云南師范大學數(shù)學學院

1、云南師范大學數(shù)學學院教師周教學方案課程名稱：高等幾何任課教師：朱維宗教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第一周第一章：仿射幾何學的基本概念第1.1節(jié)第1.1節(jié)教學方案1.教學內容：（1）緒言（2課時）（2）1.1平行射影與仿射對應（3）仿射不變性與仿射不變量（定理1-定理4）2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：（1）高等幾何學研究的主要內容、方法及射影幾何的意義。（2）平行射影的概念、幾何特征；仿射對應的概念、不變元素與性質。（3）仿射不變性與仿射不變量的概念及主要結論。教學邏輯關系分析：根據(jù)高等幾何的結構以及高等幾何的抽象性、形式化較高的特點，教學基本方式采用格式塔教學理論較好。所謂

2、格式塔教學理論是對每章、每節(jié)先介紹教材設計的整體特點、主要內容，以及各部分的邏輯聯(lián)系；再將內容細化，詳細講解難重點及結構特點；最后進行總結。讓學生對學習情況整體及各部分內容有了較好了解后，“頓悟”教學內容。教材第一章將歐氏幾何利用仿射變換（對應）擴張到仿射幾何，重點是仿射對應的概念、性質、不變性與不變量，其教學對同學學習射影幾何至關重要，在教學過程中將向同學介紹“類比學習”，以期取得較好的效果。3.日期： 2005年 2 月 24日2 月 24日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年2月24日章節(jié)名稱緒言教學關鍵點（1）高等幾何研究的主要內容、基本方法及學習高等幾何的意義（2）幾何變換教

3、學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）愛爾蘭根綱領與幾何學歐氏幾何的研究特點：變換 ：平移、旋轉、反射不變量 ：距離、角度基本元素 ：點研究對象 ：點直線（線段、射線） 三角形（凸）四邊形多邊形圓圓錐曲線仿射幾何的研究特點：變換 ：仿射（平行射影鏈）不變量 ：共線三點的簡比、平行線段的比、圖形面積的比基本元素 ：點、無窮遠點研究對象 ：與同素性、綜合性、簡比有關的命題射影幾何的研究特點：變換 ：射影（中心射影鏈）不變量 ：共線四點（共點四線）的交比基本元素 ：點、直線研究對象 ：與結合性、交比有關的命題教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第二周第一章：仿射幾何學的

4、基本概念第1.2節(jié)第1.4節(jié)教學方案1.教學內容：（1）仿射不變性與仿射不變量（定理5） （2）平面到自身的透視仿射 （3）平面內的一般仿射2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：（1）圖形面積的比是仿射量。（2）平面內的透視仿射由對應軸與其外一對對應點完全決定。（3）平面仿射幾何基本定理。教學邏輯關系分析：本周教學的關鍵是介紹射影幾何處理幾何問題的方法。在1.2節(jié)定理5的證明中，關鍵是介紹教材處理的技巧：“程序教學法”。即將教材分成具有邏輯聯(lián)系的小塊，對每塊進行強化處理。1.3節(jié)教學的關鍵是：教材為何先證明平面到自身的透視仿射？這是邏輯上的需求，需先證明透視仿射的存在，再討論透視仿射的確定

5、才有意義。1.4節(jié)教學的關鍵仍舊是“存在性”與“惟一性”的問題。同時，平面仿射幾何基本定理的處理，仍舊采用程序教學法，以體現(xiàn)知識的產(chǎn)生是由局部累積到整體的過程。本周教學的要求應該是讓學生逐步領悟射影幾何中“綜合法”處理問題的思路、方法和步驟。3.日期： 2005年 3 月 3日3 月 4日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2004年3月3日章節(jié)名稱1.2：仿射不變性與不變量教學關鍵點定理與證明的思路分析教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）定理1.5.在仿射變換下，任何一對對應三角形面積之比是仿射不變量。證明分析：1設T是一透視仿射。先證一個引理：在透視仿射下，任

