2022年2022年高中數(shù)學(xué)《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載奇妙提問,探尋課堂學(xué)問生長點(diǎn)正弦定理新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)一.教學(xué)內(nèi)容分析 ：正弦定理為一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)必修 5人教 a版第一章解三角形： 1 1 “正弦定理和余弦定理”的第1 課,為解三角形的重要工具；“解三角形”既為高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容,又有較強(qiáng)的應(yīng)用性；解三角 形作為幾何度量問題, 應(yīng)突出幾何的作用和數(shù)量化的思想,為同學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)；本課“正弦定理” ,作為單元的起始課,為后續(xù)內(nèi)容作學(xué)問與方法的預(yù)備,為在同學(xué)已有的三角函數(shù)及向量學(xué)問的基礎(chǔ)上,通過對(duì)三角形邊角關(guān)系作量化探究,發(fā)覺并把握正弦定理（重要的解三角形工具）,解決簡潔的三

2、角形度量問題；教學(xué)過程中,應(yīng)發(fā)揮同學(xué)的主動(dòng)性,通過探究發(fā)覺.合情推理與演繹 證明的過程,提高同學(xué)的思辨才能；二.同學(xué)學(xué)情分析：由于本課內(nèi)容和一些與測(cè)量. 幾何運(yùn)算有關(guān)的實(shí)際問題相關(guān),教學(xué)中如能留意課程與生活實(shí)際的聯(lián)系, 留意學(xué)問的發(fā)生過程, 定能激起同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好； 當(dāng)然本課涉及代數(shù)推理,定理證明中涉及三角函數(shù)與平面對(duì)量等多方面的學(xué)問方法,綜合性強(qiáng),同學(xué)學(xué)習(xí)方面有肯定困難；三.設(shè)計(jì)思想：培育同學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí). 學(xué)會(huì)探究為全面進(jìn)展同學(xué)才能的重要前提,為高中新課程改革的主要任務(wù)； 如何培育同學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí). 學(xué)會(huì)探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為： “學(xué)問不為被動(dòng)吸取的,而為由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的；”這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度

3、來懂得就為： 學(xué)問不為通過老師傳授得到的,而為同學(xué)在肯定的情境中, 運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)體會(huì),并通過與他人在老師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫忙下協(xié)作,主動(dòng)建構(gòu)而獲得的,建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以同學(xué)為中心,視同學(xué)為認(rèn)知的主體, 老師只對(duì)同學(xué)的積極建構(gòu)起幫忙和促進(jìn)作用；本節(jié)“正弦定理 ”的教學(xué), 將遵循這個(gè)原就采納奇妙提問.試驗(yàn)探究.自主學(xué)習(xí).合作溝通的爭論性學(xué)習(xí)方式,重點(diǎn)放在定理的形成.證明的探究及定理基本應(yīng)用上,努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值；從實(shí)際問題動(dòng)身,從同學(xué)已有學(xué)問動(dòng)身,奇妙提問,層層推動(dòng),引入課題,猜想驗(yàn)證,理論證明,最終把所學(xué)學(xué)問應(yīng)用于實(shí)際問題；四.教學(xué)目標(biāo)：讓同學(xué)從已有的學(xué)問體會(huì)動(dòng)身、通過對(duì)特別

4、三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求,發(fā)覺正弦定理；再由特別到一般,從定性到定量,探究在任意三角形中,邊與其 對(duì)角的關(guān)系,引導(dǎo)同學(xué)通過觀看,猜想,比較,推導(dǎo)正弦定理,由此培育同學(xué)合 情推理探究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)摸索才能；培育同學(xué)聯(lián)想與引申的才能, 探究的精神與創(chuàng)新的意識(shí), 同時(shí)通過三角函數(shù). 向量與正弦定理等學(xué)問間的聯(lián)系來幫忙同學(xué)初步樹立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)；五.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)為正弦定理的探究.證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)為正弦定理應(yīng)1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載用中“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形,判定解的個(gè)數(shù)”,以及規(guī)律思維能力的培育；六.教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

5、（一）創(chuàng)設(shè)情境 :問題1：長沙市政府欲在湘江建一個(gè)隧道、需預(yù)先測(cè)量兩地 a 和 b 的距離 、于為在江邊選取一個(gè)測(cè)量點(diǎn)c、 測(cè)得a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cb=435m、 cba=880 、 bca=42 0 ；由以上數(shù)據(jù),能測(cè)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載算出ab嗎？這為一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題.這個(gè)三角形為唯獨(dú)確定的嗎？理由為什么？引出：解三角形已知三角形的某些邊和角,求其他的邊和角的過程； 設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問題動(dòng)身,引入數(shù)學(xué)課題；師：我們知道：已知兩角一邊,依據(jù)三角形全等的判定aas或 asa ,該三角形為唯獨(dú)確

