第2章 空間的平面與直線

1、第第2 2章章 空間的平面與直線空間的平面與直線v2.1 平面和直線的方程v2.2 線性圖形的位置關(guān)系v2.3 平面束v2.4 線性圖形的度量關(guān)系o1e2e3e0rr1v2v0MM 的的方方程程平平行行的的平平面面，且且與與向向量量求求過過和和兩兩個個不不共共線線向向量量，設(shè)設(shè)已已知知點點取取定定一一個個仿仿射射標標架架 21000003212 , 1),(),(,;vvMiZYXvzyxMeeeOiiii共共面面，與與向向量量210),(vvMMzyxM 21021021vvMMvvMMvv 使使得得存存在在唯唯一一的的實實數(shù)數(shù)組組共共面面的的充充要要條條件件，與與不不共共線線與與由由于于2

2、100000vvMMrrMMrrMM 聯(lián)聯(lián)合合式式子子則則的的位位置置向向量量分分別別為為由由于于的向量式參數(shù)方程稱為平面得：210vvrr的的方方位位向向量量稱稱為為平平面面 21vv的的坐坐標標代代入入得得：及及向向量量將將點點),(),(0000iiiiZYXvzyxM 210210210ZZzzYYyyXXxx叫做平面的坐標式參數(shù)方程叫做平面的坐標式參數(shù)方程0),(0),(210210 vvrrvvMM0222111000 ZYXZYXzzyyxx稱為平面的點位式方程稱為平面的點位式方程按第一行展開并進行整理得：按第一行展開并進行整理得：Ax+By+Cz+D=0叫做平面的一般式方程叫做

3、平面的一般式方程221122112211000YXYXCXZXZBZYZYA)CzByAx(D 其其中中的的方方程程的的平平面面求求通通過過三三點點；，已已知知不不共共線線三三點點 321,3 ,2 , 1),(MMMizyxMiiii方方程程的的三三點點式式叫叫做做平平面面01111333222111 zyxzyxzyxzyx叫叫做做平平面面的的截截距距式式方方程程。1xyzabc 解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC).4, 1, 2(A).2, 3, 1(B).3, 2, 0(C平面的矢量參數(shù)方程為：ACABrr 0M平面平面 的坐標參數(shù)方程為：的坐標參數(shù)方程為： 2102102

4、10ZZzzYYyyXXxx 54341232zyx例例 2 2 求過三點求過三點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程. 平面的一般方程為：0222111000 ZYXZYXzzyyxx0132643412 zyx化簡得化簡得. 015914 zyxxyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(

5、zyxMnMM 0必有必有00 nMMn 一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程2.1.2 2.1.2 直角坐標系下的平面方程直角坐標系下的平面方程下一頁返回,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx上一頁下一頁返回例例 1 1 求過三點求過三點)4 , 1, 2( A、)2, 3 ,

6、 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx上一頁下一頁返回例例 2 2 求過點求過點)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解上一頁下一頁返回

7、由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示0 DCzByAx（A,B,C不同時為零）不同時為零）不妨設(shè)不妨設(shè)0 A，則，則 000 zCyBADxA，為一平面，為一平面.上一頁下一頁返回平面一般式方程的幾種特殊情況：平面一般式方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于

8、 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程, 0)4( DBA., 0面面即即有有xoyz 上一頁下一頁返回例例 3 3 設(shè)平面過原點及點設(shè)平面過原點及點)2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA

9、,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解上一頁下一頁返回例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解上一頁下一頁返回,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距xy

10、zoabc上一頁下一頁返回例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個個單單位位的的平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解上一頁下一頁返回,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程

11、為所求平面方程為或或. 666 zyx上一頁返回xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L（注：兩平面不平行）（注：兩平面不平行）一一、空間直線的一般方程、空間直線的一般方程2.1.3 2.1.3 空間直線的方程空間直線的方程下一頁返回xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0

