曾謹言量子力學(xué)第4章

1、4.14.1 力學(xué)量隨時間的演化力學(xué)量隨時間的演化 4.2 4.2 波包的運動，波包的運動，EhrenfestEhrenfest定理定理4.3 Schrdinger 4.3 Schrdinger 圖像與圖像與HeisenbergHeisenberg圖像圖像 4.4 4.4 * 守恒量與對稱性的關(guān)系守恒量與對稱性的關(guān)系4.5 4.5 全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性第第4 章章 力學(xué)量隨時間的演化與對稱性力學(xué)量隨時間的演化與對稱性4.1 力學(xué)量隨時間的演化力學(xué)量隨時間的演化4.1.1 守恒量守恒量1. 經(jīng)典物理中的守恒量經(jīng)典物理中的守恒量動量守恒：動量守恒： 質(zhì)點

2、受的合外力為零質(zhì)點受的合外力為零機械能守恒：外力和內(nèi)非保守力不做功機械能守恒：外力和內(nèi)非保守力不做功角動量守恒：質(zhì)點所受到的合外力矩為零角動量守恒：質(zhì)點所受到的合外力矩為零2. 量子力學(xué)中的守恒量量子力學(xué)中的守恒量( )( ),( )A ttAt守恒量：守恒量：在任意態(tài)下力學(xué)量的在任意態(tài)下力學(xué)量的平均值平均值不隨時間變化不隨時間變化 守恒量：守恒量：力學(xué)量的值不隨時間變化力學(xué)量的值不隨時間變化在任意量子態(tài)在任意量子態(tài)下，力學(xué)量下，力學(xué)量A的平均值為的平均值為守恒的條件？守恒的條件？d( ),d ,ii11 ,( ,),ii1 ( , , ),iAA tAAttttHHAAAtAHAAHtAA

3、H1 ,iAA Httd1( ) ,diA tA Ht ,0A H d( ) 0dA tt若力學(xué)量不顯含時間，即若力學(xué)量不顯含時間，即0At則則若若iHtNotekkkkkkAAEH,)(,()( ,)( )(ttatatkkkkk可見：可見：若力學(xué)量若力學(xué)量A與體系的哈密頓量對易，則與體系的哈密頓量對易，則A為為守恒量。守恒量。選包括選包括H和和A在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集，則在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集，則體系的任意量子態(tài)可表示為體系的任意量子態(tài)可表示為3. 守恒量的性質(zhì)守恒量的性質(zhì)在在態(tài)下，測力學(xué)量態(tài)下，測力學(xué)量A的的Ak的概率為的概率為2)(tak則該概率隨時間的變化為則該概率隨時間的變化為2d

4、d( ) dd( ) ,(,( )( ) ,(,( )i1 ( ( ),)(,( )i ( ( ),ikkkkkkkkkkkaa tatttttHtttHtEt 復(fù)共軛項復(fù)共軛項復(fù)共軛項復(fù)共軛項2)0復(fù)共軛項結(jié)論：結(jié)論： 如果力學(xué)量如果力學(xué)量A不含時間，若不含時間，若A, H=0(即為守恒量即為守恒量)，則則無論體系處于什么狀態(tài)，無論體系處于什么狀態(tài)，A的平均值和測值概率均不隨時間變化。的平均值和測值概率均不隨時間變化。4. 經(jīng)典與量子力學(xué)中的守恒量間的關(guān)系經(jīng)典與量子力學(xué)中的守恒量間的關(guān)系5. 守恒量與定態(tài)守恒量與定態(tài) (1) 定態(tài)是體系的一種特殊狀態(tài)，即能量本征態(tài)，而守恒量則定態(tài)是體系的一種

5、特殊狀態(tài)，即能量本征態(tài)，而守恒量則 是一種特殊的力學(xué)量，與體系的是一種特殊的力學(xué)量，與體系的Hamilton量對易。量對易。 (2) 在在定態(tài)定態(tài)下一切下一切力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值和和測值概率測值概率都不隨時間改變；都不隨時間改變； 而而守恒量守恒量則在則在一切狀態(tài)下的平均值一切狀態(tài)下的平均值和和測值概率測值概率都不隨時間都不隨時間 改變改變(1) 與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量不同，量子力學(xué)中的守恒量不一定取與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量不同，量子力學(xué)中的守恒量不一定取 確定的數(shù)值確定的數(shù)值. 若初始時刻體系處于守恒量若初始時刻體系處于守恒量A的本征態(tài)，則體系的本征態(tài)，則體系 將保持在該本征態(tài)。此態(tài)對應(yīng)的

