2022年2022年微積分入門

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載序中國戰(zhàn)國時代（公元前7 世紀）,我國的莊周所著的莊子一書的“天下 篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,即老莊哲學中全部的無限可 分性和極限思想； 公元前 4 世紀墨經(jīng)中有了有窮. 無窮.無限小（最小無內(nèi)）.無窮大（最大無外）的定義和極限.瞬時等概念；這為樸實的.也為很典型的極限概念；而極限理論便為微分學的基礎(chǔ)；古希臘時期（公元前3 世紀）,阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長,而求得圓周率愈來愈好的近似值, 也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形,以求得其面積；這為窮盡法的古典例子之一,可以說為積分思想的起源；17 世紀,很多聞名的數(shù)學家.天文學

2、家.物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的爭論工作,如法國的費馬.笛卡爾.羅伯瓦.笛沙格；英國的巴羅.瓦里士； 德國的開普勒； 意大利的卡瓦列利等人都提出很多很有建樹的理論；為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻；17 世紀下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自爭論和完成了微積分的創(chuàng)立工作,雖然這只為特別初步的工作；19 世紀初,法國科學學院的科學家以柯西為首,對微積分的理論進行了仔細爭論,建立了極限理論, 后來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化,使極限理論成為了微積分的堅決基礎(chǔ)；才使微積分進一步的進綻開來；1874 年,德國數(shù)學家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一

3、個沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù),即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線,這與直觀概念為沖突的； 它使人們熟識到極限概念.連續(xù)性.可微性和收斂性對實數(shù)系的依靠比人們想象的要深奧得多；外爾斯特拉斯最終完成了對實數(shù)系更深刻的性質(zhì)的懂得,使得數(shù)學分析完全由實數(shù)系導(dǎo)出,脫離了知覺懂得和幾何直觀；人類對自然的熟識永久不會止步,微積分這門學科在現(xiàn)代也始終在進展著,人類熟識微積分的水平在不斷深化；微積分學calculus、 拉丁語意為用來計數(shù)的小石頭為爭論極限.微分學.積分學和無窮級數(shù)的一個數(shù)學分支,并成為了現(xiàn)代高校訓練的重要組成部分；歷史上,微積分曾經(jīng)指無窮小的運算；更本質(zhì)的講, 微積分學為一門爭論變化的科學,正如幾何學為爭

4、論空間的科學一樣；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運動和變化著；因此在數(shù)學中引入了變量的概念后,就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述了；由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深,也由于科學技術(shù)進展的需要, 一門新的數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,這就為微積分學； 微積分學這門學科在數(shù)學進展中的位置為特別重要的, 可以說它為繼歐氏幾何后, 全部數(shù)學中的最大的一個制造；微積分學在科學. 經(jīng)濟學和工程學領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用,來解決那些僅依靠代數(shù)學不能有效解決的問題； 微積分學在代數(shù)學. 三角學和解析幾何學的基礎(chǔ)上建立起來,并包括微分學.積分學兩大分支；微

5、分學包括求導(dǎo)數(shù)的運算,為一套關(guān) 于變化率的理論； 它使得函數(shù). 速度.加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行爭論；積分學,包括求積分的運算,為定義和運算面積.體積等供應(yīng)一 套通用的方法； 微積分學基本定理指出, 微分和積分互為逆運算, 這也為兩種理論被統(tǒng)一成微積分學的緣由；我們可以以兩者中任意一者為起點來爭論微積分學,但為在教學中,微分學一般會先被引入；在更深的數(shù)學領(lǐng)域中,微積分學通常被稱為分析學,并被定義為爭論函數(shù)的科學；在高二上學期的數(shù)學學習過程中,我們熟識了導(dǎo)數(shù)和定積分, 并開頭了對其應(yīng)用的懂得和練習； 其實, 早在高中物理開頭不久后的學習中,我們就接觸到了微積分的原型微元法；同當

6、年的科學家一樣,我們也因物理上的應(yīng)用需要, 開頭了對微積分學的熟識之旅；借著這次爭論性學習的契機, 我們就明白一下微積分學的進展歷史,熟識數(shù)學爭論對社會進展的重要意義,本著“以史為鏡” 的態(tài)度明白其中波折而好玩的進展歷程；并由此拓展自己的學問面,增加自己對微積分學習的愛好；作為理科生,探究過程中的我們也能結(jié)合所學歷史學問.辯證分析的方法, 培育自身人文素養(yǎng), 增強自身的綜合素養(yǎng), 為高中階段的歷史學習畫上圓滿的句號；我們也對微積分在生活中就一些簡潔實際應(yīng)用的一些爭論來提高自己在以微積分的思想方法解決問題的才能；明白在哪些情形,哪些領(lǐng)域會用到微積分；進一步加深對微積分的熟識；另一方面, 在進行小

7、組爭論. 共同爭論的時候, 通過組員的積極參與和組員間的合作, 我們可以通過共同探究增強自己的責任感,增進相互之間的友情, 提高自身的實踐探究才能, 學會將理論學問和動手實踐才能結(jié)合來解決現(xiàn)實生活中的問題,以此提高自身的綜合素養(yǎng)；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載微積分的主要內(nèi)容及其他爭論函數(shù), 從量的方面爭論事物運動變化為微積分的基本方法；這種方法叫做數(shù)學分析；原來從廣義上說, 數(shù)學分析包括微積分. 函數(shù)論等很多分支學科, 但為現(xiàn)在一般已習慣于把數(shù)學分析和微積分等同起來, 數(shù)學分析成了微積分的同義詞, 一提數(shù)學分析就知道為指微積分；微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學和積分學；微分學

