第七章 偏心受壓構件的正承載力計算

1、第七章第七章 偏心受壓構件的正截面偏心受壓構件的正截面承載力計算承載力計算學習學習內容內容 材料特性材料特性 設計方法設計方法受彎構件受彎構件受剪構件受剪構件受扭構件受扭構件偏壓、偏壓、偏拉構件偏拉構件軸拉構件軸拉構件軸壓構件軸壓構件變形、裂縫變形、裂縫預應力混凝土結構預應力混凝土結構 橋梁工程橋梁工程基礎基礎知識知識構件構件設計設計結構設計，結構設計，后續(xù)課程后續(xù)課程目錄目錄1 1 概述概述2 2 偏心受壓構件正截面受力特點和破壞形態(tài)偏心受壓構件正截面受力特點和破壞形態(tài)3 3 偏心受壓構件的縱向彎曲偏心受壓構件的縱向彎曲4 4 矩形截面偏心受壓構件矩形截面偏心受壓構件5 5 工字形和工字形和

2、T T形截面偏心受壓構件形截面偏心受壓構件壓彎構件壓彎構件：截面上同時承受軸心壓力和彎矩的構件。截面上同時承受軸心壓力和彎矩的構件。偏心受壓構件偏心受壓構件：軸向壓力：軸向壓力N N的作用線偏離受壓構件的軸線的作用線偏離受壓構件的軸線偏心距e0：壓力N的作用點離構件截面形心的距離e0 偏心受壓：偏心受壓： ( (壓彎構件壓彎構件) )單向偏心受力構件單向偏心受力構件雙向偏心受力構件雙向偏心受力構件大偏心受壓構件大偏心受壓構件小偏心受壓構件小偏心受壓構件工程應用工程應用拱橋的鋼筋砼拱肋，桁架的上弦桿，剛架的立柱，柱式墩拱橋的鋼筋砼拱肋，桁架的上弦桿，剛架的立柱，柱式墩( (臺臺) )的墩的墩(

3、(臺臺) )柱等柱等截面形式截面形式矩形截面為最常用的截面形式，矩形截面為最常用的截面形式， 截面高度截面高度h h大于大于600mm600mm的偏心受壓構件多采用工字型或箱形截面。的偏心受壓構件多采用工字型或箱形截面。 圓形截面主要用于柱式墩臺、樁基礎中。圓形截面主要用于柱式墩臺、樁基礎中。配筋形式配筋形式縱筋箍筋：側向約束縱筋、抗剪內折角處！bh縱筋：配置在偏心方向的兩對面，按承載力要求確定箍筋：按普通箍筋柱的構造要求配置目錄目錄1 1 概述概述2 2 偏心受壓構件正截面受力特點和破壞形態(tài)偏心受壓構件正截面受力特點和破壞形態(tài)3 3 偏心受壓構件的縱向彎曲偏心受壓構件的縱向彎曲4 4 矩形截

4、面偏心受壓構件矩形截面偏心受壓構件5 5 工字形和工字形和T T形截面偏心受壓構件形截面偏心受壓構件2.1 2.1 試驗研究結果試驗研究結果 影響正截面破壞的主要因素：偏心距的大小和配筋情況。 偏壓構件破壞特征受拉破壞 tensile failure：大偏心受壓破壞受壓破壞 compressive failure：小偏心受壓破壞NMe 0受拉破壞受拉破壞(大偏心受壓破壞大偏心受壓破壞) fyAs fyAsNM fyAs fyAsNM較大，較大，N較小較小偏心距偏心距e0較大較大大偏心大偏心受壓受壓破壞特點破壞特點發(fā)生條件發(fā)生條件：偏心距較大，且受拉鋼筋配置不太多時發(fā)生過程發(fā)生過程：受拉區(qū)出現(xiàn)裂

