2002考研數(shù)學(xué)一真題

1、2002 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 ) （1）exxdx2ln= _. （2）已知0162xxyey，則(0)y=_. （3）02yyy滿足初始條件21)0(,1)0(yy的特解是 _. （4）已知實(shí)二次型323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型216 yf，則 a =_. （5）設(shè)隨機(jī)變量),(2nx，且二次方程042xyy無(wú)實(shí)根的概率為05，則 _. 二、單項(xiàng)選擇題(本題共 5小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15分 ) （1）考慮二元函數(shù)),(yxf的四條

2、性質(zhì)：),(yxf在點(diǎn)),(00yx處連續(xù)，),(yxf在點(diǎn)),(00yx處的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，),(yxf在點(diǎn)),(00yx處可微，),(yxf在點(diǎn)),(00yx處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在則有：（）；（）；（）；（）（2）設(shè)0nu，且1limnnun，則級(jí)數(shù))11()1(11nnnuu(a)發(fā)散；(b)絕對(duì)收斂；(c)條件收斂；(d)收斂性不能判定（3）設(shè)函數(shù))(xf在r上有界且可導(dǎo)，則(a)當(dāng)0)(limxfx時(shí)，必有0)(limxfx；（）當(dāng))(limxfx存在時(shí)，必有0)(limxfx；(c) 當(dāng)0)(lim0 xfx時(shí)，必有0)(lim0 xfx；(d) 當(dāng))(lim0 xfx存在時(shí)，必有0)

3、(lim0 xfx（4）設(shè)有三張不同平面，其方程為iiiidzcybxa（3,2,1i）它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為，則這三張平面可能的位置關(guān)系為（5）設(shè) x和 y是相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的密度函數(shù)分別為)( xfx和)( yfy，分布函數(shù)分別為)( xfx和)( yfy，則（）)(xfx)( yfy必為密度函數(shù)；(b) )( xfx)( yfy必為密度函數(shù)；（）)( xfx)( yfy必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)；(d) )(xfx)( yfy必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、 （本題滿分6 分）設(shè)函數(shù))( xf在 x 的某鄰域具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且0)0()0(ff，

4、當(dāng)0h時(shí)，若)()0()2()(hofhbfhaf，試求ba,的值四、 （本題滿分分）已知兩曲線)( xfy與xtdteyarctan02在點(diǎn)（，）處的切線相同求此切線的方程，并求極限)2(limnnfn五、 （本題滿分分）計(jì)算二重積分dxdyedyx,max22，其中10,10|),(yxyxd六、 （本題滿分分）設(shè)函數(shù))(xf在r上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，l是上半平面（y）內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)為（ba,） ，終點(diǎn)為（dc,） 記dyxyfyyxdxxyfyyi1)()(11222，（）證明曲線積分i與路徑l無(wú)關(guān)；（）當(dāng)cdab時(shí)，求i的值七、 （本題滿分7 分）驗(yàn)證函數(shù)03)!3()(nn

5、nxxy（x）滿足微分方程xeyyy；求冪級(jí)數(shù)03)!3()(nnnxxy的和函數(shù)八、 （本題滿分分）設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy面，其底部所占的區(qū)域?yàn)?5|),(22xyyxyxd，小山的高度函數(shù)為),(yxhxyyx2275（）設(shè)),(00yxm為區(qū)域d上一點(diǎn)，問(wèn)),(yxh在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大？若此方向的方向?qū)?shù)為),(00yxg，寫出),(00yxg的表達(dá)式（）現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)也就是說(shuō)要在d的邊界線上找出使（）中),(yxg達(dá)到最大值的點(diǎn)試確定攀登起點(diǎn)的位置九、 （本題滿分6 分） 已知四階方陣),(4321a，4321,均為四維列向量，其 中432,線 性 無(wú) 關(guān)，3212 若4321， 求 線 性方 程 組ax的通解十、 （本題滿分8 分） 設(shè) a，為同階方陣，若 a，相似，證明a，的特征多項(xiàng)式相等；舉一個(gè)二階方陣的例子說(shuō)明的逆命題不成立；當(dāng) a，為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，證明的逆命題成立十一、 （本題滿分7 分） 設(shè)維隨機(jī)變量x 的概率密度為其他xxfx00cos)(221對(duì) x獨(dú)立地重復(fù)觀察次，用表示觀察值大于3的次數(shù)，求2