高中數(shù)學必修一第五章 章末復習

1、1 / 8 章末復習章末復習 一、三角函數(shù)式的化簡、求值 1(1)兩個基本關系式 sin2cos21及sin cos tan ； (2)誘導公式：可概括為 k2 (kz)的各三角函數(shù)值的化簡公式記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限 (3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式 2化簡三角函數(shù)式的常用方法有：直接應用公式；切化弦；異角化同角；特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化；通分、約分；配方去根號 3求值一般包括：(1)給角求值；(2)給值求值；(3)給值求角 4掌握三角函數(shù)中公式的正用、逆用及變形用，重點提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng) 2 / 8 例 1 已知 sin4 sin4 16，2， ，則

2、sin 41cos2的值為_ 答案 4 215 解析 sin4 sin4 16， sin4 cos4 16， sin22 13，即 cos 213. 又 2， ，2(，2)， sin 2 1cos2211322 23， sin 41cos22sin 2 cos 211cos 2222 2313111324 215. 反思感悟 三角函數(shù)式的求值、化簡的策略 (1)化弦：當三角函數(shù)式中含有正、余弦及正切函數(shù)時，往往把切化為弦，再化簡變形 (2)化切：當三角函數(shù)式中含有正切及其他三角函數(shù)時，有時可將三角函數(shù)名稱統(tǒng)一為正切，再化簡 (3)“1”的代換：在三角函數(shù)式中，有時會含有常數(shù) 1，常數(shù) 1 雖然

3、非常簡單，但有些化簡卻需要利用公式將 1 代換為三角函數(shù)式 三角函數(shù)式化簡的實質是靈活地運用公式進行運算，從而得到一個便于觀察和研究的結果，在這個過程中，要體現(xiàn)一個“活”字.當然“活”的體現(xiàn)涉及公式的“活”和角的“活”. 跟蹤訓練 1 已知 ，為銳角，cos 45，tan()13，則 cos 的值為_ 答案 9 1050 解析 注意到所給值的角與要求函數(shù)值的角之間的差異，因此考慮將單角變?yōu)閺徒牵谑?02，02，22， 又 tan()13，20. 又cos 45，00，0，02的 圖 象 上 的 一 個 最 低 點 為m 23，2 ，周期為 . (1)求 f(x)的解析式； (2)將 yf(x

4、)的圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的 2 倍(縱坐標不變)，然后再將所得的圖象沿 x 軸向右平移6個單位長度，得到函數(shù) yg(x)的圖象，寫出函數(shù) yg(x)的解析式； (3)當 x0，12時，求函數(shù) f(x)的最大值和最小值 解 (1)t2，2， 又 f(x)min2. a2，由 f(x)的最低點為 m， sin43 1. 02，43430，0)的函數(shù)的單調區(qū)間可以通過解不等式方法去解答，即把 x 視為一個“整體”，分別與正弦函數(shù) ysin x，余弦函數(shù)ycos x 的單調遞增(減)區(qū)間對應解出 x，即得所求的單調遞增(減)區(qū)間 (2)周期性：函數(shù) yasin(x)和 yacos(x)的最

5、小正周期為2|，ytan(x)的最小正周期為|. (3)奇偶性：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為 yasin x 或 yatan x，而偶函數(shù)一般可化為 yacos xb的形式 跟蹤訓練 2 (1)已知曲線 c1：ycos x，c2：ysin2x23，則下面結論正確的是( ) a把 c1上各點的橫坐標伸長到原來的 2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移6個單位長度，得到曲線 c2 b把 c1上各點的橫坐標伸長到原來的 2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線 c2 c把 c1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移6個單位長度，得到曲線 c2

6、 d把 c1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線 c2 答案 d 解析 因為 ysin2x23cos2x232cos2x6， 所以曲線 c1：ycos x 上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，得到曲線 ycos 2x， 5 / 8 再把得到的曲線 ycos 2x向左平移12個單位長度， 得到曲線 ycos 2x12cos2x6. 故選 d. (2)把函數(shù) f(x)2cos(x)(0,0)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的 2倍，縱坐標不變，然后再向左平移6個單位長度，得到一個最小正周期為 2 的奇函數(shù) g(x)，則 和 的值分別