6、何一對對應點到對應軸距離之比是一個常數(shù)。即方法：設f、g是兩個函數(shù)，若對任意的獨立變量x、y，有故證2設T是仿射教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第三周第一章：仿射幾何學的基本概念 第二章：歐氏平面的拓廣第1.5節(jié)第2.1節(jié)教學方案1.教學內容： （1）平面仿射變換式 （2）仿射變換式的應用 （3）中心投影（透視）與理想元素2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點： （1）平面仿射變換式的推導； （2）平面仿射變換式的應用； （3）中心投影的概念與理想元素的引出，以及引出理想元素后幾何直觀性及觀念的改變。教學邏輯關系分析： 本周教學將結束第一章并引入第二章.在1.5節(jié)教學中重點解決兩個問題

7、：幾何變換在幾何方法上由作圖體現(xiàn)，而在代數(shù)方法上則需先建立坐標系，再由向量的概念導出代數(shù)表達式.仿射變換式的應用，并由此看出射影幾何中“綜合法”與“代數(shù)式”的結合是解決問題的鑰匙。2.1節(jié)是一節(jié)觀念課，為了保留映射的完備性，需約定兩平行線交于“理想點”，兩平行平面交于“理想線”。正是由于理想元素的導入，改變了歐氏幾何的結構。若2.1節(jié)講授得好，同學們能較好的領會“公理化”的思想及“公理化”對數(shù)學的意義。3.日期： 2005年 3 月 10日 11日教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（四）周第二章：歐式平面的拓廣第2.2節(jié)第2.4節(jié)：齊次坐標；對偶原理；復元素教學方案1.教學內容： （1）

8、齊次坐標；（2）對偶原理；（3）復元素2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點： （1）齊次坐標，點坐標與線坐標；（2）對偶原理（含對偶元素，對偶圖形，射影命題及對偶命題）； （3）復元素及其性質。教學邏輯關系分析： 本周教學內容仍屬于“射影觀念”的建立。教學各內容的邏輯關系為：缺一部分其中，學生較難接受的概念是“線坐標”，“射影命題”，“虛圓點”。學生不適應的問題是：（1）作對偶圖形；（2）敘述已知的射影命題的對偶命題。教學上的對應措施是：(1) 扣緊概念（尤其是點線的結合性）；(2) 較多的范例講解，概括性的方法介紹。3.日期： 2005年 3 月 17日 18日教師教學周日記課程名稱高等

9、幾何日期2005年3月18日章節(jié)名稱第二章：歐式平面的拓廣 第2.2節(jié)第2.4節(jié)教學關鍵點（1） 齊次坐標，點坐標與線坐標，點幾何學與線幾何學；（2） 對偶原理：作已知圖形的對偶圖形；敘述已知射影命題的對偶命題。 （3）虛圓點。教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）（1）介紹教材P.26 EX2.17，引出虛圓點和（2）提出問題，兩個橢圓相交最多有四個交點，兩個圓相交，最多只有兩個交點，為什么？缺圖（3）圓是橢圓的特例，兩個圓相交仍為四個交點，兩實，兩虛（虛圓點）（4）由此概括： “實”與“虛”在幾何直觀上的差別；（聯(lián)系實曲線與虛曲線）由于射影平面（射影與觀念）中

10、沒有度量的概念，無窮遠元素，事實上脫離了距離，伸手可及。數(shù)學概念是逐級抽象的。在高等數(shù)學中，學習者更應重視從已知數(shù)學問題中進一步抽象、概括出新的概念；數(shù)學概念（觀念）的嚴謹性更多的是建立在邏輯的基礎上，建立在公理體系上，而不依賴于直觀性。引發(fā)“認知沖突”是建構概念（觀念）的常見途徑。教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（五）周第（三）章：一維射影幾何學第（3.1）節(jié)第（3.2）節(jié)：平面內的一維基本圖形：點列和線束， 點列的交比教學方案1.教學內容： （1）平面內的一維基本圖形：點列和線束（2）點列的交比 概念； 性質； 計算。2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點： （1）一維幾何流形及

