數(shù)學專題講座.ppt

1、（一）（一） 春秋前中國春秋前中國 數(shù)學的萌芽數(shù)學的萌芽 最早的計數(shù)法最早的計數(shù)法十進位值制計數(shù)法十進位值制計數(shù)法（算籌記數(shù)法）（算籌記數(shù)法） 最古老的計算工最古老的計算工具：算籌具：算籌 （二）（二） 戰(zhàn)國至兩漢戰(zhàn)國至兩漢 中國數(shù)學框架的確立中國數(shù)學框架的確立 九章算術(shù)九章算術(shù) 張倉（？前張倉（？前152年）年） 耿壽昌（前耿壽昌（前1世紀）世紀） 九章算術(shù)九章算術(shù)九章算術(shù)九章算術(shù)衰(音崔cui)（三）（三） 魏晉至唐初魏晉至唐初 中國數(shù)學理論體系的中國數(shù)學理論體系的建立建立 早在公元早在公元263年年劉徽劉徽的的注注九章九章中論證了中論證了九章九章的公式、解法，在圓面積公的公式、解法，在圓

2、面積公式和錐體體積公式的證明中式和錐體體積公式的證明中引入了無窮小分割原理和極引入了無窮小分割原理和極限思想，首創(chuàng)了求圓周率的限思想，首創(chuàng)了求圓周率的正確方法，探索出求球體積正確方法，探索出求球體積的正確途徑，使用了大量類的正確途徑，使用了大量類比、歸納推理和演繹推理。比、歸納推理和演繹推理。 算籌與圓周率算籌與圓周率算籌為人類文明做出過巨大貢算籌為人類文明做出過巨大貢獻，我國古代著名的數(shù)學家祖獻，我國古代著名的數(shù)學家祖沖之，就是借助算籌計算出圓沖之，就是借助算籌計算出圓周率的值介于周率的值介于3.1415926和和3.1415927之間；中國古代的之間；中國古代的天文學家也運用算籌，總結(jié)出天

3、文學家也運用算籌，總結(jié)出了精密的天文歷法。了精密的天文歷法。 綴術(shù)綴術(shù) 祖沖之（祖沖之（429500）父子撰）父子撰 l圓周率算法圓周率算法l球體積推導球體積推導l三次方程問題三次方程問題l球體積球體積(祖暅祖暅)算盤算盤中國人發(fā)明算盤中國人發(fā)明算盤 中國人發(fā)明了算盤，它結(jié)合了中國人發(fā)明了算盤，它結(jié)合了十進制計數(shù)法和一整套計算口訣并十進制計數(shù)法和一整套計算口訣并一直沿用至今，被許多人看作是最一直沿用至今，被許多人看作是最早的數(shù)字計算機早的數(shù)字計算機 周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)海島算經(jīng)海島算經(jīng)劉徽劉徽（生于公元（生于公元250年左右），是中國數(shù)學年左右），是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)學家，在世界數(shù)學史上

4、一個非常偉大的數(shù)學家，在世界數(shù)學史上，也占有杰出的地位他的杰作史上，也占有杰出的地位他的杰作九九章算術(shù)注章算術(shù)注和和海島算經(jīng)海島算經(jīng)，是我國最寶，是我國最寶貴的數(shù)學遺產(chǎn)貴的數(shù)學遺產(chǎn) 唐朝在數(shù)學教育方面有長足的發(fā)唐朝在數(shù)學教育方面有長足的發(fā)展。展。656年國子監(jiān)設(shè)立算學館，設(shè)有年國子監(jiān)設(shè)立算學館，設(shè)有算學博士和助教，由太史令李淳風等算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋人編纂注釋算經(jīng)十書算經(jīng)十書包括包括周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)、九章算術(shù)九章算術(shù) 海島算經(jīng)海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)孫子算經(jīng) 張丘建算經(jīng)張丘建算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)夏侯陽算經(jīng) 緝古算經(jīng)緝古算經(jīng)、五曹算經(jīng)五曹算經(jīng) 五經(jīng)算術(shù)五經(jīng)算術(shù)、綴術(shù)綴術(shù)，作為算學館學