6、量子數(shù)將伴隨終生，因此守將保持在該本征態(tài)。此態(tài)對應(yīng)的量子數(shù)將伴隨終生，因此守 恒量的本征態(tài)對應(yīng)的量子數(shù)稱為恒量的本征態(tài)對應(yīng)的量子數(shù)稱為好量子數(shù)。好量子數(shù)。(2) 量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。例題例題1 判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤(1)在非定態(tài)下，力學(xué)量的平均值隨時間變化在非定態(tài)下，力學(xué)量的平均值隨時間變化(錯錯)(2) 設(shè)體系處在定態(tài)，則不含時力學(xué)量測值的概率不隨時間變化設(shè)體系處在定態(tài)，則不含時力學(xué)量測值的概率不隨時間變化(對對)(3)設(shè)哈密頓量為守恒量，則體系處在定態(tài)設(shè)哈密頓量為守恒量，則體系處在定態(tài)（錯）（錯）(4)

7、 中心力場中的粒子處于定態(tài)，則角動量取確定的數(shù)值中心力場中的粒子處于定態(tài)，則角動量取確定的數(shù)值（錯）（錯）(5) 自由粒子處于定態(tài)，則動量取確定值自由粒子處于定態(tài)，則動量取確定值（錯）（錯）（能級是二重簡并的）（能級是二重簡并的）(6)一維粒子的能量本征態(tài)無簡并一維粒子的能量本征態(tài)無簡并（錯）（錯）（一維束縛態(tài)粒子的能量本征態(tài)無簡并）一維束縛態(tài)粒子的能量本征態(tài)無簡并）證明：證明： 對于屬于能量對于屬于能量E的任何兩個束縛態(tài)波函數(shù)有的任何兩個束縛態(tài)波函數(shù)有1221則則2211/兩邊同時積分得兩邊同時積分得21C4.1.2 能級簡并與守恒量的關(guān)系能級簡并與守恒量的關(guān)系定理定理 設(shè)體系有兩個彼此不對

8、易的守恒量設(shè)體系有兩個彼此不對易的守恒量F和和G，即，即 F,H=0,G,H=0,F,G0, 則體系能級一般是簡并的則體系能級一般是簡并的。證明：證明： F, H=0,則則F, H有共同的本征函數(shù)有共同的本征函數(shù) FFEH ,又因為又因為 G, H=0, 則則GEEGHGGH即即G也是也是H的本征函數(shù)，對應(yīng)的本征值也是的本征函數(shù)，對應(yīng)的本征值也是E,即體系的能級是簡并的。即體系的能級是簡并的。推論：推論： 如果體系有一守恒量如果體系有一守恒量F，而體系的某條能級并不，而體系的某條能級并不 簡并，即對應(yīng)某個能量本征值簡并，即對應(yīng)某個能量本征值E只有一個本征態(tài)只有一個本征態(tài) E，則，則E必為必為F

9、 的本征態(tài)。的本征態(tài)。EEEEFEEFHFFH證明：證明：設(shè)設(shè)E是一能量本征態(tài)。因是一能量本征態(tài)。因F是守恒量，則是守恒量，則F, H=0 即即FE也是一個能量本征態(tài)，對應(yīng)的本征值也是也是一個能量本征態(tài)，對應(yīng)的本征值也是E. 根據(jù)假定能級不簡并，則必有根據(jù)假定能級不簡并，則必有EEFF即即E也是也是F的本征態(tài)，對應(yīng)的本征值是的本征態(tài)，對應(yīng)的本征值是F .例如：例如： 一維諧振子勢中粒子的能級并不簡并，空間反射算符一維諧振子勢中粒子的能級并不簡并，空間反射算符P為為 守恒量，守恒量， P,H=0, 則能量本征態(tài)必為則能量本征態(tài)必為P的本征態(tài)，即有確的本征態(tài)，即有確 定的宇稱。事實上，也確是如此，

