的矩陣，Hermite二次型可二次型可表示為表示為AxxxfH )( 設(shè)設(shè)P是是n階可逆矩陣，作線性變換階可逆矩陣，作線性變換x = Py，則，則ByyAxxxfHH )(.APPBH 其其中中 Hermite二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只包含平方二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只包含平方項(xiàng)的二次型項(xiàng)的二次型)12. 1 . 5(222111nnnyyyyyy 稱形如（稱形如（5.1.12）的二次型為）的二次型為Hermite二次型的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形。202

8、1/8/2610定理定理5.1.7 對(duì)對(duì)Hermite二次型二次型 f (x) = xHAx，存在酉，存在酉線性變換線性變換x = Uy（其中（其中U是酉矩陣）使得是酉矩陣）使得Hermite二次型二次型f (x)變成標(biāo)準(zhǔn)形變成標(biāo)準(zhǔn)形nnnyyyyyy 222111的的特特征征值值。矩矩陣陣是是其其中中AHermiten ,21定理定理5.1.8 對(duì)對(duì)Hermite二次型二次型 f (x) = xHAx，存在可逆，存在可逆線性變換線性變換x = Py 使得使得Hermite二次型二次型f (x)化為化為rrssssHyyyyyyyyAxxxf 1111)(其中其中 r = rank(A)，s

9、= (A).2021/8/2611Hermite二次型可分為五種情況二次型可分為五種情況. 0, 0, 0.,)1(12 AxxyxyAxxnrsHniiH則則若若則則規(guī)規(guī)范范形形為為若若. 0.,)2(12 AxxCxyAxxnrsHnriiH都有都有對(duì)任意對(duì)任意則規(guī)范形為則規(guī)范形為若若. 0, 0, 0., 0)3(12 AxxyxyAxxnrsHniiH則則若若則則規(guī)規(guī)范范形形為為若若2021/8/2612. 0., 0)4(12 AxxCxyAxxnrsHnriiH都有都有對(duì)任意對(duì)任意則規(guī)范形為則規(guī)范形為若若. 00, 0,.,0)5(1212或等于或等于小于小于之值可以大于之值可以大

10、于對(duì)不同的對(duì)不同的則規(guī)范形為則規(guī)范形為若若AxxxyyAxxnrsHrsiisiiH 2021/8/2613定義定義5.1.1 設(shè)設(shè)f (x) = xHAx為為Hermite二次型二次型。為為正正定定的的；，則則稱稱都都有有且且如如果果對(duì)對(duì)任任意意AxxAxxxCxHHn0, 0)1( 的的；非非負(fù)負(fù)定定半半正正定定為為，則則稱稱都都有有如如果果對(duì)對(duì)任任意意)(0,)2(AxxAxxCxHHn 為負(fù)定的；為負(fù)定的；，則稱，則稱都有都有且且如果對(duì)任意如果對(duì)任意AxxAxxxCxHHn0, 0)3( 半半負(fù)負(fù)定定的的；為為，則則稱稱都都有有如如果果對(duì)對(duì)任任意意AxxAxxCxHHn0,)4( .,

11、)5(為為不不定定的的則則稱稱有有時(shí)時(shí)為為負(fù)負(fù)有有時(shí)時(shí)為為正正對(duì)對(duì)不不同同的的AxxAxxCxHHn 2021/8/2614定理定理5.1.9 對(duì)對(duì)Hermite二次型二次型f (x) = xHAx, 有有；正定的充分必要條件為正定的充分必要條件為nrsAxxH )1(；為為半正定的充分必要條件半正定的充分必要條件nrsAxxH )2(；負(fù)定的充分必要條件為負(fù)定的充分必要條件為nrsAxxH , 0)3(；為為半半負(fù)負(fù)定定的的充充分分必必要要條條件件nrsAxxH , 0)4(.0)5(nrsAxxH 不定的充分必要條件為不定的充分必要條件為2021/8/26155.2 Hermite5.2

12、Hermite正定（非負(fù)定）矩陣正定（非負(fù)定）矩陣. 0,)(, 0; 0,0, 0, AAAxxCxAAAxxxCxHermitenAHnHn記記作作矩矩陣陣半半正正定定為為非非負(fù)負(fù)定定則則稱稱都都有有果果對(duì)對(duì)任任意意如如記記作作為為正正定定矩矩陣陣，則則稱稱都都有有且且如如果果對(duì)對(duì)任任意意矩矩陣陣階階是是設(shè)設(shè)定義定義5.2.1正定（非負(fù)定）矩陣具有如下基本性質(zhì)正定（非負(fù)定）矩陣具有如下基本性質(zhì)：；單單位位矩矩陣陣0)1( I；則則數(shù)數(shù)若若0, 0, 0)2( kAkA；則則若若0, 0, 0)3( BABA. 0, 0, 0)4( BABA則則若若2021/8/2616定理定理5.2.1

13、設(shè)設(shè) A是是n 階階Hermite矩陣，則下列命題等價(jià)矩陣，則下列命題等價(jià)：(1) A是正定矩陣是正定矩陣；(2) 對(duì)任意對(duì)任意n 階可逆矩陣階可逆矩陣P,PHAP 都是都是Hermite正定正定 矩陣矩陣；(3) A的的n 個(gè)特征值均為正數(shù)個(gè)特征值均為正數(shù)；(4) 存在存在n 階可逆矩陣階可逆矩陣P使得使得PHAP = I；(5) 存在存在n 階可逆矩陣階可逆矩陣Q使得使得A = QHQ；(6) 存在存在n 階可逆階可逆Hermite矩陣矩陣S 使得使得A = S2.2021/8/2617，則則正正定定矩矩陣陣，其其特特征征值值為為階階是是設(shè)設(shè)nHermitenA ,21推論推論5.2.1是