11、其表示；（2）點列的交比（概念、性質、計算）； （3）調和點列。教學邏輯關系分析： 經(jīng)過第一章和第二章的準備，從本周起講授射影幾何，前兩周的準備和鋪墊主要有方法上的準備，觀念上的準備、本周教學內容的邏輯關系是：缺圖教學中的重點是點列的交比，它是射影幾何中最重要的不變了，射影幾何主要研究與結合性及交比有關的概念。為接受上的方便起見，先從“度量”上介紹“交比”，以后再脫離度量。3.日期： 2005年 3 月24日 25日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年3月25日章節(jié)名稱第三章：一維射影幾何學，3.2點列的交比教學關鍵點（1） 交比的概念（借助“度量”建立）；（2） 交比的計算（化歸思想

12、的體現(xiàn)）；（3） 交比的性質；（4） 調和比。教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）交比的計算主要結論是教材P.29定理1和P.30定理2這兩個定理的證明過程較好的體現(xiàn)了“化歸”的思想。定理1.設取A和B為基底，將這四點的齊次坐標順次表達為： 則其證明的過程是（化歸思想的具體化體現(xiàn)）： 將A、B兩點的坐標非齊次化（目的是為了使用解析幾何中的定比分割公式）； 利用一維幾何流形中動點的表示方法寫出C、D的坐標。 分別設點C、D分割線段AB的分割比為，利用解析幾何中的定比分割公式計算出 利用交比計算=簡比的比=分割比的相反數(shù)，得出結論。定理2.設點列上四點的齊次坐標為，

13、則其證明過程是：換底：通過坐標變換將A,B換為基底。 利用定理1得到結論。 這兩個定理的證明過程較好的體現(xiàn)了“化歸”的思想。 對證明思路的重點分析，有助于同學們領會數(shù)學證明的一個一般性方法：“轉化”及“換元法”教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（六）周第（二）章：一維射影幾何學第（3.3）節(jié)第（3.4）節(jié)：3.3線束的交比；3.4一維射影對應教學方案1.教學內容： （1）線束的交比；定義，計算，幾何意義，調和線束（2）一維射影對應；定義，性質，一維射影幾何基本定理2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點： （1）線束交比的定義與計算；（2）調和線束及幾何特征； （3）一維射影定義； （4

14、）一維射影對應的確定；（5）如何建立射影對應表達式。教學邏輯關系分析：（1）3.3節(jié)的教學，應向同學們介紹線束交比定義的兩種方法：其一是教材上的方法，即用“化歸思想”將線束的交比化歸為點列的交比，類別點列的交比的計算得到線束交比的計算，最后介紹線束交比的幾何意義，另一種方法以梅向明先生所編教材為代表，兩相比較，教材上的方法更簡明一些。（2）3.4節(jié)的教學，其關鍵是讓同學理解一維基本圖形成射影對應的概念及其等價的條件，由此推導一維射影幾何基本定理，在介紹射影對應式的求法。（缺小字部分） 3.日期： 2005年 3 月 31日 4月1日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年4月1日章節(jié)名稱3

15、.4一維射影對應教學關鍵點（1） 兩個一維幾何基本圖形成射影對應的定義；（2） 的兩個等價的充要條件；（3） 一維射影幾何基本定理；（4） 一維射影對應的求法。教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）為了讓同學們加深對一維射影幾何基本定理的理解以及為3.6節(jié)作鋪墊，設計如下4個例題形成一個“鏈”。例1. 試證：一維幾何圖形的任意三個互異元素的參數(shù)值總可給以數(shù)值1，0，。例2. 可以選擇特殊參數(shù)（由例1，即1，0，）以簡化一維射影對應的表達式。例3. （Hesse定理）一直線上有三個給定的點A,B,C，考慮這直線上這樣一個射影對應：它將求射影對應表達式并證明，這個射影

