小學(xué)數(shù)學(xué)工程問(wèn)題及答案

1、工程問(wèn)題工程問(wèn)題基本數(shù)量關(guān)系式：（1）一般公式 : 工作效率工作時(shí)間工作總量工作總量工作效率工作時(shí)間工作總量工作時(shí)間工作效率（2) 用假設(shè)工作總量為“ 1 的方法解工程問(wèn)題的公式：1工作時(shí)間 =單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾; 一般給出工作時(shí)間，就可以知道工作效率為工作時(shí)間1, 1單位時(shí)間能完成的幾分之幾=工作時(shí)間。如果可以給出工作效率是a1，就可以知道工作時(shí)間為a. 一、兩個(gè)人的問(wèn)題標(biāo)題上說(shuō)的 “ 兩個(gè)人 ，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體。例 1 一件工作， 甲做 9 天可以完成 ,乙做 6 天可以完成 .現(xiàn)在甲先做了3 天，余下的工作由乙繼續(xù)完成。乙需要做幾天可以完成全部工作？.

2、例 2 一件工作，甲、乙兩人合作30 天可以完成，共同做了6 天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了 40 天才完成 .如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？. 例 3 某工程先由甲獨(dú)做63 天，再由乙單獨(dú)做28 天即可完成 ;如果由甲、乙兩人合作,需 48天完成 .現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42 天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？。例 4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30 天完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了 2 天，乙隊(duì)休息了8 天 （不存在兩隊(duì)同一天休息）.問(wèn)開始到完工共用了多少天時(shí)間？例 5 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30 天完成?，F(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做,其間

3、甲隊(duì)休息了3 天，乙隊(duì)休息了若干天。從開始到完成共用了16 天.問(wèn)乙隊(duì)休息了多少天? 例 6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10 天，單獨(dú)完成乙工作要15 天；李單獨(dú)完成甲工作要8 天，單獨(dú)完成乙工作要20 天。如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作,那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？。例 7 一項(xiàng)工程 ,甲獨(dú)做需10 天，乙獨(dú)做需15 天,如果兩人合作,他要 8 天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天? 例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)快如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來(lái)做，需要多少小時(shí)？二、多人的工程問(wèn)題我們說(shuō)的多人，至少有3 個(gè)人，當(dāng)然多人問(wèn)

4、題要比2 人問(wèn)題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多。例 9 一件工作 ,甲、乙兩人合作36 天完成，乙、丙兩人合作45 天完成，甲、丙兩人合作要60 天完成。問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成? 例 10 一件工作，甲獨(dú)做要12 天，乙獨(dú)做要18 天，丙獨(dú)做要24 天。這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3 倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2 倍，終于做完了這件工作。問(wèn)總共用了多少天？例 11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13 天完成。如果丙休息2 天,乙就要多做4 天，或者由甲、乙兩人合作1 天。問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？例 12 某項(xiàng)工作，甲組3

5、 人 8 天能完成工作，乙組4 人 7 天也能完成工作。問(wèn)甲組2 人和乙組 7 人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？例 13 制作一批零件 ,甲車間要10 天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6 天就能完成。乙車間與丙車間一起做，需要8 天才能完成?，F(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400 個(gè)。問(wèn)丙車間制作了多少個(gè)零件? 。例 14 搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要 10 小時(shí)， 乙需要 12 小時(shí) ,丙需要 15 小時(shí)。 有同樣的倉(cāng)庫(kù) a 和 b，甲在 a 倉(cāng)庫(kù)、乙在b 倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn) .最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完。問(wèn)丙幫助甲、乙各多少時(shí)

6、間? 三、水管問(wèn)題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來(lái)看，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量。單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問(wèn)題，不過(guò)是工作量有加有減罷了.因此，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題的解題思路基本相同. 例 15 甲、乙兩管同時(shí)打開，9 分鐘能注滿水池?，F(xiàn)在，先打開甲管，10 分鐘后打開乙管，經(jīng)過(guò) 3 分鐘就注滿了水池。已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6 立方米水 ,這個(gè)水池的容積是多少立方米？例 16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等?，F(xiàn)在打開其中若干根水管，經(jīng)過(guò)預(yù)定的時(shí)間的 1/3, 再把打開的水管增加一倍，就能按預(yù)定時(shí)間注滿水池，

