常數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法實用教案

1、11.3.1 正項級數(shù)正項級數(shù)(j sh)及其收斂及其收斂性判別法性判別法若定理(dngl) 11.4. 正項級數(shù)收斂(shulin)部分和序列有界 .則稱為正項級數(shù) .若1nnu收斂 , 部分和數(shù)列nS有界, 故nS1nnu從而又已知單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證: “ ”“ ”故有 界.nS第1頁/共28頁第一頁，共29頁。都有定理定理11.5 (比較比較(bjio)判別法判別法)設(shè)且存在(cnzi)對一切(yqi)有(1) 若強級數(shù)則弱級數(shù)(2) 若弱級數(shù)1nnu則強級數(shù)1nnv證:設(shè)對一切則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和, 則有是兩個正項級數(shù),

2、(常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共28頁第二頁，共29頁。(1) 若強級數(shù)(j sh)1nnv則有因此(ync)對一切有由定理(dngl) 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級數(shù)1nnu因此這說明強級數(shù)1nnv也發(fā)散 .nS也收斂 .發(fā)散,收斂,弱級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共28頁第三頁，共29頁。例例1. 討論討論(toln) p 級數(shù)級數(shù)(常數(shù)(chngsh) p 0)的斂散性. 解: 1) 若因為(yn wi)對一切,Zn而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知 p 級數(shù)發(fā)散 .發(fā)散 ,機動 目錄 上頁

3、 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共28頁第四頁，共29頁。故強級數(shù)收斂(shulin) , 由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂(shulin) .2) 若若機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 11npn后一為幾何級數(shù)(j h j sh),公比為該級數(shù)收斂.調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).第5頁/共28頁第五頁，共29頁。調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個(lin )常用的比較級數(shù).若存在(cnzi)對一切(yqi)第6頁/共28頁第六頁，共29頁。證明(zhngmng)級數(shù)發(fā)散(fsn) . 證: 因為(yn wi)而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散 .例例2.2.機動 目錄 上頁

4、 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共28頁第七頁，共29頁。比較判別法的極限比較判別法的極限(jxin)形式形式,1nnu1nnv則有兩個級數(shù)(j sh)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 (3) 當(dāng) l = 設(shè)兩正項級數(shù)(j sh)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共28頁第八頁，共29頁。的斂散性. 例例3. 判別判別(pnbi)級數(shù)級數(shù)的斂散性 . 解: 根據(jù)比較審斂法的極限(jxin)形式知例4. 判別(pnbi)級數(shù)解:1根據(jù)比較審斂法的極限形式知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1第9頁/共28頁第九頁，共29頁。定理定理11.6 . 比值比

5、值(bzh)判別法判別法 ( Dalembert 判別法判別法)設(shè) 為正項(zhn xin)級數(shù), 且則(1) 當(dāng)(2) 當(dāng)時, 級數(shù)(j sh)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明: 當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如, , p 級數(shù)1但級數(shù)收斂 ;級數(shù)發(fā)散 .第10頁/共28頁第十頁，共29頁。例例5. 判別下列判別下列(xili)級數(shù)級數(shù)的斂散性 .解: (1)根據(jù)(gnj)定理4可知:級數(shù)(j sh)收斂 ;級數(shù)發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)nnnuu1lim limn根據(jù)定理4可知:第11頁/共28頁第十一頁，共29頁。 limn例

6、6. 討論(toln)級數(shù)的斂散性 .解: 根據(jù)定理(dngl)4可知:級數(shù)(j sh)收斂 ;級數(shù)發(fā)散 ;第12頁/共28頁第十二頁，共29頁。定理定理(dngl)5. 根值審斂法根值審斂法 ( Cauchy判別法判別法)設(shè) 為正項級則數(shù), 且機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時 , 級數(shù)(j sh)可能收斂也可能發(fā)散 .說明 :第13頁/共28頁第十三頁，共29頁。例例7. 討論討論(toln)級級數(shù)數(shù)的斂散性 .解: 故原級數(shù)(j sh)收斂。機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 1例8. 討論級數(shù)2n1n11n的斂散性 .解: nnnulim故原級數(shù)收斂。1第14頁

7、/共28頁第十四頁，共29頁。例8. 研究(ynji)級數(shù)的斂散性 所以級數(shù)(j sh)是收斂的。 解. 由于(yuy)第15頁/共28頁第十五頁，共29頁。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)2. 判別正項級數(shù)(j sh)斂散性的方法與步驟必要條件(b yo tio jin)不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法根值審斂法收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共28頁第十六頁，共29頁。 作業(yè)作業(yè)(zuy) P263 1 (2), (3) ,(4),(6); 2 (4), (6); 3 (1), (2)第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu

8、) 結(jié)束 第17頁/共28頁第十七頁，共29頁。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)設(shè)正項級數(shù)(j sh)1nnu收斂(shulin), 能否推出收斂 ?提示:由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意:反之不成立.例如,收斂 ,發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共28頁第十八頁，共29頁。備用(biyng)題1. 判別(pnbi)級數(shù)的斂散性:解: (1)發(fā)散(fsn) ,故原級數(shù)發(fā)散 .不是 p級數(shù)(2)11nn發(fā)散 ,故原級數(shù)發(fā)散 .第19頁/共28頁第十九頁，共29頁。11.3.2 、交錯、交錯(jiocu)級數(shù)級數(shù)及其審斂法及其審斂法 則各項符號(fho)正負(fù)相間的級數(shù)稱為

9、(chn wi)交錯級數(shù) .定理1 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂 , 且其和 其余項滿足機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共28頁第二十頁，共29頁。收斂(shulin)收斂(shulin)例例1 用用Leibnitz 判別判別(pnbi)法判別法判別(pnbi)下列級數(shù)的斂散性下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?發(fā)散收斂收斂 101 1nn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共28頁第二十一頁，共29頁。11.3.3、絕對、絕對(judu)收斂與收斂與條件收斂條件收斂 定義: 對任意(rny)項級數(shù)若

10、若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后(yhu)的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級收斂 ,1nnu數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共28頁第二十二頁，共29頁。定理定理11.9 絕對絕對(judu)收斂的級收斂的級數(shù)一定收斂數(shù)一定收斂 .證: 設(shè)根據(jù)(gnj)比較審斂法顯然(xinrn)收斂,收斂也收斂且nv收斂 ,令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共28頁第二十三頁，共29頁。例例2. 證明證明(zhngmng)下列下列級數(shù)絕對收斂級數(shù)絕對收斂 :證: (1)而收斂(shulin) ,收斂(shulin)

11、因此絕對收斂 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共28頁第二十四頁，共29頁。(2) 令因此(ync)收斂(shulin),絕對(judu)收斂.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共28頁第二十五頁，共29頁。任意任意(rny)項級數(shù)項級數(shù)審斂法審斂法為收斂(shulin)級數(shù)Leibniz判別(pnbi)法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂1nnu稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 作業(yè) P263 4(1), (3), (5) 第26頁/共28頁第二十六頁，共29頁。1. 則級數(shù)(j sh)(A) 發(fā)散(fsn) ; (B) 絕對收斂;(C) 條件收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)(gnj)條件不能確定.分析: (B) 錯 ;又C第27頁/共28頁第二十七頁，共29頁。謝謝您的觀看(gunkn)！第28頁/共28頁第二十八頁，共29頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)11.3.1 正項級數(shù)及其收斂性判別法。11.3.1 正項級數(shù)及其收斂性判別法