16、對應兩個自對應點互異?！咀ⅰ縃esse定理中的射影表達式即教材中的習題3.15，此定理表述上更深刻一些。例4. 是一直線上射影變換的三對對應點，設P是這直線上的任一點，且和又是兩對對應點，求證：也是一對對應點。以上例題均選自朱德祥先生在20世紀80年代所做的專題講座，這給我以啟示：備課是一件既艱苦又充滿藝術性的工作。一個好教師既要有過硬的學術水平，又要對教學技藝深入鉆研，以達到兩者和諧統(tǒng)一。要做一個好教師，他必須是一個有心人，必須作認真，艱苦的累積，以及必要的反思。學院要求每位老師認真做好教學周記，是教師自我培訓中重要的一環(huán)。教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（七）周第（二）章：一維射影

17、幾何學第（3.5）節(jié)第（3.6）節(jié)：§3.5透視對應 §3.6對合對應教學方案1.教學內容： （1）透視對應的定義； （2）透視的幾何特征與判定（3）射影對應的分解與射影對應的作圖 （4）交比的作圖（5）射影對應的分類（6）對合的定義2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點： （1）透視的幾何特征與判定 （2）射影對應的作圖（3）射影對應的分類 （4）對合的定義教學邏輯關系分析：（1）§3.5是第三章中的一個重點環(huán)節(jié)。從一維射影幾何研究的方法看，主要有“代數(shù)法”，其工具是“交比”和“一維射影對應式”。另一個方法為“綜合法”，即將射影分解為有限回透視之積，再利用透視

18、的幾何特征解決問題。§3.5節(jié)為“綜合法”奠定基礎，其應用將在第四章、第六章有重點體現(xiàn)。（2）射影對應的作圖，一方面是“幾何”變換的具體體現(xiàn)，另一方面體現(xiàn)“幾何作圖”的內涵存在性（3）對合也是一種特殊的射影對應，其實質是幾何變換中的反演。對合的研究，使射影幾何的內容豐富而富有數(shù)學情趣。（4）利用一維射影對應的自對應點是實點還是虛點，是兩個相異實點還是兩個重合的實點，將射影對應分為雙曲型、拋物型、橢圓型，反映了數(shù)學上的一種分類方法，下接“解析幾何”，上聯(lián)數(shù)學其他分支，如偏微分方程，其涵義很深刻。3.日期： 2005年 3 月 10日 11日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年4

19、月8日章節(jié)名稱第三章§3.6對合對應教學關鍵點（1） 一維射影對應的分類；（2） 對合； 定義，性質，方程教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）在介紹對合概念之前，先介紹一維射影對應的分類。為此，需對一元二次方程及解作一個必要的拓廣。在中學數(shù)學中，一元二次方程要加深一個重要的限制條件：。中學教材上的解釋限于觀念是不夠深刻的。在射影幾何中，由于是數(shù)，可得到如下結論：由于方程的兩個根互為倒數(shù)，因此： 當時，方程有一個實根和一個無窮根 當時，方程有一個實根和一個無窮根 當時，方程有一個實根和一個無窮根 （此種方程在中學中稱為矛盾方程，無根） 當時，方程有一個實

20、根和一個無窮根結論：當不全為0時，一元二次方程有且只有兩個根。啟示：數(shù)的拓展，導致數(shù)學研究更為深刻化，更能揭示事物間的內在聯(lián)系；無窮根的出現(xiàn)，可將二次曲線的漸近線定義為與二次曲線相切于無窮遠處的直線。它比“解析幾何”、“數(shù)學分析”中的定義更為深刻，且可由此對二階曲線進行分類。教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（八）周第（三）章：一維射影幾何學 第四章 代沙格定理、四點形與四線形第（3.6）節(jié)第（4.1）節(jié)：§3.6對合對應；§4.1代沙格三角形定理教學方案1.教學內容：（1）有關對合的一些例題（2）第三章總結（3）Desargues三角形定理Desargues三角形定

