隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望實(shí)用教案

1、第一節(jié) 數(shù)學(xué)(shxu)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(qwng)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(qwng)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(qwng)數(shù)學(xué)期望(qwng)的性質(zhì)課堂練習(xí) 第1頁(yè)/共50頁(yè)第一頁(yè)，共50頁(yè)。 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果(rgu)知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問(wèn)題(wnt)中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.第2頁(yè)/共50頁(yè)第二頁(yè)，共50頁(yè)。 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定(qudng)某些數(shù)字特征是重要的 .在這些(zhxi)

2、數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)(shxu)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第3頁(yè)/共50頁(yè)第三頁(yè)，共50頁(yè)。一、數(shù)學(xué)期望(qwng)的概念 1)(kkkpxXE即定義1 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,若級(jí)數(shù) 1kkkpx絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù) 1kkkpx)(XE的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為 ,若級(jí)數(shù)發(fā)散 ，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。 1kkkpx第4頁(yè)/共50頁(yè)第四頁(yè)，共50頁(yè)。定義2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，如果積分 絕對(duì)收斂，則稱該積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或者均值，記為EX，即dxxxf)(dxxfxXE)()( 如果積分 發(fā)散，則稱

3、X的數(shù)學(xué)期望不存在。 ( )x f x dx第5頁(yè)/共50頁(yè)第五頁(yè)，共50頁(yè)。關(guān)于(guny)定義的幾點(diǎn)說(shuō)明 (3) 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(qwng)與一般變量的算術(shù)平均值不同. (1) E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般(ybn)的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱均值. (2) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.第6頁(yè)/共50頁(yè)第六頁(yè)，共50頁(yè)。xO 隨機(jī)變量(su j bin lin) X 的算術(shù)平均值為

4、, 5 . 1221 假設(shè)(jish).98. 198. 0202. 01)( XE它從本質(zhì)上體現(xiàn)(txin)了隨機(jī)變量X 取可能值的平均值.當(dāng)隨機(jī)變量 X 取各個(gè)可能值是等概率分布時(shí) , X 的期望值與算術(shù)平均值相等. 1 2 X21020.980.p第7頁(yè)/共50頁(yè)第七頁(yè)，共50頁(yè)。為為他們射擊的分布律分別他們射擊的分布律分別乙兩個(gè)射手乙兩個(gè)射手、甲甲,試問(wèn)哪個(gè)(n ge)射手技術(shù)較好?思考(sko) 誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10983 . 01 . 06 . 0第8頁(yè)/共50頁(yè)第八頁(yè)，共50頁(yè)。解)

5、,(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1環(huán)環(huán) XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2環(huán)環(huán) XE.,21XX數(shù)分別為數(shù)分別為設(shè)甲、乙射手擊中的環(huán)設(shè)甲、乙射手擊中的環(huán)故甲射手(shshu)的技術(shù)比較好.第9頁(yè)/共50頁(yè)第九頁(yè)，共50頁(yè)。例4.1 一批產(chǎn)品中有一、二、三等及廢品4種，相應(yīng)比例分別為60%，20%，13%，7%，若各等級(jí)(dngj)的產(chǎn)值分別為10元、5.8元、4元及0元，求這批產(chǎn)品的平均產(chǎn)值。 解 設(shè)一個(gè)產(chǎn)品的產(chǎn)值為X元，則X的可能取值分別為0，4，5.8，10；取這些值的相應(yīng)比例分別為7%, 13%, 20%, 60%；則它們可以構(gòu)成(

6、guchng)概率分布，由數(shù)學(xué)期望的定義求得產(chǎn)品的平均產(chǎn)值為 EX = 40.13 + 5.80.2 + 100.6 = 7.68（元）。 第10頁(yè)/共50頁(yè)第十頁(yè)，共50頁(yè)。到站時(shí)刻到站時(shí)刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客8:20到車站,求他候車(hu ch)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望. 例4.2 按規(guī)定,某車站(chzhn)每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站,但到站時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為： 第11頁(yè)/共50頁(yè)第十一頁(yè)，共50頁(yè)。其分布率為其分布率為以分計(jì)以分計(jì)為為解：設(shè)旅客的候車時(shí)間解