5、生用的課本。對保存古作為算學館學生用的課本。對保存古代數(shù)學經(jīng)典起了重要的作用。代數(shù)學經(jīng)典起了重要的作用。 李淳風李淳風 (公元公元604-672年年) 唐代岐州雍人唐代岐州雍人(今陜西風翔今陜西風翔)宋元全盛時期宋元全盛時期 楊輝三角楊輝三角”又稱為又稱為“賈憲三角賈憲三角”在西方，在西方，稱為稱為“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”賈憲比帕斯卡早賈憲比帕斯卡早600年左右，楊輝比帕斯卡早年左右，楊輝比帕斯卡早400多年多年中國南宋時期杰出的數(shù)學中國南宋時期杰出的數(shù)學家和數(shù)學教育家家和數(shù)學教育家 楊輝楊輝秦九韶（秦九韶（1202-1261年）年） 創(chuàng)造了創(chuàng)造了大衍求大衍求1術(shù)術(shù)（整數(shù)論中的（整數(shù)論中的

6、一次同余式求解法）。不僅在當一次同余式求解法）。不僅在當時處于領(lǐng)先地位，在近代數(shù)學和時處于領(lǐng)先地位，在近代數(shù)學和現(xiàn)代電子計算設(shè)計中，也起到重現(xiàn)代電子計算設(shè)計中，也起到重要的作用，被稱為要的作用，被稱為中國剩余定理中國剩余定理。他所論的。他所論的正負開方術(shù)正負開方術(shù)（數(shù)學（數(shù)學高次方程根法），被稱為高次方程根法），被稱為秦九韶秦九韶程序程序?，F(xiàn)在世界各國從小學、中?，F(xiàn)在世界各國從小學、中學、大學的數(shù)學課程，幾乎都接學、大學的數(shù)學課程，幾乎都接觸到他的定理、定律、解題原則。觸到他的定理、定律、解題原則。 西學輸入時期西學輸入時期徐光啟（徐光啟（1562-1633），）， 上海徐上海徐家匯（今屬上海

7、市）人，他是明家匯（今屬上海市）人，他是明末著名的科學家，第一個把歐洲末著名的科學家，第一個把歐洲先進的科學知識，特別是天文學先進的科學知識，特別是天文學知識介紹到中國，可謂我國近代知識介紹到中國，可謂我國近代科學的先驅(qū)者?？茖W的先驅(qū)者。 梅文鼎梅文鼎（16331721年），是清代年），是清代具有世界影響的天文學家、數(shù)學家，具有世界影響的天文學家、數(shù)學家，宣城數(shù)學學派的奠基人。清宣城（今宣城數(shù)學學派的奠基人。清宣城（今安徽宣州市）人安徽宣州市）人 梅文鼎幼時注意觀察天象，梅文鼎幼時注意觀察天象，27歲起，始治數(shù)歲起，始治數(shù)學、歷法，終身潛心學術(shù)。后接觸西方書籍?？祵W、歷法，終身潛心學術(shù)。后接觸

8、西方書籍?？滴跄觊g進京，以學識為康熙帝賞識，曾系統(tǒng)考察熙年間進京，以學識為康熙帝賞識，曾系統(tǒng)考察古今中外歷法，又介紹歐洲數(shù)學，研究中西歷算。古今中外歷法，又介紹歐洲數(shù)學，研究中西歷算。其間，為其間，為明史明史館校訂館校訂歷志歷志舛錯舛錯10余處，余處，撰成撰成明史歷志擬稿明史歷志擬稿。近人稱梅文鼎和日本的。近人稱梅文鼎和日本的關(guān)孝和、英國的牛頓為關(guān)孝和、英國的牛頓為“當時世界的三大數(shù)學當時世界的三大數(shù)學家家”，著有，著有方田通法方田通法、方程論方程論。 近現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展時期近現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展時期 陳省身陳省身 數(shù)學家，美國國籍數(shù)學家，美國國籍 。曾獲美國國家科。曾獲美國國家科學獎學獎(1975)，沃