5、縫，受拉鋼筋先屈服，然后受壓混凝土被壓壞，受壓鋼筋屈服。破壞性質破壞性質：延性破壞，破壞特征與配有受壓鋼筋的適筋梁相似。承載力承載力：取決于受拉鋼筋的強度和數(shù)量。相對偏心距 e0 較大，稱為“大偏心受壓”；遠側鋼筋自始至終受拉且先屈服，又稱為“受拉破壞”受壓破壞受壓破壞(小偏心受壓破壞小偏心受壓破壞) sAs fyAsN小偏心小偏心受壓受壓破壞特點破壞特點發(fā)生條件： （1）偏心距很小。 （2）偏心距 較小，或偏心距較大而受拉鋼筋較多。 （3）偏心距 很小，但離縱向壓力較遠一側鋼筋數(shù)量少，而靠近縱向力N一側鋼筋較多時。 破壞特征：一般是靠近縱向力一側的混凝土首先達到極限壓應變而壓碎，該側的鋼筋達

6、到屈服強度，遠離縱向力一側的鋼筋不論受拉還是受壓，一般達不到屈服強度。承載力：取決于受壓區(qū)混凝土強度和受壓鋼筋強度。 破壞性質：混凝土壓碎區(qū)段長，破壞無明顯預兆，脆性破壞。)/(0he)/(0he遠側鋼筋均不能受拉且屈服,以混凝土受壓破壞為標志,稱為“受壓破壞”；相對偏心距較小，稱為“小偏心受壓”；0eN0e0eNNssAssAsyAfsyAfsyAfssA0h0h0h)a() c ()b(實際重心軸如上圖(a)所示：相對偏心距稍大且遠側鋼筋較多； A.N較小時，遠側受拉，近側受壓； B.破壞時，遠側鋼筋受拉但不能屈服，近側鋼筋受壓屈服， 近側混凝土壓碎；如上圖(b)所示：相對偏心距較?。?A

7、. N較小時，全截面受壓（遠側和近側鋼筋均受壓）； B.遠側受壓程度小于近側受壓程度； C.破壞時，遠側鋼筋受壓但不能屈服，近側鋼筋受壓屈服， 近側混凝土壓碎；如上圖(c)所示：相對偏心距極小且近側鋼筋用量遠大于遠側鋼筋用量； A.實際中心軸移動至軸向力作用線右邊； B.N較小時，全截面受壓（遠側和近側鋼筋均受壓）； C.近側受壓程度小于遠側受壓程度； D.破壞時，近側鋼筋受壓但不能屈服，遠側鋼筋受壓屈服， 遠側混凝土壓碎；受壓混凝土軸壓構件c0=0.002ocfccu0ocfc受彎構件偏壓構件若統(tǒng)一選用對小偏壓構件對小偏壓構件不合適，過高不合適，過高地估計了混凝地估計了混凝土的受壓能力土的受

8、壓能力界限破壞界限破壞 cu0ocfc定義：定義：當受拉鋼筋剛好屈服時，受壓區(qū)混凝土邊緣達到極限壓應變的狀態(tài)當受拉鋼筋剛好屈服時，受壓區(qū)混凝土邊緣達到極限壓應變的狀態(tài)。界限破壞界限破壞 ab,ac: 大偏心ad: 界限狀態(tài)ae: 小偏心af: ag:ah：均勻受壓部分受拉，部分受壓全截面受壓bb受拉破壞，等號為界限破壞受壓破壞scuybEf1AsAs a 幾何軸線幾何軸線bcdeg hcuy c= 0.002sy h0 xba a f“受拉破壞”（大偏心）和“受壓破壞”（小偏心）比較：(1)大、小偏心破壞的共同點是受壓鋼筋均可以屈服(2)兩者的根本區(qū)別在于：遠側的鋼筋是否受拉且屈服；(3)前者

9、遠側鋼筋受拉屈服，破壞前有預兆，屬“延性破壞”；(4)后者遠側鋼筋不能受拉屈服，破壞時取決于混凝土的抗壓強度且無預兆，屬“脆性破壞”；(5)存在界限破壞（類似受彎構件正截面）：遠側鋼筋屈服的同時，近側混凝土壓碎。2.2 2.2 偏心受壓構件的偏心受壓構件的M-NM-N相關曲線相關曲線 偏心受壓構件的M-N曲線圖l 當(M-N)落在曲線abc上或曲線以外則截面發(fā)生破壞。l 對于短柱，加載時N和M呈線性關系，與N軸夾角為偏心距l(xiāng) 三個特征點：abc ab段：大偏心，軸壓力的增加會使其抗彎能力增加bc段：小偏心，軸壓力的增加會使其抗彎能力減小MuNuMuNu軸壓破壞彎曲破壞界限破壞小偏壓破壞大偏壓破

