(完整word版)華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本四年級(jí)(上)

1、1 華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本：四年級(jí)(上冊) 第一講速算與巧算(三) 例 1 計(jì)算 9+ 99+ 999+ 9999+ 99999 解：在涉及所有數(shù)字都是 9 的計(jì)算中，常使用湊整法例如將 999 化成 1000 1 去計(jì)算這是小學(xué)數(shù)學(xué) 中常用的一種技巧. 9+ 99+ 999 + 9999 + 99999 =(10 1) + ( 100-1) + ( 1000 1) + ( 10000-1) + ( 100000-1) =10+ 100 + 1000 + 10000 + 100000-5 =111110-5 =111105. 例 2 計(jì)算 199999+ 19999 + 1999 + 199 +

2、19 解：此題各數(shù)字中，除最高位是 1 夕卜，其余都是 9，仍使用湊整法不過這里是加 1 湊整(如 199+ 1 =200) 199999+19999+1999+ 199+19 =(19999 + 1) + ( 19999 + 1) + ( 1999 + 1) + ( 199+ 1) + ( 19+ 1) 5 =200000+20000+2000+200+20-5 =222220-5 =22225. 例 3 計(jì)算(1 + 3 + 5+-+ 1989) ( 2+ 4+ 6 + 1988) 解法 1； c 1 + 3 + 5 + - 1-的)-( (2+4 + 6 - F 19SE -1+3+5+

3、 +1989-2-46 - 1988 =1 + c 3 2 + ( 54 ) + - + 123456788，所以 A B. 例 2 不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由 241 X 249 242 X 248 243 X 247 244 X 246 245 X 245. 解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷 241 X 249 =( 240 + 1)X( 250 1)= 240 X 250 + 1 X 9; 242 X 248 =( 240 + 2)X( 250 2)= 240 X 250 + 2 X 8; 243 X 247 =( 240 + 3)X( 250 3)=

4、 240 X 250 + 3X 7; 244 X 246 =( 240 + 4)X( 250 4)= 240 X 250 + 4 X 6; 245 X 245 =( 240 + 5)X( 250 5)= 240 X 250 + 5X 5. 恒等變形以后的各式有相同的部分 240 X 250,又有不同的部分 1X 9, 2X 8, 3X 7, 4 X 6, 5 X 5,由此很容易看出 245 X 245 的積最大 一般說來，將一個(gè)整數(shù)拆成兩部分(或兩個(gè)整數(shù)) ，兩部分的差值越小時(shí)，這兩部分的乘積越大 女口： 10= 1 + 9 = 2 + 8= 3 + 7 = 4+ 6= 5 + 5 貝U 5

5、X 5 = 25 積最大. 例 3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006 五個(gè)數(shù)的總和. 解：五個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大 10,可看出 1986 是這五個(gè)數(shù)的平均值，故其總和為： 1986 X 5 = 9930. 例 4 2、4、6、8、10、12是連續(xù)偶數(shù)，如果五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是 320,求它們中最小的一個(gè). 解：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為 320 十 5= 64，因相鄰偶數(shù)相差 2，故這五個(gè)偶數(shù)依次是 60、62、 64、66、68，其中最小的是 60. 總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計(jì)算方法 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間一個(gè)數(shù)為首末兩數(shù)的平均值； 五個(gè)連續(xù)自然

6、數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)一一它是五個(gè)自然數(shù)的平均值 如果用字母表示更為明顯，這五 個(gè)數(shù)可以記作：x 2、x 1、x、x + 1、x+ 2.如此類推，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些 自然數(shù)的平均值. 女口：對(duì)于 2n+ 1 個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為： x n, xn+ 1, x n + 2,，x 1, x, x+ 1,x + n 1, x+ n,其中 x是這 2n+ 1 個(gè)自然數(shù)的平均值. 巧用中數(shù)的計(jì)算方法，還可進(jìn)一步推廣，請(qǐng)看下面例題 例 5 將 11001 各數(shù)按卜面格式排列： 1 2 3 4 5 7 e 9 1it 15 13 14 15 16 17 ie 坤 21 呂 2

7、2? 2S 9 翱& 997 99S 999 1000 一個(gè)正方形框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)之和等于： 1986，2529，1989，能否辦到？如果辦不到，請(qǐng)說明理由 解：仔細(xì)觀察，方框中的九個(gè)數(shù)里，最中間的一個(gè)是這九個(gè)數(shù)的平均值，即中數(shù) 差 1，是 3 個(gè)連續(xù)自然數(shù)，豎列 3 個(gè)數(shù)中，上下兩數(shù)相差 7.框中的九個(gè)數(shù)之和應(yīng)是 1986 不是 9 的倍數(shù)，故不行； 2529- 9= 281,是 9 的倍數(shù)，但是 281 十 7 = 40X 7+ 1，這說明 281 在題中數(shù)表的最左一列，顯然它 不能做中數(shù)，也不行； 1989- 9= 221,是 9 的倍數(shù)，且 221 十 7= 31 X

8、7+ 4，這就是說 221 在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù) 這樣可求出所框九數(shù)之和為 1989 是辦得到的，且最大的數(shù)是 229，最小的數(shù)是 213. .又因橫行相鄰兩數(shù)相 9 的倍數(shù). 5 這個(gè)例題是所謂的“月歷卡”上的數(shù)字問題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！ 所以平時(shí)要注意觀察，認(rèn)真思考，積累巧算經(jīng)驗(yàn)97 6 習(xí)題二 1右圖的 30 個(gè)方格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好， 其余每個(gè)格子中的數(shù)等于同一橫 行最左邊的數(shù)與同一豎列最上面的數(shù)之和（如方格中 a= 14+ 17= 31） 右圖填滿后，這 30 個(gè)數(shù)的總和是 多少？ 10 11 13 15 17 19