21、理及對偶定理對偶定理的證明應用2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：（1）對合定義：s為對合（恒同變換），的應用（2）射影對應間的關系（3）一維射影幾何的研究方法（4）Desargues三角形定理的證明及應用教學邏輯關系分析：（1）本周教學將結束第三章，開始第四章。 結束第三章的教學，進行一次總結，關鍵是讓學生明白兩點：一維射影對應的關系是：（要補充）透視 射影 對合交比（射影量）一維射影對應式一位射影一維射影幾何研究的方法：代數(shù)工具幾何工具：將射影分解為有限個透視之積，再利用透視的幾何特征。（2）第四章 從結構上講，屬于一維射影幾何的應用，它包含三個內容： Desargues三角形定理透

22、視及其應用；完全四點形與完全四線形調和比脫離度量的定義；巴卜斯定理及應用 一維射影幾何中綜合法的體現(xiàn)3日期： 2005年4月14日15日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年4月15日章節(jié)名稱第四章 Desargues三角形定理教學關鍵點（1）Desargues三角形定理及對偶定理，幾何特征。（2）Desargues三角形對偶定理的證明（3）Desargues三角形定理及對偶定理應用 射影幾何中的應用 ；初等幾何中的應用教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）Desargues對偶定理的證法2.一般，證明逆命題的證法有三種（見初等幾何研究§1.4，P

23、.10）1 直接證明逆命題，即將原命題的證明過程反其道而行之。2證明否命題（因為否命題與逆命題等價）3 利用原命題本身證逆命題。下面采用方法3證Desargues對偶定理：設在兩個三角形和中，由于對應頂點的連線共點于R，則依Desargues定理，其對應邊的交點，共線，即直線過點，亦即三點共線。本證法一是比較簡單，二是能于初等幾何有關內容聯(lián)系，體現(xiàn)綜合法的優(yōu)點。如圖：教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（十）周第（四）章：代沙格定理、四點形與四線形第（4.2）節(jié)第（4.3）節(jié)：§4.2完全四點形與完全四線形 §4.3巴卜斯定理教學方案1.教學內容：(1)平面形與平面構形

24、(2) 完全四點形與完全四線形調和性質 調和比的作圖 代沙格對合定理與對合的作圖(3)巴卜斯定理及其證明和應用2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：(1) 完全四點形與完全四線形調和性質及調和比的作圖代沙格對合定理與對合的作圖(2)巴卜斯定理及其證明教學邏輯關系分析：本周教學將結束第四章,教學內容簡單邏輯關系是：構形簡單形完全形（1）平面形 完全四點形四線形 調和性質調和比的作圖（2）完全四點形代沙格對合定理對合的作圖(3) 巴卜斯定理證明應用（4）完全四點形與完全四線形調和性質的證明，代沙格對合定理的證明，巴卜斯定理證明典型地應用了§3.5中的方法將射影分解為透視。此外，第四調

25、和元素的作圖，使“交比”脫離了“度量”。因此，第四章教學內容實質上是一維射影幾何學的應用。3.日期： 2005年 4月 21日 4月22日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年4月21日章節(jié)名稱第（四）章：§4.2完全四點形與完全四線形教學關鍵點（1）完全四點形與完全四線形（2）調和性質與第四調和元素的作圖（3）代沙格對合定理及對合的作圖教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）完全四線形的調和性質是很深刻的，完全四點形的調和性質由其引出，下面舉個例，以加深同學們對完全四線形的調和性質的理解。例:設ABCD是梯形，E是兩腰所在直線的交點，過兩對角線的交

