[理學(xué)]泰勒公式ppt課件

1、冪冪指指對(duì)對(duì)三角三角反三角反三角組合組合多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算比較簡(jiǎn)單比較簡(jiǎn)單查表查表數(shù)據(jù)如何得到？數(shù)據(jù)如何得到？)()( )()(0000 xxoxxxfxfxf)( )()(000 xxxfxfxf0 x假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在在 點(diǎn)可微，那點(diǎn)可微，那么：么：)(xf)()(0 xxoxR誤差誤差 ： )( )()(000 xxxfxfxf問(wèn)題：能否用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)其它問(wèn)題：能否用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)其它函數(shù)？函數(shù)？,1xex y 2.5 2 1.5 1 0.5-1 -0.5 0 0.5 1 xxy 1xey y 1 0.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2、 xxy )1ln(xy xx )1ln(兩點(diǎn)缺乏：兩點(diǎn)缺乏：2 2誤差不定量。誤差不定量。(1) (1) 準(zhǔn)確度不高。準(zhǔn)確度不高。 “以直代曲以直代曲 )()(0 xxoxR處理方案：處理方案： “以曲代曲；以曲代曲； )()(0nxxoxRnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010顯然：顯然：), 2 , 1,(),)()()(00nkxxxxoxpxfkn即：即：0)()()(lim00knxxxxxPxf)(xf假設(shè)：假設(shè)：)()() 1 (00 xpxfn)(),)()()(00 xxxxoxpxfnn 要求：要求： 階的導(dǎo)數(shù)具有直到1n)()2(xf, 1k)()

3、()(lim00 xxxpxfnxx)( )( 00 xpxfn0)( )( 00 xpxfn, 2k20)()()(lim0 xxxpxfnxx! 2)()(lim0 xpxfnxx2)()(00 xpxfn0)()(00 xpxfn1)( )( lim0 xpxfnxx)(2)( )( lim00 xxxpxfnxxnnxxxxxpxf)()()(lim00得到得到)2 , 1 , 0)()(0)(0)(nkxpxfknk!)()(lim)(1()()(lim)()(2000nxpxfxxnnxpxfnnnxxnnxx!)()(0)(0)(nxpxfnnn0, nk 10)()( )( l

4、im0nnxxxxnxpxf)()(0)(0)(xpxfnnn容易求得容易求得 的各項(xiàng)系數(shù)為：的各項(xiàng)系數(shù)為：)(xpn)(!1)(!1,),(! 21)(! 21),( )( ),()(0)(0)(002001000 xfnxpnaxfxpaxfxpaxfxpannnnnnn nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1)( ! 21)( )()(00)(200000n n階泰勒多項(xiàng)式階泰勒多項(xiàng)式定理定理1 1 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在含有在含有x0 x0的開(kāi)區(qū)間的開(kāi)區(qū)間(a,b) (a,b) 內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到n+1)n+1)階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于x x(a,b

5、) (a,b) 200000( )001( )( )( )()( )()2!1( )()( )!nnnf xf xf xxxfxxxfxxxR xn10)1()()!1()()(nnnxxnfxRx其中其中 介于介于 與與 之間。之間。0 x-n-n階泰勒公式階泰勒公式證明：把泰勒公式改寫(xiě)為：證明：把泰勒公式改寫(xiě)為：10010)(0)()(!)()()(niniixxkxxixfxfxf?)!1()()1(nfkn作輔助函數(shù)：作輔助函數(shù)：11)()()(!)()()(niniitxktxitftft)()()(0 xfxx顯然：顯然： 那么由羅爾中值定理，存在那么由羅爾中值定理，存在 介于介于

6、 與與 之間，使得：之間，使得：0 xx0)(niiiniitxnktxitftxitftft)(1()()!1()()(!)()()(1)(1)1()(tf)( )(tftxtf)()(! 2)( 2txtftxtf)(! 2)( )(! 3)(23)4(txtftxtf)()!1()()(!)(1)()1(nnnntxntftxntfntxnk)(1()( , 0 )(1(!)()()1(xxnknfnn)!1()()1(nfknnnntxnktxntft)(1()(!)()( )1(nntxnkntf)(1(!)()1(x其中其中 介于介于 與與 之間。之間。0 x0)()(lim00n

7、nxxxxxR.)()(0nnxxoxR 即當(dāng)當(dāng) 在在 有界時(shí)，即有界時(shí)，即 )()1(xfn),(ba,)()1(Mxfn佩亞諾型余項(xiàng)佩亞諾型余項(xiàng)10)1()()!1()()(nnnxxnfxR拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)1010)1()!1()()!1()()(nnnnxxnMxxnfxR定理定理2 2 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在含有在含有x0 x0的開(kāi)區(qū)間的開(kāi)區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到n n階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且f(n)(x)f(n)(x)在在(a,b) (a,b) 內(nèi)延續(xù)，內(nèi)延續(xù)，那么那么 f(x) f(x) 在在(a,b)(a,b)內(nèi)有內(nèi)有n n階帶有佩亞諾型

8、余項(xiàng)的階帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式泰勒公式: :)()(!1)(! 21)()()(000)(200000nnnxxoxxxfnxxxfxxxfxfxf麥克勞林麥克勞林( Maclaurin,C. 1698-1746, 蘇格蘭蘇格蘭 ) 取取 00 xx此時(shí)此時(shí) 介于介于 與與 之間。之間。0令令x) 10(泰勒公式又稱(chēng)為麥克泰勒公式又稱(chēng)為麥克勞林公式勞林公式)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式：帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式：帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式:,sin)(,cos)( xxfxxf

9、 xxfsin)(例：求函數(shù)例：求函數(shù) 帶拉格朗日型余項(xiàng)帶拉格朗日型余項(xiàng) 的的n階麥克勞林公式。階麥克勞林公式。解解:0)0(, 1)0( , 0)0( , 1)0( , 0)0()4( fffff近似計(jì)算近似計(jì)算,sin)()4(xxf ,cos)( xxf ),2sin()()(nxxfn ) 10( ,)()!12(2) 12(sin)(122mmxmmxxR)( )!12() 1(! 5! 3sin212153xRmxxxxxmmm mn2 令令 xx sin) 10( ,6! 3)23sin(332xxxR1m 假設(shè)取假設(shè)取 ，那么得近似公式：，那么得近似公式：2, 0 x 通常取通

10、常取 64. 06322R753! 71! 51! 31sinxxxxx98! 91xR 2m 假設(shè)取假設(shè)取 4m 假設(shè)取假設(shè)取 3! 31sinxxx54! 51xR 2, 0 x 當(dāng)當(dāng) 079. 0! 51524R2, 0 x 當(dāng)當(dāng) 00016. 0! 91928Rxy xysin oxy xysin ! 33xxy oxy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy oxy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy onnxxxfnxxxfxxxfxfxf)(!1)(! 21)()()(00)(200000 泰勒多項(xiàng)式：泰勒多項(xiàng)式：10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 拉格朗日型余項(xiàng)：拉格朗日型余項(xiàng)：)()(!1)(! 21)()()(00)(200000 xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn 泰勒公式：泰勒公式：)()(0nnxxoxR 佩亞諾型