9、 12 14 16 18 2有兩個(gè)算式： 98765X 98769, 98766 X 98768, 請(qǐng)先不要計(jì)算出結(jié)果，用最簡單的方法很快比較出哪個(gè)得數(shù)大，大多少? 3比較 568 X 764 和 567 X 765 哪個(gè)積大? 4在下面四個(gè)算式中，最大的得數(shù)是多少？ 1992X1999+ 1999 1993X1998+ 1998 1994X1997+ 1997 1995X1996+ 1996 5五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是 85,求其中最大和最小的數(shù) 6.45 是從小到大五個(gè)整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是 3,請(qǐng)你寫出這五個(gè)數(shù) 7把從 1 到 100 的自然數(shù)如下表那樣排列在這個(gè)數(shù)表里，把長的方面

10、3 個(gè)數(shù)，寬的方面 數(shù)用長方形框圍起來， 這 6 個(gè)數(shù)的和為 81,在數(shù)表的別的地方，如上面一樣地框起來的 問此時(shí)長方形框子里最大的數(shù)是多少？ 1 2 3 4 5 B ? e 9 10 It 12 13 14 15 1& 17 13 19 20 21 22 23 24 25 26 27 23 I- I的 1002 個(gè)數(shù)，一共 6 個(gè) 6 個(gè)數(shù)的和為 429, 7 第三講定義新運(yùn)算 我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：+、一、x、+等 女口： 2+ 3 = 5 2X 3= 6 都是 2 和 3,為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同 可見一種運(yùn)算實(shí)際 就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)

11、方法， 對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算 當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩 個(gè)數(shù)，通過這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng) 只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算 在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“ + ” , “” , “X” , “十”運(yùn)算不相同 我們先通過具體的運(yùn)算來了解和熟悉“定義新運(yùn)算” 例 1 設(shè) a、b 都表示數(shù)，規(guī)定 aA b = 3X a2 X b, 求 3A 2, 2A 3; 這個(gè)運(yùn)算“”有交換律嗎？ 求(17 6)A 2, 17A( 6A2); 這個(gè)運(yùn)算“”有結(jié)合律嗎？ 如果已知 4 b= 2,求 b. 分析解定義新運(yùn)算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)

12、，本題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù) 的 3 倍減去符號(hào)后面的數(shù)的 2 倍.解：3 2= 3X 3-2X 2 = 9-4= 5 2 3= 3 X 2 2X 3= 6 6 = 0. 由的例子可知“”沒有交換律 要計(jì)算(17A6) 2,先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有： 17A 6 = 3 X 17-2 X 6 = 39;再計(jì)算第二步 39 2= 3 X 39-2X 2 = 113, 所以(17 6)4 2= 113. 對(duì)于 17( 6 2),同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)， 62 = 3X 6-2X 2 = 14,其次 17 14= 3X 17 2X 14= 23, 所以 17( 6 2)= 23. 由的例子

13、可知“”也沒有結(jié)合律 .因?yàn)?4 b = 3X 4-2 X b = 12-2b，那么 12-2b = 2，解出 b= 5. 例 2 定義運(yùn)算為 玄b = aX b( a+ b),求 厶7, 了5; 求 12 探(3 探 4), (12 探 3)探 4; 這個(gè)運(yùn)算“”有交換律、結(jié)合律嗎？如果 3 探(5 探 x)= 3,求 x. 解： 5 探 7= 5X 7 ( 5 + 7)= 35-12 = 23 , 了 5 = 7X 5 ( 7+ 5)= 35-12 = 23. 要計(jì)算 12 探(3 探 4),先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有： 3 探 4= 3 X 4 ( 3+ 4)= 5,再計(jì)算第二步 代5= 12

14、X 5 ( 12+ 5)= 43, 所以 12 探(3 探 4)= 43. 對(duì)于(12彳)4,同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)， 代3 = 12X 3 ( 12+ 3)= 21,其次 21 探 4= 21 X 4 ( 21 + 4)= 59,所以(代 3)探 4= 59.由于玄 b = aX b( a+ b); b a= bX a( b+ a) =aX b( a+ b)(普通加法、乘法交換律) 所以有玄b=匕a,因此“”有交換律. 由的例子可知，運(yùn)算“”沒有結(jié)合律 . 5 探 x= 5x ( 5 + x)= 4x 5; 3 探(5 探 x)= 3 探(4x 5) =3 (4x 5) ( 3 + 4x 5)

15、= 12x 15( 4x 2)= 8x 13 那么 8x 13= 3 解出 x = 2 再看“鈕是否滿足箱合律； affib)田c= taXb + a + b) c =Cab + a + b) +axb + a +b+c -abc + ac 十 bc+ab + a 一 ti + 匚 m 田 Cbc) =a (bK： + b + c) (bxc + b + c) +a+bxc + b+t -abt +ab + ac + a + bc + b + c =abc + ac + bc + ab + a + b + c.普通加法的交換律) 所c=a (bc),因此“國”滿足結(jié)臺(tái)律 說明，田對(duì)于昔通的加法