8、的主要內(nèi)容包括：極限理論.導(dǎo)數(shù).微分等；積分學的主要內(nèi)容包括：定積分.不定積分 等；微積分為與科學應(yīng)用聯(lián)系著進展起來的；最初,牛頓應(yīng)用微積分學及微分方程對第谷浩渺的天文觀測數(shù)據(jù)進行了分析運算,得到了萬有引力定律, 并進一步導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律；此后,微積分學成了推動近代數(shù)學進展強大的引 擎,同時也極大的推動了天文學.物理學.化學.生物學.工程學.經(jīng)濟學等自 然科學.社會科學及應(yīng)用科學各個分支中的進展；并在這些學科中有越來越廣泛的應(yīng)用,特殊為運算機的顯現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷進展；微積分主要有三大類分支：極限.微分學.積分學；微積分的基本理論說明 了微分和積分為互逆運算； 牛頓和萊布尼茨發(fā)

9、覺了這個定理以后才引起了其他學者對于微積分學的狂熱的爭論；這個發(fā)覺使我們在微分和積分之間相互轉(zhuǎn)換；這個基本理論也供應(yīng)了一個用代數(shù)運算很多積分問題的方法,該方法并不真正進行極限運算而為通過發(fā)覺不定積分；該理論也可以解決一些微分方程的問題,解決未知數(shù)的積分；微分問題在科學領(lǐng)域無處不在；微積分的基本概念仍包括函數(shù).無窮序列. 無窮級數(shù)和連續(xù)等, 運算方法主要有符號運算技巧,該技巧與初等代數(shù)和數(shù)學歸納法緊密相連；微積分被延長到微分方程.向量分析.變分法.復(fù)分析.時域微分和微分拓撲等領(lǐng)域；微積分的現(xiàn)代版本為實分析；極限微積分中最重要的概念為“極限” ；微商（即導(dǎo)數(shù)）為一種極限；定積分也為一種極限；從牛頓

10、實際使用它到制定出周密的定義,數(shù)學家們奮斗了200 多年；現(xiàn)在使用的定義為維斯特拉斯于19 世紀中葉給出的；數(shù)列極限就為當一個有次序的數(shù)列往前延長時,假如存在一個有限數(shù) （非無精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載限大的數(shù)）,使這個數(shù)列可以無限地接近這個數(shù),這個數(shù)就為這個數(shù)列的極限；數(shù)列極限的表示方法為：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載lim xnlnxn1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載其中 l就為極限的值；例如當越大越往前延長 ,這個值越趨近于0；導(dǎo)數(shù)2n 時,它的極限為l = 0；就為說n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載我們知道在運動學中

11、, 平均速度等于通過的距離除以所花費的時間,同樣在一小段間隔的時間內(nèi),除上其走過的一小段距離,等于這一小段時間內(nèi)的速度, 但當這一小段間隔的時間趨于零時,這時的速度為瞬時速度, 無法依據(jù)通常的除法運算,這時的速度為時間的導(dǎo)數(shù)；得用求導(dǎo)的方法運算；也就為說,一個函數(shù) 的自變量趨近某一極限時,其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導(dǎo)數(shù)；在速度問題上,距離為時間的因變量,隨時間變化而變化,當時間趨于某一極限時,距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義為該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率；微分學微分學主要爭論的為在函數(shù)自變量變化時如何確定函數(shù)值的瞬時變化率或微分；換言之,運算導(dǎo)數(shù)

12、的方法就叫微分學；微分學的另一個運算方法為牛頓法,該算法又叫應(yīng)用幾何法, 主要通過函數(shù)曲線的切線來查找點斜率；費馬常被稱作“微分學的鼻祖” ；積分學積分學為微分學的逆運算, 即從導(dǎo)數(shù)推算出原函數(shù)； 又分為定積分與不定積分；一個一元函數(shù)的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和,約等于函數(shù)曲線下包含的實際面積； 依據(jù)以上熟識, 我們可以用積分來運算平面上一條曲線所包含的面積.球體或圓錐體的表面積或體積等；而不定積分,用途較少,主要用于微分方程的解；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載微積分的符號微分學中的符號“ dx”.“dy”等,系由萊布尼茨第一使用；其中的d 源自拉丁語中“差”（dif

13、ferentia ）的第一個字母；積分符號“”亦由萊布尼茨所創(chuàng), 它為拉丁語“總和” （ summa）的第一個字母 s 的伸長 和有相同的意義 ；微積分學的應(yīng)用微積分學的進展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的全部領(lǐng)域；它與大部分科學分支,特殊為物理學,關(guān)系親密,而經(jīng)濟學亦常常會用到微積分學；幾乎全部現(xiàn)代 技術(shù),如建筑.航空等都以微積分學作為基本數(shù)學工具；微積分學課程在高校理.工科教學中,微積分為“高等數(shù)學”的主要內(nèi)容之一；其教學法由學科創(chuàng)立一開頭就受到人們重視；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載微積分的基本介紹微積分學基本定理指出, 求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運算, 把上下限代入不定積分即

14、得到積分值, 而微分就為導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積, 這也為兩種理論被統(tǒng)一成微積分學的緣由；我們可以以兩者中任意一者為起點來爭論微積分學,但為在教學中,微分學一般會先被引入；微積分學為微分學和積分學的總稱；它為一種數(shù)學思想,“無限細分”就為微分,“無限求和”就為積分；十七世紀后半葉,牛頓和萊布尼茨完成了很多數(shù) 學家都參與過預(yù)備的工作, 分別獨立地建立了微積分學； 他們建立微積分的動身點為直觀的無窮小量,但為理論基礎(chǔ)為不堅固的；由于“無限”的概念為無法用 已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進行演算,所以, 直到十九世紀, 柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論,康托爾等建立了嚴格的實數(shù)理論,這門學科才得以嚴密化；學習微

