中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-旋轉(zhuǎn)模型幾何變換三種模型手拉手-半角-對(duì)角互補(bǔ)

1、幾何變換的三種模型手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等邊三角形（包含費(fèi)馬點(diǎn)）特殊角旋轉(zhuǎn)變換對(duì)角互補(bǔ)模型一般角特殊角角含半角模型一般角等線段變換（與圓相關(guān)）【練 1】 （2013 北京中考） 在abc中， abac ， bac（ 060 ） ， 將線段 bc繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得到線段bd（1）如圖 1，直接寫出abd的大小（用含的式子表示）；（2）如圖 2，15060bceabe，判斷abe的形狀并加以證明；（3）在（ 2）的條件下，連結(jié)de，若45dec，求的值真題演練知識(shí)關(guān)聯(lián)圖【練 2】 （2012 年北京中考） 在abc中， babcbac，m是 a

2、c 的中點(diǎn)，p是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段pa繞點(diǎn)p順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2得到線段 pq （1） 若且點(diǎn)p與點(diǎn)m重合 （如圖 1） ， 線段 cq 的延長(zhǎng)線交射線bm于點(diǎn)d，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出cdb 的度數(shù)；（2）在圖 2 中，點(diǎn)p不與點(diǎn) bm，重合，線段 cq 的延長(zhǎng)線與射線bm交于點(diǎn)d，猜想cdb 的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示） ，并加以證明；（3）對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)p在線段bm上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)b，m重合）時(shí)，能使得線段cq 的延長(zhǎng)線與射線bm交于點(diǎn)d，且 pqqd ，請(qǐng)直接寫出的范圍考點(diǎn) 1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的

3、旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等）（2）等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等）（3）等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等）（4）不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似）例題精講【例 1】 （14 年海淀期末）已知四邊形和四邊形都是正方形，且（1）如圖，連接、求證：；（2）如圖，如果正方形的邊長(zhǎng)為，將正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得，求的度數(shù)；請(qǐng)直接寫出正方形的邊長(zhǎng)的值abcdcefgabce1bgdgbgde2abcd2cefgccgbdbgbdbdecefg【題型總結(jié)】手拉手模型是中考中最常見的模型

4、，突破口常見的有哪些信息？常見的考試方法有哪些？【例 2】 （ 2014 年西城一模）四邊形abcd 是正方形，bef是等腰直角三角形，90bef，beef，連接df， g 為df的中點(diǎn)，連接eg ， cg ， ec 。（1） 如圖24-1， 若點(diǎn)e在 cb 邊的延長(zhǎng)線上， 直接寫出 eg 與 gc 的位置關(guān)系及ecgc的值；（2）將圖 24-1 中的bef繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖24-2 所示位置，請(qǐng)問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；圖acdgefbacdgefb圖【題型總結(jié)】此類型題目方法多樣，你還能找到其他的解題方法嗎？另外涉及到的中點(diǎn)輔助線你還

5、能說出幾種？【例 3】 （2015 年海淀九上期末） 如圖 1， 在abc中，4bc， 以線段ab為邊作abd，使 得adbd，連 接 dc ， 再 以 dc 為 邊 作cde， 使 得 dcde ，cdeadb（1）如圖2 ，當(dāng)45abc且90 時(shí)，用等式表示線段adde，之間的數(shù)量關(guān)系；（2） 將線段 cb 沿著射線 ce 的方向平移， 得到線段ef， 連接 bfaf， 若90 ，依題意補(bǔ)全圖3，求線段af的長(zhǎng)；請(qǐng)直接寫出線段af的長(zhǎng) （用含的式子表示） 圖 2 圖 3 備用圖eabcdeabcdeabcdeabcd圖 1 【例 4】 （13 年房山一模）（1） 如圖 1，abc和cde都

6、是等邊三角形， 且b、c 、d三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)ad、be相交于點(diǎn)p，求證：bead（2）如圖2，在bcd中，120bcdo，分別以 bc 、 cd 和bd為邊在bcd外部作等邊abc、等邊cde和等邊bdf，聯(lián)結(jié)ad、be和 cf 交于點(diǎn)p，下列結(jié)論中正確的是_ （只填序號(hào)即可） adbecf ； becadc ；60dpeepccpao；（3）如圖 2，在（ 2）的條件下，求證：pbpcpdbe 圖 2 pfdecadbppfdcadecabb圖 1 【題型總結(jié)】到三個(gè)定理的三條線段之和最小，夾角都為 120旋轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題，同時(shí)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程