16、不満足分配律，看反例， 12十3)二1田7=1X5十1十了=11； 12 + I；= IX 2+1 + 2+IX 3 + 1 + 3 = 5+7 = 12, 因此詢 C2+3)1 2 + 1 3.例3 JE叉耕旳運(yùn)舁R田匕=事+ 2 , 2 棗 1 1 田 2 I 這個(gè)運(yùn)彈有烹挾律和貓舍悻碼? 弊，石 乂 2+( (5+ 2= 20, 2 6 - 2X 6 + 2+6-20. 3= 12+14-2 3 -5 3 = 5X34-5+3 =23 i 田 2 =1 2 X 3+2+3 =1 11 -1 X 11 +1 + 11 =23 先石“ ”足否滿足玄換悻= ab = -I a + b = +a

17、.| b苛通乘注與加袪前女揍碎 所因此曲滿足京換碎 8 例4有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào) 沁“、使下列算式成立：2國4赳503=13, 35 = lb 9 7 = 25,求7礎(chǔ)=? 解；通過對(duì) 24=3, 53 = 13t 35 = -lL 97 = 2?S幾個(gè)算式 的觀察，找到規(guī)律： ab = 2a0b,因 3 = 2X7 +3= 17. 例 5 x、 y 表示兩個(gè)數(shù)， 規(guī)定新運(yùn)算* ”及”如下：x*y=mx+ ny , x y=kxy， 其中 m、n、 k 均為自然 數(shù)， 已知 1*2=5, (2*3) 4=64，求(1 2)*3 的值. 分析我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求 2)*3 的

18、值，首先我們要計(jì)算 2，根據(jù)“” 的定義：2=k x 1X 2=2k，由于 k 的值不知道，所以首先要計(jì)算出 k 的值.k 值求出后，I 2 的值也就計(jì) 算出來了，我們設(shè) 2=a. (1 2) *3=a*3，按“ *”的定義：a*3=ma+3n，在只有求出 m、n時(shí)，我們才能計(jì)算 a*3 的值.因此要 計(jì)算(1 2) * 3 的值，我們就要先求出 k、m、n的值通過 1*2 =5 可以求出 m、n的值，通過(2*3 ) 4=64 求出 k 的值. 解：因?yàn)?1*2=m x 1+n x 2=m+2n，所以有 m+2n=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)， 所以解出： m = 2 刃舍去) n2 當(dāng) m=

19、1 , n=2 時(shí)： (2*3 ) 4= (1 x 2+2 x 3 ) 4 =8 4=k x 8 x 4=32k 有 32k=64，解出 k=2. 當(dāng) m=3, n=1 時(shí)： (2*3 ) 4= (3 x 2+1 x 3 ) 4 =9 4=k x 9 x 4=36k 7 有36k = 64f解出k = 這與k是自然數(shù)矛盾，因此m二玉n = L 所以 m=l, n=2, k=2. (1 2) *3= (2 x 1 x 2) *3 =4*3 =1 x 4+2 x 3 =10. 在上面這一類定義新運(yùn)算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定 的法則代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意

20、的問題是：定義一個(gè)新運(yùn)算， 這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、 乘法所滿足 的運(yùn)算定律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解題J tn = 1 - 2 Cm = 3 a = 1 9 養(yǎng)示2的工倍減去b的!，例如上 1*2 = IX 3-2X 1 = 2,根據(jù)以上的規(guī)定, 計(jì)尊： 10*6 7*(2*1). 2定義新運(yùn)算為自O(shè)b -屮 b 求2GO9D的值； 04 = 1.351 PMIx ? 3. 有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算苻號(hào)。,使下列算式成立: 12 3 4 7 a = 2 3 6 5 9 4定義兩種運(yùn)尊“田化 S 對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)氛bt 1 b = a + b - L a b =

21、 aX b -1T 計(jì)算4 3 C63) C35)的值； 若盜田CE 4?) = 30,求藍(lán)的值$ E對(duì)于任意的整數(shù)述、護(hù)定義新運(yùn)算 xAy = 賽J (其中皿是一個(gè)確定的整數(shù)), m x x + z x y 如杲必空占n尬列 丘對(duì)于數(shù)灸b規(guī)定運(yùn)算KVaVb= (a+1) x (1-b),若等式(碗V (a + 1)= (a + 1) V (aVa)成立，求我値 人作”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是： 1 1 1 1 2 已知心族 r而應(yīng) n和鬧跚值 S.2b=吐;在H怪1) 中，和的值 ab 9HSaAb=a+ (all) + (a+2)+h+- (a+W),(弘幽為自然數(shù)，ba)如呆也 10

22、=驅(qū)那么滬？ 口我們規(guī)定匸蒂號(hào)。表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)第TOO； 5 “兩符號(hào)表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)翳例 5A 3=3A5=3)計(jì)算： + 23) D.625A h+ &2.25 1疵 習(xí)題三 11 5 1 6 456 742 10 第四講等差數(shù)列及其應(yīng)用 許多同學(xué)都知道這樣一個(gè)故事： 大數(shù)學(xué)家高斯在很小的時(shí)候， 就利用巧妙的算法迅速計(jì)算出從 1 到 100 這 100 個(gè)自然數(shù)的總和大家在佩服贊嘆之余，有沒有仔細(xì)想一想，高斯為什么算得快呢？當(dāng)然，小高斯的 聰明和善于觀察是不必說了，往深處想，最基本的原因卻是這 100 個(gè)數(shù)及其排列的方法本身具有極強(qiáng)的規(guī) 律性一一每項(xiàng)都比它前面的一

23、項(xiàng)大 1，即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，而這種數(shù)列有極簡便的求和方法 通過 這一講的學(xué)習(xí)，我們將不僅掌握有關(guān)這種數(shù)列求和的方法， 而且學(xué)會(huì)利用這種數(shù)列來解決許多有趣的問題 一、 等差數(shù)列 什么叫等差數(shù)列呢？我們先來看幾個(gè)例子： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 , 3, 5, 7, 9, 11, 13. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70. 20 , 18 , 16 , 14 , 12 , 10 , 8. 這六個(gè)數(shù)列有一個(gè)共同的特點(diǎn)， 即相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)固定