9、爾夫數(shù)學獎，沃爾夫數(shù)學獎(1984)等。等。1994年當選為中國科學院外籍院士。陳省年當選為中國科學院外籍院士。陳省身是身是20世紀的偉大幾何學家，在微分幾何世紀的偉大幾何學家，在微分幾何方面的成就尤為突出，被世人稱為方面的成就尤為突出，被世人稱為“微分微分幾何之父幾何之父”。丘成桐丘成桐，1949年生年生,廣東汕頭人廣東汕頭人,1969年畢業(yè)于香港中文大學數(shù)學系年畢業(yè)于香港中文大學數(shù)學系,22歲獲歲獲博士學位博士學位,27歲因證明世界數(shù)學難題卡歲因證明世界數(shù)學難題卡拉比猜想而引起轟動拉比猜想而引起轟動,華人中惟一獲得華人中惟一獲得被稱為世界數(shù)學領(lǐng)域的諾貝爾獎的菲被稱為世界數(shù)學領(lǐng)域的諾貝爾獎的

10、菲爾茲獎爾茲獎,美國哈佛大學講座教授美國哈佛大學講座教授,中科中科院外籍院士院外籍院士,美國科學院院士美國科學院院士,中科院中科院晨興數(shù)學研究中心、浙江大學數(shù)學研晨興數(shù)學研究中心、浙江大學數(shù)學研究中心主任究中心主任,香港中文大學數(shù)學研究所香港中文大學數(shù)學研究所所長。所長。 數(shù)學界的戰(zhàn)略科學家數(shù)學界的戰(zhàn)略科學家中科院院士中科院院士吳文俊吳文俊 吳文俊在拓撲學、自動推理、機吳文俊在拓撲學、自動推理、機器證明、代數(shù)幾何、中國數(shù)學史、對器證明、代數(shù)幾何、中國數(shù)學史、對策論等研究領(lǐng)域均有杰出的貢獻，在策論等研究領(lǐng)域均有杰出的貢獻，在國內(nèi)外享有盛譽。國內(nèi)外享有盛譽。 他在拓撲學的示性類、示嵌類的他在拓撲學

11、的示性類、示嵌類的研究方面取得一系列重要成果，是拓研究方面取得一系列重要成果，是拓撲學中的奠基性工作，并有許多重要撲學中的奠基性工作，并有許多重要應用。他創(chuàng)立的應用。他創(chuàng)立的“吳文俊方法吳文俊方法”在國在國際機器證明領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響，有際機器證明領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響，有廣泛的重要的應用價值。廣泛的重要的應用價值。 華羅庚華羅庚（hua loo-keng，公元，公元1910年年11月月12日日公元公元1985年年6月月12日）是近代世界有名的日）是近代世界有名的中國數(shù)學家。對數(shù)學的貢獻是多方面的，在數(shù)中國數(shù)學家。對數(shù)學的貢獻是多方面的，在數(shù)論中，他解決了高斯完整三角和的估計，對華論中，他解決了高

12、斯完整三角和的估計，對華林問題、塔里問題的結(jié)果做出了重大推進。他林問題、塔里問題的結(jié)果做出了重大推進。他在圓法與三角和估計法方面的結(jié)果長期居世界在圓法與三角和估計法方面的結(jié)果長期居世界領(lǐng)先地位。他的著作領(lǐng)先地位。他的著作堆壘素數(shù)論堆壘素數(shù)論、數(shù)論數(shù)論導引導引及與王元合著的及與王元合著的數(shù)論在近似分析中的數(shù)論在近似分析中的應用應用等都已成為經(jīng)典著作。華羅庚在復分析等都已成為經(jīng)典著作。華羅庚在復分析和典型群方面也有許多工作，其中論文和典型群方面也有許多工作，其中論文典型典型域上的多元復變量函數(shù)論域上的多元復變量函數(shù)論被國際學術(shù)界稱為被國際學術(shù)界稱為華氏定理。華氏定理。 陳景潤陳景潤，中國現(xiàn)代數(shù)學家

13、，世界著名解析數(shù)中國現(xiàn)代數(shù)學家，世界著名解析數(shù)論學家之一。論學家之一。 1966年，陳景潤攻克了世界年，陳景潤攻克了世界著名數(shù)學難題著名數(shù)學難題“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”中的中的(1+2)，創(chuàng)造了距摘取這顆數(shù)論皇冠上的明珠創(chuàng)造了距摘取這顆數(shù)論皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遙的輝煌。他在哥德巴赫猜想的只是一步之遙的輝煌。他在哥德巴赫猜想的研究上居世界領(lǐng)先地位。他研究哥德巴赫猜研究上居世界領(lǐng)先地位。他研究哥德巴赫猜想和其他數(shù)論問題的成就，至今，仍然在世想和其他數(shù)論問題的成就，至今，仍然在世界上遙遙領(lǐng)先。世界級的數(shù)學大師、美國學界上遙遙領(lǐng)先。世界級的數(shù)學大師、美國學者阿者阿 威爾威爾(a we