7、如果開始時(shí)就打開10 根水管，中途不增開水管,也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池.問(wèn)開始時(shí)打開了幾根水管? 例 17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管。要灌滿一池水，單開甲管需3 小時(shí)，單開丙管需要5 小時(shí)。要排光一池水,單開乙管需要4 小，丁管需要6 小時(shí)，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙 的順序輪流打開1 小時(shí) ,問(wèn)多少時(shí)間后水開始溢出水池？例 18 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4 立方米水 .如果打開5 個(gè)水龍頭， 2 小時(shí)半就把水池水放空，如果打開8 個(gè)水龍頭 ,1 小時(shí)半就把水池水放空?，F(xiàn)在打開13 個(gè)水龍頭 ,問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空 ? 例 19 一個(gè)水池，地下水從

8、四壁滲入池中,每小時(shí)滲入水量是固定的。打開a 管,8 小時(shí)可將滿池水排空，打開c 管， 12 小時(shí)可將滿池水排空.如果打開a，b 兩管， 4 小時(shí)可將水排空.問(wèn)打開 b，c 兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？ . 例 20 有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一草;21 頭牛 9 星期吃完第二片牧場(chǎng)的草。問(wèn)多少頭牛18 星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草？“ 牛吃草 這一類型問(wèn)題可以以各種各樣的面目出現(xiàn)。限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子。例 21 畫展 9 點(diǎn)開門， 但早有人排隊(duì)等候入場(chǎng)。從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多 .如果開 3 個(gè)入場(chǎng)口， 9 點(diǎn) 9 分就不再有人排隊(duì)，如果開5 個(gè)入

9、場(chǎng)口， 9 點(diǎn) 5 分就沒(méi)有人排隊(duì)。問(wèn)第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8 點(diǎn)幾分？例 22.一件工作，如果甲單獨(dú)做，那么甲按規(guī)定時(shí)間可提前2 天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3 天才完成?，F(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長(zhǎng)時(shí)間？例 1 答：乙需要做4 天可完成全部工作. 解二： 9 與 6 的最小公倍數(shù)是18。設(shè)全部工作量是18 份。甲每天完成2 份，乙每天完成 3 份。乙完成余下工作所需時(shí)間是（18 2 3） 3= 4 （天） . 解三 :甲與乙的工作效率之比是6 9= 2 3. 甲做了 3 天，相當(dāng)于乙做了2 天。乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4

10、（天）例 2 解:共做了 6 天后，原來(lái)，甲做24 天，乙做24 天, 現(xiàn)在 ,甲做 0 天,乙做 40=（24+16 ）天。這說(shuō)明原來(lái)甲24 天做的工作，可由乙做16 天來(lái)代替。因此甲的工作效率如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是如果甲獨(dú)做 ,所需時(shí)間是答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75 天和 50 天例 3 解:先對(duì)比如下 : 甲做 63 天，乙做28 天；甲做 48 天，乙做48 天。就知道甲少做63-48=15 （天） ，乙要多做48-28=20( 天） ，由此得出甲的甲先單獨(dú)做42 天，比 63 天少做了63-42=21( 天） ，相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28= 56 （天）。答：乙還需要做

11、56 天例 4 解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8 天，乙隊(duì)單獨(dú)做2 天，共完成工作量余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11 （天） . 答:從開始到完工共用了11 天。解二：設(shè)全部工作量為30 份.甲每天完成3 份，乙每天完成1 份。在甲隊(duì)單獨(dú)做8 天，乙隊(duì)單獨(dú)做2 天之后，還需兩隊(duì)合作（30 3 8- 1 2) （3+1 ）= 1（天）。解三：甲隊(duì)做1 天相當(dāng)于乙隊(duì)做3 天. 在甲隊(duì)單獨(dú)做8 天后，還余下（甲隊(duì)）10-8= 2 （天 )工作量。相當(dāng)于乙隊(duì)要做2 3=6（天） .乙隊(duì)單獨(dú)做2 天后，還余下 (乙隊(duì)） 62=4( 天）工作量。4=3+1 ，其中 3 天可由甲隊(duì)1 天完成