10、壞ABCA ABC CabcMuNuN0A(N0，0)B(Nb，Mb)C(0，M0) N- -M相關曲線相關曲線反映了在壓力和彎矩反映了在壓力和彎矩共同作用下正截面承載力的規(guī)律共同作用下正截面承載力的規(guī)律純彎純彎軸壓軸壓界限狀態(tài)界限狀態(tài) 如截面尺寸和材料強度保持不 變，N-M相關曲線隨配筋率的 改變而形成一族曲線；e0目錄目錄1 1 概述概述2 2 偏心受壓構件正截面受力特點和破壞形態(tài)偏心受壓構件正截面受力特點和破壞形態(tài)3 3 偏心受壓構件的縱向彎曲偏心受壓構件的縱向彎曲4 4 矩形截面偏心受壓構件矩形截面偏心受壓構件5 5 工字形和工字形和T T形截面偏心受壓構件形截面偏心受壓構件承受的彎矩

11、不再是Ne0，變成N( e0+y)y為構件任意點的水平側向位移 偏心荷載作用下 產生縱向彎曲 Ne0 ：初始彎矩或一階彎矩；Ny：附加彎矩或二階彎矩。 長細比影響由于附加彎矩的影響，對不同長細比偏心受壓構件，破壞類型由于附加彎矩的影響，對不同長細比偏心受壓構件，破壞類型也各不相同。也各不相同。 偏心受壓構件的破壞類型偏心受壓構件的破壞類型 長細比長細比l0/h8的短柱的短柱(材料破壞材料破壞)側向撓度側向撓度u 與初始偏心距與初始偏心距e0相比很小，柱相比很小，柱跨中彎矩隨軸力跨中彎矩隨軸力N基本基本呈線性增長呈線性增長，直至，直至達到截面破壞，對短柱可達到截面破壞，對短柱可忽略忽略撓度影響。

12、撓度影響。長細比長細比l0/h =830的中長柱的中長柱(材料破壞材料破壞) u 與與e0相比已不能忽略，即相比已不能忽略，即M隨隨N 的增加呈的增加呈明顯的明顯的非線性增長非線性增長。對于中長柱，在設計。對于中長柱，在設計中應中應考慮考慮附加撓度附加撓度 u 對彎矩增大的影響。對彎矩增大的影響。長細比長細比l0/h 30的長柱的長柱(失穩(wěn)破壞失穩(wěn)破壞)側向撓度側向撓度 u 的影響已很大，在未達到截面的影響已很大，在未達到截面承載力之前，側向撓度承載力之前，側向撓度u已不穩(wěn)定，最終已不穩(wěn)定，最終發(fā)展為發(fā)展為失穩(wěn)破壞失穩(wěn)破壞。MNN0M0NusNuseiNumNumeiNum fmNulNul

13、eiNul flNusNumNul偏心距增大系數(shù)偏心距增大系數(shù) 柱子控制截面上的實際彎矩 0000()(1)uMN euNeeNei:t / eite0初始偏心距；u 由縱向彎曲所產生的側向最大撓度值； 軸向力偏心距增大系數(shù)。01ue 短柱：=1Nfe0i設0sinlxfy則x=l0/2處的曲率為20202222100lflfdxydlxtcsh0根據平截面假定0hsc偏心距增大系數(shù)偏心距增大系數(shù) Nfeitcsh0若fcu50Mpa，則發(fā)生界限破壞時截面的曲率007 .17110033. 025. 1hhyb長期荷載下的徐變使混凝土的應變增大0017. 0/syyEf偏心距增大系數(shù)偏心距增大

14、系數(shù) Nfeitcsh0實際情況并一定發(fā)生界限破壞。另外，柱的長細比對又有影響進行修正、引入二系數(shù)21210217 .1711hb2010lf2120017171hlf偏心距增大系數(shù)偏心距增大系數(shù) ief1Nfeitcsh02102017171hlf21020171711hlei01 . 1 hh 21200140011hlhei偏心距增大系數(shù)偏心距增大系數(shù) 根據偏心壓桿的極限曲率理論分析，公路橋規(guī)規(guī)定 20120011()1400lehh 0100.22.71.0eh021.150.011.0lhl0構件的計算長度，按表6.1取用P130；e0軸向力對重心軸的偏心距；h0截面有效高度；1荷載