15、積分學,首要的一步就為要懂得到,“極限”引入的必要性：由于,代數(shù)為人們已經(jīng)熟識的概念,但為,代數(shù)無法處理“無限”的概念；所以,必需 要利用代數(shù)處理代表無限的量,這時就細心構(gòu)造了“極限”的概念；在“極限” 的定義中, 我們可以知道, 這個概念繞過了用一個數(shù)除以0 的麻煩, 相反引入了一個過程任意小量；就為說,除的數(shù)不為零,所以有意義,同時,這個小量可以 取任意小, 只要滿意在德爾塔區(qū)間, 都小于該任意小量, 我們就說他的極限為該數(shù)你可以認為這為投機取巧,但為, 他的有用性證明, 這樣的定義仍算比較完善,給出了正確推論的可能性；這個概念為成功的；微積分為與實際應(yīng)用聯(lián)系著進展起來的,它在天文學. 力

16、學.化學.生物學.工程學.經(jīng)濟學等自然科學. 社會科學及應(yīng)用科學等多個分支中,有越來越廣泛的應(yīng)用；特殊為運算機的創(chuàng)造更有助于這些應(yīng)用的不斷進展；客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運動和變化著；因此在數(shù)學中引入了變量的概念后,就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述了；由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深,也由于科學技術(shù)進展的需要, 一門新的數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,這就為微積分學； 微積分學這門學科在數(shù)學進展中的位置為特別重要的, 可以說它為繼歐氏幾何后, 全部數(shù)學中的最大的一個制造；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載differential and integral ca

17、lculus數(shù)學中的基礎(chǔ)分支；內(nèi)容主要包括函數(shù).極限.微分學.積分學及其應(yīng)用； 函數(shù)為微積分爭論的基本對象,極限為微積分的基本概念, 微分和積分為特定過程特定形式的極限； 17 世紀后半葉,英國數(shù)學家i.牛頓和德國數(shù)學家g.w.萊布 尼茲,總結(jié)和進展了幾百年間前人的工作,建立了微積分, 但他們的動身點為直觀的無窮小量,因此尚缺乏嚴密的理論基礎(chǔ)；19 世紀 a.l. 柯西和 k. 魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上；加之19 世紀后半葉實數(shù)理論的建立,又使極限理論有了嚴格的理論基礎(chǔ),從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善；極限的思想方法可追溯到古代,3 世紀,中國數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)用圓

18、 內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積,求出圓周率的近似值3.141024,并 指出：“割之彌細, 所失彌少,割之又割,以至不行割, 就與圓合體而無所失矣” ；劉徽對面積的深刻熟識和他的割圓術(shù)方法,正為極限思想的詳細表達；數(shù)列極限為函數(shù)極限的基礎(chǔ),一個數(shù)列 an 假如當 n 無限增大時, an 與某一實數(shù)無限接 近,就稱之為收斂數(shù)列,a 為數(shù)列的極限,記作例如,數(shù)列的極限為0；微分學的基本概念為導(dǎo)數(shù)； 導(dǎo)數(shù)為從速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學概念；牛頓從蘋果下落時越落越快的現(xiàn)象受到啟示,期望用數(shù)學工具來刻畫這一事實；導(dǎo)數(shù)作為一個數(shù)學工具無論在理論上仍為實際應(yīng)用中,都起著基礎(chǔ)而重要的作用；例如在

19、求極大.微小值問題中的應(yīng)用；積分學的基本概念為一元函數(shù)的不定積分和定積分；主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì).運算, 以及在理論和實際中的應(yīng)用；不定積分概念為為解決求導(dǎo)和微分的逆 運算而提出來的；假如對每一x i,有 fx f（ x ）,就稱 fx為 fx 的一個原函數(shù), fx 的全體原函數(shù)叫做不定積分,記為,因此,假如fx為 fx 的一個原函數(shù),就 fx c,其中 c 為任意常數(shù)；定積分概念的產(chǎn)生來源于運算平面上曲邊形的面積和物理學中諸如求變力所作的功等物理量的問題；解決這些問題的基本思想為用有限代替無限；基本方法為在對定義域a,b進行劃分后,構(gòu)造一個特殊形式的和式, 它的極限就為所要求的量； 詳細地說

20、, 設(shè) fx 為定義在 a,b上的函數(shù),任意分劃區(qū)間a,b:ax0x1 xnb,記,任取 xi xi ,假如有一實數(shù)i,有下式成立： ,就稱 i 為 fx 在a,b上的定積分,記為 i fxdx ；當 fx 0 時,定積分的幾何意義為表示由x a,xb,y0 和 yfx 所圍曲邊形的面積；定積分除了可求平面圖形的面積外,在物理方面的應(yīng)用主要有解微分方程的初值問題和“微元求和”；聯(lián)系微分學和積分學的基本公式為：如fx 在a,b 上連續(xù), fx為 fx 的原函數(shù),就 fxdx fbfa；通常稱之為牛頓 -萊布尼茲公式；因此,運算定積分實際上就為求原函數(shù),也即求不定積分；但即使fx 為初等函數(shù),運算

