高考數學二輪復習微專題11答案 (2)

1、微專題微專題 11 例題 答案：1，4 解法 1 建立如圖所示的直角坐標系， 設 此 扇 形 的 半 徑 為 1 ， aob 60，所以 a12，32，b(1，0)，設xccos，ycsin，0，3，因為ocxoayob，所以(cos，sin)x12，32y(1，0)， 解得x2sin3，ycossin3，則 tx4y4cos2 3sin3，0，3，以下用導數方法求解函數 t 的最值情況，因為 t4sin2 33cos，當 0，3時，sin0，cos0，則 t0，即函數t 在 0，3時是單調遞減的，所以當 0 時，tmax412 3304，當 3時，tmin4122 33321，綜上所述，x4

2、y 的取值范圍是1，4 解法 2 建立解法 1 中的直角坐標系xoy，設此扇形的半徑為 1，由于aob60，則 a12，32，b(1，0)，設 c(m，n)，因為 c 為弧 ab 上的一個動點，則 m2n2112m1，0n32，由于ocxoayob，所以(m，n)x12，32y(1，0)，從而mx2y，n32x，解得 x2 3n3，ym33n，所以 x4y2 33n4m33n 2 33(2 3mn)，記 t2 3mn，則直線 l：n2 3mt 過弧 ab 上的點，當點 l 過點 b(1，0)時 t 取得最大值tmax2 3，當 l 過點 a12，32時，t 取得最小值 tmin32，所以 x4

3、y2 33t1，4 解法 3 取 ob的四等分點(靠近點 o)d，連接 ad 交 oc 于點 e，設此扇形的半徑為 1，則|oc|1，由于ocxoayob，則ocxoa4y14obxoa4yod，因為 a，e，d 共線，設oeoaod，則 1，又因為 o，e，c 共線，設ockoe，則ockoekoakodxoa4yod，所以 x4yk|oc|oe|1|oe|，當 e，d 重合時，|oe|取得最小值，x4y 取得最大值 4；當 e，a 重合時，|oe|取得最大值，x4y 取得最小值1，所以 x4y1，4(用等和線的知識三言兩語就能得出結果，用平面向量基本定理轉化需要大量篇幅) 變式聯想變式聯想

4、 變式 1 答案： 2. 解法 1 因為abc4，所以aoc2，不妨設 a(1，0)，c(0，1)，b(cos，sin)，2，2，則 cosm，sinnmncossin 2sin4 2，當且僅當 54時取等號 解法 2 如圖，因為abc4，所以 aoc2，不妨設 a(1，0)，c(0，1)，b(x，y)(優(yōu)弧上的點)，由于obmoanoc，則(x，y)m(1，0)n(0，1)，即xm，yn，所以 mnxy2（x2y2） 2，當且僅當 xy22時取等號 解法 3 如圖，因為abc4，所以aoc2，不妨設 a(1，0)，c(0，1)，b(x，y)(優(yōu)弧 上的點)，則|ob|1，記 ob 的反向延長

5、線交 ac 于點 d，則因為 a，d，c 共線，設odoaoc，則 1，又因為 o，d，b 共線，設obkod(k0)，則obkodkoakocmoanoc，所以 mnk()k |ob|od|1|od|，當 d 位于 ac 中點時，|od|取得最小值，mn 取得最小值2，此時 xy22. (用等和線的知識三言兩語就能得出結果，用平面向量基本定理轉化需要大量篇幅) 變式 2 答案：12. 解法 1 以 a 為原點，以 ab 所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標系，設正方形abcd 的邊長為 1，則 e12，0 ，c(1，1)，d(0，1)，a(0，0)，設 p(cos，sin)，所以ac(1，1

6、)，又acdeap.故 12，1 (cos，sin)(1，1)， 所以12cos1，sin1， 故2sin2cos2cossin，32cossin， 從而 32sin2cos2cossin （2cossin）3sin32cossin 13sin32cossin，記 f()13sin32cossin，由題意得，02，則f() 66sin3cos（2cossin）20.所以 f() 1 3sin32cossin在0，2上 單 調 遞增，所以當 0 時， 的最小值為12. 解法 2 如圖，設正方形邊長為 1，將向量de沿 da 平移至af，則deaf，連接fp并延長交 ac的延長線于點 q， 由于

7、f，p，q 共線，設aqxafyapxdeyap，則 xy1， 因為 a，c，q 共線，設ackaq，則ackaqk(xdeyap)， 又因為acdeap，由平面向量基本定理得kx，ky，所以 kxkyk|ac|aq|2|aq|，當|aq|最大時， 取得最小值，此時 p，b 重合，|aq|2 2，所以()minkmin12. (用等和線的知識三言兩語就能得出結果，用平面向量基本定理轉化需要大量篇幅！) 說明：平面向量線性表示背景下的最值問題涉及平面向量的線性表示、平面向量基本定理、向量共線等知識點，解決此類問題通常是先合理設元將向量關系數量化進而得出未知元之間的關系式，再依據函數的單調性或基本

8、不等式求目標函數的最值解決問題的關鍵是目標的有效選擇與合理表征，等和線在解決線性目標函數問題時，比較快捷 串講激活串講激活 串講 1 答案： 723. 解法 1 以 a為原點，水平方向為 x 軸，豎直方向為 y 軸，建立平面直角坐標系，則 a(0，0)，b32，323 ， c32，323 ，設 p(cos，sin)，aq23ap13ac23(cos，sin) 1332，323 23cos12，23sin32， bq baaq32，323 23cos12，23sin3223cos2，23sin 3 ， 則|bq| 23cos2223sin 32679437sin（）( 是以 sin277， co

9、s217的非特殊角)，所以 |bq|679437sin（） 679437 6712 793 723 723. 解法 2 如圖，取 ac 的三等分點 d(靠近 a)，則ad13ac，又aq23ap13ac，即aq23apad，及dq23ap，因為點 p是以 a 為圓心的單位圓上一動點，所以點q 是以點 d 為圓心，23為半徑的圓上的動點，又 bd bc2dc22bc dccosbcd 3222232cos60 7，所以|bq|的最小值為 723. 串講 2 答案：94. 解法 1 由題意可知，m，e，n 三點共線，故設memn(01)，而ae12ad14(abac)，所以memn，即aeam(a

10、nam)，即14(abac)xab (y ac x ab) ， 即14xx ab14y ac0，所以 14xx0，14y0， 即x14（1），y14，故 4xy11141114(1)1145421145494，當且僅當114時，即 13時等號成立，故 4xy的最小值是94. 解法 2 由于 m，e，n 共線，設aeaman，則 1，因為amxab， anyac， 所以ae xabyac，由于 ad 為三角形 abc 的中線，所以ad12ab12ac，又因為 e 為 ad 中點，所以ae12ad14ab14acxabyac，所以 x14，y14，且 1，所以1x1y4(xy0)，所以 4xy14(4xy)1x1y 14414xyyx14524xyyx94，當且僅當 x38，y34時取得等號所以 4xy的最小值是94. 新題在線新題在線 答案：3. 解析：如圖，建立平面直角坐標系，設 a(0，1)，b(0，0)，c(2，0)，d(2，1)，p(x，y) 根據等面積公式可得圓的半徑 r2