10、定的宇稱。事實上，也確是如此，)() 1()()(xxxPnnnn結(jié)論：結(jié)論： 體系的守恒量總是與體系的某種對稱性相聯(lián)系，而能級體系的守恒量總是與體系的某種對稱性相聯(lián)系，而能級 簡并也往往與體系的某種對稱性相聯(lián)系。在一般情況下，簡并也往往與體系的某種對稱性相聯(lián)系。在一般情況下， 當(dāng)能級出現(xiàn)簡并時，可以根據(jù)體系的對稱性，找出其守當(dāng)能級出現(xiàn)簡并時，可以根據(jù)體系的對稱性，找出其守 恒量。恒量。2/ 2( )HpmV r22d1 i , , ( )d2 ir pr p Hr p pr p V rtmprVm 21prVm2TrV位力定理：位力定理： 設(shè)粒子處于勢場設(shè)粒子處于勢場V(r)，其哈密頓為，其

11、哈密頓為rp的平均值隨時間的變化為的平均值隨時間的變化為對定態(tài)有對定態(tài)有d 0dr pt 則則證明：證明： , ( ) , ( ) , ( ) , ( )( )( )( )( i)( i)( i)i( )xyzr p V rxp V ryp V rzp V rV rV rV rxyzxyzrV r 22222222 ,2i2i2i2ixxyyzzxyzrp pxppyppzpppppp 思考題：思考題： rp并不是厄米算符，應(yīng)進行厄米化并不是厄米算符，應(yīng)進行厄米化1 ()2r pr pp r 這是否會影響位力定理得證明。這是否會影響位力定理得證明。答：答：從位力定理的證明可以看出，將從位力定理

12、的證明可以看出，將rp厄米化后并不能影響厄米化后并不能影響 到定理的證明。到定理的證明。例題例題1 設(shè)設(shè)V(x,y,z)是是x,y,z的的n次齊次函數(shù)，即次齊次函數(shù)，即),(),(zyxVcczcycxVn證明證明2nVT如諧振子如諧振子221( ), 22V xmxnVT庫侖勢庫侖勢, 1 ,1)(nrrV2VT 勢勢1()( ), 1, 2axxnVTa 證明：證明： ),(),(zyxVcczcycxVn兩邊對兩邊對c求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得),()()()(1zyxVncczVzcyVycxVxn令令c =1得得nVVr則由位力定理得則由位力定理得2TrVnV例題例題2 求一維諧振子在態(tài)求一維

13、諧振子在態(tài)n下的動能和勢能的平均值下的動能和勢能的平均值解：解： 一維諧振子的能量本征值為一維諧振子的能量本征值為21nEn由位力定理知由位力定理知: :VT 則則21nVTHEn所以所以2121nVT2( ) (1)2pHV rmd1 , (2)did1 ,( )( ) (3)diprr Htmpp HV rF rt 1. 波包的運動與經(jīng)典粒子運動的關(guān)系波包的運動與經(jīng)典粒子運動的關(guān)系設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的粒子在勢場的粒子在勢場V(r)中運動，用波包中運動，用波包(r,t)描述，顯然描述，顯然(r,t)必為非定態(tài)，因此處于定態(tài)的粒子的概率密度是不隨時間必為非定態(tài)，因此處于定態(tài)的粒子的概率密度是不

14、隨時間變化的：變化的：與經(jīng)典粒子運動對應(yīng)的量子態(tài)為非定態(tài)與經(jīng)典粒子運動對應(yīng)的量子態(tài)為非定態(tài)設(shè)粒子運動的設(shè)粒子運動的Hamilton 為為則粒子的坐標和動量的平均值隨時間的變化為則粒子的坐標和動量的平均值隨時間的變化為4.2 波包運動，波包運動， Ehrenfest(埃倫埃倫費斯特費斯特)定理定理)(dd)(dd ,dd22rVtrmrVtpmptr22d( ) (5)drmF rtrrr經(jīng)典粒子運動的正則方程是經(jīng)典粒子運動的正則方程是(2)兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，并將兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，并將(3)代入代入得到得到此之謂此之謂Ehrenfest方程，方程， 形式與經(jīng)典的形式與經(jīng)典的Newton方程類似，

15、但只有當(dāng)方程類似，但只有當(dāng)r)()(rFrF時，波包中心時，波包中心 的運動規(guī)律才與經(jīng)典粒子相同。的運動規(guī)律才與經(jīng)典粒子相同。(3)波包的擴散不太大。波包的擴散不太大。(1) 波包很窄，其大小與粒子的大小相當(dāng)；波包很窄，其大小與粒子的大小相當(dāng)；2. 用波包描述粒子運動時對波包的要求：用波包描述粒子運動時對波包的要求：(2) 勢場勢場V(r)在空間的變化很緩慢，使得波包中心在空間的變化很緩慢，使得波包中心 處的勢場處的勢場 與粒子感受到的勢場很接近；與粒子感受到的勢場很接近；)(rV33222)(21)()(ccccccxxVxxVxxVxV在波包中心在波包中心xxc附近對附近對 作作Taylo

