2019-2020學(xué)年江蘇省常州市前黃高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019-2020學(xué)年江蘇省常州市前黃高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知空間向量,若,則實(shí)數(shù)（ ）a-2b-1c1d2【答案】c【解析】根據(jù)時(shí)，列方程求出的值【詳解】解：向量，若，則，解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與垂直應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題2abcd【答案】d【解析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算展開(kāi)即可【詳解】解： 故選d.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3盛唐著名邊塞詩(shī)人王昌齡在其作品從軍行中寫道：青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還其最后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（ ）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要

2、條件【答案】b【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，但“返回家鄉(xiāng)”一定是“攻破樓蘭”，由充分條件和必要條件的定義判斷可得“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要不充分條件，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于容易題4設(shè)是首項(xiàng)為，公差為-1的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則=（ ）a2b-2cd【答案】d【解析】把已知用數(shù)列的首項(xiàng)和公差表示出來(lái)后就可解得，【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即故選d.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是基本量法本題屬于基礎(chǔ)題5在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，則

3、與側(cè)面所成角的大小為（ ）abcd【答案】a【解析】由題意，取ac的中點(diǎn)o，連結(jié)，求得是與側(cè)面所成的角，在中，即可求解【詳解】由題意，取ac的中點(diǎn)o，連結(jié),因?yàn)檎庵?，?cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，所以，因?yàn)?，所以平面，所以是與側(cè)面所成的角，因?yàn)?，所以，所以，與側(cè)面所成的角【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面所成的角的求解，其中解答中空間幾何體的線面位置關(guān)系，得到是與側(cè)面所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔試題6若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),則（ ）a2b10cd【答案】d【解析】先求出的左焦點(diǎn)，得到拋物線的準(zhǔn)線，依據(jù)的意義求出它的值【詳解】解：

4、因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口為正方向，故準(zhǔn)線在軸左側(cè)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，故拋物線的準(zhǔn)線為，故選：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及拋物線方程中的意義7正方體,點(diǎn),分別是，的中點(diǎn),則與所成角的余弦值為（ ）abcd【答案】a【解析】連接，證明，再根據(jù)，可得即可得到與所成角的余弦值.【詳解】解：連接，是正方體,且因?yàn)辄c(diǎn),分別是，的中點(diǎn)即與成直角，則與所成角的余弦值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8若雙曲線的漸近線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則c的離心率的取值范圍為（ ）abcd【答案】a【解析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和

5、b的關(guān)系，進(jìn)而利用求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求【詳解】雙曲線漸近線為，且與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式等著重考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用，屬中檔題9設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為f,點(diǎn)p在c的一條漸近線上,o為坐標(biāo)原點(diǎn),若且的面積為,則c的方程為（ ）abcd【答案】b【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程，設(shè)雙曲線方程為，表示右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求出到漸近線的距離，根據(jù)利用勾股定理求得，利用，得到方程，求得，得解.【詳解】解：為雙曲線的一條漸近線，故設(shè)雙曲線方程為則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)?/p>

6、在上，且則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為到直線的距離故故選：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，三角形面積公式，點(diǎn)到線的距離公式，屬于中檔題.10數(shù)列中，且，則數(shù)列前2019項(xiàng)和為（ ）abcd【答案】b【解析】由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項(xiàng)求和法即可得解【詳解】解：，整理得：，又，可得：則數(shù)列前2019項(xiàng)和為：故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項(xiàng)求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題11如圖,矩形中,是線段上一點(diǎn)且滿足,是線段上一動(dòng)點(diǎn),把沿折起得到,使得平面平面,分別記,與平面所成角為,平面與平面所成銳角為,則:（ ） abcd【答案】a【解析】由