21、不定積分的問題也不能完全得到解決,所以要考慮定積分的近似運算,常用的方法有梯形法和拋物線法；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載微積分學的建立從微積分成為一門學科來說,為在十七世紀, 但為, 微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了；公元前三世紀, 古希臘的阿基米德在爭論解決拋物弓形的面積.球和球冠面積.螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中,就隱含著近代積分學的思想；作為微分學基礎(chǔ)的極限理論來說,早在古代以有比較清晰的論述；比如我國的莊周 所著的莊子一書的“天下篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”；三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不行割, 就與

22、圓周和體而無所失矣； ”這些都為樸實的. 也為很典型的極限概念；到了十七世紀, 有很多科學問題需要解決, 這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素； 歸結(jié)起來, 大約有四種主要類型的問題：第一類為爭論運動的時候直接顯現(xiàn)的, 也就為求即時速度的問題； 其次類問題為求曲線的切線的問題；第三類問題為求函數(shù)的最大值和最小值問題；第四類問題為求曲線長. 曲線圍成的面積.曲面圍成的體積. 物體的重心. 一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力；十七世紀的很多聞名的數(shù)學家.天文學家.物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的爭論工作,如法國的費馬.笛卡爾.羅伯瓦.笛沙格；英國的巴羅.瓦里士； 德國的開普勒； 意大

23、利的卡瓦列利等人都提出很多很有建樹的理論；為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻；十七世紀下半葉, 在前人工作的基礎(chǔ)上, 英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自爭論和完成了微積分的創(chuàng)立工作,雖然這只為特別初步的工作； 他們的最大功績?yōu)榘褍蓚€貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起,一個為切線問題（微分學的中心問題） ,一個為求積問題 積分學的中心問題 ；牛頓和萊布尼茨建立微積分的動身點為直觀的無窮小量, 因此這門學科早期也稱為無窮小分析, 這正為現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源； 牛頓爭論微積分著重于從運動學來考慮,萊布尼茨卻為側(cè)重于幾何學來考慮的；牛頓在 1671 年寫了流數(shù)法和無窮級數(shù) ,這

24、本書直到1736 年才出版,它在這本書里指出,變量為由點.線.面的連續(xù)運動產(chǎn)生的,否定了以前自己認為 的變量為無窮小元素的靜止集合；他把連續(xù)變量叫做流淌量, 把這些流淌量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)； 牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題為：已知連續(xù)運動的路徑, 求給定時刻的速度（微分法） ；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程積分法 ；德國的萊布尼茨為一個博才多學的學者,1684 年,他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為為最早的微積分文獻, 這篇文章有一個很長而且很奇怪的名字一種求極大微小和切線的新方法, 它也適用于分式和無理量, 以及這種新方法的神奇類型的運算；就為這樣一篇說理也頗模糊的文章,卻有劃時代的意義；它已含有現(xiàn)代

25、的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載微分符號和基本微分法就；1686 年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻；他 為歷史上最宏大的符號學者之一, 他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號, 遠遠優(yōu)于牛頓的符號,這對微積分的進展有極大的影響； 現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就為當時萊布尼茨細心選用的；微積分學的創(chuàng)立, 極大地推動了數(shù)學的進展, 過去很多初等數(shù)學束手無策的問題,運用微積分,往往迎刃而解,顯示出微積分學的特殊威力；前面已經(jīng)提到, 一門科學的創(chuàng)立決不為某一個人的業(yè)績,他必定為經(jīng)過多少人的努力后,在積存了大量成果的基礎(chǔ)上,最終由某個人或幾個人總結(jié)完成的； 微積分也為這樣；不幸的為, 由于人們在觀賞微

26、積分的雄偉功效之余,在提出誰為這門學科的創(chuàng)立者的時候, 竟然引起了一場悍然大波, 造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立； 英國數(shù)學在一個時期里閉關(guān)鎖國,囿于民族偏見, 過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前,因而數(shù)學進展整整落后了一百年；其實,牛頓和萊布尼茨分別為自己獨立爭論,在大體上相近的時間里先后完成的；比較特殊的為牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10 年左右,但為正式公開發(fā)表微積分這一理論,萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年；他們的爭論各有特長, 也都各有短處；那時候,由于民族偏見,關(guān)于創(chuàng)造優(yōu)先權(quán)的爭辯竟從1699 年始連續(xù)了一百多年；應(yīng)當指出,這為和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)受一段

27、時間一樣, 牛頓和萊布尼茨的工作也都為很不完善的；他們在無窮和無窮小量這個問題上, 其說不一,特別模糊；牛頓的無窮小量,有時候為零,有時候不為零而為有限的 小量；萊布尼茨的也不能自圓其說；這些基礎(chǔ)方面的缺陷, 最終導(dǎo)致了其次次數(shù)學危機的產(chǎn)生；直到 19 世紀初,法國科學學院的科學家以柯西為首,對微積分的理論進行了仔細爭論, 建立了極限理論, 后來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化,使極限理論成為了微積分的堅決基礎(chǔ)；才使微積分進一步的進綻開來；任何新興的. 具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者； 在微積分的歷史上也閃耀著這樣的一些明星： 瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟

28、約翰· 貝努利.歐拉.法國的拉格朗日.柯西歐氏幾何也好, 上古和中世紀的代數(shù)學也好, 都為一種常量數(shù)學, 微積分才為真正的變量數(shù)學, 為數(shù)學中的大革命； 微積分為高等數(shù)學的主要分支, 不只為局限在解決力學中的變速問題, 它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術(shù)園地里, 建立了數(shù)不清的豐功偉績；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載微積分歷史積分的起源很早, 古希臘時期就有求特殊圖形面積的爭論；用的為窮盡的方法；阿基米德（ archimedes）用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長,而求得圓周率愈來愈好的近似值, 也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形,以求得其面積；這些都為窮盡法的古典例子；文藝

