隨機變量的數(shù)學期望實用教案

1、第一節(jié) 數(shù)學(shxu)期望離散型隨機變量的數(shù)學期望(qwng)連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望(qwng)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望(qwng)數(shù)學期望(qwng)的性質(zhì)課堂練習 第1頁/共50頁第一頁，共50頁。 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果(rgu)知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題(wnt)中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.第2頁/共50頁第二頁，共50頁。 因此，在對隨機變量的研究中，確定(qudng)某些數(shù)字特征是重要的 .在這些(zhxi)

2、數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(shxu)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第3頁/共50頁第三頁，共50頁。一、數(shù)學期望(qwng)的概念 1)(kkkpxXE即定義1 設(shè)X是離散型隨機變量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,若級數(shù) 1kkkpx絕對收斂，則稱級數(shù) 1kkkpx)(XE的和為隨機變量X的數(shù)學期望，記為 ,若級數(shù)發(fā)散 ，則稱X的數(shù)學期望不存在。 1kkkpx第4頁/共50頁第四頁，共50頁。定義2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，如果積分 絕對收斂，則稱該積分的值為隨機變量X的數(shù)學期望或者均值，記為EX，即dxxxf)(dxxfxXE)()( 如果積分 發(fā)散，則稱

3、X的數(shù)學期望不存在。 ( )x f x dx第5頁/共50頁第五頁，共50頁。關(guān)于(guny)定義的幾點說明 (3) 隨機變量的數(shù)學期望(qwng)與一般變量的算術(shù)平均值不同. (1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般(ybn)的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱均值. (2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量X 取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.第6頁/共50頁第六頁，共50頁。xO 隨機變量(su j bin lin) X 的算術(shù)平均值為

4、, 5 . 1221 假設(shè)(jish).98. 198. 0202. 01)( XE它從本質(zhì)上體現(xiàn)(txin)了隨機變量X 取可能值的平均值.當隨機變量 X 取各個可能值是等概率分布時 , X 的期望值與算術(shù)平均值相等. 1 2 X21020.980.p第7頁/共50頁第七頁，共50頁。為為他們射擊的分布律分別他們射擊的分布律分別乙兩個射手乙兩個射手、甲甲,試問哪個(n ge)射手技術(shù)較好?思考(sko) 誰的技術(shù)比較好?乙射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10983 . 01 . 06 . 0第8頁/共50頁第八頁，共50頁。解)

5、,(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1環(huán)環(huán) XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2環(huán)環(huán) XE.,21XX數(shù)分別為數(shù)分別為設(shè)甲、乙射手擊中的環(huán)設(shè)甲、乙射手擊中的環(huán)故甲射手(shshu)的技術(shù)比較好.第9頁/共50頁第九頁，共50頁。例4.1 一批產(chǎn)品中有一、二、三等及廢品4種，相應(yīng)比例分別為60%，20%，13%，7%，若各等級(dngj)的產(chǎn)值分別為10元、5.8元、4元及0元，求這批產(chǎn)品的平均產(chǎn)值。 解 設(shè)一個產(chǎn)品的產(chǎn)值為X元，則X的可能取值分別為0，4，5.8，10；取這些值的相應(yīng)比例分別為7%, 13%, 20%, 60%；則它們可以構(gòu)成(

6、guchng)概率分布，由數(shù)學期望的定義求得產(chǎn)品的平均產(chǎn)值為 EX = 40.13 + 5.80.2 + 100.6 = 7.68（元）。 第10頁/共50頁第十頁，共50頁。到站時刻到站時刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客8:20到車站,求他候車(hu ch)時間的數(shù)學期望. 例4.2 按規(guī)定,某車站(chzhn)每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機的,且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為： 第11頁/共50頁第十一頁，共50頁。其分布率為其分布率為以分計以分計為為解：設(shè)旅客的候車時間解

7、：設(shè)旅客的候車時間),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162611370()( ) ( )66P XP ABP A P B上表中例如的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為候車時間候車時間到站到站第二班車第二班車為事件為事件到站到站第一班車第一班車為事件為事件其中其中XBA.30:9,10:8分分22.2736290363703615062306310)( XE第12頁/共50頁第十二頁，共50頁。 例4.3其概率密度為其概率密度為服從同一指數(shù)分布服從同一指數(shù)分布它們的壽命它們的壽命裝置裝置個相互獨立工作的電子個相互獨立工作的電子有有,)2 , 1(,2 kXk0, 00,

8、01)( xxexfx若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接(linji)組成整機,求整機壽命(以小時(xiosh)計) N 的數(shù)學期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解第13頁/共50頁第十三頁，共50頁。 0001)(1 1)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的概率密度為的概率密度為于是于是22)()(02min dxexdxxxfNEx12min(,)NXX 的分布函數(shù)為第14頁/共50頁第十四頁，共50頁。:),(,規(guī)規(guī)定定以以年年計計記記使使用用壽壽命命為為付付款款的的方方式式的的銷銷售售采采用用先先使使用用后后某某商商