15、偏心率對截面曲率的影響系數(shù)；2構件長細比對截面曲率的影響系數(shù)。 公 路 橋 規(guī) 規(guī) 定 ， 對 長 細 比 017.5l r(r為 構 件 截 面 回 轉 半 徑 ) 0() 5l h矩 形 截 面 01() 4.4l d圓 形 截 面 應 考 慮 構 件 在 彎 矩 作 用 的 變 形 對 軸 向 力 偏 心 距 的 影 響 ， 將 初 始 偏 心 距0e乘 以 增 大 系 數(shù)。 目錄目錄1 1 概述概述2 2 偏心受壓構件正截面受力特點和破壞形態(tài)偏心受壓構件正截面受力特點和破壞形態(tài)3 3 偏心受壓構件的縱向彎曲偏心受壓構件的縱向彎曲4 4 矩形截面偏心受壓構件矩形截面偏心受壓構件5 5 工

16、字形和工字形和T T形截面偏心受壓構件形截面偏心受壓構件鋼筋混凝土矩形截面偏心受壓構件 截面尺寸為b(短邊)h(長邊)彎距作用平面：長邊方向縱向配筋集中在彎矩作用方向的截面兩對邊位置上離壓應力較遠一側離壓應力較近一側 ssssAAAA對稱布筋非對稱布筋sAsA矩形截面偏心受壓構件正截面承載力計算的基本公式矩形截面偏心受壓構件正截面承載力計算的基本公式 基本假定 l 截面應變符合平截面假定；l 不考慮混凝土抗拉強度；l 材料的本構關系為已知，其中，受壓混凝土極限壓應變 ；l 混凝土受壓簡化為等效矩形應力圖形，應力集度fcd，高度x與受壓區(qū)高度xc的關系為 。0.00330.003cucxx基本計

17、算公式 受壓區(qū)混凝土都能達到極限壓應變；As達到抗壓強度設計值fsd ；As受拉，也可能受壓，大小s。 02sseeha02sseehase、se分別為偏心應力0dN至鋼筋As合力點和鋼筋sA合力作用點的距離； sa、sa分別為鋼筋As合力點和鋼筋sA合力作用點至截面邊緣的距離。 基本計算公式 0ducdsdsssNNf bxf AA000()()2dsucdsdssxN eMf bx hf A ha00()()2dsucdssssxN eMf bxaA ha 0()2cdsssssdssxf bx ehA ef A e縱軸方向的合力為零 對鋼筋As合力點的力矩之和等于零 對鋼筋As合力點的力

18、矩之和等于零對壓力作用點取力矩 12346公式的使用說明1.s的取值當 時，構件屬于大偏心受壓構件，取 。當 時，屬于小偏心受壓構件，根據平面假定，cu, 按表3-1取用P52 0bx hssdf0bx h0(1)sscuhExsdssdff000 xxhcus(1)sscuEssdbf, , 0bssdsf cusx0h02.2sxa00()dsusdssN eMf A ha2sxa3. 小偏心受壓，當偏心力位于As與As之間時，應滿足下列條件000()()2ducdsdsshN eMf bh hf A ha0h縱筋sA合力點離偏心力較遠一側邊緣的距離， 即0shha。 0/2sehea 5

19、保證受壓鋼筋屈服大偏壓由對受壓鋼筋合力點的力矩之和為零矩形截面偏心受壓構件非對稱配筋的計算矩形截面偏心受壓構件非對稱配筋的計算 大偏心受壓不對稱配筋小偏心受壓不對稱配筋大偏心受壓對稱配筋小偏心受壓對稱配筋不對稱配筋不對稱配筋對稱配筋對稱配筋 實際工程中，受壓構件常承受實際工程中，受壓構件常承受變號彎矩變號彎矩作用，所以采用對稱配筋作用，所以采用對稱配筋 對稱配筋對稱配筋不會在施工中產生差錯不會在施工中產生差錯，為方便施工通常采用對稱配筋，為方便施工通常采用對稱配筋根據設計經驗和理論分析，對于非對稱配筋的偏心受壓構件，在常用的配筋范圍內可采用如下條件判別大小偏壓：00000.30.3eheh按小