29、復(fù)興之后,基于實際的需要及理論的探討, 積分技巧有了進一步的進展；譬如為了航海的便利,杰拉杜斯·麥卡托（ gerardus mercator）創(chuàng)造了所謂的麥氏投影法,使得地圖上的直線就為航海時保持定向的斜駛線；17 世紀的前半,為微積分學的醞釀時期；的確劃分微積分學這門學科為在17 世紀由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓幾乎同時創(chuàng)立的,對此學界曾有極大的爭辯,兩人曾為爭奪微積分的創(chuàng)造權(quán)訴諸皇家學會仲裁；在他們創(chuàng)立微積分以前, 人們把微分和積分視為獨立的學科；而微積分之名與其符號之使用就為萊布尼茨所創(chuàng)；雖說微積分為萊布尼茨和牛頓創(chuàng)造的,但為指的為他

30、們兩人使微積分觀念成熟,澄清微.積分之間的關(guān)系,使運算系統(tǒng)化,并且把微積分大規(guī)模使用到幾何 與物理上；在他們之前,微積分為萌芽時期,觀念在摸索中,運算為個別的,應(yīng) 用也為個別的；在牛頓.萊布尼茨以前,對微分.積分最有奉獻的大致要算皮埃爾·德·費 馬了,惋惜他未能體會兩者之間的親密關(guān)系；而牛頓的老師伊薩克·巴羅（i. barrow、 16301677）雖然知道兩者之間有互逆的關(guān)系,但他不能體會此種關(guān)系 的意義,其緣由之一就為求導(dǎo)數(shù)仍沒有一套有系統(tǒng)的運算方法；古希臘平面幾何的成功, 予西方數(shù)學特別深遠的影響,一般認為, 唯有幾何的論證方法才為嚴格的,才為真正的數(shù)學,

31、代數(shù)也不過為幫助的工具而已；直到笛卡兒及費馬提倡以代數(shù)的方法爭論幾何的問題； 這種態(tài)度才漸有轉(zhuǎn)變； 可為一方面幾何思維方式深植人心, 而另一方面代數(shù)方法仍舊未臻成熟,實數(shù)系統(tǒng)遲遲未能建立, 所以很多數(shù)學家仍舊固守幾何陣營而不能有有效的運算方法,如巴婁就為； 牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點,進展了有效的微分方法,可為他的方法遲遲未敢進展；雖然他用了微積分的技巧, 由萬有引力及運動定律動身說明白他的宇宙體系,但因可怕當時人的批判,在他1687 年的巨著自然哲學的數(shù)學原理中,卻把微 積分的痕跡抹去,而仍以古典的幾何論證方式論述；微積分實際被很多人不斷地完善,也離不開巴羅.笛卡爾.費馬.惠更斯和沃利

32、斯的奉獻；牛頓.萊布尼茨雖然把微積分系統(tǒng)化,但它仍為不嚴格的； 可為微積分被成功地用來解決很多問題, 卻使十八世紀的數(shù)學家偏向其應(yīng)用性,而少致力于其嚴精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載格性；當時,微積分學的進展幸而把握在幾個特別優(yōu)越的數(shù)學家,如歐拉（l. euler、17071783）.拉格朗日（ j.u. lagrange、 17361813）.拉普拉斯（ p.s. de laplace、17491827）.達朗貝爾（ j.de r. d'alembert、 17171783）及白努利（ d. bernoulli、 17001782）世家等人的手里；爭論的問題由自然現(xiàn)象而

33、來, 所以能以自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)來驗合微積分的很多推論；使微積分學不因基礎(chǔ)不穩(wěn)而將之錯誤；在這些眾數(shù)學家的手中, 微積分學的范疇很快地超過現(xiàn)在高校初階段所授的微積分課程,而邁向更高深的解析學；進呈現(xiàn)代微積分理論的一個動力為為明白決“切線問題”,另一個為“面積問題”；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載18 世紀的分析學驅(qū)動 18 世紀的微積分學不斷向前進展的動力為物理學的需要,物理問題的表達一般都為用微分方程的形式；18 世紀被稱為數(shù)學史上的英雄世紀；他們把微積分應(yīng)用于天文學.力學.光學.熱學等各個領(lǐng)域,并獲得了豐碩的成果；在數(shù)學本身又進展出了多元微分學.多重積分學.微分方程.無窮級數(shù)的

34、理論.變分法,大大地擴展了數(shù)學爭論的范疇；其中最聞名的要數(shù)最速降線問題：即最快下降的曲線的問題； 這個曾經(jīng)的難題用變分法的理論可以輕而易舉的解決；微積分創(chuàng)造優(yōu)先權(quán)大爭辯歷史上, 微積分為由兩位科學家, 牛頓和萊布尼茨幾乎同時發(fā)覺的；在創(chuàng)立微積分方面, 萊布尼茨與牛頓功績相當； 這兩位數(shù)學家在微積分學領(lǐng)域中的杰出奉獻概括起來就為： 他們總結(jié)出處理各種有關(guān)問題的一般方法,熟識到求積問題與切線問題互逆的特點, 并揭示出微分學與積分學之間的本質(zhì)聯(lián)系；他們都各自建立了微積分學基本定理, 他們給出微積分的概念. 法就.公式和符號理論為以后的微積分學的進一步進展奠定了堅實而重要的基礎(chǔ)；總之,他們創(chuàng)立了作為一

