向量組與矩陣-課件PPT

1、數(shù)理學(xué)院數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/261數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/262一、向量組與矩陣一、向量組與矩陣由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣. .12mA()m nAnmija反之每個矩陣可以得到 個 維列向量 , , .A向量組稱為陣 的列向量組矩12n aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj2122222111121112inm,21m個n維的行向量所組成的向量組 構(gòu)成矩陣： n個m維的列向量所組成的向量組 構(gòu)成

2、矩陣： n,21),(21nB數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/263,()m nAmnija類似地 矩陣又有 個 維行向量 aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn2121222211121112im向量組 稱為矩陣A的行向量組行向量組m21,問題：是否可以利用矩陣來研究向量組的相關(guān)問題？問題：是否可以利用矩陣來研究向量組的相關(guān)問題？數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/264例如研究列向量組例如研究列向量組 的線性相關(guān)性，只須考察方程的線性相關(guān)性，只須考察方程12,m 1 1220

3、mmxxx是否有非零解。是否有非零解。利用矩陣乘法，方程變形為利用矩陣乘法，方程變形為11 12121121222211221000mmmmnnmma xa xa xa xa xaxa xa xa x把分量都寫出來得這樣由上一章線性方程組有解的條件可得如下結(jié)論：這樣由上一章線性方程組有解的條件可得如下結(jié)論：0,2121mmxxx數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/265行向量組行向量組 線性相關(guān)的充要條件是線性相關(guān)的充要條件是 12,m ( ).r Am線性無關(guān)的充要條件是( ).r Am,mnmn 時個 維向量總是線性相關(guān)的.推論推論定理定

4、理 1 1 若列向量組若列向量組 所構(gòu)造的矩陣所構(gòu)造的矩陣A A，則，則 12,m 例例 1 1 討論下列向量組的線性相關(guān)性討論下列向量組的線性相關(guān)性123123(1)(2,3),( 3,1),(0,2)(2)(1,3, 2,2),(0,2, 1,3),( 2,0,1,5) 解解 （1）向量組是）向量組是3個二維向量，故線性相關(guān)。個二維向量，故線性相關(guān)。（2）由矩陣）由矩陣( )23,.r A 所以故向量組線性相關(guān)532112023201A000000620201初等行變換數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/26612,s(1)如果如果 線性

5、相關(guān)，線性相關(guān)， 那么那么 也線性相關(guān)。也線性相關(guān)。 12,s 定理定理 3 3 在在r維向量組維向量組 的各向量添上的各向量添上n-r個分量變成個分量變成n維維 向量組向量組 。12,s 12,s 12,s(2)如果如果 線性無關(guān)，那么線性無關(guān)，那么 也線性無關(guān)。也線性無關(guān)。 12,s ,.,2121 nipipipiiniiiaaaaaa 定理定理 2 2 設(shè)設(shè)p1,p2, ,pn為為1，2，n的一個排列，的一個排列， 和和 為兩向量組，其中為兩向量組，其中 s ,21s ,21即即 是對是對 各分量的順序進行重排后得到的向量組，各分量的順序進行重排后得到的向量組，則這兩個向量組有則這兩個

6、向量組有相同的線性相關(guān)性相同的線性相關(guān)性。 s ,21s ,21數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/267例例 2 設(shè)向量組設(shè)向量組 且且t 互不相等，互不相等，證明證明 線性無關(guān)。線性無關(guān)。,1), 1(12nritttniiii ir ,21證明：證明： 考察向量組考察向量組.1), 1(12ritttriiii 設(shè)設(shè),11111213233122221121121 rrrrrrrrttttttttttttB 則其行列式則其行列式|B|為范德蒙行列式，為范德蒙行列式，由于由于t 互不相等，所以互不相等，所以|B|0，ir ,21所以所以

7、線性無關(guān)，線性無關(guān)，r ,21從而從而 線性無關(guān)。線性無關(guān)。數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/268二、極大線性無關(guān)組與向量組的秩定義定義1 1 一向量組的一個部分組稱為一個一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組，如果這個，如果這個 部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中向這部分組任部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中向這部分組任 意添一個向量（如果還有的話），所得的部分組都線性相關(guān)。意添一個向量（如果還有的話），所得的部分組都線性相關(guān)。 極大無關(guān)組中向量的個數(shù)就稱為極大無關(guān)組中向量的個數(shù)就稱為向量組的秩向量組的秩

8、。 易知有如下結(jié)論：易知有如下結(jié)論： （1 1）一向量組的極大線性無關(guān)組與向量組本身等價。）一向量組的極大線性無關(guān)組與向量組本身等價。 （2 2）向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其秩等于向量組所含向量的個數(shù)。）向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其秩等于向量組所含向量的個數(shù)。例例 3 3 基本向量組基本向量組 是是Rn 的極大無關(guān)組。的極大無關(guān)組。12,n 解解 由上一節(jié)，基本向量組是線性無關(guān)的，且任何一個由上一節(jié)，基本向量組是線性無關(guān)的，且任何一個n維向量都可以由維向量都可以由它線性表示（即坐標(biāo)表示）。它線性表示（即坐標(biāo)表示）。數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/