7、最短的問題，比較重要的就是費(fèi)馬點(diǎn)問題費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換考點(diǎn) 2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等【例 1】 （2012 年西城期末）已知：如圖，正方形abcd 的邊長(zhǎng)為a，bm， dn 分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足45man，連結(jié) mc ， nc ， mn 猜想線段bm，dn 和 mn 之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論fedcbagfedcbaabcdeffedcbagabcdefgabcdeabcdef【例 2】 （2014 年平谷一模）（1） 如圖 1， 點(diǎn)分別是正方形的邊上的點(diǎn)，連接， 則之間的數(shù)

8、量關(guān)系是：連結(jié)，交于點(diǎn)，且滿足，請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系；（2）在abc中，點(diǎn)分別為邊上的兩點(diǎn)如圖2，當(dāng)，時(shí)，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是 _；如圖 3，當(dāng)，時(shí)，應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_ 【參考：】ef、abcdbccd、45eafefefbefd、efbefdbdaeaf、mn、mnbmdn、222dnbmmnabacde、bc60bac30daebddeec、bac(090 )dae21bddeec、1cossin22abcdef圖1bcde圖2abcde圖3amn考點(diǎn) 3：對(duì)角互補(bǔ)模型常和角平分線性質(zhì)一起考，一般有兩種解題方法（全等型 90 ）（全等型 120 ）（全等型 任意角）【例 1】 四邊形被對(duì)角線

9、分為等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為，求四邊形的面積oabcednomabcedoedcbaofedcbaoedcbaabcdbdabdcbdacac2abcddcba【題型總結(jié)】角含半角的特點(diǎn)有哪些，哪些是不變的量？由角含半角產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系都是有哪些？如何描述這類題目的輔助線？【例 2】 已知：點(diǎn)是的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線交射線于點(diǎn)， 將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線于點(diǎn)，且使（1）利用圖1，求證：papb；（2）如圖1，若點(diǎn)是與的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求pb與 pc 的比值；圖 1 圖 2 pmonpaomapaponb180apbmonocabop3pobpcbsscao

10、pbmnttnmbpoac【例 3】(初二期末 )已知：如圖，在abc中，abac ，bac， 且 60120 p為abc內(nèi)部一點(diǎn)，且pcac ，120pca（1）用含的代數(shù)式表示apc ，得apc=_ ；（2）求證：bappcb ；（3）求pbc 的度數(shù)bcpa【題型總結(jié)】對(duì)角互補(bǔ)模型經(jīng)常在哪里題目里出現(xiàn)，題目中有哪些提示信息？經(jīng)常和哪種圖形同時(shí)出現(xiàn)？（【題型總結(jié)】一般涉及到線段的旋轉(zhuǎn)都可以和圓聯(lián)系起來，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)解題是一種比較便捷的方法。【練 1】 （ 2015 年昌平九上期末）如圖，已知abcv和adev都是等腰直角三角形， 90bacdae，abac ，adae 連接bd交ae于

11、m,連接 ce 交ab于 n ，bd與 ce 交點(diǎn)為f，連接af（1）如圖 1，求證：bdce ；（2）如圖1，求證：af是cfd 的平分線；（3）如圖 2，當(dāng)2ac，15bce時(shí)，求 cf 的長(zhǎng) . fedcba圖1nm圖2abcdefmn全能突破【練 2】 （2014 西城九上期末）已知：abc，def都是等邊三角形，m是 bc 與ef的中點(diǎn)，連接ad，be. （1）如圖1，當(dāng)ef與 bc 在同一條直線上時(shí)，直接寫出ad與be的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）abc固定不動(dòng)， 將圖 1 中的defv繞點(diǎn)m順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（o0 o90 ）角，如圖2 所示，判斷（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)加

12、以證明；若不成立，說明理由；（3） abc 固定不動(dòng)，將圖1 中的defv繞點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)（）角，作 dhbc 于點(diǎn)h設(shè)bhx，線段ab，be，ed，da所圍成的圖形面積為 s當(dāng)6ab，2de時(shí)，求 s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍o0o90圖 2備用圖圖 1 【練 3】 （2014 年朝陽一模24 題）在abc中， acbc ，在aed中，aded，點(diǎn)d、e分別在 ca 、ab上，（1）圖，若90acbade，則 cd 與be的數(shù)量關(guān)系是_；（2）若120acbade，將aed繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，則 cd與be的數(shù)量關(guān)系是_；（3）若2 (090 )acbade，將aed繞點(diǎn)