24、的數(shù)， 像這樣的數(shù)列就稱為等差數(shù)列 其中 這個(gè)固定的數(shù)就稱為公差，一般用字母 d 表示，女口： 數(shù)列中，d=2-1=3-2=4-3=1 ; 數(shù)列中，d=3-1=5-3=13-11=2 ; 數(shù)列中，d=100-95=95-90=75-70=5 ; 數(shù)列中，d=20-18=18-16=10-8=2. 例 1 下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說明理由 6, 10, 14, 18, 22,，98; 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6； 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64; 9, 8, 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2; 3 , 3 , 3 , 3

25、 , 3 , 3 , 3 , 3; 1, 0 , 1 , 0, I , 0, 1, 0; 解：是，公差 d=4. 不是，因?yàn)閿?shù)列的第 3 項(xiàng)減去第 2 項(xiàng)不等于數(shù)列的第 2 項(xiàng)減去第 1 項(xiàng). 不是，因?yàn)?4-2豐2-1. 是，公差 d=l. 是，公差 d=0. 不是，因?yàn)榈?1 項(xiàng)減去第 2 項(xiàng)不等于第 2 項(xiàng)減去第 3 項(xiàng). 一般地說，如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)或者都不小于前面的項(xiàng)，或者每一項(xiàng)都 大于前面的項(xiàng)，上述例 1 的數(shù)列中，第 1 項(xiàng)大于第 2 項(xiàng)，第 2 項(xiàng)卻又小于第 3 項(xiàng)，所以，顯然不符合等 差數(shù)列的定義 為了敘述和書寫的方便，通常，我們把數(shù)列的第 1 項(xiàng)記

26、為 a1，第 2 項(xiàng)記為 a2,，第 n項(xiàng)記為 an, an。又稱為數(shù)列的通項(xiàng)，a1;又稱為數(shù)列的首項(xiàng)，最后一項(xiàng)又稱為數(shù)列的末項(xiàng) 二、 通項(xiàng)公式 對(duì)于公差為 d 的等差數(shù)列 a1, a2,an來說，如果 a1;小于 a2,貝 U 顯然砌-az - a3 - an 乂，乳因此;： 2? - a1 +d a3 = a2 + d = (a1 + dj + d = aL + 2d a4 = a3 + d = (* * 2d) + d = a1 + 3d %二 X d 由此可知： (1)若 a1;大于 a2,則同理可推得： 11 公差 d=6-1=5，所以運(yùn)用公式(1)可知： 第 20 項(xiàng) a20=a1

27、= (20-1 )x 5=1+19 x 5=96. 一般地，如果知道了通項(xiàng)公式中的兩個(gè)量就可以求出另外一個(gè)量，如：由通項(xiàng)公式，我們可以得到項(xiàng) 數(shù)公式： 炳教用(備 F)+ d+1 (若 j 大于角) 或rrGi-aJ * d+i (若爼小于) 例 3 已知等差數(shù)列 2, 5, 8, 11, 14，問 47 是其中第幾項(xiàng)？ 解：首項(xiàng) a 仁 2,公差 d=5-2=3 令 an=47 則利用項(xiàng)數(shù)公式可得： n= (47-2)- 3+1=16. 即 47 是第 16 項(xiàng). 例 4 如果一等差數(shù)列的第 4 項(xiàng)為 21,第 6 項(xiàng)為 33，求它的第 8 項(xiàng). 分析與解答 方法 1:要求第 8 項(xiàng)，必須知

28、道首項(xiàng)和公差. 因?yàn)?a4=a1+3x d,又 a4=21,所以 a 仁 21-3X d 又 a6=a1+5x d,又 a6=33,所以 a 仁 33-5x d 所以：21-3 x d=33-5 x d, 所以 d=6 a 仁 21-3 x d=3, 所以 a8=3+7x 6=45. 方法 2：考慮到 a8=a7+d=a6+d+d=a6+2 x d，其中 a6 已知，只要求 2 x d 即可. 又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2 x d, 所以 2x d=a6-a4 所以 a8=3+7x 6=45 方法 2 說明：如果能夠靈活運(yùn)用等差數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系，解題將更為簡便 三、等差數(shù)列求和

29、若 a1 小于 a2,則公差為 d 的等差數(shù)列 a1,a2,a3an可以寫為 a1,a1+d,a1+dx 2,，a1+d x(n-1).所以，容易知道： a1+a n=a2+a n-仁 a3+a n-2 =a4+a n-3=a n-1+a2=a n+a1. 設(shè) Sn=a1+a2+a3+an 則 Sn=an+an-1+an-2+ +a1 兩式相加可得： 2 x Sn= (a1+an) +(a2+an-1)+ +(an+a1) 即：2x Sn=nx( a1+an)，所以， 例 5 計(jì)算 1+5+9+13+17+ +1993. 當(dāng) a1;大于 a2。時(shí)，同樣也可以得到上面的公式 .這個(gè)公式就是等差數(shù)