26、點G引底邊的平行線與AD 相交與，求證：（AD，EF）=-1分析：（1）解決本例，要求同學有較好的觀察能力，要能看出EDGC是一個完全四線形。（2）連接EG,分別與梯形兩底交于點H和I，則EI是完全四線形的一條對角線，由完全四線形的調和性質，有（IH，EG）=-1（3）由BAGF,以作透視心，則（）IHEG = ADEF（補充符號）這樣（AD，EF）=(IH,EG)=-1如圖：教師教學周日記課程名稱AIBEDFCHG教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（十一）周第（五）章：射影坐標系和射影變換第（5.1）節(jié)第（5.3）節(jié)：§5.1一維射影坐標系 §5.2平面內的射影坐標

27、系 §5.3射影坐標的特例教學方案1.教學內容：（1）射影幾何學的結構（2）一維射影坐標系（3）平面內的射影坐標系（4）射影坐標的特例2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：（1）一維射影坐標系（2）平面內的射影坐標系教學邏輯關系分析：本周開始講授第五章。教學內容是射影坐標系。射影幾何研究的方法有綜合法和代數(shù)法，射影坐標系是代數(shù)法的基礎。一維射影坐標系本屬一維射影幾何的內容，將其放在第五章是為了給講二維射影坐標系做一個鋪墊。在第三章中，定義一維射影變換是這樣進行的：A：這個定義是借用了函數(shù)的概念。而幾何中更普遍的方法是，在 A,B中分別建立射影坐標系，推導射影變換公式給予新的解釋，

28、得到射影變換式。§5.1正是這樣處理的。以形成對二維射影變換式建立的遷移。由于射影平面上增加了一條無窮遠線，使得二維射影坐標系成為一個三角形，其中點的射影坐標既有度量定義，也利用了交比、點的符號及象限與平面上的坐標系大不一樣，但平面坐標系(歐氏平面)卻又是射影坐標系的特例。從這個意義上講，歐氏幾何確定是射影幾何的子幾何。 3.日期： 2005年 4月 28日 29日，5月8日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年4月28日章節(jié)名稱第五章 §5.1一維射影坐標系教學關鍵點（1）射影幾何學的結構（2）一維射影坐標系教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課

29、堂表現(xiàn)等） 通過前四章的教學，同學們已經(jīng)對射影幾何有了一定的了解。為了便于同學更好的理解教材，在第五章開始時，介紹射影幾何的結構。（圖表ppt上有）教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（十二）周第（五）章：射影坐標系和射影變換第（5.4 ）節(jié)第（5.5 ）節(jié)：§ 5.4坐標轉換 §5.5射影變換教學方案1.教學內容：（1）二維射影坐標變換（2）射影變換點到點的；線到線的。 2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：（1）二維射影坐標變換的推導，（在方法上與5.1形成類比）（2）線到線的射影變換的推導。教學邏輯關系分析：本周教學內容有如下的邏輯關系：推導射影坐標變換公式：

30、賦予上式新的幾何解釋，即點到點的射影變換。從點到點的逆變換公式誘導出線到線的射影變換：在二維射影變換的基礎上展開二維射影幾何的研究。3、日期：2005年5月12日5月13日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年5月12日章節(jié)名稱第 五 章 §5.4坐標轉換教學關鍵點（1）一點P 的笛氏坐標（x,y,t）與射影坐標間的坐標變換式。（2）一點P的兩種射影坐標，間的坐標變換式。教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）§5.4的主要作用是為§5.5推導射影變換作準備。為了讓同學對點到點的射影變換誘導線到線的射影變換有更好的了解，在

31、7;5.4中補充如下一個例題。例 已知射影坐標變換為： 略解：對前者，解線性方程組即得新坐標（8，5，-4）。對后者，將射影變換式代入直線方程得教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（十三）周第（五）章：射影坐標系和射影變換第（5.6）節(jié)第（ 5.7）節(jié)：§5.6二維射影幾何基本定理 §5.7射影變換的二重元素教學方案1.教學內容：（1） 二維射影幾何基本定理；(2) 四點的交比在二維射影變換下不變；（3）二重元素；（4）二重元素的求法。2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：（）教材79引理的證明（）二維射影幾何基本定理及證明（）教材82引理的證明（）二重元素及其求法

