三角函數(shù)、三角變換、解三角形

1、三角變換、三角函數(shù)、解三角形一 知識(shí)梳理1.三角變換公式（掌握其形成的過(guò)程，結(jié)構(gòu)特征及作用）（1）同角公式作用（2）誘導(dǎo)公式：簡(jiǎn)記：作用：變角（3）和、差公式：:特征：先正余積后余正積中間符號(hào)成正比： 特征：先余積后正積中間符號(hào)成反比：特征：作用（會(huì)正用，逆用，變形用） （4）倍角公式作用注：三角變換就是統(tǒng)一角（變角），統(tǒng)一名（變名），統(tǒng)一（變）結(jié)構(gòu)的過(guò)程。 2.三角函數(shù)（1）（2）畫(huà)法：五點(diǎn)作圖法單調(diào)性、周期性、最值（注意角的范圍，數(shù)形結(jié)合法）、對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸的求法圖像變換：注意：變換前后函數(shù)解析式必須為同名的“三個(gè)一結(jié)構(gòu)”：逆向思維：由局部圖像求解析式3.正弦定理、余弦定理（1）正弦定理

2、：（2）余弦定理作用：注：可解的三角形滿(mǎn)足的條件斜三角形（3）三角部分高考常考題型及解法題型一：三角求值問(wèn)題類(lèi)型1：無(wú)條件求值解法：通過(guò)三角變換使待求式出現(xiàn)例：求下列各式的值類(lèi)型2：條件求值型（）已知一個(gè)或兩角的三角函數(shù)值，求另一相關(guān)角的三角函數(shù)值解法：先找到待求式中相關(guān)角與該角的關(guān)系（和，差，倍半，補(bǔ)，余關(guān)系），再選用相應(yīng)三角變換公式求解例：（2011遼寧）設(shè)sin，則 A(A) (B) (C) (D)（2011浙江）若，則 C （A） （B） （C） （D）練習(xí)1：已知2:已知型（）已知三角函數(shù)值或式子的值，求另一三角函數(shù)式的值解法：例1.（1）已知（2）（2011新課標(biāo)）（3）（2011

3、重慶）已知，且，則的值為_(kāi)（4）（2011江蘇）已知 則的值為_(kāi)解析：例2.（1）（2008山東）已知，則的值是C（A）-（B） (C)- (D) (2)(2007新課標(biāo))，則（3）（2011天津）已知函數(shù)，（）求的定義域與最小正周期；（）設(shè)，若求的大小型二：函數(shù)解法：首先利用三角變換（變角、變名）將進(jìn)而化成（，再求解例1.（2008山東）已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為（）美洲f（）的值；（）將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)舒暢長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（）f(

4、x)2sin(-)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因?yàn)?，且xR,所以cos（-）0.又因?yàn)?，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由題意得故f(x)=2cos2x.因?yàn)椋ǎ(x)的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象. 當(dāng)2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減. 因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)例2.（2010山東）

5、 已知函數(shù)，其圖像過(guò)點(diǎn)。（）求的值；() 將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的最大值和最小值。例3.若函數(shù)（1）求拓展：已知，若求：的單調(diào)遞減區(qū)間練習(xí)：（2011北京）已知函數(shù)。（）求的最小正周期：（）求在區(qū)間上的最大值和最小值?！窘馕觥浚海ǎ┮?yàn)樗缘淖钚≌芷跒椋ǎ┮驗(yàn)橛谑?，?dāng)時(shí)，取得最大值2；當(dāng)取得最小值1型三（一）類(lèi)型1：已知兩角或其三角函數(shù)值大小，求第三角的三角函數(shù)值解法：利用同角公式求出兩角的另一弦函數(shù)值，再由內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、和差公式求第三角三角函數(shù)值。類(lèi)型2：利用正余弦定理，解決實(shí)際問(wèn)題解法：（1）畫(huà)出正確示意圖（2）標(biāo)出已知，待

6、求量，并構(gòu)造可解三角形（3） 可解三角形 （4）回歸例1.（2010陜西） 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？例2.（2007山東）已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為（）美洲f（）的值；（）將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)舒暢長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g

7、(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（）f(x)2sin(-)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因?yàn)?，且xR,所以cos（-）0.又因?yàn)?，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由題意得故f(x)=2cos2x.因?yàn)椋ǎ(x)的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象. 當(dāng)2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減. 因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

8、間為(kZ)類(lèi)型3：利用利用正余弦定理及面積公式，邊角面積的（涉及到邊與角）解法：據(jù)已知及待求，選擇正（）進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化例1（2011山東） 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，（）求的值；（）若，求的面積S。類(lèi)型4：的定形問(wèn)題解法：利用正余弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化型四：三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)與的綜合例1（1）（2010重慶）設(shè)函數(shù)。（I） 求的值域；（II） 記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。（2）（2009山東） 設(shè)函數(shù)。（）求函數(shù)的最大值和最小正周期；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）設(shè)A，B，C為的三個(gè)內(nèi)角，若，且C為銳角，求。解: （1）f(x)

9、=cos(2x+)+sinx.=所以函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）=, 所以, 因?yàn)镃為銳角, 所以,又因?yàn)樵贏BC 中, cosB=, 所以 , 所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .例2（1）（2010廣東）已知函數(shù)在時(shí)取得最大值4。（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若，求。，（2）（2008廣東）已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值解：（1）依題意有，則，將點(diǎn)代入得，而，故；（2）依題意有，而，。(2009山東) 將函數(shù)y=的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得圖像的

10、函數(shù)解析式是 （A）y= （B）y= （C）y=1+ （D）y=（2010山東）（2010山東）（2011山東）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則A. B. C. D. 答案應(yīng)選C。（2012山東）已知向量，函數(shù)的最大值為6.（）求；（）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.求在上的值域.（2012山東）若，則D（A） （B） （C） （D）(2013山東)將函數(shù)ysin(2x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的一個(gè)可能取值為(B)A B C0 D(2013山東)(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值； (2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理得sin A.因?yàn)閍c，所以A為