7、：設(shè)旅客的候車時(shí)間),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162611370()( ) ( )66P XP ABP A P B上表中例如的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為候車時(shí)間候車時(shí)間到站到站第二班車第二班車為事件為事件到站到站第一班車第一班車為事件為事件其中其中XBA.30:9,10:8分分22.2736290363703615062306310)( XE第12頁(yè)/共50頁(yè)第十二頁(yè)，共50頁(yè)。 例4.3其概率密度為其概率密度為服從同一指數(shù)分布服從同一指數(shù)分布它們的壽命它們的壽命裝置裝置個(gè)相互獨(dú)立工作的電子個(gè)相互獨(dú)立工作的電子有有,)2 , 1(,2 kXk0, 00,

8、01)( xxexfx若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接(linji)組成整機(jī),求整機(jī)壽命(以小時(shí)(xiosh)計(jì)) N 的數(shù)學(xué)期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解第13頁(yè)/共50頁(yè)第十三頁(yè)，共50頁(yè)。 0001)(1 1)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的概率密度為的概率密度為于是于是22)()(02min dxexdxxxfNEx12min(,)NXX 的分布函數(shù)為第14頁(yè)/共50頁(yè)第十四頁(yè)，共50頁(yè)。:),(,規(guī)規(guī)定定以以年年計(jì)計(jì)記記使使用用壽壽命命為為付付款款的的方方式式的的銷銷售售采采用用先先使使用用后后某某商商

9、店店對(duì)對(duì)某某種種家家用用電電器器X例4.4商店(shngdin)的銷售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一臺(tái)臺(tái)付付款款元元一一臺(tái)臺(tái)付付款款元元一一臺(tái)臺(tái)付付款款元元一一臺(tái)臺(tái)付付款款 XXXX. 0, 0, 0,e101)(,10的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望器器收收費(fèi)費(fèi)試試求求該該商商店店一一臺(tái)臺(tái)家家用用電電概概率率密密度度為為服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布設(shè)設(shè)壽壽命命YxxxfXx 第15頁(yè)/共50頁(yè)第十五頁(yè)，共50頁(yè)。解xXPxde10111010 1 . 0e1 ,0952. 0 xXPxde101211021 2 . 01 . 0ee ,0861. 0 xX

10、Pxde101321032 ,0779. 0ee3 . 02 . 0 第16頁(yè)/共50頁(yè)第十六頁(yè)，共50頁(yè)。xXPxde1013103 .7408. 0e3 . 0 的的分分布布律律為為因因而而一一臺(tái)臺(tái)收收費(fèi)費(fèi) YYkp30002500200015000952. 07408. 00861. 00779. 0,15.2732)( YE得得.15.2732元元費(fèi)費(fèi)即平均一臺(tái)家用電器收即平均一臺(tái)家用電器收第17頁(yè)/共50頁(yè)第十七頁(yè)，共50頁(yè)。例4.5 求常見(jiàn)分布的隨機(jī)變量數(shù)學(xué)(shxu)期望。第18頁(yè)/共50頁(yè)第十八頁(yè)，共50頁(yè)。二、隨機(jī)變量(su j bin lin)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1. 問(wèn)題(wn

11、t)的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們(w men)需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái). 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來(lái).第19頁(yè)/共50頁(yè)第十九頁(yè)，共50頁(yè)。 那么是否(sh fu)可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得Eg(X)呢？下面(xi mian)的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)(hnsh)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 .第20頁(yè)/共50頁(yè)第二十頁(yè)，共50

12、頁(yè)。(1) 當(dāng)X為離散(lsn)型時(shí),它的分布率為P(X= xk)=pk ;絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk1( ) ()()kkkE YE g Xg xp(2) 當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),它的密度(md)函數(shù)為f(x).若絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理(dngl)1 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X) (g是連續(xù)函數(shù))第21頁(yè)/共50頁(yè)第二十一頁(yè)，共50頁(yè)。連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求Eg(X)時(shí), 不必知道g(X)的

13、分布(fnb)，而只需知道X的分布(fnb)就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.第22頁(yè)/共50頁(yè)第二十二頁(yè)，共50頁(yè)。 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( 定理(dngl)2 設(shè)g (X,Y) 是隨機(jī)變量X、Y的函數(shù)，且Eg(X)存在。 (2) 如果X、Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合(linh)概率密度為f(x,y)，則 (1) 如果X、Y是離散(lsn)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率分布為pij , i,j=1,2, ，則 11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x yp第23頁(yè)/共50頁(yè)第二十三頁(yè)，共50頁(yè)。Xp1234 . 02 . 04 .