16、r 展開，展開，如：如： 一維波包的運動一維波包的運動(x)/Vx令令=x-xc，則有則有323()()1d( , )( , )2ccccV xV xVVxx tx txxxxL利用利用0得得可見只有當(dāng)可見只有當(dāng)323()()12ccccV xV xxx時才有時才有)()()(cccxFxxVxVxF此時方程此時方程(5)與經(jīng)典的與經(jīng)典的Newton方程在形式上完全相同。方程在形式上完全相同。如在勢場如在勢場2221( ), ( )2V xabxcx or V xmx中中33( )0V xx條件自動滿足，因此在這類勢場中窄波包的運動，就與經(jīng)典粒子條件自動滿足，因此在這類勢場中窄波包的運動，就與

17、經(jīng)典粒子的軌道運動相似。的軌道運動相似。例例 粒子對原子的散射粒子對原子的散射原子的半徑原子的半徑cm108a天然天然放射性元素放出放射性元素放出粒子的能量粒子的能量MeV5E則其動量為則其動量為114scmg102mEp在對原子的散射過程中，在對原子的散射過程中，粒子穿越原子的時間約為粒子穿越原子的時間約為pamvat經(jīng)典經(jīng)典 or or 量子描述？量子描述？xa在該時間間隔內(nèi)波包的擴散為在該時間間隔內(nèi)波包的擴散為apppammptvx如果要求在如果要求在粒子穿越原子的過程中可近似用軌道來描述，就要求粒子穿越原子的過程中可近似用軌道來描述，就要求ax 1pp利用不確定性關(guān)系可得利用不確定性關(guān)

18、系可得119scmg10/axp顯然滿足條件顯然滿足條件1pp即即粒子對原子的散射可用軌道運動近似描述粒子對原子的散射可用軌道運動近似描述。如果討論電子對原子的散射，電子的質(zhì)量很小，對于能量為如果討論電子對原子的散射，電子的質(zhì)量很小，對于能量為100eV的電子有的電子有119scmg10542eeeEmp則則epp 因此用軌道運動來描述電子是不恰當(dāng)?shù)?。因此用軌道運動來描述電子是不恰當(dāng)?shù)摹?.3 4.3 Schringer圖像圖像( (繪景繪景) )和和Heisenberg圖像（繪景）圖像（繪景）) 1 ( )(),()(tAttA)2( )()(itHtt)3( ,i1)(ddHAtAt)5(

19、 1)0 , 0()4( ),0()0 ,()(UtUt1. Schrdinger 圖像圖像力學(xué)量不隨時間變化，而波函數(shù)隨時間變化力學(xué)量不隨時間變化，而波函數(shù)隨時間變化。力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值波函數(shù)隨時間演化方程波函數(shù)隨時間演化方程-Schrdinger 方程方程力學(xué)量平均值隨時間的變化力學(xué)量平均值隨時間的變化波函數(shù)隨時間演化可寫成波函數(shù)隨時間演化可寫成)0()0 ,()0()0 ,(itUHtUt)6( )0 ,()0 ,(itUHtUt)0 ,(tU)7( )0 ,(/itHetU稱為稱為時間演化算符。時間演化算符。(4) 代入代入(2)得到得到則則積分得積分得)8( 1)0 ,()

20、0 ,()0 ,()0 ,(tUtUtUtU可以證明：可以證明：)0 ,(tU是幺正算符。是幺正算符。)9( )0(),0()(),(tt)10( )0()(),0( )0()0 ,()0 ,(),0( )0()0 ,(),0()0 ,()(tAtUAtUtUAtUtA)11( )0 ,()0 ,()(tUAtUtAHeishenberg 圖像圖像波函數(shù)不變，算符隨時間變化波函數(shù)不變，算符隨時間變化算符的演化方程算符的演化方程-Heisenberg 方程方程)(i1 )0 ,(dd)0 ,()0 ,()0 ,(dd)(ddUHAUUAHUtUtAtUtUAtUttAt利用利用U的幺正性，的幺正