30、列的前 n項(xiàng)和的公式. 解：因?yàn)?1, 5, 9, 13, 17,，1993 是一個(gè)等差數(shù)列，且 al=1 , d=4 , an=1993. 所以，n= (an a1)- d+1=499. 所以，1+5+9+13+17+ +1993 =(1+1993)x 499- 2 =997x499 =497503. 題目做完以后，我們再來分析一下，本題中的等差數(shù)列有 499 項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第 250 項(xiàng)的值是 997, 而和恰等于 997x 499.其實(shí)，這并不是偶然的現(xiàn)象，關(guān)于中項(xiàng)有如下定理： 對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù) 列來說，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均 數(shù)，也等于首項(xiàng)與未項(xiàng)和的一半；或者換 句

31、話說，各項(xiàng)等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù). (2) 備二知+21) X d 公式(1 ) ( 2) 公差的情況下可以求出等差數(shù)列中的任何一項(xiàng) 例 2求等差數(shù)列 1 , 6, 11, 16的第 20 項(xiàng). 解：首項(xiàng) a1 =1,又因?yàn)?a2;大于 a1;, 叫做等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式，在已知首項(xiàng)和 12 這個(gè)定理稱為中項(xiàng)定理. 例 6 建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第 2 層 6 塊磚，第 3 層 10 塊磚，依次每層 都比其上面一層多 4 塊磚，已知最下層 2106 塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？ 解：如果我們把每層磚的塊數(shù)依次記下來， 2, 6, 10, 14，

32、 容易知道，這是一個(gè)等差數(shù)列 . 方法 1： a 仁 2， d=4， an=2106, 貝 n= (an-a1)+ d+1=527 這堆磚共有則中間一項(xiàng)為 a264=a1+ (264-1 )x 4=1054. 方法 2: (a1+an)x n - 2= (2+2106 )X 527 - 2=555458 (塊). 則中間一項(xiàng)為(a1+an)+ 2=1054 a 仁 2, d=4, an=2106, 這堆磚共有 1054 X 527=555458 (塊). n= (an-a1)+ d+1= 527 例 7 求從 1 到 2000 的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差 解：根據(jù)題意可列出算式

33、： (2+4+6+8+2000) - (1+3+5+ +1999) 解法 1:可以看出，2, 4, 6，2000 是一個(gè)公差為 2 的等差數(shù)列，1, 3, 5，1999 也是一個(gè)公 差為 2 的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為 1000，所以： 原式=(2+2000) X 1000 - 2- ( 1+1999)X 1000 - 2 =1000. 解法 2:注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等， 公差相等，且對(duì)應(yīng)項(xiàng)差 1,所以 1000 項(xiàng)就差了 1000 個(gè) 1 , 即 原式=1000 X 仁 1000. 例 8 連續(xù)九個(gè)自然數(shù)的和為 54,則以這九個(gè)自然數(shù)的末項(xiàng)作為首項(xiàng)的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是多少？ 分析與解答

34、 方法 1:要想求這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，可以先求出這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè) 即條件中的九個(gè) 連續(xù)自然數(shù)的末項(xiàng) 因?yàn)?，條件中九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為 54，所以，這九個(gè)自然數(shù)的中間數(shù)為 54- 9=6，則末項(xiàng)為 6+4=10. 因此，所求的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和為( 10+18)X 9 十 2=126. 方法 2:考察兩組自然數(shù)之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)：后一組自然數(shù)的每一項(xiàng)比前一組自然數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)大 8, 因此，后一組自然數(shù)的和應(yīng)為 54+8X 9=126. 在方法 1 中，可以用另一種方法來求末項(xiàng)，根據(jù)求和公式 Sn= (a1+an)x n+2,貝 U a1+a9=54X 2 十 9. 又因?yàn)?a 仁 a

35、9-8，所以代入后也可求出 a9=10. 例 9 100 個(gè)連續(xù)自然數(shù)(按從小到大的順序排列)的和是 8450，取出其中第 1 個(gè)，第 3 個(gè)第 99 個(gè)，再 把剩下的 50個(gè)數(shù)相加，得多少？ 分析與解答 方法 1:要求和，我們可以先把這 50 個(gè)數(shù)算出來. 100 個(gè)連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且和為 8450,則： 首項(xiàng)+末項(xiàng)=8450 X 2 十 100=169，又因?yàn)槟╉?xiàng)比首項(xiàng)大 99,所以，首項(xiàng)=(169-99)- 2=35.因此，剩下 的 50 個(gè)數(shù)為：36, 38, 40, 42, 44, 46134這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為( 36+134 )X 50 - 2=4250. 方法 2:

36、我們考慮這 100 個(gè)自然數(shù)分成的兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列有相同的公差，相同的項(xiàng)數(shù)，且剩下 的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)總大 1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大 50, 又因?yàn)樗鼈兿嗉拥暮蜑?8450所以，剩下的數(shù)的總和為(8450+50)- 2=4250. 四、等差數(shù)列的應(yīng)用 例 10 把 210 拆成 7 個(gè)自然數(shù)的和，使這 7 個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是 5，那么，第 1 個(gè)數(shù)與第 6 個(gè)數(shù)分別是多少？ 解：由題可知：由 210 拆成的 7 個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個(gè)數(shù)為 210 十 7=30，所以，這 7 個(gè)數(shù) 分別是 15、20、25、30、35

37、、40、45.即第 1 個(gè)數(shù)是 15,第 6 個(gè)數(shù)是 40. 例 11 把 27 枚棋子放到 7 個(gè)不同的空盒中，如果要求每個(gè)盒子都不空， 且任意兩個(gè)盒子里的棋子數(shù)目都不 一樣多，問能否辦到，若能，寫出具體方案，若不能，說明理由 分析與解答 因?yàn)槊總€(gè)盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同時(shí)，任兩盒中棋子數(shù)不一樣，所以 7 個(gè)盒中共 有的棋子數(shù)至少為 1+2+3+4+5+6+7=28.但題目中只給了 27 枚棋子，所以，題中要求不能辦到 . 例 12 從 1 到 50 這 50 個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于 50,有多少種不同的取法？ 解：設(shè)滿足條件的兩數(shù)為 a、b,且 av b，則