14、0解的分布律為的分布律為XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例4.6 設(shè) ( X , Y ) 的分布(fnb)律為第24頁(yè)/共50頁(yè)第二十四頁(yè)，共50頁(yè)。. 03 . 014 . 003 . 01)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律為的分布律為Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0

15、)1 , 3(1 . 0由于第25頁(yè)/共50頁(yè)第二十五頁(yè)，共50頁(yè)。p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 第26頁(yè)/共50頁(yè)第二十六頁(yè)，共50頁(yè)。?),(, 0. 0, 0, 0,e1)()(,.,.,均為已知均為已知產(chǎn)品產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)多少

16、件應(yīng)生產(chǎn)多少件期望最大期望最大問(wèn)若要獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)問(wèn)若要獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)度為度為服從指數(shù)分布其概率密服從指數(shù)分布其概率密件件們預(yù)測(cè)銷售量們預(yù)測(cè)銷售量他他再者再者元的損失元的損失而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致元元利利可獲可獲他們估計(jì)出售一件產(chǎn)品他們估計(jì)出售一件產(chǎn)品確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量并試圖并試圖產(chǎn)品市場(chǎng)產(chǎn)品市場(chǎng)某公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種新某公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種新nmyyyfYnmyY 例4.7第27頁(yè)/共50頁(yè)第二十七頁(yè)，共50頁(yè)。解,件件設(shè)生產(chǎn)設(shè)生產(chǎn) x:的函數(shù)的函數(shù)是是則獲利則獲利xQ .,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若若若yyQfQEYd)()(0 ymxyyxnmyyxy

17、xde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx , 0e )()(dd nnmQExx令令第28頁(yè)/共50頁(yè)第二十八頁(yè)，共50頁(yè)。).ln(nmnx 得得, 0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取得最大值取得最大值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)因此因此QEnmnx 第29頁(yè)/共50頁(yè)第二十九頁(yè)，共50頁(yè)。密度密度即具有概率即具有概率上服從均勻分布上服從均勻分布在在設(shè)風(fēng)速設(shè)風(fēng)速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望求求常數(shù)常數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是是壓力壓力又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkv

18、WEa 解：由上面的公式解：由上面的公式第30頁(yè)/共50頁(yè)第三十頁(yè)，共50頁(yè)。例9 求數(shù)學(xué)(shxu)期望E(eX)，若 (1)XP(3); (2) XB(n,p); (3) XN(1,4).第31頁(yè)/共50頁(yè)第三十一頁(yè)，共50頁(yè)。 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數(shù)求系數(shù)211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1第32頁(yè)/共50頁(yè)第三十二頁(yè)，共50頁(yè)。 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設(shè)二維連

19、續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數(shù)求系數(shù)4)sin(2122/02/0 dxdyyxxXE）（）解（解（12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxydxdyyxxyfXYE第33頁(yè)/共50頁(yè)第三十三頁(yè)，共50頁(yè)。例11., 22的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望求求正態(tài)分布正態(tài)分布且都服從標(biāo)準(zhǔn)且都服從標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量YXZYX 解的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為和和相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和YXYXNYNX,),1 , 0(),1 , 0( 2222e21e21),(yxyxf ,e