9、店店對對某某種種家家用用電電器器X例4.4商店(shngdin)的銷售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一臺臺付付款款元元一一臺臺付付款款元元一一臺臺付付款款元元一一臺臺付付款款 XXXX. 0, 0, 0,e101)(,10的的數(shù)數(shù)學學期期望望器器收收費費試試求求該該商商店店一一臺臺家家用用電電概概率率密密度度為為服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布設(shè)設(shè)壽壽命命YxxxfXx 第15頁/共50頁第十五頁，共50頁。解xXPxde10111010 1 . 0e1 ,0952. 0 xXPxde101211021 2 . 01 . 0ee ,0861. 0 xX

10、Pxde101321032 ,0779. 0ee3 . 02 . 0 第16頁/共50頁第十六頁，共50頁。xXPxde1013103 .7408. 0e3 . 0 的的分分布布律律為為因因而而一一臺臺收收費費 YYkp30002500200015000952. 07408. 00861. 00779. 0,15.2732)( YE得得.15.2732元元費費即平均一臺家用電器收即平均一臺家用電器收第17頁/共50頁第十七頁，共50頁。例4.5 求常見分布的隨機變量數(shù)學(shxu)期望。第18頁/共50頁第十八頁，共50頁。二、隨機變量(su j bin lin)函數(shù)的數(shù)學期望1. 問題(wn

11、t)的提出： 設(shè)已知隨機變量X的分布，我們(w men)需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計算呢？ 一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計算出來.第19頁/共50頁第十九頁，共50頁。 那么是否(sh fu)可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得Eg(X)呢？下面(xi mian)的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)(hnsh)g(X)的分布，一般是比較復雜的 .第20頁/共50頁第二十頁，共50

12、頁。(1) 當X為離散(lsn)型時,它的分布率為P(X= xk)=pk ;絕對收斂，則有絕對收斂，則有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk1( ) ()()kkkE YE g Xg xp(2) 當X為連續(xù)型時,它的密度(md)函數(shù)為f(x).若絕對收斂，則有絕對收斂，則有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理(dngl)1 設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X) (g是連續(xù)函數(shù))第21頁/共50頁第二十一頁，共50頁。連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 該公式的重要性在于: 當我們求Eg(X)時, 不必知道g(X)的

13、分布(fnb)，而只需知道X的分布(fnb)就可以了. 這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.第22頁/共50頁第二十二頁，共50頁。 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( 定理(dngl)2 設(shè)g (X,Y) 是隨機變量X、Y的函數(shù)，且Eg(X)存在。 (2) 如果X、Y是連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合(linh)概率密度為f(x,y)，則 (1) 如果X、Y是離散(lsn)型隨機變量，聯(lián)合概率分布為pij , i,j=1,2, ，則 11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x yp第23頁/共50頁第二十三頁，共50頁。Xp1234 . 02 . 04 .

14、0解的分布律為的分布律為XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例4.6 設(shè) ( X , Y ) 的分布(fnb)律為第24頁/共50頁第二十四頁，共50頁。. 03 . 014 . 003 . 01)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律為的分布律為Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0

15、)1 , 3(1 . 0由于第25頁/共50頁第二十五頁，共50頁。p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 第26頁/共50頁第二十六頁，共50頁。?),(, 0. 0, 0, 0,e1)()(,.,.,均為已知均為已知產(chǎn)品產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)多少

16、件應(yīng)生產(chǎn)多少件期望最大期望最大問若要獲得利潤的數(shù)學問若要獲得利潤的數(shù)學度為度為服從指數(shù)分布其概率密服從指數(shù)分布其概率密件件們預測銷售量們預測銷售量他他再者再者元的損失元的損失而積壓一件產(chǎn)品導致而積壓一件產(chǎn)品導致元元利利可獲可獲他們估計出售一件產(chǎn)品他們估計出售一件產(chǎn)品確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量并試圖并試圖產(chǎn)品市場產(chǎn)品市場某公司計劃開發(fā)一種新某公司計劃開發(fā)一種新nmyyyfYnmyY 例4.7第27頁/共50頁第二十七頁，共50頁。解,件件設(shè)生產(chǎn)設(shè)生產(chǎn) x:的函數(shù)的函數(shù)是是則獲利則獲利xQ .,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若若若yyQfQEYd)()(0 ymxyyxnmyyxy

17、xde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx , 0e )()(dd nnmQExx令令第28頁/共50頁第二十八頁，共50頁。).ln(nmnx 得得, 0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取得最大值取得最大值時時當當因此因此QEnmnx 第29頁/共50頁第二十九頁，共50頁。密度密度即具有概率即具有概率上服從均勻分布上服從均勻分布在在設(shè)風速設(shè)風速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的數(shù)學期望的數(shù)學期望求求常數(shù)常數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是是壓力壓力又設(shè)飛機機翼受到的正又設(shè)飛機機翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkv

