傳遞講義3實(shí)用教案

1、連續(xù)性方程(fngchng)的推導(dǎo))12(0zuyuxuzyx-連續(xù)性方程(fngchng)（continuity equation）1第1頁(yè)/共45頁(yè)第一頁(yè)，共46頁(yè)。2.4.1 連續(xù)性方程(fngchng)的推導(dǎo)寫(xiě)作(xizu)算符形式：)22(0u連續(xù)性方程(fngchng)適用的場(chǎng)合：定態(tài)(steady not static)/非定態(tài)，湍流/層流，牛頓/非牛頓流體，可壓縮/不可壓縮建筑物的實(shí)用性充其量與其基礎(chǔ)一樣！模型的限定。2第2頁(yè)/共45頁(yè)第二頁(yè)，共46頁(yè)。2.4.2 連續(xù)性方程(fngchng)的分析連續(xù)性方程(fngchng)的隨體導(dǎo)數(shù)形式 展開(kāi)式（2-1）得0(23)yxzx

2、yzuuuxyzuuuxyz10(24 )10(24 )yxzuuuDaxyzDDubD或3第3頁(yè)/共45頁(yè)第三頁(yè)，共46頁(yè)。2.4.2 連續(xù)性方程(fngchng)的分析連續(xù)性方程(fngchng)的簡(jiǎn)化：a)定態(tài)下 ，式（2-1）簡(jiǎn)作0(25)yxzuuuxyz0026yxzuuuuxyz或（）0b)不可壓縮流（密度與時(shí)間、空間(kngjin)無(wú)關(guān)）4第4頁(yè)/共45頁(yè)第四頁(yè)，共46頁(yè)。00yxzuuuuxyz關(guān)于或流體微元拉伸變形(bin xng)示意yxd xxuxxuudxxxudLdxdtxudtxudLdxdtx單位時(shí)間、單位長(zhǎng)度的線變形量：線應(yīng)變變化率5第5頁(yè)/共45頁(yè)第五頁(yè)，共

3、46頁(yè)。式左為線形（應(yīng)）變速率；式右為體積(tj)膨脹速率。對(duì)于不可壓縮流體，任意情形下有10(24 )10(24 )yxzuuuDaxyzDDubD或3311mmm smsvDvuv D000DvDuDD或者也即6第6頁(yè)/共45頁(yè)第六頁(yè)，共46頁(yè)。柱坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程(fngchng)11()()()0rzruuurrrz 時(shí)間； r 徑向座標(biāo)； z 軸向座標(biāo)；方位角； 各方向的速度分量。,rzu u u7第7頁(yè)/共45頁(yè)第七頁(yè)，共46頁(yè)。小結(jié)：連續(xù)性方程(fngchng)的推導(dǎo) 分析方法：歐拉法 理論依據(jù)：質(zhì)量(zhling)守恒定律 計(jì)算關(guān)系：（輸出）（輸入）（累積）08第8頁(yè)/共45

4、頁(yè)第八頁(yè)，共46頁(yè)。) 12(0zuyuxuzyx10(24 )10(24 )yxzuuuDaxyzDDubD 或1 DD uvv體積膨脹(png zhng)速率線性形變(xngbin)速率9第9頁(yè)/共45頁(yè)第九頁(yè)，共46頁(yè)。1. 穩(wěn)態(tài)流動(dòng)(lidng)2. 不可(bk)壓縮流體()()()0yxzuuuxyz0yxzuuuxyz0u10第10頁(yè)/共45頁(yè)第十頁(yè)，共46頁(yè)。11第三次作業(yè)(zuy)：注意維數(shù)、定態(tài)和坐標(biāo)系選取第11頁(yè)/共45頁(yè)第十一頁(yè)，共46頁(yè)。12第三次作業(yè)(zuy)：注意維數(shù)、定態(tài)和坐標(biāo)系選取第12頁(yè)/共45頁(yè)第十二頁(yè)，共46頁(yè)。132.5 運(yùn)動(dòng)方程(fngchng)（動(dòng)量

5、方程(fngchng)，N-S方程(fngchng)）第13頁(yè)/共45頁(yè)第十三頁(yè)，共46頁(yè)。原理：牛頓第二定律(dngl)，流體微元的質(zhì)量與加速度的乘積等于該微元體所受合外力NssmkgdddFuMiF導(dǎo)出方法：拉格朗日觀點(diǎn)（跡線上的流體微元），固定質(zhì)量(zhling)，取為正六面體，記慣性力為 （inertia），所以2.5.1 以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)(yndng)方程14第14頁(yè)/共45頁(yè)第十四頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力表示(biosh)的運(yùn)動(dòng)方程FdDuDdxdydzDuDMFdi化率（加速度）沿跡線速度隨時(shí)間的變DuD NkdFjdFidFkDDujDDuiDDudxdydzzyxzy