9、269定理定理 4 4 如果向量組如果向量組 能由向量組能由向量組 線線 性表出，且向量組性表出，且向量組A線性無關(guān)，那么線性無關(guān)，那么 。 sr sB,:21rA,:21證明證明),(,21rkkkKBKA 其其中中不妨設(shè)所給向量都是列向量，記矩陣不妨設(shè)所給向量都是列向量，記矩陣,21）（rA ),(21sB 由已知可得由已知可得 isiissisiiikkkkkk21212211),( ., 2 , 1,21rikkkkisiii 記記則則反證法，假設(shè)反證法，假設(shè) ，則矩陣，則矩陣K K 的列向量組線性相關(guān)，即有不全為的列向量組線性相關(guān)，即有不全為0 0的數(shù)的數(shù)sr rxxx,21使得使得

10、oxxxKxxxkkkkxkxkxrrrrr 2121212211),(,0 即即數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/2610002121 BxxxBKxxxArr02211 rrxxx 即即與向量組與向量組A 線性無關(guān)矛盾，所以線性無關(guān)矛盾，所以sr 推論推論 2 2 等價的向量組必有相同的秩等價的向量組必有相同的秩 。推論推論 1 1 等價的線性無關(guān)向量組必含有相同個數(shù)的向量等價的線性無關(guān)向量組必含有相同個數(shù)的向量 。推論推論 3 3 秩為秩為r r的向量組中任意含的向量組中任意含r r個向量的線性無關(guān)的部分組個向量的線性無關(guān)的部分組 都

11、是極大線性無關(guān)組。都是極大線性無關(guān)組。 數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/2611三、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系三、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211設(shè)矩陣設(shè)矩陣 則矩陣則矩陣A A可以看作由可以看作由m m個個n n維行向量或維行向量或n n個個m m維列向量構(gòu)成，從而可以得維列向量構(gòu)成，從而可以得到一個行向量組和列向量組。到一個行向量組和列向量組。矩陣矩陣A A行向量組的秩稱為行向量組的秩稱為A A的的行秩行秩，列向，列向量組的秩稱為量組的秩稱為列秩列秩。數(shù)理學(xué)院SCH

12、OOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/2612定理定理 5 5 矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩。矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩。證證 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A的行秩為的行秩為r1, A的列秩為的列秩為r2。那么那么, A中有中有r1個行向量線性無關(guān)個行向量線性無關(guān),從而從而A中有一個中有一個r1級子式級子式D不為零不為零,那么那么A中中子式子式D所在的所在的r1個列向量也線性無關(guān)個列向量也線性無關(guān);即有即有 。再由矩陣秩的定義，。再由矩陣秩的定義，12rr12( )rrr A證畢。證畢。定理定理 6 6 如果矩陣如果矩陣A A經(jīng)過有限次初等行變換變?yōu)榻?jīng)過有限次初等行變

13、換變?yōu)锽 B, , 則則A A的列向量與的列向量與B B 中對應(yīng)的列向量有相同的線性關(guān)系。中對應(yīng)的列向量有相同的線性關(guān)系。 因此，我們不僅可以利用矩陣的因此，我們不僅可以利用矩陣的初等行變換初等行變換求出列向量的秩，還可以進求出列向量的秩，還可以進一步確定其中某個部分組的線性相關(guān)性，并求出出它的極大線性無關(guān)組。一步確定其中某個部分組的線性相關(guān)性，并求出出它的極大線性無關(guān)組。12rr同理可證同理可證 。12rr因而因而 。數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/2613例例 4 4 求下面向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并把不屬于該極求下面向量組的秩和

14、一個極大無關(guān)組，并把不屬于該極大無關(guān)組的向量用該極大無關(guān)組線性表示：大無關(guān)組的向量用該極大無關(guān)組線性表示：1(1,4,1,0,2)T3( 1,2,5,6,2)T 2(2,5, 1, 3,2)T 4(0,2,2, 1,0)T解解 把向量組按把向量組按列列排成矩陣排成矩陣A1210121045220120115200010361000022200000A初等行變換( )3,3.r A 可見所以向量組的秩為數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/261410300120000100000000對以上行階梯形矩陣?yán)^續(xù)施行初等行變換化為行最簡形得1246,

15、 由上面的定理 可得是一個極大線性無關(guān)組31232.且注意注意： 求向量組的秩和極大線性無關(guān)組時，若所給向量是行向求向量組的秩和極大線性無關(guān)組時，若所給向量是行向量，也要先按量，也要先按列列排成矩陣，再作初等行變換。若沒有要求交排成矩陣，再作初等行變換。若沒有要求交其余向量用所求的極大線性無關(guān)組線性表示，則只要化為其余向量用所求的極大線性無關(guān)組線性表示，則只要化為行行階梯形階梯形就行了，而不必化為就行了，而不必化為行最簡形行最簡形。數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/2615例例 5 5 求下面向量組的秩和一個極大無關(guān)組：12345(2,1,4,3),( 1,1, 6,6),( 1, 2,2,9),(1,1,2,7),(2,4,4,9). 解解 把向量組按列排成矩陣A2111211214112140111046224000133697900000A初等行變換( )3,3.r A 可見所以向量組的秩為124, 且是它的一個極大線性無關(guān)組數(shù)理學(xué)院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS2021/8/2616四、小結(jié)初等變換法求秩3. 向量組的秩的概念及與矩陣秩的關(guān)系( (把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行