淺談高中數(shù)學平均值不等式的運用_1

1、    淺談高中數(shù)學平均值不等式的運用    李睿賁說到高中數(shù)學，平均值不等式是不等式的重要內(nèi)容之一，是高中數(shù)學不等式一章中的最基礎(chǔ)、應用最廣泛的靈活因子。作為一名高中生來說，在數(shù)學課堂學習中，豐富平均值不等式這方面的知識對提高數(shù)學解題能力和數(shù)學修養(yǎng)等方面都是大有益處的。在處理有關(guān)平均值不等式的證明問題時，并非每一個問題都可以看出它是否可以使用均值不等式，這就存在一個如何創(chuàng)造使用均值不等式的環(huán)境問題.此時會用到平均值不等式的一些運用技巧。這些技巧體現(xiàn)了平均值不等式在數(shù)學問題中的靈活性、廣泛性與重要性。一、拆項法我們在解題時，要注意到使用n次平均值不等式的

2、前提必須是有n個和項或積項（注：在高中階段只要求n=2或n=3兩種情況），有時題設(shè)不具備n個項，這時我們可以考慮把一項或幾項進行分拆，產(chǎn)生n個項，以創(chuàng)造均值不等式的使用環(huán)境。二、添項法對不具備使用平均值不等式條件的關(guān)系式，添加一些關(guān)系式，創(chuàng)造均值不等式使用環(huán)境，也是一種常用手段。比如，如果所求式的形式為a+b且ab不為定值，我們可以考慮使用添項法，給所求式添上僅符號相反的同類項，把它變成a+c-c+b的形式.注意，添項后應符合“積為定值”的情形。通過添項我們把原式分為兩部分，這兩部分各項之積分別為定值，這是求解的關(guān)鍵。三、減項法多元輪換對稱不等式，常可利用減元或減項的方法化為二元不等式，創(chuàng)造使

3、用均值不等式的環(huán)境，然后輪換相加，以達到證明目的.四、代換法一般來說，對于以下三種情況，可用代換法求解：第一種情況，如果條件中存在或通過化簡能得到一個值為1的代數(shù)式，可把這個結(jié)果為1的代數(shù)式代入目標式中，變形后再利用均值不等式求解。第二種情況，對于多元條件的求最值問題，一般可考慮通過換元化多元為一元，將所求目標化為一元函數(shù)，再利用均值不等式求解。第三種情況，如果目標式含有分式且分母形式復雜，可以考慮用一元未知數(shù)替換分母，將分母的形式簡化后再求解。我們通過一個例題來看一下。例題：已知a，b都是負實數(shù)，則+的最小值是（ ）解析：在例題中，分母a+2b，a+b均為多項式，且·不為定值.若能

4、將分母轉(zhuǎn)化為單項式，則有利于問題的化簡和求值.設(shè)m=a+2b，n=a+b.因為a，b都是負實數(shù)，所以m<0，n<0，所以>0. 由m=a+2b，n=a+b可得a=2n-m，b=m-n，所以+=+=+-22-2=2-2.當且僅當=時等號成立.評注：例題中，采用了換元法，它的巧妙之處在于用m替換了分母a+2b，用n替換了分母a+b，把分母從多項式轉(zhuǎn)化為單項式，使化簡、計算更簡單.五、改變結(jié)構(gòu)法有些不等式僅從式子結(jié)構(gòu)上看并不具備使用均值不等式的環(huán)境，但如果對結(jié)構(gòu)式做適當?shù)淖兓?，解決的方式就一目了然了。比如，如果條件式和目標式的系數(shù)存在一定的聯(lián)系，可以根據(jù)題意對條件式或目標式進行變形

5、，如取倒數(shù)、平方、因式分解等，構(gòu)造出和或積是定值的情形，同時使得目標式與條件式相互對應。例題：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（a）3（b）4（c）5（d）6解析：我們發(fā)現(xiàn)，條件式x+2y+2xy=8的系數(shù)1，2，2和目標式x+2y的系數(shù)1，2具有一定的相似度.如果對條件式進行因式分解，將它變?yōu)椤胺e”式（x+1）（2y+1）=9，就可利用均值不等式求出“和”式（x+1）+（2y+1）的最小值.由x+2y+2xy=8可得（x+1）（2y+1）=9，所以（x+1）+（2y+1）2=6，即x+2y4.當且僅當x+1=2y+1，x+2y+2xy=8時等號成立.

6、 結(jié)合x>0，y>0，解得x=2，y=1.所以x+2y的最小值是4，選b.評注：由于目標式x+2y的形式為“和”式，所以我們嘗試從條件中找出與目標式系數(shù)相等的、具有定值的“積”式.對條件式重新進行組合，將它轉(zhuǎn)化為對應的“積”式（x+1）·（2y+1）=9，就能根據(jù)“積定和最小”求解.這正是此類問題的思考方向。有時候，我們可以把目標式看作一個整體，構(gòu)造一個關(guān)于目標式的不等式，通過解不等式求出答案。如何添項、拆項、換元、構(gòu)造，是利用均值不等式求最值問題的難點.但實際上，所有的配湊變形技巧都是為了實現(xiàn)“一正、二定、三相等”的目標，只要找準方向，使目標“和”與條件“積”對應，使目

7、標“積”與條件“和”對應，就能順利解題。平均值不等式始終貫穿于高中數(shù)學學習中，它是不等式的基礎(chǔ)，同時也是數(shù)學學習的重點、難點。它的應用很廣泛，尤其是在求函數(shù)最值的時候。事實上，利用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”的條件很重要，特別是“等號條件的成立”。但是，在運用均值不等式的時候，往往就容易產(chǎn)生這樣或那樣的錯誤。因此，我們在使用平均值不等式解題時，需要注意以下事項。（1）不同的均值不等式對實數(shù)的取值范圍有不同的要求，如果實數(shù)在二次根號下，要求實數(shù)大于等于零。（2）均值不等式是帶有等號的不等式，在解答此類問題時，首先，要考慮等號成立的條件。（3）為了便于掌握均值不等式，可以運用多種形式，例如，符號表達、圖形表達、生活用語。把生活語言表述成符號，容易看出其與均值不等式的密切關(guān)系。（4）解答圓的直徑與弦長大小的比較也可用均值不等式，體現(xiàn)了均值不等式的幾何意義。這是一個典型的幾何問題，在實際應用中有很多用處。（5）在周長相等的全部矩形中，面積是最大的是正方形。在面積相等的全部矩形中，周長最小的是正方形。這個結(jié)論通過反復驗證、分析，具有普遍意義。在重新整理了均值不等式的過程中，我開拓了解題思路，提高了