14、il)曾這樣稱贊他：曾這樣稱贊他：“陳景陳景潤的每一項工作，都好像是在喜馬拉雅山山潤的每一項工作，都好像是在喜馬拉雅山山巔上行走。巔上行走?！?陳景潤于陳景潤于1978年和年和1982年兩年兩次收到國際數(shù)學家大會請他作次收到國際數(shù)學家大會請他作45分鐘報告的分鐘報告的邀請，這是中國人的自豪和驕傲邀請，這是中國人的自豪和驕傲 大約公元前世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導致了畢達哥拉斯大約公元前世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為 四藝

15、四藝 ，在其中追求宇宙，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或的和諧規(guī)律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，整數(shù)之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為的直角三角形就之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的時認識上的

16、危機危機 ，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機。，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機。 到了公元前到了公元前370370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得出現(xiàn)在歐幾里得原本原本第卷中。歐多克斯和狄德金于第卷中。歐多克斯和狄德金于18721872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困

17、難和微妙之處。帶來的某些困難和微妙之處。 第一次數(shù)學危機對古希臘的數(shù)第一次數(shù)學危機對古希臘的數(shù)學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術(shù)無關(guān)，學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。表示出來，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。危機也表明，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，危機也表明，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，從此希臘人開

18、始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數(shù)學思想上的一次巨大革命！這不能不說是數(shù)學思想上的一次巨大革命！ 1818世紀，微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成世紀，微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分數(shù)學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。功的應用，大部分數(shù)學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。 17341734年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表分析學家或者分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言向一個不信正教數(shù)學家的進言，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)- -無窮無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出：小的問題，提

19、出了所謂貝克萊悖論。他指出： 牛頓在求牛頓在求x xn n的導的導數(shù)時，采取了先給數(shù)時，采取了先給x x以增量，應用二項式（以增量，應用二項式（x+0 x+0）n n，從中減去，從中減去x xn n以求得增量，并除以以求出以求得增量，并除以以求出xnxn的增量與的增量與x x的增量之比，然后的增量之比，然后又讓消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾又讓消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)律的手續(xù)先設(shè)先設(shè)x x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x x沒有增沒有增量。量。 他認為無窮小他認為無窮小dxdx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即既

20、等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，去，這是荒謬，dxdx為逝去量的靈魂為逝去量的靈魂 。無窮小量究竟是不是零？。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。導致了數(shù)學史上的第二次數(shù)學危機。達一個半世紀的爭論。導致了數(shù)學史上的第二次數(shù)學危機。 18世紀的數(shù)學思想的確是不嚴密的，直觀的強調(diào)形式的計算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發(fā)散級數(shù)求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續(xù)就進行微分，不考慮導數(shù)及

21、積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。 直到19世紀20年代，一些數(shù)學家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數(shù)學分析奠定了嚴格的基礎(chǔ)。 數(shù)學史上的第三次危機，是由數(shù)學史上的第三次危機，是由18971897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，年的突然沖擊而出現(xiàn)的，到現(xiàn)在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機到現(xiàn)在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合

22、概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學分支，并且實際上集合論成了數(shù)學的概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學分支，并且實際上集合論成了數(shù)學的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學的整個基本基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。 18971897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后，康年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。19021902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾

23、被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于式通俗化。其中最著名的是羅素于19191919年給出的，它涉及到某村年給出的，它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，只給村里這樣的人刮臉。當人們試圖回答刮臉的人刮臉，并且，只給村里這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質(zhì)：下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質(zhì)： 理發(fā)師是否自己理發(fā)師是否自己給自己刮臉？給自己刮臉？ 如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮

24、臉，那么他就不符合他的原則。臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。 羅素悖論使整個數(shù)學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收羅素悖論使整個數(shù)學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的到羅素的信之后，在他剛要出版的算術(shù)的基本法則算術(shù)的基本法則第第卷末尾寫道：卷末尾寫道： 一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎(chǔ)垮掉了，當本書等待印出的即在工作完成之時，它的基礎(chǔ)垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地 。于是終結(jié)了。于是終結(jié)了近近1212年的刻苦鉆研。年的刻苦鉆