18、WEa 解：由上面的公式解：由上面的公式第30頁/共50頁第三十頁，共50頁。例9 求數(shù)學(shxu)期望E(eX)，若 (1)XP(3); (2) XB(n,p); (3) XN(1,4).第31頁/共50頁第三十一頁，共50頁。 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數(shù)求系數(shù)211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1第32頁/共50頁第三十二頁，共50頁。 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設(shè)二維連

19、續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數(shù)求系數(shù)4)sin(2122/02/0 dxdyyxxXE）（）解（解（12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxydxdyyxxyfXYE第33頁/共50頁第三十三頁，共50頁。例11., 22的數(shù)學期望的數(shù)學期望求求正態(tài)分布正態(tài)分布且都服從標準且都服從標準相互獨立相互獨立和和設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量YXZYX 解的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為和和相互獨立相互獨立和和YXYXNYNX,),1 , 0(),1 , 0( 2222e21e21),(yxyxf ,e

20、212)(22yx 于是(ysh)()(22YXEZE .dde2122222yxyxyx 第34頁/共50頁第三十四頁，共50頁。得得令令,sin,cos ryrx dde21)(220022rrZEr rrrde222022 rrrrdee020222 .2 第35頁/共50頁第三十五頁，共50頁。例12. , 0, 10 ,2)(. , 0, 10 ,3)(,00:1300:12 2時間的數(shù)學期望時間的數(shù)學期望求先到達者需要等待的求先到達者需要等待的其他其他其他其他的概率密度分別為的概率密度分別為已知已知立立相互獨相互獨和和且設(shè)且設(shè)間間分別是甲、乙到達的時分別是甲、乙到達的時設(shè)設(shè)會面會面

21、在在甲、乙兩人相約于某地甲、乙兩人相約于某地 yyyfxxxfYXYXYXYX解的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為和和 YX . , 0, 10 , 10 ,6),(2其他其他yxyxyxf第36頁/共50頁第三十六頁，共50頁。因此所求數(shù)學(shxu)期望為yxyxyxYXEdd6)(10102 21dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小時小時 第37頁/共50頁第三十七頁，共50頁。 三、數(shù)學(shxu)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)C是常數(shù)(chngsh)，則E(C)=C; 4. 設(shè)X、Y 相互(xingh)獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是

22、常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣niiniiXEXE11)(:推廣（諸Xi相互獨立時）請注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 獨立第38頁/共50頁第三十八頁，共50頁。和和來證性質(zhì)來證性質(zhì)請同學自己證明，我們請同學自己證明，我們，性質(zhì)性質(zhì)4321于是有于是有概率密度為概率密度為其邊緣其邊緣）的概率密度）的概率密度設(shè)二維隨機變量（設(shè)二維隨機變量（證證),(),().,(,yfxfyxfYXYX得證。得證。性質(zhì)性質(zhì)3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyy

23、xfyxYXE 第39頁/共50頁第三十九頁，共50頁。, 相互獨立相互獨立又若又若YX.4)()()()(),()(得證得證性質(zhì)性質(zhì)YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 第40頁/共50頁第四十頁，共50頁。 例10 一民航送客車載有20位旅客自機場開出,旅客有10個車站(chzhn)可以下車,如到達一個車站(chzhn)沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個車站(chzhn)下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下車站有人下車在第在第站沒有人下車站沒有人下車在第在第引入隨機變量引入隨機變量解

24、解1021XXXX 易知易知四、數(shù)學期望性質(zhì)(xngzh)的應(yīng)用第41頁/共50頁第四十一頁，共50頁。10, 2 , 1,10911,10902020 iXPXPii10, 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此次次進而進而784. 81091 10)()()()()(2010211021 XEXEXEXXXEXE第42頁/共50頁第四十二頁，共50頁。1 某人的一串鑰匙上有n把鑰匙,其中只有一把能打開自己的家門,他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門,若每把鑰匙試開一次后除去,求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望. 000)(xxexfx的數(shù)學期望。的數(shù)學期望。求求XeY2 第43頁/共50頁第四十三頁，共50頁。1 解 設(shè)試開次數(shù)(csh)為X,分布率為：是離散型隨機變量，其X于是(ysh) E(X) nknk112)1 (1nnn21n31)()(022 dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n, k=1, 2, , n第44頁/共50頁第四十四頁，共50頁。解 從數(shù)字(shz)0, 1, 2, , n中任取兩個不同的數(shù)字(shz), 求這兩個數(shù)字(shz)之差的絕對值的數(shù)學期望. , 的絕對值的絕對值為所選的兩個數(shù)字之差為所選的兩個數(shù)字之差設(shè)設(shè) X , 3 , 2 , 1 nX的所有可能取值為的所有可能取值為則則,2 11 nnXP, 21)1(2 nnXP一般