2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

1、2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（每小題5分,共40分）1（5分）若集合A=x|5x2，B=x|3x3，則AB=（）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x32（5分）圓心為（1，1）且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A（x1）2+（y1）2=1B（x+1）2+（y+1）2=1C（x+1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y1）2=23（5分）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）Ay=x2sinxBy=x2cosxCy=|lnx|Dy=2x4（5分）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）

2、類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300A90B100C180D3005（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（）A3B4C5D66（5分）設(shè)，是非零向量，“=|”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A1BCD28（5分）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程，在這段時(shí)間內(nèi)，

3、該車每100千米平均耗油量為 （）A6升B8升C10升D12升二、填空題9（5分）復(fù)數(shù)i（1+i）的實(shí)部為 10（5分）23，log25三個數(shù)中最大數(shù)的是 11（5分）在ABC中，a=3，b=，A=，則B= 12（5分）已知（2，0）是雙曲線x2=1（b0）的一個焦點(diǎn)，則b= 13（5分）如圖，ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為D，P（x，y）為D中任意一點(diǎn)，則z=2x+3y的最大值為 14（5分）高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生從這次考試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生

4、是 ；在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是 三、解答題（共80分）15（13分）已知函數(shù)f（x）=sinx2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間0，上的最小值16（13分）已知等差數(shù)列an滿足a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2=a3，b3=a7，問：b6與數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等？17（13分）某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“”表示購買，“×”表示未購買 甲乙丙丁100×217××200×300

5、××85××× 98×××（1）估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；（2）估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率；（3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？18（14分）如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)（1）求證：VB平面MOC；（2）求證：平面MOC平面VAB（3）求三棱錐VABC的體積19（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若f（x）存在零

6、點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1，上僅有一個零點(diǎn)20（14分）已知橢圓C：x2+3y2=3，過點(diǎn)D（1，0）且不過點(diǎn)E（2，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線AE與直線x=3交于點(diǎn)M（1）求橢圓C的離心率；（2）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；（3）試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分,共40分）1（5分）若集合A=x|5x2，B=x|3x3，則AB=（）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x3【分析】直接利用集合的交集的運(yùn)算法則求解即可【解答】解：集合A=x|5x2，B=x|3x3，則AB=x|3x

7、2故選：A【點(diǎn)評】本題考查集合的交集的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力2（5分）圓心為（1，1）且過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A（x1）2+（y1）2=1B（x+1）2+（y+1）2=1C（x+1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y1）2=2【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，由此能求出圓的方程【解答】解：由題意知圓半徑r=，圓的方程為（x1）2+（y1）2=2故選：D【點(diǎn)評】本題考查圓的方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的方程的求法，是基礎(chǔ)題3（5分）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）Ay=x2sinxBy=x2cosxCy=|lnx|Dy=2x【分析】首先從定義域上排除選項(xiàng)C，然后在其他選項(xiàng)中判斷x與x

8、的函數(shù)值關(guān)系，相等的就是偶函數(shù)【解答】解：對于A，（x）2sin（x）=x2sinx；是奇函數(shù)；對于B，（x）2cos（x）=x2cosx；是偶函數(shù)；對于C，定義域?yàn)椋?，+），是非奇非偶的函數(shù)；對于D，定義域?yàn)镽，但是2（x）=2x2x，2x2x；是非奇非偶的函數(shù)；故選：B【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷；首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；如果不對稱，函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)；如果對稱，再判斷f（x）與f（x） 關(guān)系，相等是偶函數(shù)，相反是奇函數(shù)4（5分）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）類別

9、人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300A90B100C180D300【分析】由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為900：1600=9：16，即可得出結(jié)論【解答】解：由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為900：1600=9：16，因?yàn)榍嗄杲處熡?20人，所以老年教師有180人，故選：C【點(diǎn)評】本題考查分層抽樣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)5（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（）A3B4C5D6【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，k的值，當(dāng)a=時(shí)滿足條件a，退出循環(huán)，輸出k的值為4【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不滿足條件