35、門獨立學科的微積分學；微積分這種數(shù)學分析方法正式產(chǎn)生以后,由于解決了很多以往靠初等數(shù)學無法作答的實際問題, 所以逐步引起科學家和社會人士的重視；同時, 也帶來了關(guān)于“誰先建立微積分” 問題的爭辯； 從牛頓和萊布尼茨仍在世時就開頭顯現(xiàn)這種爭辯,英國和歐洲大陸各國不少科學家都卷入這場曠日長久的.尖銳而復(fù)雜的論戰(zhàn)；這場論戰(zhàn)連續(xù)了100 多年的時間；就制造與發(fā)表的歲月比較, 牛頓制造微積分基本定理比萊布尼茨更早；前者奠基于 16651667 年,后者就為 16721676 年,但萊布尼茨比牛頓更早發(fā)表微積分的成果；故創(chuàng)造微積分的榮譽應(yīng)屬于他們兩人；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載中國古代

36、數(shù)學中微積分的萌芽微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念； 求積的無限小方法； 積分與微分的互逆關(guān)系；最終一步為由牛頓.萊布尼茲完成的；前兩階段的工作,歐洲 的大批數(shù)學家始終追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的奉獻；對于這方面的工作,古代中國毫不遜色于西方,微積分思想在古代中國早有萌芽,甚至為古希臘數(shù)學不能比擬的； 公元前 7 世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前 4 世紀墨經(jīng)中有了有窮.無窮.無限?。ㄗ钚o內(nèi)）.無窮大（最大無外）的定義和極限.瞬時等概念；劉徽公元 263 年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積, 求得 圓周率約等于 3 .1416,他的極限思想和無窮小方法,為世界古代極

37、限思想的深刻表達；微積分思想雖然可追溯古希臘,但它的概念和法就卻為16 世紀下半葉,開 普勒.卡瓦列利等求積的不行重量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和進展起來的；而這些思想和方法從劉徽對圓錐. 圓臺.圓柱的體積公式的證明到公元5 世紀祖恒求球體積的方法中都可找到；北宋大科學家沈括的夢溪筆談獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”. “會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的爭論；南宋大數(shù)學家秦九韶于1274 年撰寫了劃時代巨著數(shù)書九章十八卷,創(chuàng)文明遐邇的“大衍求一術(shù)”增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解, 比西方早 500 多年；特殊為 13 世紀 40 歲月到 14 世紀初,在主要領(lǐng)域都達到了中國古代數(shù)學的高峰

38、,顯現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法.“正負開方術(shù)”.“大衍求一術(shù)”.“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法） .“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）.“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）.“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法） .“四元術(shù)”（四元高次方程組解法） .勾股數(shù)學.弧矢割圓術(shù).組合數(shù)學.運算技術(shù)改革和珠算等都為在世界數(shù)學史上有重要位置的杰出成果,中國古代數(shù)學有了微積分前兩階段的杰出工作,其中很多都為微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵；中國已具備了 17 世紀創(chuàng)造微積分前夕的全部內(nèi)在條件,已經(jīng)接近了微積分的大門；惋惜中國元朝以后, 八股取士制造成了學術(shù)上的大倒退,封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學

39、在內(nèi)的科學日漸衰落,在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載其次次數(shù)學危機及微積分規(guī)律上的嚴格化微積分產(chǎn)生之后,數(shù)學迎來了一次空前富強的時期；對18 世紀的數(shù)學產(chǎn)生了重要而深遠的影響； 但為牛頓和萊布尼茨的微積分都缺乏清晰的.嚴謹?shù)囊?guī)律基礎(chǔ),這在初創(chuàng)時期為不行防止的；科學上的龐大需要戰(zhàn)勝了規(guī)律上的顧忌；他們需要做的事情太多了, 他們急于去攫取新的成果； 基本問題只好先放一放； 正如達朗貝爾所說的：“向前進, 你就會產(chǎn)生信心！”數(shù)學史的進展一再證明自由制造總為領(lǐng)先于形式化和規(guī)律基礎(chǔ)；于為在微積分的進展過程中, 顯現(xiàn)了這樣的局面： 一方面為微積分創(chuàng)立之后立刻在

40、科學技術(shù)上獲得應(yīng)用, 從而快速地進展； 另一方面為微積分學的理論在當時為不嚴密的, 顯現(xiàn)了越來越多的悖論和謬論；數(shù)學的進展又遇到了深刻的令人 擔心的危機； 例如, 有時把無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去,而有時卻又令無窮小量為零而忽視不計； 由于這些沖突,引起了數(shù)學界的極大爭辯；如當時愛爾蘭主教.唯心主義哲學家貝克萊嘲笑“無窮小量”為“已死的幽靈”；貝克萊對牛頓導(dǎo)數(shù)的定義進行了批判；當時牛頓對導(dǎo)數(shù)的定義為：當 x 增長為 x+o 時, x 的立方（記為 x3）成為（ x+o）的立方（記為 x+o）3；即 x3+3 x2o+ 3x o2+ o3 ；x 與 x3 的增量分別為 o 和 3

41、 x2o+ 3x o2+ o3；這兩個增量與 x 的增量的比分別為1 和 3 x2+ 3x o+ o2 ,然后讓增量消逝,就 它們的最終比為1 與 3 x2；我們知道這個結(jié)果為正確的,但為推導(dǎo)過程的確存在著明顯的偷換假設(shè)的錯誤： 在論證的前一部分假設(shè)o 為不為 0 的,而在論證的后一部分又被取為0；那么 o 究竟為不為 0 呢？這就為聞名的貝克萊悖論；這種微積分的基礎(chǔ)所引發(fā)的危機在數(shù)學史上稱為其次次數(shù)學危機,而這次危機的引發(fā)與牛頓有直接關(guān)系；歷史要求給微積分以嚴格的基礎(chǔ)；第一個為補救其次次數(shù)學危機提出真正有見地的看法的為達朗貝爾；他在1754 年指出,必需用牢靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限