25、研。 承認無窮集合，承認無窮基數(shù)，就好像一切災難都出承認無窮集合，承認無窮基數(shù)，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數(shù)學危機的實質(zhì)。盡管悖論可以消除，來了，這就是第三次數(shù)學危機的實質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學的確定性卻在一步一步地喪失。矛盾可以解決，然而數(shù)學的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又現(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學是血肉相連的。所不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質(zhì)上更深刻地以其它形以，第三次危機表面上解決了，實質(zhì)上更深刻地以其它

26、形式延續(xù)著。式延續(xù)著。 畢達哥拉斯學派所倡導的是一種畢達哥拉斯學派所倡導的是一種“唯數(shù)論唯數(shù)論”的哲學，認為的哲學，認為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧性，即一切事物和現(xiàn)象都可歸結(jié)為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧性，即一切事物和現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)的比。但關(guān)于正方形的對角線與其邊長的不可公整數(shù)與整數(shù)的比。但關(guān)于正方形的對角線與其邊長的不可公度線段度線段( (即其長度不能歸結(jié)為整數(shù)的比即其長度不能歸結(jié)為整數(shù)的比) )的存在和證明，使畢氏的存在和證明，使畢氏學派的基本信念遭到了致命的打擊。這一不可公度性的證明學派的基本信念遭到了致命的打擊。這一不可公度性的證明在當時就被認為是悖論，人們稱之為畢達哥拉斯悖論。在當

27、時就被認為是悖論，人們稱之為畢達哥拉斯悖論。 埃利亞學派在世界本質(zhì)問題上認為只有埃利亞學派在世界本質(zhì)問題上認為只有“存存在在”( (神神) )是不生不滅的，它是完整、唯一和不動的。是不生不滅的，它是完整、唯一和不動的。芝諾力圖證明，如果承認芝諾力圖證明，如果承認“多多”和和“運動運動”，就會，就會招致招致“更加可笑的后果更加可笑的后果”，陷入更大的矛盾。在芝，陷入更大的矛盾。在芝諾的論證中，有四個是最著名的，即諾的論證中，有四個是最著名的，即“二分法二分法”、“阿基里斯追龜阿基里斯追龜”、“飛箭飛箭”、“運動場運動場”等，人等，人們稱之為芝諾悖論。們稱之為芝諾悖論。 二分法二分法l“二分法二分

28、法”是這樣陳述的：物體在到達目的是這樣陳述的：物體在到達目的地之前必須先到達全程的一半，要到達全地之前必須先到達全程的一半，要到達全程的一半，就必須到達全程的四分之一，程的一半，就必須到達全程的四分之一，這樣的要求可以無限下去。所以，如果物這樣的要求可以無限下去。所以，如果物體起動了，它永遠到不了終點，或者它根體起動了，它永遠到不了終點，或者它根本動本動 不了。不了。 阿基里斯追龜阿基里斯追龜 阿基里斯是古希臘的長跑健將，但是芝諾說阿基里斯是古希臘的長跑健將，但是芝諾說他永遠也追不上一只烏龜。他永遠也追不上一只烏龜。 如果讓烏龜先行一段路程，那么阿基里斯將永如果讓烏龜先行一段路程，那么阿基里斯

29、將永遠追不上烏龜。烏龜先行了一段距離，阿基里斯遠追不上烏龜。烏龜先行了一段距離，阿基里斯為了趕上烏龜，必須要到達烏龜?shù)某霭l(fā)點為了趕上烏龜，必須要到達烏龜?shù)某霭l(fā)點a。但當。但當阿基里斯到達阿基里斯到達a點時，烏龜已經(jīng)向前進到了點時，烏龜已經(jīng)向前進到了b點。點。而當阿基里斯到達而當阿基里斯到達b點時，烏龜又已經(jīng)到了點時，烏龜又已經(jīng)到了b前面前面的的c點點.依此類推，兩者雖越來越接近，但阿依此類推，兩者雖越來越接近，但阿基里斯永遠落在烏龜?shù)暮竺娑凡簧蠟觚?。基里斯永遠落在烏龜?shù)暮竺娑凡簧蠟觚敗?古典數(shù)學名著古典數(shù)學名著幾何原本幾何原本的第一個注釋者普羅的第一個注釋者普羅克魯斯看到圓的直徑把圓分成兩