10、a，a=，k=2不滿足條件a，a=，k=3不滿足條件a，a=，k=4滿足條件a，退出循環(huán)，輸出k的值為4故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題6（5分）設(shè)，是非零向量，“=|”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】由便可得到夾角為0，從而得到，而并不能得到夾角為0，從而得不到，這樣根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可找出正確選項(xiàng)【解答】解：（1）；時(shí)，cos=1；“”是“”的充分條件；（2）時(shí)，的夾角為0或；，或；即得不到；“”不是“”的必要條件；總上可得“”是“”的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)評】考查充分條件，必要條件，及

11、充分不必要條件的概念，以及判斷方法與過程，數(shù)量積的計(jì)算公式，向量共線的定義，向量夾角的定義7（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A1BCD2【分析】幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，結(jié)合直觀圖求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，可得答案【解答】解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，底面為正方形如圖：其中PB平面ABCD，底面ABCD為正方形PB=1，AB=1，AD=1，BD=，PD=PC該幾何體最長棱的棱長為：故選：C【點(diǎn)評】本題考查了由三視圖求幾何體的最長棱長問題，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答本題的關(guān)鍵8（5分）某輛汽車每次加油都把油箱加滿

12、，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程，在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為 （）A6升B8升C10升D12升【分析】由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到該車每100千米平均耗油量【解答】解：由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，所以該車每100千米平均耗油量48÷6=8；故選：B【點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生對表格的理解以及對數(shù)據(jù)信息的處理能力二、填空題9（5分）復(fù)數(shù)i（1+i）的實(shí)部為1【

13、分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，求解即可【解答】解：復(fù)數(shù)i（1+i）=1+i，所求復(fù)數(shù)的實(shí)部為：1故答案為：1【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，考查計(jì)算能力10（5分）23，log25三個數(shù)中最大數(shù)的是log25【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得0231，12，log25log24=2，即可得到最大數(shù)【解答】解：由于0231，12，log25log24=2，則三個數(shù)中最大的數(shù)為log25故答案為：log25【點(diǎn)評】本題考查數(shù)的大小比較，主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題11（5分）在ABC中，a=3，b=，A=，則B=【分析】由正弦定理可得sinB，

14、再由三角形的邊角關(guān)系，即可得到角B【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB=，由ba，則BA，可得B=故答案為：【點(diǎn)評】本題考查正弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查三角形的邊角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題12（5分）已知（2，0）是雙曲線x2=1（b0）的一個焦點(diǎn)，則b=【分析】求得雙曲線x2=1（b0）的焦點(diǎn)為（，0），（，0），可得b的方程，即可得到b的值【解答】解：雙曲線x2=1（b0）的焦點(diǎn)為（，0），（，0），由題意可得=2，解得b=故答案為：【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的焦點(diǎn)的求法，屬于基礎(chǔ)題13（5分）如圖，ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為D，P（x，y）為D中任意一點(diǎn)，則z=

15、2x+3y的最大值為7【分析】利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值【解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=的截距最大，此時(shí)z最大即A（2，1）此時(shí)z的最大值為z=2×2+3×1=7，故答案為：7【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法14（5分）高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生從這次考試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是乙；在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的

16、成績名次更靠前的科目是數(shù)學(xué)【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖1分析甲乙兩人所在的位置的縱坐標(biāo)確定總成績名次；（2）根據(jù)散點(diǎn)圖2，觀察丙的對應(yīng)的坐標(biāo)，如果橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo)，說明總成績名次大于數(shù)學(xué)成績名次，反之小于【解答】解：由高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況的散點(diǎn)圖可知，兩個圖中，同一個人的總成績是不會變的從第二個圖看，丙是從右往左數(shù)第5個點(diǎn)，即丙的總成績在班里倒數(shù)第5在左邊的圖中，找到倒數(shù)第5個點(diǎn)，它表示的就是丙，發(fā)現(xiàn)這個點(diǎn)的位置比右邊圖中丙的位置高，所以語文名次更“大”在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是 乙；觀察散點(diǎn)圖