21、性，及U+HU=H)()(i1 )(i1)(ddHtAtAHUHUUAUUAUUHUtAt則則d1( ) ( ), (12)diA tA t Ht上式稱為上式稱為Heisenberg方程方程。例題例題1 自由粒子自由粒子2/ 2Hpm ,0p Hp為守恒量，則為守恒量，則 p(t)=p(0)=pi/2i/i/i/d11 ( ) ( ), ,/ 2 dii HtHtHtHtr tr tHer pm etppeemm ( )(0)pr trtm則則例題例題2 一維諧振子一維諧振子2221/ 22Hpmmxi/i/i/i/( ), ( )HtHtHtHtx texep tepei/i/i/i/2d1

22、( ) ,( )/did1( ) ,( )diHtHtHtHtx tex H ep tmtp tep H emx tt 222d1 d( )( )( )ddx tp tx ttm t 12( )cossinx tctct12d( )( )cossindp tmx tm ctm ctt 而而則則其解為其解為則則122(0), (0), /xcxpm cpcp m( )cossin( )cossinpx txttmp tptm xt利用初始條件利用初始條件則可得出則可得出4.4 4.4 守恒量與對稱性的關(guān)系守恒量與對稱性的關(guān)系1. 經(jīng)典力學(xué)的守恒量與對稱性的關(guān)系經(jīng)典力學(xué)的守恒量與對稱性的關(guān)系機械能

23、對空間平移不變性（空間均勻性）機械能對空間平移不變性（空間均勻性）動量守恒動量守恒機械能對空間轉(zhuǎn)動不變性（空間各向同性）機械能對空間轉(zhuǎn)動不變性（空間各向同性）角動量守恒角動量守恒機械能對時間平移不變性（時間均勻性）機械能對時間平移不變性（時間均勻性）能量守恒能量守恒1918年年 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家 A. E. Noether : 從自然界的每一對稱性可從自然界的每一對稱性可得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蘊含其中的一種對稱性。得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蘊含其中的一種對稱性。2. 量子力學(xué)中的對稱性量子力學(xué)中的對稱性(1) 對稱變換與對稱性群對稱變換與對稱性群) 1 ( iHtQ

24、Ht iHQQt iHQQt1i體系的狀態(tài)滿足薛定諤方程體系的狀態(tài)滿足薛定諤方程若存在變換若存在變換Q ,在此變換下有在此變換下有體系對變換不變性的要求體系對變換不變性的要求即即用用Q-1運算得運算得HQQHHHQQ ,1與方程與方程(1)比較得比較得或?qū)懗苫驅(qū)懗?4( 0,HQ這就是體系這就是體系（Hamilton）在變換）在變換Q下的不變性的數(shù)學(xué)表述。下的不變性的數(shù)學(xué)表述。凡滿足式凡滿足式(4)的變換稱為的變換稱為體系的對稱變換體系的對稱變換。 物理學(xué)中的體系的對稱物理學(xué)中的體系的對稱變換總構(gòu)成一個群，稱為變換總構(gòu)成一個群，稱為體系的對稱性群。體系的對稱性群。(2) 對稱性變換與守恒量對稱

25、性變換與守恒量在對稱變換下考慮概率守恒有在對稱變換下考慮概率守恒有),(),(),(),(QQQQ則則Q應(yīng)該是幺正算符，即應(yīng)該是幺正算符，即IQQQQFIQi對于連續(xù)變換，可考慮無窮小變換對于連續(xù)變換，可考慮無窮小變換0 0+ +，令，令I(lǐng)OFFIFIFIQQ)()(i)i)(i(2FF(3)空間平移不變性與動量守恒空間平移不變性與動量守恒設(shè)體系沿設(shè)體系沿x軸方向作一無窮小平移軸方向作一無窮小平移xxxx即即F是厄米算符，稱為是厄米算符，稱為變換變換Q的無窮小算符。的無窮小算符。可定義與可定義與 Q變換相變換相聯(lián)系的可觀測量，體系在聯(lián)系的可觀測量，體系在Q變換下的不變性導(dǎo)致變換下的不變性導(dǎo)致0