42、理論；但為他本人未能供應(yīng)這樣的理論； 最早使微積分嚴格化的為拉格朗日；為了防止使用無窮小推理和當時仍不明確的極限概念,拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒綻開式的基礎(chǔ)上；但為,這樣一來,考慮的函數(shù)范疇太窄了,而且不用極限概念也 無法爭論無窮級數(shù)的收斂問題,所以,拉格朗日的以冪級數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題；到了 19 世紀,顯現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學家,他們積極為微積分的奠基工作而努力,其中包括了捷克的哲學家b.bolzano.曾著有無窮的悖論 ,明確地提出了級數(shù)收斂的概念,并對極限.連續(xù)和變量有了較深化的明白；分析學的奠基人,法國數(shù)學家柯西在18211823 年間出版的分析教程精品

43、學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載和無窮小運算講義 為數(shù)學史上劃時代的著作；在那里他給出了數(shù)學分析一系列的基本概念和精確定義；對分析基礎(chǔ)做更深一步的懂得的要求發(fā)生在1874 年；那時的德國數(shù)學家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù),即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線,這與直觀概念為沖突的；它使人們熟識到極限概念.連續(xù)性.可微性和收斂 性對實數(shù)系的依靠比人們想象的要深奧得多；黎曼發(fā)覺, 柯西沒有必要把他的定積分限制于連續(xù)函數(shù)；黎曼證明白,被積函數(shù)不連續(xù),其定積分也可能存在；也 就為將柯西積分改進為riemann 積分；這些事實使我們明白, 在為分析建立一個完善的基礎(chǔ)方面,仍需要再深挖一步

44、：懂得實數(shù)系更深刻的性質(zhì)； 這項工作最終由外爾斯特拉斯完成,使得數(shù)學分析完全由實數(shù)系導(dǎo)出, 脫離了知覺懂得和幾何直觀；這樣一來, 數(shù)學分析全部的基本概念都可以通過實數(shù)和它們的基本運算表述出來；微積分嚴格化的工作最終接近封頂,只有關(guān)于無限的概念沒有完全弄清晰,在這個領(lǐng)域,德國數(shù)學家 cantor做出了杰出的奉獻；總之,其次次數(shù)學危機和核心為微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固；柯西的奉獻在于, 將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)上；外爾斯特拉斯的奉獻在于規(guī)律地構(gòu)造了實數(shù)論；為此,建立分析基礎(chǔ)的規(guī)律次序為實數(shù)系極限論微積分精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載微積分的現(xiàn)代進展人類對自然的熟識永久不會止步,微積分這門

45、學科在現(xiàn)代也始終在進展著；以以下舉了幾個例子,足以說明人類熟識微積分的水平在不斷深化；在 riemann 將 cauchy 的積分含義擴展之后, lebesgue又引進了測度的概念, 進一步將 riemann 積分的含義擴展；例如聞名的 dirichilet 函數(shù)在 riemann 積分下不行積,而在 lebesgue積分下便可積；前蘇聯(lián)聞名數(shù)學大師所伯列夫為了確定偏微分方程解的存在性和唯獨性,建立了廣義函數(shù)和廣義導(dǎo)數(shù)的概念； 這一概念的引入不僅賜予微分方程的解以新的含義,更重要的為,它使得泛函分析等現(xiàn)在數(shù)學工具得以應(yīng)用到微分方程理論中, 從而開創(chuàng)了微分方程理論的新天地；我國的數(shù)學泰斗陳省身先

46、生所爭論的微分幾何領(lǐng)域,便為利用微積分的理論來爭論幾何, 這門學科對人類熟識時間和空間的性質(zhì)發(fā)揮的龐大的作用；并且這門學科至今仍舊很活躍； 由我國數(shù)學家朱熹平. 曹懷東完成最終封頂?shù)凝嫾尤R猜想便屬于這一領(lǐng)域；在多元微積分學中,newton leibniz公式的對比物為green 公式.ostrogradsky gauss 公式.以及經(jīng)典的stokes 公式；無論在觀念上或者在技術(shù)層次上,他們都為newtonleibniz 公式的推廣；隨著數(shù)學本身進展的需要和解決問題的需要, 僅僅考慮歐式空間中的微積分為不夠的；有必要把微積分的演出舞臺從歐式空間進一步拓展到一般的微分流形；在微分流形上, 外微分

47、式扮演著重要的角色；于為,外微分式的積分和微分流形上的stokes 公式產(chǎn)生了；而經(jīng)典的 green 公式. ostrogradskygauss公式.以及 stokes公式也得到了統(tǒng)一；微積分的進展歷史說明白人的熟識為從生動的直觀開頭,進而達到抽象思 維,也就為從感性熟識到理性熟識的過程；人類對客觀世界的規(guī)律性的熟識具有相對性, 受到時代的局限； 隨著人類熟識的深化, 熟識將一步一步地由低級到高級.由不全面到比較全面地進展；人類對自然的探究永久不會有終點；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載微積分的產(chǎn)生及其重要意義微積分的產(chǎn)生為繼euclid幾何建立之后,數(shù)學進展的又一個里程碑式的事