12、000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/),(pnms ,0000zzyyxxMM 二、空間直線的對稱式方程二、空間直線的對稱式方程pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程（點向式方程）（點向式方程）上一頁下一頁返回, ,: :pzznyyxx,p,nm0000000 時時，方方程程仍仍然然寫寫為為為為零零時時，比比如如當當方方向向向向量量的的某某個個坐坐標標注注, ,時時，方方程程也也仍仍然然寫寫為為標標為為零零時時，比比如如當當方方向向向向量量的的某某兩兩個個坐坐pzzyyxx,p,nm00000000 pzznyyxx0000線線此此時時理理解解為為二二

13、平平面面的的交交( (考考慮慮其其幾幾何何意意義義) )理理解解為為交交線線 0000yyxx上一頁下一頁返回因此因此,所求直線方程為所求直線方程為 22121 zyx例例1 1 求過點求過點(1,0,-2)且與平面且與平面3x+4y-z+6=0平行平行,又與直又與直線線 垂直的直線方程垂直的直線方程.14213zyx 解解: 設(shè)所求線的方向向量為設(shè)所求線的方向向量為, s已知平面的法向量已知平面的法向量),1, 4 , 3( n已知直線的方向向量已知直線的方向向量 ,1 ,4 , 11 s取取1sns 1411431kjisns 2 , 1,248 ,4,8 上一頁下一頁返回三、空間直線的參

14、數(shù)式方程三、空間直線的參數(shù)式方程直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000方向向量的余弦稱為直方向向量的余弦稱為直線的線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程pzznyymxx000 由由直線的對稱式方程直線的對稱式方程上一頁下一頁返回例例2 2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標點坐標),2, 0 , 1( 上一頁下一頁返回因所求直線與兩平面的法向量

15、都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx得參數(shù)方程得參數(shù)方程.3241 tztytx,321041tzyx 令令上一頁下一頁返回例例 3 3 一一直直線線過過點點)4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx.44223 zxy或或上一頁返回定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的

16、夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 2.2.1 2.2.1 兩平面的相關(guān)位置兩平面的相關(guān)位置下一頁返回按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 上一頁下一頁返回例例1 1 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系

17、：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 上一頁下一頁返回)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.上一頁返回定義定義直線和它在平面上的投影直線

18、的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns,2),( ns 0.2 2.2.2 2.2.2 直線與平面的相關(guān)位置直線與平面的相關(guān)位置下一頁返回222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm.2cos 2cossin上一頁下一頁返回解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmCBACpB

19、nAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角上一頁下一頁返回直線與平面的交點直線與平面的交點0000 xxyyzzLmnpAxByCzDLL設(shè)設(shè)直直線線 ：, ,平平面面：與與不不平平行行， 求求 與與的的交交點點. .：解解題題步步驟驟點點坐坐標標。的的參參數(shù)數(shù)方方程程，即即可可得得交交入入. .代代Lt03, ,的的值值的的方方程程，求求得得. .代代入入平平面面02tt的的參參數(shù)數(shù)方方程程：. .寫寫出出L1ptzznt,yymt,xx 000上一頁下一頁返回分析分析: : 關(guān)鍵是求得直線上另外關(guān)鍵是求得直線上另外一個點一個點 M M1 1.

20、M. M1 1在過在過M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一個平面的一個平面P P1 1上上, ,待求直線又與已知直線相交待求直線又與已知直線相交, ,交點既在交點既在P P1 1上上, ,又在又在 L L上上, ,因此是因此是L L與與P P1 1的交點的交點. . 例例2 2 求過點求過點 M (-1,2,-3), 且平行于平面且平行于平面 ,532131: zyxL, 01326: zyxP又與直線又與直線相交的直線方程相交的直線方程.解解 過過M作平行于作平行于 平面平面 P 的一個平的一個平P1 PMLP1M1 上一頁下一頁返回求平面求平面 P1與已知直線與已知直線 L的交點