7、題意畫出圖形,因?yàn)榕c平面所成角為,平面與平面所成銳角為,與平面所成角為分別求出和,結(jié)合圖形分別比較和和,即可求出答案.【詳解】如圖,過(guò)作,在中,由,可得由等積法可得,則 平面平面,且,可得平面 畫出底面平面圖:在,由余弦定理可得: ,故 結(jié)合圖像可知: ,可得: , 可得 過(guò)作,垂足為,連接，則為平面與平面所成的銳角 到的距離,由底面圖像可知: 即由可得: 都是銳角,根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性可知: 故選:a.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面、平面與平面所成角的求法.在立體圖形中某個(gè)平面內(nèi)的線段較多且關(guān)系復(fù)雜時(shí),可畫出其平面圖形進(jìn)行求解.解題關(guān)鍵是求,和.考查空間想象能力與邏輯思維能力,是中檔題12已

8、知f為橢圓c：的左焦點(diǎn)，過(guò)f作兩條互相垂直的直線，直線與c交于a，b兩點(diǎn)，直線與c交于d，e兩點(diǎn)，則四邊形adbe的面積最小值為（ ）a4bcd【答案】c【解析】先計(jì)算直線斜率為0時(shí)或直線斜率為0時(shí)對(duì)應(yīng)的四邊形的面積，再設(shè)斜率為k，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，得出四邊形的面積關(guān)于k的函數(shù)，利用換元法求出面積的最小值從而得出結(jié)論【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)為（1）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線的方程為，或當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線的方程為，把代入橢圓方程得，四邊形adbe的面積為（2）當(dāng)直線有斜率且斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立方程組，消元得：，設(shè)，則，用替換k可得，四邊形adbe的面積為，令，則，當(dāng)即時(shí)，s

9、取得最小值綜上，四邊形abde的面積的最小值為故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式，面積公式的應(yīng)用，考查換元法與設(shè)而不求法的運(yùn)用，計(jì)算較難，注意認(rèn)真檢查，同時(shí)注意討論直線方程的特殊情況，屬難題二、填空題13是虛數(shù)單位,則的值為_(kāi).【答案】【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算出，再根據(jù)求模的法則計(jì)算即可得出【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14已知“”是假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】求出命題的否定，由原命題為假命題，得命題的否定為真命題，參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)求在所給區(qū)間上的最小值.【詳解】解：由題意可知，是真命題對(duì)恒成立，令令則；令

10、則；即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.15，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別為曲線，的離心率，為曲線，的一個(gè)公共點(diǎn)，若，且，則_.【答案】【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在在第一象限，設(shè)，在中，由余弦定理可得：，進(jìn)而得到，根據(jù)范圍可得到結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的方程為，（，），半焦距為，橢圓的方程為（），半焦距為，不妨設(shè)點(diǎn)在在第一象限，設(shè)，在中，由余弦定理可得：，兩邊同時(shí)除以，得，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線離心率的綜合，通過(guò)計(jì)算得到是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯思維能力，屬于?？碱}.16設(shè)是

11、等比數(shù)列，公比，為的前n項(xiàng)和，記'，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則_【答案】4【解析】略三、解答題17若復(fù)數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)（1）是實(shí)數(shù)；（2）是純虛數(shù)；（3）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.【答案】(1)m=2或m=-1 (2)m=-3 (3)m范圍【解析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的分類條件可求出的值;（2）根據(jù)純虛數(shù)的條件可得出結(jié)果;（3）利用復(fù)數(shù)的幾何意義,轉(zhuǎn)化為的不等式,即可求的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí),解得或,所求的值為或;（2）當(dāng)是純虛數(shù)時(shí),解得,所求的值為;（3）當(dāng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限時(shí),解得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類,以及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合思想,屬于基本

12、題.18已知拋物線：的焦點(diǎn)，上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5（1）求的方程；（2）過(guò)作直線，交于，兩點(diǎn)，若直線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線的方程【答案】（1）（2）【解析】法一：利用已知條件列出方程組，求解即可法二：利用拋物線的準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義列出方程，求解即可法一：由可得拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，求出線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，得到直線的斜率，求出直線方程法二：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求出即可【詳解】法一:拋物線: 的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由已知解得或,的方程為. 法二:拋物線的準(zhǔn)線方程為由拋物線的定義可知解得的方程為. 2.法一:由(1