7、為( ) a1，3 b2，3 c.12，6 d.12，3 考點 三角函數(shù)圖象的綜合應用 題點 三角函數(shù)圖象的綜合應用 答案 b 解析 依題意得 f(x)第一次變換得到的函數(shù)解析式為 m(x)2cos2x ， 則函數(shù) g(x)2cosx212 . 因為函數(shù)的最小正周期為 2，所以 2， 則 g(x)2cosx6 . 又因為函數(shù)為奇函數(shù)， 所以 6k2，kz， 又 0，則 3. 三、三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合問題 1三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應問題，常以三角恒等變換為主要的化簡手段，考查三角函數(shù)的性質當給出的三角函數(shù)關系式較為復雜時，我們要先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達式變形化簡為 ya

8、sin(x)k 或 yacos(x)k 等形式，然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質 2通過三角恒等變換，進而研究三角函數(shù)的性質，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng) 例 3 已知函數(shù) f(x)cos xsinx3 3cos2x34，xr. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在閉區(qū)間4，4上的最大值和最小值 解 (1)f(x)cos x12sin x32cos x 3cos2x34 6 / 8 12sin x cos x32cos2x34 14sin 2x34(1cos 2x)34 14sin 2x34cos 2x12sin2x3. f(x)的最小正周期 t22. (2)4x4

9、， 562x36， 1sin2x312， 12f(x)14， 函數(shù) f(x)在閉區(qū)間4，4上的最大值為14，最小值為12. 反思感悟 解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問題的關鍵在于熟練地運用基本的三角恒等變換思想方法，對其解析式變形、化簡，盡量使其化為只有一個角為自變量的三角函數(shù)解決與圖象和性質有關的問題，在進行恒等變換時，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代換、降冪與升冪、收縮代換、和差與積的互化，角的代換)的運用；還要注意一般的數(shù)學思想方法(如換元法等)的運用 跟蹤訓練 3 已知函數(shù) f(x)(sin xcos x)sin 2xsin x. (1)求 f(x)的定義域及最小正周期； (2)

10、求 f(x)的單調遞減區(qū)間 解 (1)由 sin x0得 xk(kz)，故 f(x)的定義域為xr|xk，kz 因為 f(x)(sin xcos x)sin 2xsin x2cos x(sin xcos x) sin 2xcos 2x1 2sin2x41， 所以 f(x)的最小正周期 t22. (2)函數(shù) ysin x的單調遞減區(qū)間為2k2，2k32(kz) 由 2k22x42k32，xk(kz)， 得 k38xk78(kz)， 7 / 8 所以 f(x)的單調遞減區(qū)間為k38，k78(kz) 1為得到函數(shù) ycosx3的圖象，只需將函數(shù) ysin x的圖象( ) a向左平移6個單位長度 b向

11、右平移6個單位長度 c向左平移56個單位長度 d向右平移56個單位長度 答案 c 解析 ycosx3sinx32sinx56， 只需將 ysin x的圖象向左平移56個單位長度 2函數(shù) f(x)cos 2x6cos2x 的最大值為( ) a4 b5 c6 d7 答案 b 解析 因為 f(x)cos 2x6cos2x cos 2x6sin x12sin2x6sin x2sin x322112， 又 sin x1,1，所以當 sin x1時，f(x)取得最大值 5. 3中國最高的摩天輪是“南昌之星”，它的最高點離地面 160 米，直徑為 156 米，并以每30 分鐘一周的速度勻速旋轉，若從最低點開

12、始計時，則摩天輪旋轉 5 分鐘后離地面的高度為( ) a41米 b43米 c78米 d118 米 答案 b 解析 摩天輪轉軸離地面高 160156282(米)，2t15，摩天輪上某個點 p 離地面的高度 h 米與時間 t分鐘的函數(shù)關系是 h8278cos 15t，當摩天輪運行 5分鐘時，其離地面高度為 h8278cos米) 8 / 8 4已知 cos6sin 453，則 sin76的值為_ 答案 45 解析 由已知得32cos 32sin 453， 所以12cos 32sin 45，即 sin645， 因此 sin76sin645. 5關于函數(shù) f(x)cos2x31有以下結論： 函數(shù) f(x)的值域是0,2； 點512，0 是函數(shù) f(x)的圖象的一個對稱中心； 直線 x3是函數(shù) f(x)的圖象的一條對稱軸； 將函數(shù) f(x)的圖象向右平移6個單位長度后，與所得圖象對應的函數(shù)是偶函數(shù) 其中，所有正確結論的序號是_ 答案 解析 1cos2