48、 件；微積分產(chǎn)生之前, 人類基本上仍處在農(nóng)耕文明時期；解析幾何的產(chǎn)生為新時代到來的序曲, 但仍不為新時代的開端； 它對舊數(shù)學作了總結(jié), 使代數(shù)與幾何融為一體,并引發(fā)出變量的概念；變量,這為一個全新的概念,它為爭論運動供應(yīng) 了基礎(chǔ)推導(dǎo)出大量的宇宙定律必需等待這樣的時代的到來,預(yù)備好這方面的思想, 產(chǎn)生像牛頓.萊布尼茨.拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)將來, 為科學活動供應(yīng)方法,指出方向的領(lǐng)導(dǎo), 但也必需等待創(chuàng)立一個必不行少的工具微積分,沒有微積分,推導(dǎo)宇宙定律為不行能的；在17 世紀的天才們開發(fā)的全部學問寶庫中,這 一領(lǐng)域為最豐富的,微積分為創(chuàng)立很多新的學科供應(yīng)了源泉；微積分的建立為人類頭腦最宏大的制造

49、之一, 一部微積分進展史, 為人類一步一步堅強地熟識客觀事物的歷史, 為人類理性思維的結(jié)晶； 它給出一整套的科學方法,開創(chuàng)了科學的新紀元,并因此加強與加深了數(shù)學的作用；恩格斯說： “在一切理論成就中, 未必再有什么像 17 世紀下半葉微積分的發(fā)覺那樣被看作人類精神的最高成功了；假如在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績,那就正為在這里； ”有了微積分,人類才有才能把握運動和過程； 有了微積分, 就有了工業(yè)革命,有了大工業(yè)生產(chǎn), 也就有了現(xiàn)代化的社會； 航天飛機； 宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都為微積分的直接后果； 在微積分的幫忙下, 萬有引力定律發(fā)覺了, 牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的

50、作用,以及地球?qū)λ徑矬w的作用；從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為； 宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律的所包含范疇內(nèi)；這為人類熟識史上的一次空前的飛躍,不僅具有宏大的科學意義,而且具有深遠的社會影響； 它強有力地證明白宇宙的數(shù)學設(shè)計,摧殘了覆蓋在天體上的神奇主義.迷信和神學；一場空前龐大的.席卷近代世界的科學運動開頭了；毫無疑問,微積分的發(fā)覺為世界近代科學的開端；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載旋轉(zhuǎn)液體的液面以等角速度 旋轉(zhuǎn)的液體,液面的外形如何求得？解答：假設(shè)它的剖面為一條曲線,y 軸為轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)面以y軸為對稱軸,此時在液面會得到一正壓力r,r 可以同時供應(yīng)向心力,和重力因

51、此其中.都為常數(shù),因此該剖面的曲線為拋物線,液面外形為該拋物線繞 y 軸的旋轉(zhuǎn)面；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載直接求 sinx 的導(dǎo)函數(shù)從幾何上如何找到sinx的微分呢？解答：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載直接求d sin d精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載把 變動 ,sin 從 變到 ,我們要明白 與 之比, 為一小段弦長,為斜線區(qū)域這個近似直角三角形的斜邊,此與 之比之比可以想成為 cos精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載四只蒼蠅飛行問題有四只蒼蠅 a、b、c、d 分別位于平面上的 1、1, -1、1, -1、-1, 1、-1,之

52、后它們一起以每秒1 單位的速度行動,行動的方式為：a 蒼蠅始終向著 b 蒼蠅靠近,b 蒼蠅始終向著 c 蒼蠅靠近,c 蒼蠅始終向著 d 蒼蠅靠近,d 蒼蠅始終向著 a 蒼蠅靠近,試問：1四只蒼蠅會在何處相遇？2它們多久會相遇？3找出 a 蒼蠅的行動軌跡,并大致畫出；4運算 a 蒼蠅從開頭到相遇的路徑長；5蒼蠅 a 會有什么樣的生理反應(yīng)？ 解答： 1. 2：從物理相對運動的點來看a 的行進方向始終和b 的行進方向保持垂直,你可以想象蒼蠅移動了瞬時之后,方向就立刻修正參照圖一.二.三,由于四 只蒼蠅為做等速運動,所以每一時刻以四只蒼蠅圍出來的四邊形會為正方形,行進方向垂直加上等速于為當時間愈久的時

53、候,蒼蠅愈來愈靠近, 正方形愈來愈小,最終會內(nèi)縮成一點,這一點會為原點,這就為他們相遇的地方；此外,a 靠近 b 為垂直方向靠近 ,所以從 b 蒼蠅看來, a 仍為以 1 單位 / 秒 的等速向 b 靠近,原先 a .b 的距離為2 單位,因此需要秒的時間四只蒼蠅會相遇,的推論都一樣,四只會一起相遇精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖一圖二圖三 3：我們將蒼蠅 a 的坐標位置用極坐標的方式表達,而b的位置就為要留意的為：和都為的函數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載而 a 的速度為此向量要與平行,于為如果,初始值,；其軌跡如下圖所示事實上我們必需留意到,在的情形下會有的推論,我們不妨用積分式算出時刻走了多少路：等式右邊為速度乘上時間,在的時候,""；所以其實蒼蠅a 的軌跡應(yīng)為上述爭論要表達的為說,加上這一點為需要的,并且加上精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載那一點后, 軌跡仍為連續(xù)的 可以想一下如何定義在端點的連續(xù)性 4：由 3 5：由 3得知在到 2 的時候,換言之,在之前已 轉(zhuǎn)了無限多圈 ,于為蒼蠅會“頭昏”；雪球融解假設(shè)雪球融解的速率與表面積成正比,如有一個半徑為 10 公分的雪球