6、xkdFjdFidFFdzyx其中：合外力為以下采用(ciyng)矢量方法推導(dǎo)，與書(shū)中方法不同。15第15頁(yè)/共45頁(yè)第十五頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)(yndng)方程1）微元受力：合外力的構(gòu)成及其表達(dá)式 徹體力（body force）：作用于微元內(nèi) 每一質(zhì)點(diǎn)，此處僅考慮質(zhì)量力，即重力，記 。 表面力（surface force）：作用于微元表面上的力，如壓力(yl)，剪切力（摩擦力）等，記 。一般以表面應(yīng)力（N/m2）度量。BFSFSBFdFdFd16第16頁(yè)/共45頁(yè)第十六頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力(yngl)表示的運(yùn)動(dòng)方程 質(zhì)量力的表達(dá)式定義： X，Y和Z分別(fn

7、bi)為單位質(zhì)量流體所受重力在x, y和z方向的分量。kFjFiFFBzByBxBdxdydzfdxdydzkZjYiXFdBBsmkgN2kZjYiXfB17第17頁(yè)/共45頁(yè)第十七頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力表示(biosh)的運(yùn)動(dòng)方程表面力的表達(dá)式表面力：流體(lit)微元表面（或?qū)樱┧艿淖饔昧Α１砻鎽?yīng)力：?jiǎn)挝幻娣e上作用的表面力。包括（1）法向（正）應(yīng)力；和（2）切向（剪）應(yīng)力。如圖所示，在垂直x軸的面元上受正應(yīng)力 ，剪應(yīng)力 和 ，合成的應(yīng)力矢量xxxyxzkjiPxzxyxxx18第18頁(yè)/共45頁(yè)第十八頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力表示(biosh)的運(yùn)動(dòng)方程控制(kngzh

8、)體示意yzdxdzdyxxPdxxPPxxxyxzxx19第19頁(yè)/共45頁(yè)第十九頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力表示(biosh)的運(yùn)動(dòng)方程如圖所示，相鄰dx處垂直x的面元受的合應(yīng)力所以(suy)，作用在垂直x的兩面元的表面力的合力成為dxxPPPxxdxxxdxdydzxPdydzPPxxxdxxx 20第20頁(yè)/共45頁(yè)第二十頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力表示(biosh)的運(yùn)動(dòng)方程同理，在垂直y軸、 z軸的兩面(lingmin)元上的合力分別為其中dxdydzyPydxdydzzPzkjiPyzyyyxykjiPzzzyzxz21第21頁(yè)/共45頁(yè)第二十一頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1

9、以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)(yndng)方程所以(suy)，作用于六面體微元的表面力的合力為dxdydzzPyPxPFdzyxSdxdydzkzyxjzyxizyxzzyzxzzyyyxyzxyxxx不同(b tn)方向的應(yīng)力22第22頁(yè)/共45頁(yè)第二十二頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)(yndng)方程如此得一個(gè)應(yīng)力張量（tensor）：9個(gè)分量第一個(gè)下標(biāo)(xi bio)為與應(yīng)力作用面垂直的坐標(biāo)軸；第二個(gè)下標(biāo)(xi bio)為應(yīng)力的作用方向法向應(yīng)力或正應(yīng)力取沿作用面的外法線方向?yàn)檎? 因此與壓強(qiáng)是相反的；對(duì)剪切應(yīng)力，當(dāng)作用面的外法線的方向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)，沿坐標(biāo)軸的正方向剪切應(yīng)力為正，當(dāng)作

10、用面的外法線的方向沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向剪切應(yīng)力為正。zzzyzxyzyyyxxzxyxx23第23頁(yè)/共45頁(yè)第二十三頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力(yngl)表示的運(yùn)動(dòng)方程（2）以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程(fngchng)所以，x方向的表面力分量將x方向的表面力、質(zhì)量力代入流體微元在x方向的分量式得：dxdydzzyxdFzxyxxxSx表面力質(zhì)量力慣性力azyxXDDuzxyxxxx7224第24頁(yè)/共45頁(yè)第二十四頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.1 以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)(yndng)方程同理：在y和z方向有以上三式為以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)(yndng)方程（力動(dòng)量平衡方程），適用牛頓/非牛頓流體