38、 13 若 a=1，則 b=50,共 1 種. 若 a=2，則 b=49, 50,共 2 種. 若 a=3，則 b=48, 49, 50,共 3 種.14 若 a=25，則 b=26, 27,50,共 25 種. 若 a=26， 則 b=27, 28,50,共 24 種.(a=26, b=25 的情形與 a=25, b=26 相同， 舍去) 若 a=27， 則 b=28, 29,50,共 23 種. 若 a=49，則 b=50，共 1 種. 所以，所有不同的取法種數(shù)為 1+2+3+ +25+24+23+22+ +1 =2 X( 1+2+3+24) +25 =625. 例 13 x+y+z=19

39、93 有多少組正整數(shù)解 解：K - 1991,則 y + x - 2, .L y - z 1990 1991 組 分析與解答 197 是奇數(shù)中的第 99 個(gè)數(shù). 數(shù)表中，第 1 行有 1 個(gè)數(shù) 第 2 行有 3 個(gè)數(shù). 第 3 行有 5 個(gè)數(shù) 第 n行有 2 x n-l 個(gè)數(shù) 因此，前 n行中共有奇數(shù)的個(gè)數(shù)為： 1+3+5+7+ + (2X n-1) =:1+ (2x n-1)x n+ 2 =n x n 因?yàn)?9X 9v 99v 10X 10.所以，第 99 個(gè)數(shù)位于數(shù)表的第 10 行的倒數(shù)第 2 個(gè)數(shù)，即第 18 個(gè)數(shù)，即 197 位于第 10行第 18 個(gè)數(shù). 第 10 行的第 9 個(gè)數(shù)是

40、奇數(shù)中的第 90 個(gè)數(shù)因?yàn)?9X 9+9=90 ),它是 179. 例 14 將自然數(shù)如下排列， 1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 91318 -訶迪腑二；廠：3 組 2=1 顯然，x不能等于 1992, 1993. 所以，原方程的不同的整數(shù)解的組數(shù)是： 1+2+3+ +1991=1983036. 本題中運(yùn)用了分類的思想，先按照 x 的值分類，在每一類中，又從 5,即按 因?yàn)?y+z=6，且 y、z 均為正整數(shù)，所以 y 最小取 1，最大取 一組解，因此，x=1987 時(shí)，共 5 組解. 例 13 把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)指出： 第 10 行的第 9 個(gè)數(shù)

41、是多少？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 y的角度來分類， 如： x=1987時(shí), y=1 , 2, 3, 4, 5 分類，每一類對(duì)應(yīng) 197 排在第幾行的第幾個(gè)數(shù)? 15 10 12 1116 在這樣的排列下，數(shù)字 3 排在第 2 行第 1 列，13 排在第 3 行第 3 列，問：1993 排在第幾行第幾列？ 分析與解答 不難看出，數(shù)表的排列規(guī)律如箭頭所指，為研究的方便，我們不妨把原圖順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 45。，就成為三 角陣(如右圖)，三角陣中，第 1 行 1 個(gè)數(shù)，第 2 行 2 個(gè)數(shù)第 n行就

42、有 n個(gè)數(shù)，設(shè) 1993 在三角陣中的第 n行，則： 1+2+3+ +n-1 v 1993W 1+2+3+ +n 即：nx( n-1)+ 2v 1993nx( n+1)+ 2 用試值的方法，可以求出 n=63. 又因?yàn)?1+2+62=1953，即第 62 行中最大的數(shù)為 1953.三角陣中，奇數(shù)列的數(shù)字從左到右，依次增大，又 1993-1953=40 ,所以，1993 是三角陣中第 63 行從左開始數(shù)起的第 40 個(gè)數(shù)(若從右開始數(shù)，則為第 24 個(gè)數(shù)). 把三角陣與左圖作比較，可以發(fā)現(xiàn)： 三角陣中每一行從左開始數(shù)起的第幾個(gè)數(shù)，就位于左圖的第幾列 三角陣中每一行從右開始數(shù)起的第幾個(gè)數(shù)，就位于左

43、圖的第幾行 由此，我們可知，1993 位于原圖的 24 行 40 列. 習(xí)題四 1. 求值： 6+11+16+501. 101 + 102+103+104+999. 2. 下面的算式是按一定規(guī)律排列的，那么，第 100 個(gè)算式的得數(shù)是多少？ 4+2, 5+8, 6+14, 7+20, 3.11 至 18 這 8 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和再加上 1992 后所得的值恰好等于另外 8 個(gè)連續(xù)數(shù)的和，這另外 8 個(gè) 連續(xù)自然數(shù)中的最小數(shù)是多少？ 4. 把 100 根小棒分成 10 堆，每堆小棒根數(shù)都是單數(shù)且一堆比一堆少兩根，應(yīng)如何分？ 5.300 到 400 之間能被 7 整除的各數(shù)之和是多少？ 6.100

44、 到 200 之間不能被 3 整除的數(shù)之和是多少？ 7. 把一堆蘋果分給 8 個(gè)小朋友，要使每個(gè)人都能拿到蘋果，而且每個(gè)人拿到蘋果個(gè)數(shù)都不同的話，這 堆蘋果至少應(yīng)該有幾個(gè)？ 8. 下表是一個(gè)數(shù)字方陣，求表中所有數(shù)之和 6- 98, 99, 100 7- 99, 100, 101 &100, 101 , 102 103, 104, 105197, 198, 199 第五講倒推法的妙用 1，2, 3，4，5, 2， 3， 4， 5， 6, 3, 4， 5, 6, 7, 100, 101, 102, 8 1T 10 12 17 在分析應(yīng)用題的過程中， 倒推法是一種常用的思考方法 這種方法是從