32、。教學邏輯關系分析：（）§5.6節(jié)教學內容間的關系是：（猜測）引理：（補充點）存在性唯一性系定理二維射影幾何基本定理：（）§5.7節(jié)與高等代數(shù)第七章§（北大版）關系密切。教學時可先復習“方陣的特征值與特征向量”。在此基礎上推導求二重元素的方法和步驟，最后舉例。求固定元素是第五章中一個重要內容。3、日期：2005年5月19日5月20教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年5月19日章節(jié)名稱第五章 §5.6二維射影幾何基本定理 教學關鍵點）教材79引理的證明（）二維射影幾何基本定理及證明（）教材82引理的證明教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學

33、得失及學生課堂表現(xiàn)等）教材79引理的證明是一個難點，歸納其思路和方法如下：1 射影變換為：T：為求出此射影變換，只需求出9個系數(shù)2 變形P80（1）式，得3 將上式回代（1）式（P80）并置，可得教材P80（2）式（2）式得證了T的存在性，至于唯一性由克萊姆法則得證。4驗證 教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（十四）周第（五）章：射影坐標系和射影變換第（5.8 ）節(jié)第（5.11）節(jié)： 5.8射影變換的特例 5.9 變換群 5.11 變換群的例證 5.11 變換群與幾何學教學方案1.教學內容：（1）射影變換的特例 （2）變換群 （3）變換群與幾何學2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：

34、（1）射影變換的特例：仿射變換、相似變換、正交變換、（2）變換群 （3）變換群與幾何學F克萊因觀點教學邏輯關系分析：（補充(1)）(1)(2)給出變換群的概念，驗證上述射影變換分別構成群，記作K，A，S，M。其關系是。(3）在(2)的基礎上，介紹變換群與幾何學的關系:對于給定的空間S，G是S的一切一一變換的集合，研究圖形關于G的不變性質、不變量、以及關于圖形的分類，稱為空間S上群G的附屬的幾何學。 在一個變換群，就有一個附屬于該群的一種幾何學。3、日期：2005年5月26日27日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年5月28日章節(jié)名稱第 五 章5.10變換群的例證 5.11 變換群與幾何

35、學教學關鍵點(1)射影群K，仿射群A，相似群S，正交群M（2）變換群與幾何學教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）1872年F.克萊因在Erlangen大學宣讀了大家叫做Erlangen綱領的演說，在這篇論文中它總結了射影、仿射以及其他幾何的發(fā)展結果，明確表述了構成這些幾何的普遍原則：可以考慮空間一一變換的任何一個群，而且研究在這個群的一切變換下保留不變的圖形性質。F.克萊因的觀點其意義在于：1 使各種幾何學化為統(tǒng)一的形式，同時又明確了各種幾何學所研究的對象。2 它給出了建立抽象空間所對應的幾何學的一種方法，對以后幾何的發(fā)展起了指導性的的作用。 教材P91關于射影

36、幾何、仿射幾何、歐氏幾何的比較表很好的指明了這三種幾何之間的關系。教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（十五）周第（六）章：二次曲線的射影理論第（ 6.1）節(jié)第（6.2）節(jié)：§6.1二階曲線與二級曲線 §6.2 二次曲線的射影定義教學方案1.教學內容：（1）二階曲線與二級曲線的概念 （2）二階曲線與二級曲線的性質及它們的關系（3）二次曲線的射影定義2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：(1)二階曲線與二級曲線的概念 、性質及相關關系（2）二次曲線的射影定義教學邏輯關系分析：本周教學內容既是解析幾何中關于二次曲線有關內容的延伸，又是高等代數(shù)中二次型的具體化。教學中要注