13、a旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，探究線段cd 與be的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（用含的式子表示）【練 4】 （2015 年燕山九上期末）小輝遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在 rtabc中，90bac， abac， 點(diǎn)，e在邊bc上，45dae若3bd，1ce，求de的長(zhǎng)d小輝發(fā)現(xiàn)，將繞點(diǎn)a按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o ，得到acfv，連接ef（如圖2），由 圖 形 旋 轉(zhuǎn) 的 性 質(zhì) 和 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 質(zhì) 以 及45dae， 可 證faedaevv，得fede解fcev，可求得ef(即de)的長(zhǎng)請(qǐng)回答：在圖2中，fce的度數(shù)是 _，de的長(zhǎng)為 _ rtabcv_參考小輝思考問題的方法，解決問題

14、：如圖 3，在四邊形中，abad，180bdef，分別是邊 bccd，上的點(diǎn)，且12eafbad 猜想線段 beeffd，之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由abcd圖 1 abcde圖 2 fabcde圖 3 efdabc【練 5】（ 11 年石景山一模） 已知： 如圖， 正方形中，,為對(duì)角線， 將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)()， 旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交于點(diǎn)、 點(diǎn)，交,于點(diǎn)、點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、（1）在的旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否改變，若不變寫出它的度數(shù)，若改變，寫出它的變化范圍（直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明）；（2）探究與的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明abcdacbdbaca045oobdpqbc cdefefeqb

15、acaeqapqaefqfcdbape【練 6】 （2015 年延慶九上期末） 已知：abc是oe的內(nèi)接三角形，abac ，在bac所對(duì)弧 ac 上，任取一點(diǎn)d，連接 adbdcd，（1）如圖 1，直接寫出adb的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）如圖 2，如果60bac，求證： bdcdad ；（ 3）如圖3，如果120bac，那么 bdcd 與ad之間的數(shù)量關(guān)系是什么？寫出猜測(cè)并加以證明；（4）如果，直接寫出bdcd與ad之間的數(shù)量關(guān)系. bacbacaobcdaobcddcboa圖 1 圖 2 圖 3 【練 7】 （1)如圖， 在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且求證：; (2) 如圖在四邊形中，

16、分別是邊上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明(3) 如圖，在四邊形中，分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明abcd90abadbd，ef、bccd、12eaf =badefbefdabcd180abadb+d，ef、bccd、12eafbadabcdabad180badcef，bccd，12eafbadefdcbaefdcbaefdcba【練 8】 小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖 1, abcv中，acb30o ，65bcac， 在abcv內(nèi)部有一點(diǎn)p，連接 papbpc、，求 papbpc 的最小值小華是

17、這樣思考的：要解決這個(gè)問題， 首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù) “ 兩點(diǎn)之間，線段最短” ，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法， 發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題他的做法是， 如圖 2， 將apcv繞點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o ，得到edcv，連接 pdbe、，則be的長(zhǎng)即為所求（1）請(qǐng)你寫出圖2 中， papbpc 的最小值為 _；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，菱形 abcd 中，abc60o，在菱形abcd 內(nèi)部有一點(diǎn)p，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并指明長(zhǎng)度等于papbpc 最

18、小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；若中菱形abcd 的邊長(zhǎng)為4，請(qǐng)直接寫出當(dāng)papbpc 值最小時(shí)pb的長(zhǎng)dacb圖 3 deacbp圖 2 acbp圖 1 【練 9】 （2014 年西城二模） 在abcv，bac 為銳角， abac ，ad平分bac 交 bc于點(diǎn)d（1）如圖1，若abcv是等腰直角三角形，直接寫出線段ac ， cd ，ab之間的數(shù)量關(guān)系；（2）bc的垂直平分線交ad延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，交bc于點(diǎn)f如圖 2，若60abe，判斷 ac ， ce ，ab之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明；如圖 3，若3acabae，求bac 的度數(shù)【練 10】 (2014 年 1 月西城八年級(jí)期末試題附加題 ) 已知： 如圖，man 為銳角，ad平分man ，點(diǎn)b，點(diǎn) c 分別在射線am和 an 上， abac . （1）若點(diǎn)e在線段ca上，線段ec的垂直平分線交直線ad于點(diǎn)f，直線be交直線ad于點(diǎn) g ，求證：ebfcag ；（2） 若 （ 1） 中的點(diǎn)e運(yùn)動(dòng)到線段ca 的延長(zhǎng)線上，（ 1） 中的其它條件