45、所敘述應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出 發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題 例 1 一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分 于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去 8 加上 10，再除以 7, 最后乘以 4,得 56”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？ 分析 這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來 如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣 層層深入，直到解決問題 如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去 8,加上 10，再除以乙乘以 4,結(jié)果是 56.求這 個(gè)數(shù)是多少？ 把一個(gè)數(shù)用來表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式： （ 8）+ 10- 7X 4= 56. 如何求出中的數(shù)呢？我們可

46、以從結(jié)果 56出發(fā)倒推回去因?yàn)?6是乘以4后得到的， 而乘以4之前是 56- 4 = 14.14是除以 7 后得到的，除以 7 之前是 14 X 7= 98.98 是加 10 后得到的，力口 10 以前是 98-10 = 88.88 是減 8 以后得到的，減 8 以前是 88 + 8 = 96.這樣倒推使冋題得解. 解：（ 8）+ 10- 7X 4 = 56 （ 8）+ 10- 7= 56- 4 答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績是 96 分. 通過以上例題說明，用倒推法解題時(shí)要注意： 從結(jié)果出發(fā)，逐步向前步一步推理 . 在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算 列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括

47、號(hào) . 例 2 馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)， 把減數(shù)個(gè)位上的 1 看成 7,把減數(shù)十位上的 7 看成 1,結(jié)果得出差是 111. 問正確答案應(yīng)是幾？ 分析 馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上 1 看成 7,使差減少 7 1 = 6,而把十位上的 7 看成 1,使差增加 7010 =60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減 6，加 60 得 111，求某數(shù)是幾的問題. 解：111（ 7010） + （ 71）= 57 答：正確的答案是 57. 例 3 樹林中的三棵樹上共落著 48 只鳥.如果從第一棵樹上飛走 8 只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走 6 只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等 .問：原來每棵樹上各落多少只

48、鳥？ 分析 倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等” 入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù) 48-3= 16 （只）. 第三棵樹上現(xiàn)有的鳥 16 只是從第二棵樹上飛來的 6 只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥 166 = 10（只）. 同理，第二棵樹上原有鳥 16+ 6 8= 14 （只）.第一棵樹上原落鳥 16+ 8 = 24 （只），使問題得解. 解：現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？ 48 3= 16 （只） 第一棵樹上原有鳥只數(shù).16+ 8 = 24 （只） 第二棵樹上原有鳥只數(shù) .16+ 68= 14 （只） 第三棵樹上原有鳥只數(shù) .16 6 = 10 （只） 答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥 24

49、只、14 只和 10 只. 例 4 籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多 1 個(gè).小軍取走了小明取走后剩下 一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨 1 個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？ 分析 依題意，畫圖進(jìn)行分析 籃芋用梨的一半 解：列綜合算式： （1 + 1 ）X 2+ 1X 2+ 1 X 2 =22 （個(gè)） 答：籃子里原有梨 22 個(gè). 例 5 甲乙兩個(gè)油桶各裝了 15 千克油.售貨員賣了 14 千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙 桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的 3 倍.問：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克

50、油？ 分析 解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油多少千克 .已知“甲、乙兩個(gè)油桶各裝油 15 千克.售 貨員賣了 14 千克”.可以求出甲、乙兩個(gè)油桶共剩油 15X 2 14= 16 （千克）.又已知“甲、乙兩個(gè)油桶所 剩油”及“這時(shí)甲桶油恰是乙桶油的 3 倍”.就可以求出甲、乙兩個(gè)油桶最后有油多少千克 求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有 油多少千克，從而求出從兩個(gè)油桶各賣出多少千克 解：甲乙兩桶油共剩多少千克？ 15X 2-14= 16 （千克） 乙桶油剩多少千克？ 16 -（ 3+ 1）= 4 （千克） 甲桶油剩多少千克？ 4X 3

51、= 12 （千克）18 用倒推法畫圖如下: 3. 有磚 26 塊， 兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了 .哥哥看弟弟挑的太多，就搶過 一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半 .哥哥不服，弟弟只好給哥哥 5 塊.這時(shí)哥哥比弟弟多 2 塊.問：最初 弟弟準(zhǔn)備挑幾塊磚？ 甲桶油乙桶袖 從甲桶賣出油多少千克？ 從乙桶賣出油多少千克？ 答：從甲桶賣出油 4 千克, 15-11 = 4 （千克） 15 5= 10 （千克） 從乙桶賣出油 10 千克. 12 4 I 1 10 r 1! 例 6 菜站原有冬貯大白菜若干千克 第一天賣出原有大白菜的一半 第二天運(yùn)進(jìn) 200 千克第三天賣出現(xiàn)有白 菜

52、的一半又 30 千克，結(jié)果剩余白菜的 3 倍是 1800 千克求原有冬貯大白菜多少千克？ 分析 解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析根據(jù)題目的已知條件畫線段圖 （見下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來 600 + 30= 630 （千克） 第二天運(yùn)進(jìn) 200 千克后有白菜多少千克？ 630 X 2= 1260 （千克） 原來的一半是多少千克？ 1260200= 1060 （千克） 原有貯存多少千克？ 1060 X 2= 2120 （千克） 答：菜站原來貯存大白菜 2120 千克. 綜合算式： （1800- 3 + 30）X 2200X 2 迢00千克 習(xí)題五 1某數(shù)除以 4,乘以 5，再除以 6，結(jié)果是 615

