高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4節(jié) 等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)

1、1 / 15 第第 4 節(jié)節(jié) 等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì) 考試要求 梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì). 知 識 梳 理 1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法 (1)作差法ab0ab，ab0ab，ab0a1（ar，b0）ab（ar，b0），ab1ab（a，b0），ab0）a0）. 2.等式的性質(zhì) (1)對稱性：若 ab，則 ba. (2)傳遞性：若 ab，bc，則 ac. (3)可加性：若 ab，則 acbc. (4)可乘性：若 ab，則 acbc；若 ab，cd，則 acbd. 3.不等式的性質(zhì) (1)對稱性：abba； (2)傳遞性：ab，bcac； (3)可加性：

2、abacbc；ab，cdacbd； (4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd； (5)可乘方：ab0anbn(nn，n1)； (6)可開方：ab0nanb(nn，n2). 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.在不等式的兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號方向不變；同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號方向改變. 2 / 15 2.有關(guān)分式的性質(zhì) (1)若 ab0，m0，則babmam(bm0). (2)若 ab0，且 ab1a1，則 ab.( ) (4)0axb或 axb01b1x1，但 ay，則下列不等式成立的是( ) a.yx1 b.2x0 d.x2y2 解析 由 xy，得xy，所以 2x0

3、，q0，前 n 項(xiàng)和為 sn，則s3a3與s5a5的大小關(guān)系為_. (2)(一題多解)若 aln 33，bln 44，cln 55，則( ) a.abc b.cba c.cab d.bac 4 / 15 解析 (1)當(dāng) q1時(shí)，s3a33，s5a55，所以s3a30 且 q1時(shí)， s3a3s5a5a1（1q3）a1q2（1q）a1（1q5）a1q4（1q） q2（1q3）（1q5）q4（1q）q1q40， 所以s3a3s5a5.綜上可知s3a3s5a5. (2)法一 易知 a，b，c 都是正數(shù)，ba3ln 44ln 3log8164b；bc5ln 44ln 5log6251 0241，所以 b

4、c.即 cb0，得 0 xe；由 f(x)e. f(x)在(0，e)為增函數(shù)，在(e，)為減函數(shù). f(3)f(4)f(5)，即 abc. 答案 (1)s3a3、0，b0且 ab，(ab)20，ab0， (a3b3)(a2bab2)0， 即 a3b3a2bab2. (2)由題意知 p0，q0，則pq（ab）ab2ab baaab2 bba2abab2，若 ab0，則ab1，ab0，則pq1；若 0ab，則 0ab1，ab0，則pq1；若 ab，則pq1.綜上，pq，故選 a. 答案 (1) (2)a 考點(diǎn)二 不等式的性質(zhì) 【例 2】 (1)(多選題)設(shè) ba0，cr，則下列不等式中正確的是(

5、) a.a12b12 b.1ac1bc c.a2b2ab d.ac2bc2 (2)(組合選擇題)若1a1b0，給出下列不等式：1ab1ab；|a|b0；a1ab1b；ln a2ln b2.其中正確的不等式是( ) a. b. c. d. 解析 (1)因?yàn)?yx12在(0，)上是增函數(shù)，所以 a12b12.因?yàn)?y1xc 在(0，)上是減函數(shù)，所以1ac1bc.因?yàn)閍2b2ab2（ba）（b2）b0，所以a2b2ab.當(dāng)c0 時(shí)，ac2bc2，所以 d不成立，故選 abc. (2)法一 因?yàn)?a1b0，故可取 a1，b2. 顯然|a|b1210，所以錯誤；因?yàn)?ln a2ln(1)20，ln b

6、2ln(2)2ln 40，所以錯誤.綜上所述，可排除 a，b，d. 6 / 15 法二 由1a1b0，可知 ba0.中，因?yàn)?ab0，ab0，所以1ab0，1ab0.故有1ab1ab，即正確； 中，因?yàn)?ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故錯誤； 中，因?yàn)?ba0，又1a1b0，則1a1b0， 所以 a1ab1b，故正確； 中，因?yàn)?ba0，根據(jù) yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得 b2a20，而 yln x 在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以 ln b2ln a2，故錯誤.由以上分析，知正確. 答案 (1)abc (2)c 規(guī)律方法 解決此類題目常用的三種方法： (1)直接利用不等式

