專題一因式分解

1、專題一因式分解【要點回顧】因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形在分式運算、解方 程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能.因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式 )外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等.1公式法：由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公 式可以進行因式分解.常用的乘法公式：1 平方差公式： ;2 完全平方和公式： ;3完全平方差公式： .33334 a b =(立方和公式)5 a- b=(立方差公式)例1 (公式法)分解因式

2、：(1) 3a3b -81b4 ；(2) a?-ab62.分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上 的多項式，如 ma mb na nb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，可以先將多項式分 組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.常見題型：(1)分組后能提取公因式(2 )分組后能直接運用公式例2(分組分解法)分解因式：(1) ab(c2 -d2) -(a2 -b2)cd(2) 2x2 4xy 2y2 -8z23 十字相乘法2(1) x (p q)x pq型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其

3、特點是：二次項系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)之積；次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和.2 2J x(pq)xpq =xpx qxpq =x(x p) q(x p) -(x p)(x q),2二 x(pq)xpq =(xp)(x q)運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式.例3(十字相乘法)2(1) x 5x -24把下列各式因式分解:2 x -2x-152 2 x xy - 6y2 2 2(x x) -8(x x) 12(2) 一般二次三項式 ax2 bx c型的因式分解由 QazX2 (qq- a2G)x GC2=(aixy)(a2X-c?)我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)a 分解成 ，常ai

4、 &數(shù)項c分解成c1c2，把a-i,a2,C!,c2寫成a2 C2，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2 - a2C|，如2 2果它正好等于 ax bx c的一次項系數(shù) b，那么ax bx c就可以分解成(qx c1)(a2x q)，其 中位于上一行，a2,C2位于下一行.這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因 式的方法，叫做 十字相乘法.必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二 次三項式能否用十字相乘法分解.例4(十字相乘法)把下列各式因式分解：2 2 2(1) 12x -5x-2 ； 5x6xy-8y4.其它因式分解的

5、方法 其他常用的因式分解的方法：(1) 求根法若關(guān)于x的方程ax bx c = 0(a = 0)的兩個實數(shù)根是 為、X2 ,則二次三項式ax2 bx c(a=0)就可分解為 a(x-xj(x-x2).(2) 配方法(3)拆、添項法例5 (求根法)把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：2 2 2(1) x 2x -1 ；(2) x 4xy-4y .例6 （拆項法）分解因式x3 -3x2 4練習(xí)：1、a312、 -a4 164、3x2 £3、8a3 b3-7 -2 25、 3x 2y - x - y6、- 9(m-n 2 +(m + n f7、x2 + 6x+ 88、x2 -11x 189、x2 5x -62LC10、 x 5x611、x2xy6y2 ；2 212、x 4xy -4y .213、4m -12m 9214、5 7x -6x15、26x 7x 216、4x4 -13x2917、2y2 _4y _6182 212x xy-6y19、(X2 -2x) -7(x-2x) 1220、(x2 x) -8(x2 x) 1221、2 2 2 2x - y a