26、,HF即即F是一守恒量。是一守恒量。對稱變換對稱變換守恒量守恒量DxxxxD)()(xx)()(xxxD描述體系狀態(tài)波函數(shù)的變化為描述體系狀態(tài)波函數(shù)的變化為顯然顯然即即)(exp )()()(xxxxxxxxxD作變換作變換xxx則上式可化為則上式可化為/iexpexp)(xpxxxxDxpx i則平移則平移x的算符可表示為的算符可表示為Note: 是與平移變換相應(yīng)的無窮小算符。是與平移變換相應(yīng)的無窮小算符。/exp)(prrDip推廣：推廣：對于三維空間中的無窮小平移對于三維空間中的無窮小平移rrrr則則其中其中設(shè)體系具有平移不變性，即設(shè)體系具有平移不變性，即 D, H=0對于無窮小平移對于

27、無窮小平移/i1prD則可推出則可推出0,Hp動量守恒動量守恒是與三維平移變換對應(yīng)的無窮小算符。是與三維平移變換對應(yīng)的無窮小算符。(4) 空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒設(shè)體系繞設(shè)體系繞z軸旋轉(zhuǎn)一無窮小角度軸旋轉(zhuǎn)一無窮小角度 ，波函數(shù)的變化是波函數(shù)的變化是R)()(對標量波函數(shù)有對標量波函數(shù)有即即)()(R)(exp )()()(R作變換作變換則則/iexpexp)(zlR則繞則繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 的算符是的算符是 izl注：注：rrrrOnrrrrrnrr現(xiàn)考慮三維空間中繞某方向現(xiàn)考慮三維空間中繞某方向n的無窮小旋轉(zhuǎn)的無窮小旋轉(zhuǎn))()( ,rrR)()(rrrR在上述變換下

28、標量函數(shù)的變化是在上述變換下標量函數(shù)的變化是即即)()(exp )()()( )()()(rrnrrnrrnrrrrR作變換作變換rrr則則/iexp/ )(iexp /)(iexp)(exp)(lnprnprnrnnR對于無窮小旋轉(zhuǎn)對于無窮小旋轉(zhuǎn)n則則prl其中其中如果體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，如果體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，R, H=0,注：三個矢量的混合積注：三個矢量的混合積BACACBCBA)()()(對于無窮小旋轉(zhuǎn)對于無窮小旋轉(zhuǎn)/i1lnR則有則有0,Hl即角動量守恒即角動量守恒(5) 時間均勻性與能量守恒時間均勻性與能量守恒(6) 空間反射對稱性與宇稱守恒空間反射對稱性與宇稱守恒(7)

29、同位旋空間旋轉(zhuǎn)對稱性與同位旋守恒同位旋空間旋轉(zhuǎn)對稱性與同位旋守恒4.5 全同粒子體系及其波函數(shù)全同粒子體系及其波函數(shù)4.5.1 全同粒子體系的交換對稱性全同粒子體系的交換對稱性 1. 全同粒子全同粒子：說明：說明： (1) 粒子的全同性與粒子態(tài)的量子化有本質(zhì)的聯(lián)系，粒子的全同性與粒子態(tài)的量子化有本質(zhì)的聯(lián)系， 沒有態(tài)的量子化就談不上全同性。沒有態(tài)的量子化就談不上全同性。 (2) 經(jīng)典力學(xué)中原則上不存在全同粒子?；颍Ｗ咏?jīng)典力學(xué)中原則上不存在全同粒子。或，全同粒子 可以區(qū)分?？梢詤^(qū)分。質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子。質(zhì)量、電荷、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子。所有的電子是全同粒子、所有

30、的質(zhì)子是全同粒子、所有的電子是全同粒子、所有的質(zhì)子是全同粒子、所有的光子也是全同粒子。所有的光子也是全同粒子。2. 全同性原理：全同性原理：在相同的物理條件下，全同粒子的行為完全相同，在相同的物理條件下，全同粒子的行為完全相同， 用一個粒子代換另一個粒子，不引起物理狀態(tài)的用一個粒子代換另一個粒子，不引起物理狀態(tài)的 變化變化, 或，全同粒子不可區(qū)分?；?，全同粒子不可區(qū)分。-量子力學(xué)的基本假設(shè)量子力學(xué)的基本假設(shè)222221212122222ppeeeHmmrrrr(1) 全同粒子體系的任何可觀測量全同粒子體系的任何可觀測量(包含哈密頓量）有交換對稱性包含哈密頓量）有交換對稱性氦原子中兩個電子氦原子