12、 ,因此兩隊(duì)只需再合作1 天。例 5 解一：如果16 天兩隊(duì)都不休息,可以完成的工作量是由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息的天數(shù)是答：乙隊(duì)休息了5 天半。解二 :設(shè)全部工作量為60 份。甲每天完成3 份，乙每天完成2 份。兩隊(duì)休息期間未做的工作量是(3+2 ） 16- 60= 20( 份). 因此乙休息天數(shù)是（20 3 3) 2= 5 。5（天） 。解三：甲隊(duì)做2 天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3 天。甲隊(duì)休息 3 天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4。5 天。如果甲隊(duì) 16 天都不休息，只余下甲隊(duì)4 天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6 天工作量，乙休息天數(shù)是16-6-4 。5=5 。5(天） . 例 6

13、 解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙。設(shè)乙的工作量為60 份(15 與 20 的最小公倍數(shù)）,張每天完成4 份，李每天完成3 份. 8 天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-4 8）份 .由張、李合作需要（604 8） （4+3 ）=4( 天） . 8+4=12 （天）。答： 這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12 天解 :設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30 份,甲每天完成3 份,乙每天完成2 份。兩人合作，共完成3 0.8 + 2 0。9= 4.2 （份） . 因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少,獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲。因?yàn)橐? 天內(nèi)完成 ,所以兩人合作

14、的天數(shù)是（303 8） (4.2 3）=5（天） 。很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“ 雞兔同籠 ” 型問(wèn)題。解：乙 6 小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是乙每小時(shí)完成的工作量是兩人合作 6 小時(shí) ,甲完成的工作量是甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33 小時(shí)。這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“ 整數(shù)化 ” 的處理。但是，“ 整數(shù)化 ” 并不能使所有工程問(wèn)題的計(jì)算簡(jiǎn)便 .例 8 就是如此 .例 8 也可以整數(shù)化,當(dāng)求出乙每有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉 .解：設(shè)這件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨(dú)做需要

15、90 天完成。例 9 也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180 份,甲、乙合作每天完成5 份,乙、丙合作每天完成4 份,甲、丙合作每天完成3 份。請(qǐng)?jiān)囈辉?，?jì)算是否會(huì)方便些？解：甲做 1 天，乙就做3 天,丙就做 3 2=6( 天） . 說(shuō)明甲做了2 天，乙做了2 3=6 （天 ),丙做 2 6=12( 天） ，三人一共做了2+6+12=20( 天)。答:完成這項(xiàng)工作用了20 天。本題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的方便。12，18， 24 這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72。甲每天完成6，乙每天完成4,丙每天完成3?？偣灿昧私?丙 2 天的工作量，相當(dāng)乙4 天的工作量。丙的工作效率是乙的

16、工作效率的4 2=2 （倍 )，甲、乙合作1 天,與乙做 4 天一樣。也就是甲做1 天，相當(dāng)于乙做3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的3 倍。他們共同做13 天的工作量 ,由甲單獨(dú)完成,甲需要答：甲獨(dú)做需要26 天。事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1 天,相當(dāng)于乙、丙合作1 天。三人合作需13 天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來(lái)完成。解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1。甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組 2 人和乙組7 人每天能完成答：合作 3 天能完成這項(xiàng)工作. 解二： 甲組 3 人 8 天能完成 ,因此 2 人 12 天能完成； 乙組 4

17、人 7 天能完成， 因此 7 人 4天能完成 . 現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做 12 天，乙組獨(dú)做4 天，問(wèn)合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好,很快就能得出答數(shù). 解一：仍設(shè)總工作量為1。甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答:丙車間制作了4200 個(gè)零件 . 解二：10 與 6 最小公倍數(shù)是30。 設(shè)制作零件全部工作量為30 份.甲每天完成3 份，甲、乙一起每天完成5 份，由此得出乙每天完成2 份. 乙、丙一起，8 天完成 .乙完成 8 2=16 （份） ，丙完成3016=14 （份） ，就知乙、丙工作

18、效率之比是1614=8 7. 已知甲、乙工作效率之比是32= 12 8. 綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287. 當(dāng)三個(gè)車間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400(12 8） 7= 4200 （個(gè)）解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2,所需時(shí)間是答：丙幫助甲搬運(yùn)3 小時(shí) ,幫助乙搬運(yùn)5 小時(shí)。解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的時(shí)間。本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化,設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)全部工作量為60.甲每小時(shí)搬運(yùn)6，乙每小時(shí)搬運(yùn)5，丙每小時(shí)搬運(yùn)4. 三人共同搬完,需要60 2 （6+ 5+ 4 ）= 8（小時(shí)） . 甲需丙幫助搬運(yùn)(60 6 8） 4= 3