14、正定矩陣；是正定矩陣；1)1( A; 0)2( AQQmnQH列列滿滿秩秩矩矩陣陣，則則是是任任一一如如果果;0)3( A. ), 2 , 1()()4(niAtri 2021/8/2618定理定理5.2.2 設(shè)設(shè) A是是n 階階Hermite矩陣，則下列命題等價(jià)矩陣，則下列命題等價(jià)：(1) A是非負(fù)定矩陣是非負(fù)定矩陣；(2) 對(duì)任意對(duì)任意n 階可逆矩陣階可逆矩陣P, PHAP是是Hermite非負(fù)定非負(fù)定 矩陣矩陣；(3) A的的n 個(gè)特征值均為非負(fù)數(shù)個(gè)特征值均為非負(fù)數(shù)；);(,0004ArankrIAPPPnrH 其其中中使使得得階階可可逆逆矩矩陣陣）存存在在（;)5(QQAQrH 使使得

15、得的的矩矩陣陣存存在在秩秩為為.62SASHermiten 使使得得矩矩陣陣階階）存存在在（2021/8/2619推論推論5.2.2 ，則，則為為非負(fù)定矩陣，其特征值非負(fù)定矩陣，其特征值階階是是設(shè)設(shè)nHermitenA ,21; 0)1( AQQmnQH矩矩陣陣，則則是是任任一一如如果果;0)2( A. ), 2 , 1()()3(niAtri 2021/8/2620定理定理5.2.3 n 階階Hermite矩陣矩陣 A正定的充分必要條件是正定的充分必要條件是A的順序主子式均為正數(shù)，即的順序主子式均為正數(shù)，即nkkkAk, 1011定理定理5.2.4 n 階階Hermite矩陣矩陣 A正定的充

16、分必要條件是正定的充分必要條件是A的所有主子式全大于零的所有主子式全大于零。定理定理5.2.5 n 階階Hermite矩陣矩陣 A非負(fù)定的充分必要條件非負(fù)定的充分必要條件是是A的所有主子式均非負(fù)的所有主子式均非負(fù)。定理定理5.2.6 n 階階Hermite矩陣矩陣 A正定的充分必要條件是正定的充分必要條件是存在存在n 階非奇異下三角矩陣階非奇異下三角矩陣 L 使得使得)3 . 2 . 5(HLLA2021/8/2621使得使得和非零向量和非零向量如果存在復(fù)數(shù)如果存在復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)nnnCxCBA ,定義定義5.2.2)5 . 2 . 5(BxAx則稱則稱為為廣義特征值問(wèn)題廣義特征值問(wèn)題 的特征值，非

17、零的特征值，非零向量向量 x 稱為對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量稱為對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。BxAx定理定理5.2.7 設(shè)設(shè)A,B 均為均為n 階階Hermite矩陣矩陣 ，且，且B0，則存在非奇異矩陣則存在非奇異矩陣 P 使得使得IBPPdiagAPPHnH ),(1 的的特特征征值值。是是廣廣義義特特征征值值問(wèn)問(wèn)題題其其中中)5 . 2 . 5(,21n 2021/8/26225.3 5.3 矩陣不等式矩陣不等式定義定義5.3.1 設(shè)設(shè) A,B 都是都是n 階階Hermite矩陣，若矩陣，若AB0，則稱則稱A大于或等于大于或等于B（或稱（或稱 B小于或等于小于或等于 A），記作），記作AB（或（或

18、BA）；若）；若AB0，則稱，則稱A大于大于B（或稱（或稱B小于小于A），記作），記作AB或（或（B0，則則; 1)()1(1 ABAB 的充分必要條件是的充分必要條件是. 1)()2(1 ABAB 的的充充分分必必要要條條件件是是 定理定理5.3.3 設(shè)設(shè)A是是n 階階Hermite矩陣矩陣, 則則其中其中 和和 分別表示分別表示A的最大和最小特征值。的最大和最小特征值。IAAIA)()(maxmin )(maxA )(minA 2021/8/2626推論推論5.3.1 設(shè)設(shè)A是是Hermite非負(fù)定矩陣，則非負(fù)定矩陣，則 A tr(A) I 。定理定理5.3.4 設(shè)設(shè)A, B均為均為n 階

19、階Hermite矩陣，則矩陣，則;00)1(11 ABBA，則則若若. 00)2(11 ABBA，則則若若定理定理5.3.5 設(shè)設(shè)A,B均為均為n 階階Hermite矩陣矩陣,且且AB = BA,則則;)1(22BABA ，則，則若若.)2(22BABA ，則則若若定理定理5.3.6則則矩矩陣陣是是行行滿滿秩秩矩矩陣陣是是設(shè)設(shè),knBnmA )()()(1ABAAABBBHHH .CABCkmH 使得使得陣陣矩矩要條件是存在一個(gè)要條件是存在一個(gè)其中等號(hào)成立的充分必其中等號(hào)成立的充分必2021/8/26275.4 Hermite5.4 Hermite矩陣的特征值矩陣的特征值* *定義定義5.4.1稱稱且且對(duì)任意對(duì)任意矩陣矩陣階階為為設(shè)設(shè), 0, xCxHermitenAn0,)( xxxAxxxRHH為為Hermite矩陣矩陣A的的Rayleigh商商。，則，則矩陣，其特征值為矩陣，其特征值為階階是是設(shè)設(shè)nHermitenA 21定理定理5.4.1; 0,),()()1( kCkxRkx