21、的交點 tzyxzyx53213101326) ), ,( (，31101,Mt 解解得得),6 , 3, 2(1 MMs633221 zyxP1: 0)3(3)2(2)1(6 zyx01326 zyx即即P1:上一頁返回定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx ),cos(),cos(2121 ssLL兩直線的方向向量的夾角稱之為該兩直兩直線的方向向量的夾角稱之為該兩直線的夾角線的夾角.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式222222212121212121|pnmpnmppnnmm ),cos(21LL 2.2.3

22、2.2.3 空間兩直線的相關(guān)位置空間兩直線的相關(guān)位置下一頁返回兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21/)2(LL,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即上一頁下一頁返回解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為),(pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ),1, 3, 4( .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程上一頁下一頁返回解解先作一過點先作一過點M且與已知且與已知直線

23、垂直的平面直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx MNL 上一頁下一頁返回代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN)373, 1713, 272( ),724,76,712( 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx上一頁返回(plane pencil)我們把空間中過同一條直線我們把空間中過同一條直線L的一切平面的集合的一切平面的集合叫做有軸的平面束，叫做有軸的平面束，l叫做平面束的軸

24、叫做平面束的軸我們把空間中平行于同一平面的一切平面的集合我們把空間中平行于同一平面的一切平面的集合叫做平行平面束叫做平行平面束確定，確定， 0022221111DzCyBxADzCyBxA由由方方程程組組：設(shè)設(shè)直直線線定定理理L1.,222111不不成成比比例例與與其其中中系系數(shù)數(shù)CBACBA則三元一次方程：則三元一次方程：0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA的的任任意意常常數(shù)數(shù)，為為不不同同時時為為，其其中中0 是過直線是過直線L的平面束方程的平面束方程0:0:2222211111 DzCyBxADzCyBxA0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA的的任

25、任意意常常數(shù)數(shù)，為為不不同同時時為為，其其中中的的平平面面束束，表表示示平平行行兩兩個個平平面面0,21 定理定理2 2：設(shè)下列方程為二平行平面的方程：設(shè)下列方程為二平行平面的方程001 CzByAxDCzByAx任意實數(shù)）任意實數(shù)）寫為（寫為（平行平面束的方程可以平行平面束的方程可以決定的決定的：由平面：由平面推論推論0:0:0:333332222211111 DzCyBxADzCyBxADzCyBxA命題命題1 1：三個平面：三個平面交于一點的充分必要條件是：交于一點的充分必要條件是：0333222111 CBACBACBA例例1 1解解.02:01012:上的投影直線的方程上的投影直線的

26、方程在平面在平面求直線求直線 zyxzyxzyxL的的平平面面束束方方程程為為過過直直線線 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程將將 . 013 zyx得得所求投影直線方程為所求投影直線方程為.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 的的平平面面軸軸上上有有相相同同的的非非零零截截距距軸軸和和并并且且在在的的交交線線，與與，求求過過平平面面例例zyzyxzyx02401222 012271, 3 zyx所所求求平平面面是是：因因此此可可取取：也

27、也就就是是線線的的平平面面可可以以表表示示成成：解解：過過給給定定的的兩兩平平面面交交0)24()122( zyxzyx02)42()()2( zyx02,42 條件是條件是軸上有相同非零截距的軸上有相同非零截距的軸和軸和它在它在zyxyzoL 0000,zyxP dsP1 ,pnms 0000,zyxP是是L外一點外一點,設(shè)直線設(shè)直線L,求求P0到到L的距離的距離d . 設(shè)設(shè) 為為L上上任一點，如圖任一點，如圖 1111,zyxPS,ds S又又,01sPP 于是于是sPP 01ds .01ssPPd 點到直線的距離公式點到直線的距離公式2.4.1 2.4.1 點到直線的距離點到直線的距離下