20、212)(22yx 于是(ysh)()(22YXEZE .dde2122222yxyxyx 第34頁(yè)/共50頁(yè)第三十四頁(yè)，共50頁(yè)。得得令令,sin,cos ryrx dde21)(220022rrZEr rrrde222022 rrrrdee020222 .2 第35頁(yè)/共50頁(yè)第三十五頁(yè)，共50頁(yè)。例12. , 0, 10 ,2)(. , 0, 10 ,3)(,00:1300:12 2時(shí)間的數(shù)學(xué)期望時(shí)間的數(shù)學(xué)期望求先到達(dá)者需要等待的求先到達(dá)者需要等待的其他其他其他其他的概率密度分別為的概率密度分別為已知已知立立相互獨(dú)相互獨(dú)和和且設(shè)且設(shè)間間分別是甲、乙到達(dá)的時(shí)分別是甲、乙到達(dá)的時(shí)設(shè)設(shè)會(huì)面會(huì)面

21、在在甲、乙兩人相約于某地甲、乙兩人相約于某地 yyyfxxxfYXYXYXYX解的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為和和 YX . , 0, 10 , 10 ,6),(2其他其他yxyxyxf第36頁(yè)/共50頁(yè)第三十六頁(yè)，共50頁(yè)。因此所求數(shù)學(xué)(shxu)期望為yxyxyxYXEdd6)(10102 21dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小時(shí)小時(shí) 第37頁(yè)/共50頁(yè)第三十七頁(yè)，共50頁(yè)。 三、數(shù)學(xué)(shxu)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)C是常數(shù)(chngsh)，則E(C)=C; 4. 設(shè)X、Y 相互(xingh)獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是

22、常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣niiniiXEXE11)(:推廣（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 獨(dú)立第38頁(yè)/共50頁(yè)第三十八頁(yè)，共50頁(yè)。和和來(lái)證性質(zhì)來(lái)證性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)自己證明，我們請(qǐng)同學(xué)自己證明，我們，性質(zhì)性質(zhì)4321于是有于是有概率密度為概率密度為其邊緣其邊緣）的概率密度）的概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)變量（證證),(),().,(,yfxfyxfYXYX得證。得證。性質(zhì)性質(zhì)3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyy

23、xfyxYXE 第39頁(yè)/共50頁(yè)第三十九頁(yè)，共50頁(yè)。, 相互獨(dú)立相互獨(dú)立又若又若YX.4)()()()(),()(得證得證性質(zhì)性質(zhì)YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 第40頁(yè)/共50頁(yè)第四十頁(yè)，共50頁(yè)。 例10 一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有10個(gè)車站(chzhn)可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站(chzhn)沒(méi)有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站(chzhn)下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下車站有人下車在第在第站沒(méi)有人下車站沒(méi)有人下車在第在第引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量解

24、解1021XXXX 易知易知四、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)(xngzh)的應(yīng)用第41頁(yè)/共50頁(yè)第四十一頁(yè)，共50頁(yè)。10, 2 , 1,10911,10902020 iXPXPii10, 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此次次進(jìn)而進(jìn)而784. 81091 10)()()()()(2010211021 XEXEXEXXXEXE第42頁(yè)/共50頁(yè)第四十二頁(yè)，共50頁(yè)。1 某人的一串鑰匙上有n把鑰匙,其中只有一把能打開(kāi)自己的家門,他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開(kāi)門,若每把鑰匙試開(kāi)一次后除去,求打開(kāi)門時(shí)試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 000)(xxexfx的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。求求XeY2 第43頁(yè)/共50頁(yè)第四十三頁(yè)，共50頁(yè)。1 解 設(shè)試開(kāi)次數(shù)(csh)為X,分布率為：是離散型隨機(jī)變量，其X于是(ysh) E(X) nknk112)1 (1nnn21n31)()(022 dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n, k=1, 2, , n第44頁(yè)/共50頁(yè)第四十四頁(yè)，共50頁(yè)。解 從數(shù)字(shz)0, 1, 2, , n中任取兩個(gè)不同的數(shù)字(shz), 求這兩個(gè)數(shù)字(shz)之差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望. , 的絕對(duì)值的絕對(duì)值為所選的兩個(gè)數(shù)字之差為所選的兩個(gè)數(shù)字之差設(shè)設(shè) X , 3 , 2 , 1 nX的所有可能取值為的所有可能取值為則則,2 11 nnXP, 21)1(2 nnXP一般