6、定的；如何定量地求出88 0b435m420c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其余的邊角呢？這就為我們這節(jié)課要爭論的正弦定理；引出課題：正弦定理；師：在中學(xué)我們學(xué)到很多三角形的學(xué)問,你對(duì)三角形中的邊角學(xué)問知道多少？生：· · · ,“大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角”師：“a b ca b c”,這為定性地爭論三角形中的邊角關(guān)系,為什么大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角？我們能否更深刻地.從定量的角度爭論三角形中的邊角關(guān)系？同學(xué)們能否結(jié)合特別三角形作一下合理猜想呢？ 設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn),從新的角度看過去的問題,使同學(xué)對(duì)于過去的學(xué)問有了新的熟悉,同時(shí)使新學(xué)問建立在已有學(xué)

7、問的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上,形成良好的學(xué)問結(jié)構(gòu)；（二）猜想.試驗(yàn)：1.發(fā)散思維, 提出猜想： 從定量的角度考察三角形中的邊角關(guān)系,猜想可能存在哪些關(guān)系？ 學(xué)情預(yù)設(shè)： 此處, 同學(xué)依據(jù)已有學(xué)問“ a b ca b c”,可能顯現(xiàn)以下答案情形；如a/a=b/b=c/c、a/sina=b/sinb=c/sinc、a/cosa=b/cosb=c/cosc、a/tana=b/tanb=c/tanc,·· ···等等 ； 設(shè)計(jì)意圖：培育同學(xué)的發(fā)散思維,猜想也為一種數(shù)學(xué)才能2 .爭論特例,提煉猜想：考察等邊三角形.特別直角三角形的邊角關(guān)系,提煉出abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

8、習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin asin bsin c ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.試驗(yàn)驗(yàn)證,完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中為否成立呢？請(qǐng)同學(xué)以量角器.刻度尺.運(yùn)算器為工具,對(duì)一般三角形的上述關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證,老師用幾abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載何畫板演示； 在此基礎(chǔ)上, 師生一起得出猜想, 即在任意三角形中, 有 sin a 設(shè)計(jì)意圖：著重培育同學(xué)對(duì)問題的探究意識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐才能（三）證明探究：sin bsin c ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)此猜想, 據(jù)以上直觀考察,我們感情上為完全可以接受的,但數(shù)學(xué)需要理性思維；如

9、何通2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理,證明正弦定理呢？1. 特別入手,探究證明：在中學(xué), 我們已學(xué)過如何解直角三角形,下面就第一來探討直角三角形中,角與邊的等量關(guān)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載系；在rtabc中,設(shè)bc=a、ac=b、ab=c、c900 , 依據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義,有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a sin ab sin bsin c1cabcc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c, c,又abcc 、就 sin asin bsinc,從而在直角三精品學(xué)習(xí)

10、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載角形 abc 中, sin asin bsin c ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.推廣拓展,探究證明：問題 2：在銳角三角形abc 中,如何構(gòu)造直角三角形,表示“ a 與 sina . b 與 sinb ”的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載關(guān)系呢？探究 1：能否構(gòu)造直角三角形,將問題化歸為已知問題？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：此處,同學(xué)可能顯現(xiàn)以下答案情形；同學(xué)對(duì)直角三角形中證明定理的方法記憶猶新,可能通過以下三種方法構(gòu)造直角三角形；生 1：如圖 1,過c 作 bc 邊上的垂線cd ,交 ba 的延長線于d ,得到直角三角形dbc ；生

11、 2：如圖 2,過 a 作 bc 邊上的高線ad ,化歸為兩個(gè)直角三角形問題；生 3：如圖 3,分別過b. c 作 ab .ac 邊上的垂線,交于d,連接 ad ,也得到兩個(gè)直角三角形·· · · 經(jīng)過師生爭論指出：方法1 明顯不行取,方法2,簡潔明白,簡潔得到“c 與 sin c .b 與 sinb ”的關(guān)系式；而方法3 將把問題延長到四點(diǎn)共圓,深究下去,可得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a sin ab sin bc sin c2 r ,而且對(duì)鈍角三角形也適應(yīng)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 學(xué)問鏈接：依據(jù)化歸這一解決

12、數(shù)學(xué)問題的重要思想方法,把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問題為自然不過的；圖 1圖 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載_d a cos - b 、a sin -b c_ b cosa 、bsina a_b_a_cb_ c、0 圖 3圖 4探究 2：能否引入向量,歸結(jié)為向量運(yùn)算？（1）圖 2 中蘊(yùn)涵哪些向量關(guān)系式？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同學(xué)探究,師生.生生之間溝通爭論, 得 abbcac 、 abbcca0、 abcbca、（這精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三個(gè)式子本質(zhì)上為相同的）、adbc0等 、（2）如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量

13、關(guān)系？ 施以什么運(yùn)算 .生：施以數(shù)量積運(yùn)算（3）可取與哪些向量的數(shù)量積運(yùn)算？ 學(xué)情預(yù)設(shè)： 此處,同學(xué)可能會(huì)做如下種種嘗試,如兩邊自乘平方. 兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量ab（或bc.ac ）,均無法如愿；此時(shí)引導(dǎo)同學(xué)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量ad 、并說出理由：數(shù)量積運(yùn)算產(chǎn)生余弦,垂直就實(shí)現(xiàn)了余弦與正弦的轉(zhuǎn)換； 學(xué)問鏈接：過渡教材中,證明方法所引用的單位向量j 就為與向量ad共線的單位向量；過去,同學(xué)常對(duì)此感到費(fèi)解,經(jīng)如此鋪墊方顯自然探究 3：能否引入向量的坐標(biāo)形式,把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算？（1）如圖 4,建立直角坐標(biāo)系,可得：a0、0、bc、0、cbcosa、bsina、（2）向量 bc 的坐標(biāo) =？（ bco