31、中兩個電子組成的體系組成的體系3. 全同粒子交換對稱性與守恒量全同粒子交換對稱性與守恒量定義交換算符定義交換算符Pij ：其作用是交換兩個粒子的位置：其作用是交換兩個粒子的位置),(),(11NijNjiijqqqqqqqqP1111 ( ,) ( ,)( ,)( ,)ijijNijNijNijjiNP H qqqqqqqqH qqqqPqqqq11 (,)(,)ijijNijNijP H qqqqH qqqqP即即,0ijP H ),( ),(),(111NjiNijNjiijqqqqCqqqqqqqqP22CPCPijij1C ,反對稱波函數(shù)，對稱波函數(shù)ijijPP(2) 全同粒子體系波函

32、數(shù)的交換對稱性全同粒子體系波函數(shù)的交換對稱性即全同粒子體系的波函數(shù)是交換對稱或反對稱的。即全同粒子體系的波函數(shù)是交換對稱或反對稱的。實驗表明：實驗表明： 凡自旋為凡自旋為 整數(shù)倍整數(shù)倍(s=0,1,2,)的粒子的粒子, 波函數(shù)的交換總是對稱的，波函數(shù)的交換總是對稱的，如如介子介子(s=0)、光子光子（s=1）,波色子波色子。凡自旋為凡自旋為 半整數(shù)倍半整數(shù)倍(s=1/2,3/2,)的粒子的粒子, 波函數(shù)的交換總波函數(shù)的交換總是反對稱的，如電子、質(zhì)子、中子等是反對稱的，如電子、質(zhì)子、中子等,費米子費米子。 由由“基本粒子基本粒子”組成的復(fù)合粒子，如組成的復(fù)合粒子，如粒子，若在討論的問題粒子，若在

33、討論的問題或過程中其內(nèi)部狀態(tài)保持不變，則全同粒子的狀態(tài)仍然適用?；蜻^程中其內(nèi)部狀態(tài)保持不變，則全同粒子的狀態(tài)仍然適用。 由由玻色子玻色子組成的的復(fù)合粒子仍為組成的的復(fù)合粒子仍為玻色子玻色子； 由由偶數(shù)個費米子偶數(shù)個費米子組成的粒子為組成的粒子為玻色子玻色子；有；有奇數(shù)個費米子奇數(shù)個費米子組成的粒子為組成的粒子為費米子費米子4. 交換效應(yīng)交換效應(yīng)全同性不只是一個抽象的概念，而它將導(dǎo)致一個可觀測的量全同性不只是一個抽象的概念，而它將導(dǎo)致一個可觀測的量子效應(yīng)子效應(yīng)-交換效應(yīng)。微觀世界里的全同粒子，一旦有波包交換效應(yīng)。微觀世界里的全同粒子，一旦有波包重疊而又沒有守恒的內(nèi)稟量子數(shù)可供鑒別，波動性將使它們

34、重疊而又沒有守恒的內(nèi)稟量子數(shù)可供鑒別，波動性將使它們失去個性和可分辨性，出現(xiàn)交換效應(yīng)。失去個性和可分辨性，出現(xiàn)交換效應(yīng)。如：如：ab12cd分束器分束器兩個光子的輸入態(tài)兩個光子的輸入態(tài)221112bai兩光子的出射態(tài)兩光子的出射態(tài))(21)(2122211112dicdcif若兩個光子同時到達分束器，出射態(tài)中光子的空間模有重疊，若兩個光子同時到達分束器，出射態(tài)中光子的空間模有重疊，必須考慮兩個光子的交換干涉，出射態(tài)應(yīng)該是交換對稱的。必須考慮兩個光子的交換干涉，出射態(tài)應(yīng)該是交換對稱的。)()(21)(212121122121122112cddcddccifff在在c, d 兩處放置探測器，作單光

35、子計數(shù)符合測量，以兩處放置探測器，作單光子計數(shù)符合測量，以1/2的概率得到雙光子極化糾纏態(tài)的概率得到雙光子極化糾纏態(tài))(21212112盡管兩個光子間不存在可以令光子極化狀態(tài)發(fā)生變化的相互作用，盡管兩個光子間不存在可以令光子極化狀態(tài)發(fā)生變化的相互作用，但全同性原理的交換作用和符合測量塌縮可以使光子的極化狀態(tài)但全同性原理的交換作用和符合測量塌縮可以使光子的極化狀態(tài)發(fā)生變化，兩個光子已經(jīng)不可分辨。發(fā)生變化，兩個光子已經(jīng)不可分辨。問題：問題： 在忽略粒子間相互作用的情況下，如何構(gòu)造具在忽略粒子間相互作用的情況下，如何構(gòu)造具 有交換對稱或反對稱性的波函數(shù)？有交換對稱或反對稱性的波函數(shù)？12()()Hh