53、，求某數(shù). 2生產(chǎn)一批零件共 560 個(gè)， 師徒二人合作用 二人每天各生產(chǎn)零件多少個(gè)？ 4 天做完.已知師傅每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是徒弟的 3 倍.師堀話有油： 從乙桶倒油前: 從甲楠倒油前: 篦二天運(yùn)進(jìn) 30D 千克 第二天的一半 I倍 第三天実出的 逍 19 4. 阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜 .別人問他帶多少錢， 他說：“買菜的錢是 1、2、3; 3、2、1 ; 1、2、3、4、5、6、7 的和；力口 7 加 8,力口 8 加 7、力口 9 加 10 加 11。你知道阿凡提一共帶了多少錢？買魚用了多少錢？ 第六講行程問題（一） 我們把研究路程、速度、時(shí)

54、間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題 在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個(gè)量之間 存在這樣的基本關(guān)系：路程=速度X時(shí)間 因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，主要來研究行 程問題中較為復(fù)雜的一類問題一一反向運(yùn)動(dòng)問題，也即在同一道路上的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作方向相反的運(yùn)動(dòng)的 問題它又包括相遇問題和相背問題 所謂相遇問題，指的就是上述兩個(gè)物體以不同的點(diǎn)作為起點(diǎn)作相向運(yùn) 動(dòng)的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以同一點(diǎn)作為起點(diǎn)作背向運(yùn)動(dòng)的問題，下面，我們來 具體看幾個(gè)例子 例 1 甲、乙二人分別從相距 30 千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每

55、小時(shí)走 6 千米，乙每小時(shí)走 4 千米， 問：二人幾小時(shí)后相遇？ 分析出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距 30 千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短 6+ 4= 10 （千米），即兩人的速 度的和（簡稱速度和），所以 30 千米里有幾個(gè) 10 千米就是幾小時(shí)相遇 解：30+（ 6+ 4） =30 + 10 =3 （小時(shí)） 答：3 小時(shí)后兩人相遇 例 1 是一個(gè)典型的相遇問題在相遇問題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系： 路程=速度和X時(shí)間. 例 2 一列貨車早晨 6 時(shí)從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行 45 千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時(shí) 比貨車快 15 千米，已知客車比貨車遲發(fā) 2 小時(shí)，中午 12 時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)

56、過途中某站， 然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問: 當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？ 分析貨車每小時(shí)行 45 千米，客車每小時(shí)比貨車快 15 千米，所以，客車速度為每小時(shí)（ 45+ 15）千 米；中午 12 點(diǎn)兩車相遇時(shí)，貨車已行了（ 12 6）小時(shí)，而客車已行（126 2）小時(shí)，這樣就可求出甲、 乙兩地之間的路程.最后，再來求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離 解：甲、乙兩地之間的距離是： 45X（ 126） + （ 45+ 15）X（ 1262） =45 X 6 + 60 X 4 =510 （千米）. 客車行完全程所需的時(shí)間是： 510+（ 45 + 15） =510+ 60 =8.5

57、（小時(shí)） 客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離： 51045 X（ 85+ 2） =510 4725 =37.5 （千米） 答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有 37.5 千米. 例 3 兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行 36 千米，乙車每小時(shí)行 54 千米 倆車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)： 從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了 14 秒，求乙車的車長. 分析 首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘 36000 + 3600= 10 （米），乙車的速度是每秒鐘 54000 + 3600 = 15 （米）.本題中，甲車的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘 10 米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車的運(yùn) 動(dòng)則

58、可以看作是乙車車頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車 乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動(dòng) 14 秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之 間的距離都增大（10+ 15）米，因此，14 秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為 （10+ 15） X 14= 350 （米） 又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄?，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等 于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在 14 秒內(nèi)所走的路程之和. 解：（10+ 15）X 14 =350 （米） 答：乙車的車長為 350 米. 我們也可以把例 3 稱為一個(gè)相背運(yùn)

59、動(dòng)問題，對(duì)于相背問題而言，相遇問題中的基本關(guān)系仍然成立 . 例 4 甲、乙兩車同時(shí)從 A、B 兩地出發(fā)相向而行，兩車在離 B 地 64 千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原 速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距 A 地 48 千米處第二次相遇，問 兩次相遇點(diǎn)相距多少千 米？ 20 -11 -1 丨 、 1 酯千米寸 1 i閏宇米 分析 甲、乙兩車共同走完一個(gè) AB 全程時(shí)，乙車走了 64 千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇 時(shí)共走了 3個(gè) AB 全程，因此，我們可以理解為乙車共走了 3 個(gè) 64 千米，再由上圖可知：減去一個(gè) 48 千 米后，正好等于一個(gè) AB 全

60、程 . 解：AB 間的距離是 64 X 3- 48 =192-48 =144 （千米）. 兩次相遇點(diǎn)的距離為 14448- 64 =32 （千米）. 答：兩次相遇點(diǎn)的距離為 32 千米. 例 5 甲、乙二人從相距 100 千米的 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的 車發(fā)生故障，修車用了 1 小時(shí).在出發(fā) 4 小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的 2 倍，且相遇時(shí) 甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？ 分析 甲的速度為乙的 2 倍，因此，乙走 4 小時(shí)的路，甲只要 2 小時(shí)就可以了，因此，甲走 100 千米 所需的時(shí)間為（4 1 + 4 十 2）= 5 小時(shí).這樣就可求出甲的