37、意這兩部分內容的銜接，同時突出“射影法”。由于射影幾何有“點幾何”和“線幾何”之分，所以二次曲線分為二階曲線（點素二次曲線）與二級曲線（線素二次曲線）。教材中先用代數(shù)方法定義二階曲線，再對偶地得到二級曲線，他們之間的關系既是對偶的，又是切點與切線的關系。教材P98定理對此作了很好的概括。§6.2中 ，教材用射影方法定義了二階曲線與二級曲線 。并由射影（非透視）和透視定義了常態(tài)曲線和變態(tài)曲線。在本周教學中可以體現(xiàn)出代數(shù)方法和射影方法在研究二次型問題上的作用，讓同學領略數(shù)學思想的深刻性和數(shù)學方法的精妙。3、日期：2005年6月2日6月3日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年6月2

38、日章節(jié)名稱第 六 章 §6.1二階曲線與二級曲線 教學關鍵點（1）二階曲線與二級曲線的概念 （2）二階曲線與二級曲線的性質（3）二階曲線與二級曲線的關系教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）為了同學能更好的理解二階曲線的射影定義，補充如下一個例題：例1 求由兩個射影線束與（+=1)生成的二階曲線方程. 解 由 解得 由 解得將其代入：+=1中，得 （*）等式兩端同乘以得：此即所求的二次曲線的方程，它代表兩條直線:一般情況下，化簡（*）式只會乘，這樣將漏掉一個解：（無窮遠線）。本例為何會出現(xiàn)這種情況？其原因是一維射影對應+=1是透視。兩個射影線束成透視時，

39、二階曲線退化為兩相交直線甚至是兩重合直線。教師周教學方案課程名稱高等幾何教學周數(shù)第（十六）周第（六）章：二次曲線的射影理論第（6.3）節(jié)：§6.3巴斯卡定理與布利安雙定理教學方案1.教學內容：（1）巴斯卡定理及逆定理（2）布利安雙定理及逆定理（3）巴斯卡定理與布利安雙定理的特殊情形（4）兩定理的應用2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點： 1）巴斯卡定理及逆定理（2）布利安雙定理及逆定理（3）兩定理的特殊情形（4）應用教學邏輯關系分析：本周教學內容主要是介紹射影幾何中兩個重要定理巴斯卡定理與布利安雙定理。它們互為對偶定理且逆定理成立。教學的重點是：(1)兩個定理的結構及證明方法利用

40、射影及透視的幾何特征。（2）兩個定理的特殊情形。（3）兩個定理在證明點共線與線共點方面的應用。（4）當二次曲線退化時（退化為兩條相交直線或兩個互異的點），它們成為巴斯卡定理及其對偶定理。3、日期：2005年6月9日6月10日教師教學周日記課程名稱高等幾何日期2005年6月9日章節(jié)名稱第六章 §6.3巴斯卡定理與布利安雙定理（第一次課）教學關鍵點（1）巴斯卡定理及證明（2）布利安雙定理及其證明（3）兩定理的特殊情形教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）為了讓同學更好的理解這兩個定理，教學時需作如下的補充：（1）巴斯卡定理發(fā)表于1640年，布利安雙定理發(fā)表于

41、1806年，相距前者166年之久。兩定理互為對偶定理且逆定理成立。6個點在一條二階曲線上有60種排法（可翻面的環(huán)狀排列），因此，一條二階曲線決定60根巴斯卡線；一條二級曲線決定60個布利安雙點。關于這60根巴斯卡線及60個布利安雙點的位置特征是射影幾何中尚未完全解決的問題。（2）六點（線）形是完全形，不論頂點在二次曲線上如何排列，邊12與45，23與56，34與61成為三雙對邊；12與45，23與56，34與61是三雙對頂。（3）對內接（外切）于二次曲線上的五點(線)形，四點(線)形，三點(線)形，要證明其對邊交點(對頂?shù)倪B線共線（點），且可運用巴氏定理與布氏定理，方法是:將頂點(邊)順次編號，若哪點為切點（哪條邊與切點連線）,則重復編一次。（4）圓可看作特殊的二次曲線，故可用巴氏定理與布氏定理及其逆定理研究圓的內接（外切）六點(邊)形，五點(邊)形，四點(邊)形，三點