高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章 第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) (2)

1、1 / 12 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 考試要求 1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算. 2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為 2,3,10，12，13的指數(shù)函數(shù)的圖象. 3.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型 1根式 (1)n 次方根的概念 若 xna，則 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1且 nn*.式子na叫做根式，這里 n叫做根指數(shù)，a 叫做被開方數(shù) a 的 n 次方根的表示： xna xna，當(dāng)n為奇數(shù)且nn*，n1時，xna，當(dāng)n為偶數(shù)且nn*時. (2)根式的性質(zhì) (na)na(nn*，n1) n

2、an a，n為奇數(shù)，|a| a，a0，a，a0，n為偶數(shù). 2有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關(guān)概念 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：amn nam(a0，m，nn*，且 n1)； 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：amn 1a1nam(a0，m，nn*，且 n1)； 2 / 12 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) arasars(a0，r，sq)； (ar)sars(a0，r，sq)； (ab)rarbr(a0，b0，rq) 提醒：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中，要求底數(shù)都大于 0，否則不能用性質(zhì)來運算 3指數(shù)函數(shù)的概念 函數(shù) yax(a0，且 a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù) x 是自變量，a

3、是底數(shù)，指數(shù)函數(shù)的定義域為 r. 提醒：形如 ykax，yaxk(kr，且 k0；a0且 a1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù) 4指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) yax a1 0a1 圖象 定義域 r 值域 (0，) 性質(zhì) 過定點(0,1) 當(dāng) x0 時，y1； 當(dāng) x0時，0y1 當(dāng) x0時，0y1； 當(dāng) x0 時，y1 在 r 上是增函數(shù) 在 r 上是減函數(shù) 常用結(jié)論 1指數(shù)函數(shù)圖象的畫法 畫指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，1，1a. 2指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖3

4、/ 12 象，底數(shù) a，b，c，d與 1 之間的大小關(guān)系為 cd1ab0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù) yax(a0，a1)的圖象越高，底數(shù)越大 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)nan(na)na.( ) (2)(1) (1) 1.( ) (3)函數(shù) yax21 (a1)的值域是(0，)( ) (4)若 aman(a0，且 a1)，則 mn.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習(xí)題衍生 1(多選)下列運算正確的是( ) a.4(3)43 be2x(ex)2 c.3(ab)3ab d ab a b abc 對于 a，因為4(3)4|3|3

5、，所以 a正確； 對于 b，因為 e2x(ex)2，成立，所以 b正確； 對于 c，因為3(ab)3ab，成立，所以 c正確； 對于 d，當(dāng) a0且 b0 時， a和 b無意義，所以 d錯誤 故選 abc. 2若函數(shù) f(x)ax(a0，且 a1)的圖象經(jīng)過點 p2，12，則 f(1)_. 2 由題意知12a2，所以 a22， 所以 f(x)22x，所以 f(1)221 2. 3已知 a35，b35，c32，則 a，b，c 的大小關(guān)系是4 / 12 _ cba y35x是減函數(shù)， 3535350， 則 ab1， 又 c323201， cba. 4某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是 a 件，在今后 m 年內(nèi)，

6、計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加 p%，則該產(chǎn)品的產(chǎn)量 y 隨年數(shù) x 變化的函數(shù)解析式為_ ya(1p%)x(0 xm，xn) 當(dāng) x1時，yaap%a(1p%)， 當(dāng) x2時，ya(1p%)a(1p%)p%a(1p%)2， 當(dāng) x3時，ya(1p%)2a(1p%)2p%a(1p%)3， 當(dāng) xm時，ya(1p%)m， 因此 y 隨年數(shù) x 變化的函數(shù)解析式為 ya(1p%)x(0 xm，xn) 考點一 指數(shù)冪的化簡與求值 指數(shù)冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算 (2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù) (3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；

7、底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù) (4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答 1計算：2780.00210( 52)10_. 1679 原式32250010( 52)( 52)( 52)14910 510 52011679. 5 / 12 2化簡 (a0，b0)_. 3已知 ab5，則 ababab_. 0 由 ab5 知 a與 b 異號， abababaaba2babb2a 5|a|b 5|b|0. 點評：指數(shù)冪中當(dāng)指數(shù)為負(fù)數(shù)時，可把底數(shù)變?yōu)槠涞箶?shù)，從而指數(shù)化為正數(shù)，如144 . 考點二 指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 指數(shù)函數(shù)圖象問題的求解策略 變換 作圖 對指