7、的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證； (2)利用特殊值法排除錯誤答案，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件； (3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷. 【訓(xùn)練 2】 (1)(2020 綿陽診斷改編)已知 a，b，c 滿足 cba，且 ac0，則下列選項(xiàng)中一定成立的是( ) a.abac b.c(ba)0 c.cb4ab4 d.ac(ac)0 (2)(2019 武漢聯(lián)考)下列命題中正確的是( ) a.若 ab，cr，則 acbc b.若 ab，cd，則acbd c.若 ab，cd，則 acbd d.若 ab0，ab，則

8、1a1b 解析 (1)因?yàn)?a，b，c 滿足 cba，且 ac0，所以 c0a.對于 a，因?yàn)?bc，a0，所以 abac，故 a 正確；對于 b，因?yàn)?ba，c0，所以 ba7 / 15 0，c0，所以 c(ba)0，故 b 不正確；對于 c，因?yàn)?ca，b40，所以cb4ab4，故 c 不正確；對于 d，因?yàn)?ac0，ac0，所以 ac(ac)0，故d不正確，故選 a. (2)a 中，當(dāng) c0 時(shí)不成立，c0 時(shí)也不成立，故 a 不正確.b 中，當(dāng) c0dba 時(shí)，ac0bd，故 b 不正確.c 中，因?yàn)?ab，(c)(d)，不滿足不等式的同向相加性，故 c 不正確.d 中，因?yàn)?ab0，

9、所以 a，b 同號，所以當(dāng) ab時(shí)，1a1b，故 d正確.故選 d. 答案 (1)a (2)d 考點(diǎn)三 不等式及其性質(zhì)的應(yīng)用 多維探究 角度 1 不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用 【例 31】 (2017 北京卷)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： (1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)； (2)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)； (3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù). 若教師人數(shù)為 4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_. 該小組人數(shù)的最小值為_. 解析 令男學(xué)生、女學(xué)生、教師人數(shù)分別為 x，y，z，且 2zxyz，若教師人數(shù)為 4，則 4yx8，當(dāng) x7 時(shí)，y 取得最大值 6.當(dāng) z1 時(shí)，1zyx2

10、，不滿足條件；當(dāng) z2 時(shí)，2zyx4，不滿足條件；當(dāng) z3 時(shí)，3zyx6，y4，x5，滿足條件.所以該小組人數(shù)的最小值為 34512. 答案 6 12 角度 2 利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍典例遷移 【例 32】 (經(jīng)典母題)已知1x4，2y3，則 xy 的取值范圍是_，3x2y 的取值范圍是_. 解析 因?yàn)?x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，所以 13x2y18. 答案 (4，2) (1，18) 【遷移 1】 將本例條件改為“1xy3”，求 xy 的取值范圍. 8 / 15 解 因?yàn)?x3，1y3， 所以3y1，4xy4. 又因?yàn)?x

11、y，所以 xy0， 由得4xy0， 故 xy 的取值范圍是(4，0). 【遷移 2】 將本例條件改為“已知1xy4，2xy3”，求 3x2y 的取值范圍. 解 設(shè) 3x2y(xy)(xy)， 即 3x2y()x()y， 于是3，2，解得12，52， 3x2y12(xy)52(xy). 1xy4，2xy3， 1212(xy)2，552(xy)152， 9212(xy)52(xy)192. 故 3x2y 的取值范圍是92，192. 規(guī)律方法 1.解決有關(guān)不等關(guān)系的實(shí)際問題，應(yīng)抓住關(guān)鍵字詞，例如“要”“必須”“不少于”“大于”等，從而建立相應(yīng)的方程或不等式模型. 2.利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的

12、取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍. 【訓(xùn)練 3】 (1)已知甲、乙兩種食物的維生素 a，b含量如下表： 甲 乙 維生素 a(單位/kg) 600 700 維生素 b(單位/kg) 800 400 9 / 15 設(shè)用甲、乙兩種食物各 x kg、y kg 配成至多 100 kg 的混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有 56 000 單位維生素 a和 62 000 單位維生素 b，則 x，y 應(yīng)滿足的所有不等關(guān)系為_. (2)(