14、sa-c , bsina ）（3）哪一點(diǎn)的坐標(biāo)與向量bc 的坐標(biāo)相同？由三角函數(shù)的定義,該點(diǎn)的坐標(biāo)又為多少？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0師：依據(jù)平行四邊形法就,bc 與 d 點(diǎn)坐標(biāo)相同；d（ a cos180b、 a sin1800b ）,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0從而建立等量關(guān)系：bcosa c= acos180b、0bsina=a sin180b 、 整理,得c=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bcosa+ acosb （這其實(shí)為射影定理） , a/sina=b/sinb ,同理可得a/s

15、ina=c/sinc ； 學(xué)問鏈接：向量,融數(shù)與形于一體,為重要的數(shù)學(xué)工具,我們可以通過向量的運(yùn)算來描述和爭論幾何元素之間的關(guān)系（如角與距離等）,這里同學(xué)已經(jīng)學(xué)過向量,可依據(jù)同學(xué)素養(yǎng)情4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載況打算為否采納探究2 與 3問題 3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？（留做課后作業(yè)）（四）懂得定理.基本應(yīng)用：1.正弦定理：在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a sin ab sin bc2 rsin c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載問題 4.定理結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn),有哪些變形式？（1）從結(jié)構(gòu)

16、看：各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng),成正比例,表達(dá)了數(shù)學(xué)的和諧美；（2）從方程的觀點(diǎn)看：每個(gè)方程含有四個(gè)量,知三求一；從而知正弦定理的基本作用為：ab sin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊,如sin b；sin aa sin b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值,如b；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 常見變式：a 2 r sin ab 2 r sin bs i na : si nb: s i nca : b : c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

17、迎下載c 2 r sin c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如：在abc 中,sin 2 asin 2 bsin 2 c ,試判定abc 的外形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.例題分析例 1在abc 中,已知a32.00 , b81.80 , a42.9 cm,解三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載評(píng)述：定理的直接應(yīng)用,對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用運(yùn)算器；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2在abc 中,已知 a精確到 1cm）；20cm、 b28cm、 a040,解三角形（角度

18、精確到01 ,邊長精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載評(píng)述：應(yīng)留意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),可能有兩解的情形；摸索：已知三角形的兩邊一角,這個(gè)三角形能唯獨(dú)確定嗎？為什么？讓同學(xué)先行摸索,下節(jié)課在“正.余弦定理”其次課時(shí)中予以下圖的剖析闡述；已 知 邊 a、b 和a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ccbabaaaahhccbbaaaab1hb2hb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a<ch =b sina無 解a = ch = bsina僅有一個(gè)解ch = bsina<a<b有兩個(gè)解a b僅有一個(gè)解精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

19、- 歡迎下載5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.課堂練習(xí)：（1）.引題（問題1）（2）.在 abc 中,a.b.c 分別為 a . b. c 的對(duì)邊,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a3、b2、 b450 、 求角a .c及邊 c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（五）課堂小結(jié)：問題 5：請(qǐng)同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收成和感受；生 1：原先我只會(huì)解直角三角形,現(xiàn)在我會(huì)解一般三角形了師：通過本課學(xué)習(xí),你發(fā)覺自己更強(qiáng)大了；生 2：原先我以為正弦定理的證明,只有書上一種方法,今日我們學(xué)到了課本以外的眾多方法；師：我們學(xué)習(xí)過兩個(gè)重要數(shù)學(xué)工具,即三角函數(shù)與平面

20、對(duì)量,正弦定理的證明充分展現(xiàn)了它們的妙用；生 3：公式很美；師：美在哪里？生 3：表達(dá)了公式的對(duì)稱美,和諧美·· ··在同學(xué)們的熱鬧爭論的基礎(chǔ)上,用課件展現(xiàn)小結(jié)：1.在正弦定理的發(fā)覺及其證明中,蘊(yùn)涵了豐富的思想方法,既有由特別到一般的歸納思想,又有嚴(yán)格的演繹推理；在定理證明中我們從直觀幾何角度.向量運(yùn)算角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性；2.正弦定理反映了邊與其對(duì)角正弦成正比的規(guī)律、據(jù)此,可以用角的正弦替代對(duì)邊,具有美學(xué)價(jià)值3.利用正弦定懂得決三類三角形問題：（1）已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而求出其他的邊和角；（3）實(shí)現(xiàn)邊與角的互化； 設(shè)計(jì)意圖：通常,課堂小結(jié)均由老師和盤托出,同學(xué)接受現(xiàn)成的結(jié)論；本設(shè)計(jì)充分發(fā)揮同學(xué)