30、個半圓，而圓的直徑克魯斯看到圓的直徑把圓分成兩個半圓，而圓的直徑有無窮多，所以他認為半圓的數(shù)目應當是兩倍的無窮有無窮多，所以他認為半圓的數(shù)目應當是兩倍的無窮多。按當時的無窮思想，無窮應當是相等的，于是產(chǎn)多。按當時的無窮思想，無窮應當是相等的，于是產(chǎn)生了生了“一個無窮大等于兩個無窮大一個無窮大等于兩個無窮大”的悖論，被人稱的悖論，被人稱為普羅克魯斯悖論。為普羅克魯斯悖論。 亞里士多德發(fā)現(xiàn)，在兩個同心而半徑不相等的亞里士多德發(fā)現(xiàn)，在兩個同心而半徑不相等的圓周上有相同的點數(shù)，被稱之為亞里士多德悖論，圓周上有相同的點數(shù)，被稱之為亞里士多德悖論，即即“大小不同的兩個圓之周長相等大小不同的兩個圓之周長相等

31、”的悖論。的悖論。l 伽利略注意到，固定兩個半徑不相等的同心圓，伽利略注意到，固定兩個半徑不相等的同心圓，再將其旋轉(zhuǎn)一周，并認為證明了這兩個圓的周長再將其旋轉(zhuǎn)一周，并認為證明了這兩個圓的周長相等的悖論，這是亞里士多德悖論的另一種證明。相等的悖論，這是亞里士多德悖論的另一種證明。同時，伽利略還用今天的一一對應方法證明了同時，伽利略還用今天的一一對應方法證明了“整數(shù)同其平方數(shù)相等整數(shù)同其平方數(shù)相等”，于是得出，于是得出“部分等于部分等于全體全體”的悖論，被人稱為伽利略悖論。的悖論，被人稱為伽利略悖論。l 早在早在16381638 年，意大利天文學家伽利略發(fā)現(xiàn)了這樣年，意大利天文學家伽利略發(fā)現(xiàn)了這樣

32、一個問題，就是：正整數(shù)集合：一個問題，就是：正整數(shù)集合： s1= 1, 2, 3, , n,s1= 1, 2, 3, , n,與正整數(shù)的平方數(shù)集合：與正整數(shù)的平方數(shù)集合： s2= 1, 4, 9, , ns2= 1, 4, 9, , n2 2,這兩個集合中，哪一個的元素更多一些呢？一方面，這兩個集合中，哪一個的元素更多一些呢？一方面，凡是凡是s2s2中的元素，都是中的元素，都是s1s1 中的元素，亦即中的元素，亦即s2s2 是是s1s1的一個子集合，而且是一個真子集合，的一個子集合，而且是一個真子集合，這樣，這樣，s1s1的元素要比的元素要比s2s2的元素多一些，但是，另一方面，的元素多一些，

33、但是，另一方面，s1s1中每一個元素都有中每一個元素都有s2s2中唯一的元素與之對應，中唯一的元素與之對應，這樣這樣s2s2的元素個數(shù)又不比的元素個數(shù)又不比s1s1少了。到底少了。到底s2s2是否比是否比s1s1少呢？伽利略對此困惑不解，許多數(shù)學家也回答不少呢？伽利略對此困惑不解，許多數(shù)學家也回答不了這個問題。了這個問題。 因為伽利略是最早提出來部分究竟等不等于整體因為伽利略是最早提出來部分究竟等不等于整體的，所以這個悖論便稱為是伽利略悖論的，所以這個悖論便稱為是伽利略悖論 在在1717世紀末期產(chǎn)生了牛頓和萊布尼茨的微積分。這個微積分世紀末期產(chǎn)生了牛頓和萊布尼茨的微積分。這個微積分完全以實無窮小為基礎(chǔ)。關(guān)于實無窮小，人們自然地會問：它完全以實無窮小為基礎(chǔ)。關(guān)于實無窮小，人們自然地會問：它到底是零還是非零？如果到底是零還是非零？如果dxdx=0=0，就得出，就得出dy/dxdy/dx=0/0=0/0這一毫無意這一毫無意義的結(jié)果；如果義的結(jié)