36、 qh q( )( )( )kkkh qqq )()(1 21 )()()()(21),(211212212121212121qqPqqqqqqkkkkkkSkk4.5.2 兩個全同粒子組成的體系兩個全同粒子組成的體系設(shè)有兩個全同粒子（忽略相互作用），其設(shè)有兩個全同粒子（忽略相互作用），其Hamilton量為量為其中其中h為單粒子的為單粒子的Hamilton，h(q )的本征方程為的本征方程為設(shè)兩個粒子，一個處于設(shè)兩個粒子，一個處于k1態(tài)，另一個處于態(tài)，另一個處于 k2態(tài)，則態(tài)，則 k1(q1) k2(q2)與與 k1(q2) k2(q1)對應(yīng)的能量都是對應(yīng)的能量都是k1+k2，這種與交換相聯(lián)

37、系的簡并，稱為這種與交換相聯(lián)系的簡并，稱為交換簡并交換簡并。但這兩個波函數(shù)還不具有交換對稱性。但這兩個波函數(shù)還不具有交換對稱性。對對Bose子子, 波函數(shù)交換對稱波函數(shù)交換對稱，則，則(a) 當(dāng)當(dāng)k1k2時，歸一化的對稱波函數(shù)為時，歸一化的對稱波函數(shù)為)()()1 (21)()()()(21 )()()()(21),(21122121122121212211212121qqPqqqqqqqqqqkkkkkkkkkkAkk)()(),(2121qqqqkkSkk(b) 當(dāng)當(dāng)k1=k2時，歸一化的對稱波函數(shù)為時，歸一化的對稱波函數(shù)為對對Femi子，子，波函數(shù)交換反對稱波函數(shù)交換反對稱(a) 當(dāng)當(dāng)k

38、1k2時，歸一化的反對稱波函數(shù)為時，歸一化的反對稱波函數(shù)為(b) 當(dāng)當(dāng)k1=k2時時0),(21qqAkk即這樣的狀態(tài)不存在，這就是著名的即這樣的狀態(tài)不存在，這就是著名的Pauli不相容原理不相容原理：不允許兩個全同的不允許兩個全同的Femi子處于同一單粒子態(tài)。子處于同一單粒子態(tài)。例題例題 設(shè)有兩個全同的自由粒子都處在動量本征態(tài)，下面分三種設(shè)有兩個全同的自由粒子都處在動量本征態(tài)，下面分三種 情況討論它們在空間的相對距離的概率分布情況討論它們在空間的相對距離的概率分布(a) 在不計交換對稱性時，兩粒子的波函數(shù)可表示為在不計交換對稱性時，兩粒子的波函數(shù)可表示為)( i32121)2(1),(rkr

39、kkkerr令令kkKkkkrrRrrr ),(21)(21 ,2121或或kKkkKkrRrrRr2/ ,2/2/ , 2/21rkRKkkerrii21),(相對運動部分波函數(shù)為相對運動部分波函數(shù)為rkkeri2/3)2(1)(在距離一個粒子半徑在在距離一個粒子半徑在(rr+dr)的球殼內(nèi)找到另一個粒子的概率為的球殼內(nèi)找到另一個粒子的概率為rrPrrrrrrkd)(4)2(d4d)(d23222(b) 交換交換(r-r)反對稱波函數(shù)，反對稱波函數(shù)， 反對稱相對運動波函數(shù)為反對稱相對運動波函數(shù)為)sin()2(2i)2(1)1 (21)(2/3i2/312rkePrrkAk則則krkrrrkrrrrkrrrrrrrPrAkA2)2sin(1)2(d4dsin)cos(sind)2(d2d)(sin)2(d2d)(dd)(4320220322322223)2/(1)(rP概率密度概率密度(c) 交換對稱波函數(shù)，交換對稱波函數(shù)， 類似可求出類似可求出即即krkrPA2)2sin(1)2(13krkrPS2)2sin(1)2(13可見：可見：在空間波函數(shù)交換對稱的情況下，兩個粒子相互靠攏的在空間波函數(shù)交換對稱的情況下，兩個粒子相互靠攏的概率