19、( 小時(shí)） . 乙需丙幫助搬運(yùn)（60- 5 8) 4= 5 （小時(shí) )。解:甲每分鐘注入水量是： （1-1/9 3) 10=1/15 乙每分鐘注入水量是:1/91/15=2/45 因此水池容積是：0。 6 （1/15-2/45)=27(立方米）答:水池容積是27 立方米 .分析 :增開水管后，有原來(lái)2 倍的水管，注水時(shí)間是預(yù)定時(shí)間的1 1/3=2/3 ，2/3 是 1/3 的 2倍，因此增開水管后的這段時(shí)間的注水量，是前一段時(shí)間注水量的4 倍。 設(shè)水池容量是1，前后兩段時(shí)間的注水量之比為:1：4，那么預(yù)定時(shí)間的1/3（即前一段時(shí)間）的注水量是1/（1+4 ）=1/5 。10 根水管同時(shí)打開，

20、能按預(yù)定時(shí)間注滿水，每根水管的注水量是1/10, 預(yù)定時(shí)間的1/3 ，每根水官的注水量是1/10 1/3=1/30 要注滿水池的1/5，需要水管1/5 1/30=6 （根）解：前后兩段時(shí)間的注水量之比為:1： （1-1/3 ） 1/3 2=1：4 前段時(shí)間注水量是：1 （1+4 ）=1/5 每根水管在預(yù)定1/3 的時(shí)間注水量為：1 101/3=1/30 開始時(shí)打開水管根數(shù):1/5 1/30=6 （根）答：開始時(shí)打開6 根水管 .分析：，否則開甲管的過(guò)程中水池里的水就會(huì)溢出。以后（ 20 小時(shí)） ,池中的水已有此題與廣為流傳的“ 青蛙爬井 ” 是相仿的 :一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30 尺

21、才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3 尺，又滑下2 尺.問(wèn)這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口? 看起來(lái)它每小時(shí)只往上爬3 2= 1 （尺），但爬了27 小時(shí)后，它再爬1 小時(shí) ,往上爬了3 尺已到達(dá)井口. 因此，答案是28 小時(shí) ,而不是 30 小時(shí)。解 :先計(jì)算 1 個(gè)水龍頭每分鐘放出水量. 2 小時(shí)半比 1 小時(shí)半多60 分鐘，多流入水4 60= 240( 立方米 )。時(shí)間都用分鐘作單位,1 個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 （ 5 150- 8 90)= 8 （立方米），8 個(gè)水龍頭 1 個(gè)半小時(shí)放出的水量是8 8 90, 其中 90 分鐘內(nèi)流入水量是4 90,因此原來(lái)水池中存有水8 8 90-4

22、90= 5400（立方米） . 打開 13 個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8 13 ，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水,放空原存的5400 ，需要5400 (8 13- 4 ）=54（分鐘） . 答：打開 13 個(gè)龍頭，放空水池要54 分鐘 . 水池中的水 ,有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.解：設(shè)滿水池的水量為1. a 管每小時(shí)排出a 管 4 小時(shí)排出因此， b，c 兩管齊開，每小時(shí)排水量是b，c 兩管齊開，排光滿水池的水，所需時(shí)間是答： b， c 兩管齊開要4 小時(shí)48 分才將滿池水排完. 本題也要分開考慮,水池原有水

23、（滿池）和滲入水量。由于不知具體數(shù)量,像工程問(wèn)題不知工作量的具體數(shù)量一樣。這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆。事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8 與 12 的最小公倍數(shù)24.解:吃草總量 =一頭牛每星期吃草量 牛頭數(shù) 星期數(shù) .根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“ 一頭牛每星期吃草量 ” 作為草的計(jì)量單位. 原有草 +4 星期新長(zhǎng)的草=124。原有草 +9 星期新長(zhǎng)的草=7 9. 由此可得出 ,每星期新長(zhǎng)的草是（7 9124） (9-4 ）=3. 那么原有草是7 93 9=36 （或者 1243 4）. 對(duì)第三片牧場(chǎng)來(lái)說(shuō)，原有草和18 星期新長(zhǎng)出草的總量是這些草能讓907.2 18=36 （頭）牛吃 18 個(gè)星期。答:36 頭牛 18 個(gè)星期能吃完第三片牧場(chǎng)的草。例 20 與例 19 的解法稍有一點(diǎn)不一樣.例 20 把“ 新長(zhǎng)的 具體地求出來(lái)， 把“ 原有