13、2019 青島測試)已知實(shí)數(shù) a(1，3)，b18，14，則ab的取值范圍是_. 解析 (1)x，y 所滿足的關(guān)系為 xy100，600 x700y56 000，800 x400y62 000，x0，y0，即xy100，6x7y560，2xy155，x0，y0. (2)依題意可得 41b8，又 1a3，所以 4ab24. 答案 (1)xy100，6x7y560，2xy155，x0，y0 (2)(4，24) a級 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.限速 40 km/h 的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度 v 不超過40 km/h，寫成不等式為( ) a.v40 km/h c.v40 km/

14、h d.v40 km/h 解析 由汽車的速度 v 不超過 40 km/h，即小于等于 40 km/h，即 v40 km/h，故選 d. 答案 d 2.(多選題)下列四個(gè)條件，能推出1a1b成立的有( ) a.b0a b.0ab c.a0b d.ab0 解析 運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)，由 ab，ab0 可得1a1b，b、d 正確.又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，10 / 15 a正確，c 錯誤，故選 a，b，d. 答案 abd 3.若 a，b 都是實(shí)數(shù)，則“ a b0”是“a2b20”的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 解析 a b0 a baba2b2，但由 a2b2

15、0 a b0.故選 a. 答案 a 4.若 ab0，則下列不等式中一定成立的是( ) a.a1bb1a b.bab1a1 c.a1bb1a d.2aba2bab 解析 取 a2，b1，排除 b 與 d；另外，函數(shù) f(x)x1x是(0，)上的增函數(shù)，但函數(shù) g(x)x1x在(0，1上單調(diào)遞減，在1，)上單調(diào)遞增，所以，當(dāng) ab0 時(shí)，f(a)f(b)必定成立，即 a1ab1ba1bb1a，但 g(a)g(b)未必成立，故選 a. 答案 a 5.已知 a1(0，1)，a2(0，1)，記 ma1a2，na1a21，則 m與 n的大小關(guān)系是( ) a.mn c.mn d.不確定 解析 mna1a2(

16、a1a21) a1a2a1a21(a11)(a21)， 又 a1(0，1)，a2(0，1)， a110，a210，即 mn0，mn. 答案 b 6.(一題多解)(2019 全國卷)若 ab，則( ) a.ln(ab)0 b.3a0 d.|a|b| 解析 法一 由函數(shù) yln x 的圖象(圖略)知，當(dāng) 0ab1 時(shí)，ln(ab)b 時(shí)，3a3b，故 b 不正確；因?yàn)楹瘮?shù) yx3在 r 上單調(diào)遞增，所以當(dāng) ab時(shí)，a3b3，即 a3b30，故 c正確；當(dāng) ba0時(shí)，|a|b|，故 d不正確.故選 c. 法二 當(dāng) a0.3，b0.4 時(shí)，ln(ab)3b，|a|b|，故排除 a，b，d.故選 c.

17、答案 c 7.(2020 山東齊魯名校聯(lián)考)已知 0an b.mn c.mn d.不能確定 解析 0a0，1b0，1ab0. mn1a1a1b1b2（1ab）（1a）（1b）0，mn，故選 a. 答案 a 8.已知函數(shù) f(x)x3ax2bxc.且 0f(1)f(2)f(3)3，則( ) a.c3 b.3c6 c.69 解析 由 f(1)f(2)f(3) 得1abc84a2bc，1abc279a3bc，解得a6，b11， 則 f(x)x36x211xc， 由 0f(1)3，得 01611c3，即 6”“”或“”). 解析 分母有理化有15252，16 565，顯然52612 / 15 5，所以

18、15216 5. 答案 0，bcad0，則cadb0； 若 ab0，cadb0，則 bcad0； 若 bcad0，cadb0，則 ab0. 其中正確的命題是_(填序號). 解析 ab0，bcad0， cadbbcadab0，正確； ab0，又cadb0，即bcadab0， bcad0，正確； bcad0，又cadb0，即bcadab0， ab0，正確.故都正確. 答案 13 / 15 12.若 0ab，且 ab1，則將 a，b，12，2ab，a2b2從小到大排列為_. 解析 0ab且 ab1， a12b1且 2a1， a2b a2a(1a)2a22a2a1221212.即 a2ab11212， 即 a2b212. 12b1， (a2b2)b(1b)2b2b2b23b1