17、，作出對角線y=x，發(fā)現(xiàn)丙的坐標(biāo)橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo)，說明數(shù)學(xué)成績的名次小于總成績名次，所以在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是數(shù)學(xué)；故答案為：乙；數(shù)學(xué)【點(diǎn)評】本題考查了對散點(diǎn)圖的認(rèn)識；屬于基礎(chǔ)題三、解答題（共80分）15（13分）已知函數(shù)f（x）=sinx2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間0，上的最小值【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（x+），由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解；（2）由x0，可求范圍x+，即可求得f（x）的取值范圍，即可得解【解答】解：（1）f（x）=sinx2sin2=sinx2×=s

18、inx+cosx=2sin（x+）f（x）的最小正周期T=2；（2）x0，x+，sin（x+）0，1，即有：f（x）=2sin（x+），2，可解得f（x）在區(qū)間0，上的最小值為：【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基本知識的考查16（13分）已知等差數(shù)列an滿足a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2=a3，b3=a7，問：b6與數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等？【分析】（I）由a4a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=1

19、6，可求等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求b6，結(jié)合（I）可求【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為da4a3=2，所以d=2a1+a2=10，所以2a1+d=10a1=4，an=4+2（n1）=2n+2（n=1，2，）（II）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，b2=a3=8，b3=a7=16，q=2，b1=4=128，而128=2n+2n=63b6與數(shù)列an中的第63項(xiàng)相等【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用，屬于對基本公式應(yīng)用的考查，試題比較容易17（13分）某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“”表

20、示購買，“×”表示未購買 甲乙丙丁100×217××200×300××85××× 98×××（1）估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；（2）估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率；（3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？【分析】（1）從統(tǒng)計(jì)表可得，在這1000名顧客中，同時(shí)購買乙和丙的有200人，從而求得顧客同時(shí)購買乙和丙的概率（2）根據(jù)在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的有300人，求得顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商

21、品的概率（3）在這1000名顧客中，求出同時(shí)購買甲和乙的概率、同時(shí)購買甲和丙的概率、同時(shí)購買甲和丁的概率，從而得出結(jié)論【解答】解：（1）從統(tǒng)計(jì)表可得，在這1000名顧客中，同時(shí)購買乙和丙的有200人，故顧客同時(shí)購買乙和丙的概率為=0.2（2）在這1000名顧客中，在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的有100+200=300（人），故顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率為=0.3（3）在這1000名顧客中，同時(shí)購買甲和乙的概率為=0.2，同時(shí)購買甲和丙的概率為=0.6，同時(shí)購買甲和丁的概率為=0.1，故同時(shí)購買甲和丙的概率最大【點(diǎn)評】本題主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用

22、，屬于基礎(chǔ)題18（14分）如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)（1）求證：VB平面MOC；（2）求證：平面MOC平面VAB（3）求三棱錐VABC的體積【分析】（1）利用三角形的中位線得出OMVB，利用線面平行的判定定理證明VB平面MOC；（2）證明：OC平面VAB，即可證明平面MOC平面VAB（3）利用等體積法求三棱錐VABC的體積【解答】（1）證明：O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，OMVB，VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC；（2）AC=BC，O為AB的中點(diǎn)，OCAB，平面VAB平面ABC，OC平面

23、ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，AB=2，OC=1，SVAB=，OC平面VAB，VCVAB=SVAB=，VVABC=VCVAB=【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行、平面與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵19（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1，上僅有一個零點(diǎn)【分析】（1）利用f'（x）0或f'（x）0求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并能求出極值；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極值求出最值，利用最值討論存在零點(diǎn)的情況【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x由f'（x）=0解得x=f（x）與f'（x）在區(qū)間（0，+）上的情況如下：X （0，） （） f'（x） 0+ f（x） 所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）；f（x）在x=處的極小值為f（）=，無極大值（2）證明：由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+）上的最小值為f（）=因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以，從而ke當(dāng)k=e時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞減，且f（）=0所以x=是f（x）在區(qū)間（1，）上唯一零點(diǎn)當(dāng)ke時(shí)，f（x