13、)得拋物線c的方程為,焦點(diǎn)設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則 兩式相減,整理得線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為直線的斜率直線的方程為即分法二:由(1)得拋物線的方程為,焦點(diǎn)設(shè)直線的方程為由消去,得設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為解得直線的方程為即【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線相交的綜合問(wèn)題，對(duì)于涉及到中點(diǎn)弦的問(wèn)題，一般采用點(diǎn)差法能直接求出未知參數(shù)，或是將直線方程設(shè)出，設(shè)直線方程時(shí)要注意考慮斜率的問(wèn)題，此題可設(shè)直線的方程為，就不需要考慮斜率不存在，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用條件列出等量關(guān)系，求出未知參數(shù)19設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿足：對(duì)任意的nn，都有an+1+sn+11，又a1（1）

14、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）令bnlog2an，求（nn）【答案】(1) an；(2)【解析】（1）利用公式化簡(jiǎn)得到，計(jì)算，得到答案.（2）計(jì)算得到，利用裂項(xiàng)求和計(jì)算得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，由an+1+sn+11，則有an+sn1，（n2）得：2an+1an，即an+1an，又由a1，當(dāng)n1時(shí)，有a2+s21，即a2+（a1+a2）1，解可得a2，則所以數(shù)列an是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，故an；（2）由（1）的結(jié)論，an，則bnlog2ann，則（1）+（）+（）1【點(diǎn)睛】本題考查了求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法計(jì)算前項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式的綜合應(yīng)用.20如圖，四棱錐的底面是直角梯

15、形，是的中點(diǎn)，.（）證明：平面； （）求二面角的大??； （）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線平面. 若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（）見(jiàn)證明；（）；（）見(jiàn)解析【解析】（i）依題意易得兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系通過(guò),證得平面.（ii）通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量，由此計(jì)算出面面角的余弦值，進(jìn)而求得二面角的大小.（iii）設(shè)出的坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，求出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)，由此判斷出點(diǎn)的位置.【詳解】（）因?yàn)?平面.所以，又. 如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系由題意得所以,. 所以,所以,所以平面. （）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)? 所以，即，令，則.于是.

16、 因?yàn)槠矫?，所以為平面的法向量，?所以.因?yàn)樗蠖娼菫殁g角，所以二面角大小為.（）解：設(shè)，. 設(shè)平面的法向量，則，即 ，令，. 于是，如果直線平面，那么，解得 .所以，存在點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，使得直線平面.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用空間向量法證明線面垂直，考查利用空間向量法求面面角的大小，考查利用空間向量法確定點(diǎn)的位置，屬于中檔題.21已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，該橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.（i）求橢圓的方程；（）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)）且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；并求出斜率的取值范圍.【答案】（i）；（）證明見(jiàn)解

17、析，.【解析】（i）根據(jù)橢圓離心率求得，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得的值，進(jìn)而求得的值和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（ii）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，得到，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式.設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)，寫出韋達(dá)定理和判別式，將韋達(dá)定理得到的式子代入，化簡(jiǎn)后可求得直線所過(guò)定點(diǎn).根據(jù)判別式，求得的取值范圍.【詳解】（）解：橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，即有，即，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓方程為，直線與圓相切，則有，即有，則橢圓c的方程為；（）證明：設(shè)，由，可得直線和關(guān)于x軸對(duì)稱即有，即，即有，設(shè)直線，代入橢圓方程，可得，判別式，即為，代入可得，將代入，化簡(jiǎn)可得，則直線的方程為，即即有直線恒過(guò)定點(diǎn)將代入，可得，解得或則直線的斜率的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的運(yùn)用，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件.考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算