2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題考試時(shí)間2011年3月20日9301130滿(mǎn)分150答題時(shí)注意：1、用圓珠筆或鋼筆作答2、解答書(shū)寫(xiě)時(shí)不要超過(guò)裝訂線3、草稿紙不上交。一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分。每道小題均給出了代號(hào)為a、b、c、d的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1、設(shè)，則代數(shù)式的值為（c）a0b1c1d22、對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義有序?qū)崝?shù)對(duì)與之間的運(yùn)算“”為：。如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，那么為（b）。abcd3、已知是兩個(gè)銳角，且滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)所有可能值的和為（c）abc1dabcedf4、如圖，點(diǎn)分別在abc的邊ab

2、，ac上，be，cd相交于點(diǎn)f，設(shè)，則與的大小關(guān)系為（c）abcd不能確定5、設(shè)，則4s的整數(shù)部分等于（a）a4b5c6 d7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分） 6、兩條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)（其中），斜邊長(zhǎng)是的直角三角形的個(gè)數(shù)為31。 7、一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8。同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是。yxcabefo 8、如圖，雙曲線與矩形oabc的邊cb，ba分別交于點(diǎn)e，f且afbf，連接ef，則oef的面積為；9、的三個(gè)不同的內(nèi)接正三角形將分成的區(qū)

3、域的個(gè)數(shù)為。2810、設(shè)四位數(shù)滿(mǎn)足，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為。5三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11、已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程的兩個(gè)根都大1，求的值。 解：設(shè)方程的兩個(gè)根為、，其中、為整數(shù)，且則方程的兩個(gè)整數(shù)根為1、1，由根與系數(shù)關(guān)系得：a，(1)(1)a兩式相加得：2210即(2)(2)3或 解得：或又a()，b，c(1)(1)a0，b1，c2或a8，b15，c6故3或29abchpdq12、如圖，點(diǎn)h為abc的垂心，以ab為直徑的和bch的外接圓相交于點(diǎn)d，延長(zhǎng)ad交ch于點(diǎn)p，求證：點(diǎn)p為ch的中點(diǎn)。證明：如圖，延長(zhǎng)ap交于點(diǎn)q連結(jié)ah，bd，qc，qhab為

4、直徑 adbbdq900bq為的直徑于是cqbc，bhhq點(diǎn)h為abc的垂心 ahbc，bhacahcq，achq，四邊形achq為平行四邊形則點(diǎn)p為ch的中點(diǎn)。13、若從1，2，3，中任取5個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù)，其中總有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，求的最大值。 解：若n49，取整數(shù)1，22，32，52，72，這五個(gè)整數(shù)是五個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù)，但沒(méi)有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，n48，在1，2，3，48中任取5個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù)，若，都不是素?cái)?shù)，則，中至少有四個(gè)數(shù)是合數(shù)，不妨假設(shè)，為合數(shù)，設(shè)，的最小的素因數(shù)分別為p1，p2，p3，p4由于，兩兩互素，p1，p2，p3，p4兩兩不同設(shè)p是p1，p2，p3，p4中的最大數(shù)，則p7因?yàn)?，為合?shù)，所以，中一定存在一個(gè)ajp27249，與n49矛盾，于是，中一定有一個(gè)是素?cái)?shù)綜上所述，正整數(shù)n的最大值為48。14、如圖，abc中，bac60°，ab2ac。點(diǎn)p在abc內(nèi)，且pa，pb5，pc2，求abc的面積。解：如圖，作abq，使得：qabpac，abqacp，acpbqm則abq acp，由于ab2ac，相似比為2于是，aq2 ap2，bq2cp4qapqabbappacbapbac60°由aq：ap2：1知，apq900于是，pqap3bp225bq 2pq 2 從而bqp900作ambq于m，由