8、數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題(單調(diào)性、最值、大小比較、零點等)的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問題得解 數(shù)形 結(jié)合 一些指數(shù)型方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解 典例 1 (1)函數(shù) f(x)axb的圖象如圖，其中 a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( ) aa1，b0 ba1，b0 c0a1，b0 d0a1，b0 (2)若曲線 y|3x1|與直線 ym有兩個不同交點，則實數(shù) m的取值范圍是_ (1)d (2)(0,1) (1)由 f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù) f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以 0a1.函數(shù) f(

9、x)axb的圖象是在 f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以 b0.故選 d. (2)曲線 y|3x1|的圖象是由函數(shù) y3x的圖象向下平移一6 / 12 個單位長度后，再把位于 x 軸下方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸上方得到的，而直線 ym的圖象是平行于 x 軸的一條直線，它的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線 y|3x1|與直線 ym有兩個公共點，則 m的取值范圍是(0,1) 母題變遷 1若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?3|x|1m有兩個不同實根，則實數(shù) m的取值范圍是_ (0，) 作出函數(shù) y3|x|1與 ym的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得 m的取值范圍是(0，) 2若本例(2)的條件變?yōu)?/p>

10、：函數(shù) y|3x1|m的圖象不經(jīng)過第二象限，則實數(shù) m的取值范圍是_ (，1 作出函數(shù) y|3x1|m的圖象如圖所示 由圖象知 m1，即 m(，1 點評：注意區(qū)分函數(shù) y3|x|與 y|3x| y3|x|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y 軸對稱，y|3x|不是偶函數(shù)，其圖象都在 x軸上方，在這里 y|3x|3x. 跟進(jìn)訓(xùn)練 1已知函數(shù) f(x)ax1(a0，且 a1)的圖象恒過點 a，下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點 a的是( ) ay 1x by|x2| cy2x1 dylog2(2x) a 易知 a(1,1)經(jīng)驗證可得 y 1x的圖象不經(jīng)過點 a(1,1)，故選 a. 2已知實數(shù) a，b滿足等式 2 019

11、a2 020b，下列五個關(guān)系式： 7 / 12 0ba；ab0；0ab；ba0；ab. 其中不可能成立的關(guān)系式有_(填序號) 作出 y2 019x及 y2 020 x的圖象如圖所示，由圖可知 ab0，ab0或 ab0時，有 2 019a2 020b，而不可能成立 考點三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 比較指數(shù)式的大小 比較冪值大小的三種類型及處理方法 典例 21 (1)已知 a20.2，b0.40.2，c0.40.6，則( ) aabc bacb ccab dbca (2)若 2x5y2y5x，則有( ) axy0 bxy0 cxy0 dxy0 (1)a (2)b (1)由 0.20.6,0.41，

12、并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知 0.40.20.40.6，即 bc.因為 a20.21，b0.40.21，所以 ab.綜上，abc，故選a. (2)設(shè)函數(shù) f(x)2x5x，易知 f(x)為增函數(shù) 又 f(y)2y5y，由已知得 f(x)f(y)，所以 xy，所以 xy0. 點評：在比較指數(shù)式大小時，看底數(shù)能否化為同底是非常重要的一個思維意識 解簡單的指數(shù)方程或不等式 指數(shù)方程或不等式的解法 (1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù) af(x)ag(x)f(x)g(x) af(x)ag(x)，當(dāng) a1時，等價于 f(x)g(x)； 8 / 12 當(dāng) 0a1時，等價于 f(x)g(x) (2)解指數(shù)方程或不等式

13、的方法 先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解 典例 22 (1)已知實數(shù) a1，函數(shù) f(x) 4x，x0，2ax，x0，若 f(1a)f(a1)，則 a 的值為_ (2)設(shè)函數(shù) f(x) 12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，則實數(shù) a 的取值范圍是_ (1)12 (2)(3,1) (1)當(dāng) a1時，41a21，解得 a12；當(dāng) a1時，代入不成立故 a的值為12. (2)若 a0，則 f(a)112a7112a8，解得 a3，故3a0； 若 a0，則 f(a)1 a1，解得 a1，故 0a1. 綜合可得3a1. 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域 1