28、一頁返回例例 求點求點(5,4,2)到直線到直線113321 zyx的距離的距離d.解解 ,1,3,2,1 ,3, 1,2,4 ,510 sPP取取 ,1, 1,601 PP則則 ,14132222 s 16, 8, 413211601 kjisPP則則 .6214168422201 ssPPd上一頁返回 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz 外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P nnePPPPj 0101Pr,10101001zzyyxxPP 解解2.4.2 2.4.2 點到平面的距離點到平面的距離

29、下一頁返回 222222222,CBACCBABCBAAen222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx nnePPPPj 0101Pr上一頁下一頁返回0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式上一頁下一頁返回間間的的距距離離. .求求兩兩平平面面4363, 121zyxyxz 例例, ,解解)363),121(21 ,n,n( (. .先先判判斷斷兩兩平平面面是是否否平平行行./3162

30、3121nn 在第一個平面內(nèi)任取一點，比如（在第一個平面內(nèi)任取一點，比如（0，0，1），），.6373634130603222 )(d上一頁返回2.4.3 兩直線之間的距離兩直線之間的距離定義：定義： 空間兩直線上的點之間的最短距離叫做空間兩直線上的點之間的最短距離叫做這兩條異面直線的距離這兩條異面直線的距離. .異面直線的距離公式：異面直線的距離公式：設(shè)異面直線設(shè)異面直線:1l111111ZzzYyyXxx 222222ZzzYyyXxx :2l 1v1l2M1M2v2l1N2N0l|)(212121vvvvMMd 異面直線的距離為：異面直線的距離為：之之間間的的距距離離。與與就就是是的的公

31、公垂垂線線的的長長與與：兩兩條條異異面面直直線線命命題題21211llll定義：定義：與兩條異面直線都垂直的直線與兩條異面直線都垂直的直線叫做這兩叫做這兩條異面直線的公垂線條異面直線的公垂線. .異面直線的公垂線方程：異面直線的公垂線方程：. . 0),(0),(21222111vvvrrvvvrr 1v1l2M1M2v2l1N2N0l寫成坐標形式表示為：寫成坐標形式表示為： 00222222111111ZYXZYXzzyyxxZYXZYXzzyyxx的的方方向向數(shù)數(shù)的的三三個個分分量量，即即為為、其其中中l(wèi)vvZYX21 例例4 4 已知兩直線已知兩直線:1l0111zyx011111zyx

32、:2l試證明兩直線為異面直線，并求它們間的距離和公垂線試證明兩直線為異面直線，并求它們間的距離和公垂線方程方程. .解由已知得：解由已知得：)0,1,1(1s)0,1 ,1(2s)1,0,0(1M)1 ,1 ,1(2M于是有：于是有：0011011211),(2121ssMM 224|)(212121ssssMMd0),(2111sssMM0),(2112sssMM公垂線方程為：公垂線方程為：即即0 yx0 yx或或0 x0y交交于于一一點點的的條條件件。，推推導導三三平平面面例例3 , 2 , 1, 0:5 iDzCyBxAiiiii定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平

33、面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 1、兩平面的夾角、兩平面的夾角（四）角度（四）角度按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例6 6解法（解法（1）)2 , 2 , 2(21 MM垂直垂直及及)3 , 2 , 1(21 nMM所求平面的法向量與所求平面的法向量與求其方程.求其方程.垂直于垂直于且且和和一平面經(jīng)過點一平面經(jīng)過點, 0532)5 , 1 , 4()3 , 1, 2(21 yyxMM)2, 4 , 2(22232121 kjiMMn取為取為0)3(2)1(4)2(2 zyx所求平面方程為：所求平面方程為：072 zyx即即)2(解法解法，),( CBAn 設(shè)所求平面法向量為設(shè)所求平面法向量為 2111 )3 , 2 , 1( MMnnnn）（則則 0320222CBACBACBCA2, 得得：所求平面方程為所求平面方程為0)3()1()2( zCyBxA0)3()1(2)