11、bzyxYDDuzyyyxyy72czyxZDDuzzyzxzz7225第25頁(yè)/共45頁(yè)第二十五頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.2 牛頓流體的應(yīng)力與形變(xngbin)速率(本構(gòu))關(guān)系 分析式（2-7）可知，未知量應(yīng)力有9個(gè)（應(yīng)力張量），速度有3個(gè)，外加密度共13個(gè)，已知偏微分方程(wi fn fn chn)有4個(gè)（三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)方程和1個(gè)連續(xù)性方程），數(shù)學(xué)上不封閉（不構(gòu)成定解問(wèn)題），需補(bǔ)充新關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）。 26第26頁(yè)/共45頁(yè)第二十六頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.2 牛頓流體的應(yīng)力(yngl)與形（應(yīng)）變速率關(guān)系 對(duì)于三維流動(dòng)(lidng)，Stokes引入以下關(guān)系式：xuyuyxyxxyzuyuyz

12、zyyzzuxuxzxzzx由此可知，6個(gè)切應(yīng)力只有(zhyu)3個(gè)是未知的，張量對(duì)稱(chēng)。（1）切向應(yīng)力（剪應(yīng)力）27第27頁(yè)/共45頁(yè)第二十七頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.2 牛頓流體的應(yīng)力與形變速率(sl)關(guān)系（2）法向（正）應(yīng)力包括:(1)流體靜壓強(qiáng)-體積形變;(2)粘性(zhn xn)應(yīng)力作用-線性形變zuyuxuxuPzyxxxx322zuyuxuyuPzyxyyy322zuyuxuzuPzyxzzz322前面6式稱(chēng)廣義牛頓粘性定律(dngl)，適用牛頓流體?？茖W(xué)上得到這些關(guān)系用了約100年！28第28頁(yè)/共45頁(yè)第二十八頁(yè)，共46頁(yè)。關(guān)于對(duì)稱(chēng)(duchn)的說(shuō)明 雙側(cè)對(duì)稱(chēng)（bilateral

13、 symmetry）：天平，左右對(duì)稱(chēng)。 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)（rotational symmetry）:如果圖形在繞軸L的所有旋轉(zhuǎn)下，仍變?yōu)樽陨恚Q(chēng)圖形關(guān)于L有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。例如： 柱坐標(biāo)(zubio)中的軸對(duì)稱(chēng) 球坐標(biāo)(zubio)中的球心對(duì)稱(chēng)某種不可(bk)分辨性29第29頁(yè)/共45頁(yè)第二十九頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.3奈維-斯托克斯方程（N-S方程，動(dòng)量(dngling)方程，運(yùn)動(dòng)方程）前已導(dǎo)出x方向(fngxing)的力動(dòng)量方程zyxXDDuzxyxxxx22222213xxxxyxzDuuuuPXDxxyzuuuxxyz將正應(yīng)力(yngl)和切應(yīng)力(yngl)式代入上式整理得：30第30頁(yè)/共45頁(yè)第

14、三十頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.3奈維-斯托克斯方程(fngchng)同理，在y, z方向(fngxing)分別有22222213zzzzyxzDuuuuPZDZxyzuuuzxyz22222213yyyyyxzDuuuuPYDyxyzuuuyxyz31第31頁(yè)/共45頁(yè)第三十一頁(yè)，共46頁(yè)。2.5.3奈維-斯托克斯方程(fngchng)寫(xiě)作(xizu)算符形式：32mN31uuPfDuDBkgN3112uuPfDuDB或N-S方程適用(shyng)的場(chǎng)合：定態(tài)/非定態(tài)系統(tǒng)，層流，牛頓型流體，可壓縮/不可壓縮流體，理想/非理想流體32第32頁(yè)/共45頁(yè)第三十二頁(yè)，共46頁(yè)。N-S方程(fngchng

15、)不適于湍流的說(shuō)明 N-S N-S方程描述的是任一瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。原則上講，即適于層流也適于湍流。方程描述的是任一瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。原則上講，即適于層流也適于湍流。但由于湍流中各流體質(zhì)點(diǎn)呈高頻隨機(jī)脈動(dòng)，以至于各物理量亦高頻脈動(dòng)，但由于湍流中各流體質(zhì)點(diǎn)呈高頻隨機(jī)脈動(dòng)，以至于各物理量亦高頻脈動(dòng)，N-SN-S方程無(wú)法方程無(wú)法追蹤這些極為錯(cuò)綜復(fù)雜的流體質(zhì)點(diǎn)和漩渦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。需要追蹤這些極為錯(cuò)綜復(fù)雜的流體質(zhì)點(diǎn)和漩渦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。需要(xyo)(xyo)對(duì)對(duì)N-SN-S方程進(jìn)行方程進(jìn)行適當(dāng)變換后才能找到求解方法。這將在以后的學(xué)習(xí)中進(jìn)行闡述。適當(dāng)變換后才能找到求解方法。這將在以后的學(xué)習(xí)中進(jìn)行闡述