14、.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 形如函數(shù) yaf(x)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與 f(x)的單調(diào)區(qū)間有關(guān)： (1)若 a1，函數(shù) f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù) yaf(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間； (2)若 0a1，函數(shù) f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù) yaf(x)的單調(diào)減(增)區(qū)間即“同增異減” 2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域 形如 yaf(x)的函數(shù)的值域，可先求 f(x)的值域再根據(jù)函數(shù) yat的單調(diào)性確定 yaf(x)的值域 典例 23 已知函數(shù) f(x)13ax24x3. (1)若 a1，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； 9 / 12 (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (

15、3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值 解 (1)當(dāng) a1 時，f(x)13x24x3，令 g(x)x24x3，由于 g(x)在 (，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，而 y13t在 r 上單調(diào)遞減，所以 f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，即函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，2) (2)令 g(x)ax24x3，則 f(x)13g(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)應(yīng)有最小值1， 因此必有 a0，3a4a1， 解得 a1，即當(dāng) f(x)有最大值 3時，a的值等于 1. (3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使 f(x)的值域為(0，)，

16、 應(yīng)使 yax24x3的值域為 r， 因此只能 a0(因為若 a0，則 yax24x3為二次函數(shù)，其值域不可能為 r) 故 a的值為 0. 點評：形如 yaf(x)(a0)的函數(shù)的定義域就是函數(shù) yf(x)的定義域 跟進(jìn)訓(xùn)練 1若 2x2114x2，則函數(shù) y2x的值域是( ) a.18，2 b18，2 c.，18 d2，) b 2 x2114x22 x21242xx2142x， 解得3x1，232x2，即18y2，故選 b. 10 / 12 2已知 f(x)2x2x，a79，b97，則 f(a)，f(b)的大小關(guān)系是_ f(a)f(b) a7997，則9797，即 ab， 又函數(shù) f(x)2

17、x2x是 r 上的增函數(shù) f(a)f(b) 3函數(shù) y12x22x1的值域是_ (0,4 設(shè) tx22x1，則 y12t. 因為 0121，所以 y12t為關(guān)于 t 的減函數(shù) 因為 t(x1)222，所以 0y12t1224，故所求函數(shù)的值域為(0,4 4函數(shù) y14x12x1 在區(qū)間3,2上的值域是_ 34，57 令 t12x，由 x3,2得 t14，8 ， yt2t1t12234， 當(dāng) t12時，ymin34，當(dāng) t8時，ymax57，故所求值域為34，57 . 考點四 指數(shù)型函數(shù)的綜合應(yīng)用 指數(shù)函數(shù)通過平移、伸縮及翻折等變換，或與其他函數(shù)進(jìn)行結(jié)合形成復(fù)合函數(shù)時，我們對這類問題的解決方式是

18、進(jìn)行還原分離，化繁為簡，借助函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性及周期性解決問題 典例 3 已知函數(shù) f(x)2ax4a2axa(a0且 a1)是定義在 r 上的奇函數(shù) (1)求 a 的值； (2)求函數(shù) f(x)的值域； (3)當(dāng) x1,2時，2mf(x)2x0恒成立，求實數(shù) m的取值范圍 11 / 12 解 (1)f(x)是 r 上的奇函數(shù)，f(x)f(x)， 即2ax4a2axa2ax4a2axa，得 a2. (注：本題也可由 f(0)0 解得 a2，但要進(jìn)行驗證) (2)由(1)可得 f(x)2 2x22 2x22x12x1122x1， 函數(shù) f(x)在 r 上單調(diào)遞增 又 2x11，222x10， 1122x11. 函數(shù) f(x)的值域為(1,1) (3)當(dāng) x1,2時，f(x)2x12x10. 由題意得 mf(x)m2x12x12x2在 x1,2時恒成立， m(2x1)(2x2)2x1在 x1,2時恒成立 令 t2x