16、。33第33頁(yè)/共45頁(yè)第三十三頁(yè)，共46頁(yè)。Let us now see how to solve the Navier-Stokes equations34第34頁(yè)/共45頁(yè)第三十四頁(yè)，共46頁(yè)。關(guān)于(guny)N-S方程的幾點(diǎn)討論 對(duì)不可壓縮流體 ，方程簡(jiǎn)作：坐標(biāo)系選?。阂蕴幚韱?wèn)題(wnt)方便為宜（柱、球）。 N-S方程的求解：未知量 共5個(gè)，已知方程4個(gè)，補(bǔ)充狀態(tài)方程 1個(gè)，再加初、邊值條件，如此構(gòu)成數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題(wnt)。簡(jiǎn)化條件下-解析解，復(fù)雜流動(dòng)-數(shù)值解。0 uuPfDuDB21uP和,TVP,35第35頁(yè)/共45頁(yè)第三十五頁(yè)，共46頁(yè)。關(guān)于(guny)N-S方程的幾點(diǎn)討論

17、 初始條件：就是當(dāng)初始時(shí)刻=0時(shí)，待求解流動(dòng)參數(shù)(cnsh)應(yīng)該滿(mǎn)足的初始狀態(tài)。zyxuu,zyxuu,zyxuu,邊界條件：待求解流動(dòng)參數(shù)在一些特定位置有明確數(shù)值。在固體與流體界面上，流體的速度與固體表面本身的速度相等，稱(chēng)為流體無(wú)滑移條件。在液體(yt)與氣體界面上（常稱(chēng)為液體(yt)自由表面），液相中的動(dòng)量通量（即速度梯度）接近于零，因此，液體(yt)自由表面上法向應(yīng)力分量在數(shù)值上等于氣體的壓力，而剪切應(yīng)力分量為零。在液體(yt)與液體(yt)界面上，界面兩側(cè)的動(dòng)量通量和速度相等。36第36頁(yè)/共45頁(yè)第三十六頁(yè)，共46頁(yè)。關(guān)于(guny)N-S方程的幾點(diǎn)討論 運(yùn)動(dòng)方程中重力項(xiàng)的處理：動(dòng)力

18、壓強(qiáng)(yqing)的定義 總壓P=動(dòng)壓（dynamic）+靜壓(static)由流體靜力學(xué)知（靜壓梯度與質(zhì)量力）SdPPPxPxPxPSdzPZyPYxPXSSS111靜壓力：流體靜止時(shí)呈現(xiàn)的壓力，靜壓力：流體靜止時(shí)呈現(xiàn)的壓力，由外力由外力(wil)場(chǎng)產(chǎn)生。場(chǎng)產(chǎn)生。動(dòng)壓力：流體流動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的壓力，動(dòng)壓力：流體流動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的壓力，動(dòng)壓梯度是流體流動(dòng)的推動(dòng)力。動(dòng)壓梯度是流體流動(dòng)的推動(dòng)力。37第37頁(yè)/共45頁(yè)第三十七頁(yè)，共46頁(yè)。關(guān)于N-S方程(fngchng)的幾點(diǎn)討論如此可得以動(dòng)壓表示(biosh)的不可壓流體的N-S方程uPDuDd21至此得到處理流體(lit)流動(dòng)（動(dòng)量傳遞）問(wèn)題時(shí)供演繹的

19、普遍方程：連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程，接下來(lái)就看如何應(yīng)用了。38第38頁(yè)/共45頁(yè)第三十八頁(yè)，共46頁(yè)。以動(dòng)壓力表示的NS方程的適用條件：（1）不可壓縮流體的層流（2）只有在問(wèn)題(wnt)的邊界條件中僅含有速度時(shí)， 例如封閉通道中的流體流動(dòng)問(wèn)題(wnt)。 而有自由表面的流動(dòng)情況用此式是不適宜的。關(guān)于N-S方程(fngchng)的幾點(diǎn)討論39第39頁(yè)/共45頁(yè)第三十九頁(yè)，共46頁(yè)。小結(jié)(xioji)：運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo) 分析方法：拉格朗日法 理論依據(jù)：動(dòng)量(dngling)守恒定律 計(jì)算關(guān)系式：FdDuDdxdydzDuDMFdi40第40頁(yè)/共45頁(yè)第四十頁(yè)，共46頁(yè)。 外力=體積力（即質(zhì)量力）+表面力（3個(gè)法向應(yīng)力和3個(gè)剪應(yīng)力） 利用牛頓型流體應(yīng)力和形變速率(sl)間