20、偏心受壓計算按大偏心受壓計算sA和sA均未知 sA已知，sA未知 已知：0l、b、h 、fcd、fsd、sdf、Md、Nd 求：sA和sA 大偏心sA和sA均未知 10bxh補充條件基本步驟：a. 00ddNNMM初始偏心距0/eM N以及彎矩作用平面內的長細比0/lh ssaa和 按照雙筋取用原則00sshhahha0022sssseehaeehab. 令 ，將以上各參數(shù)以及補充條件代入公式 ，可得00,ddNNMM1200(1 0.5)()scdbbssdsNef bhAfhac. 如果計算minsAbh(min為截面一側的鋼筋最小配筋率，附表 1-9 取用min0.2%)，則按照mins

21、Abh選擇并布置鋼筋，然后按照 2)進行截面設計。 d. 如果計算minsAbh，則將其代入公式，并ssdf進而求得 0mincdbsdsssdf bhf ANAbhfmin為截面一側(受拉)鋼筋的最小配筋率，按附表 1-9 取用。 如果0mincdbsdsssdf bhf ANAbhf，則說明0bxh，按小偏心計算。 大偏心sA已知，sA未知 已知：0l、b、h 、fcd、fsd、sdf、Md、Nd、sA 求：sA 2a. 00ddNNMM 00()()2scdsdssxNef bx hf A ha 20002()ssdsscdNef A haxhhf b or 通過查表計算 0(1 0.5

22、 )A 0020()ssdsscdNef A haAf bh 查附表1-5(or 011 2A )0 xh b. 01001222,(),2min(,)0cdsdssbssdsssdsbsssscdsssdf bxf ANaxhAfNeAfhaxhaxAAAf bxNAAf假設 如果計算所得的0bxh，說明sA 過小，可增大sA 后重新計算，也可按sA 和sA 均未知的情況設計，或小偏壓情況計算。 大偏心設計流程大偏心設計流程小偏心小偏心sA和sA均未知 a.求 As, 00ddNNMM 1min1200200.002,max(,)()2()ssssdcdssdsAbhbhhAAAN ef b

23、h hAfha補充條件3b.兩個未知數(shù)，兩個方程。 00()()2(1)scdsssssscuxNef bxaA hahEx 由此可以得到關于x的一元三次方程。 320AxBxCxD 其中， 0000.5()()cdcdscusssscusssAf bBf baCE A ahNeDE A ha h 求得相對受壓區(qū)高度 0/x h b，大偏心受壓 0/bh h， 截面部分受壓、 部分受拉。 將0/x h代入公式可得s， 和sA一起代入公式可得sA 且滿足minsAbh。 0/h h， 全 截 面 受 壓 ， 在 這 種 情 況 下 ， 取xh， 得0min0(/2)()scdssdsNef bh

24、 hhAbhfha 00()()2(1)scdsssssscuxNef bxaA hahEx 0ducdsdsssNNf bxf AA000()()2dsucdsdssxN eMf bx hf A ha簡化計算根據我國關于小偏心受壓構件大量試驗資料分析并且考慮兩種邊界條件0bssdsf()sdssdssdbfff00()()2dsucdssssxN eMf bxaA ha 20AxBxC000000.5cdssdsbssdssbAf bhhaBf AhaCf A hNe h 小偏心小偏心sA已知，sA未知 a. 00ddNNMM0/xx h000()()2dsucdsdssxN eMf bx

25、hf A ha0/bh hb. 0(1)sscuhEx0ducdsdsssNNf bxf AAsA0/h hc. 0/xh h1sA020()2()cdssdshNef bh hAfha12max(,)sssAAA小偏心設計流程小偏心設計流程矩形截面非對稱配筋的截面校核矩形截面非對稱配筋的截面校核 受壓構件，當已知構件截面尺寸、偏心距大小、構件計算長度、混凝土和鋼筋強度等級，截面積，一般先求出受壓區(qū)高度 x，然后算出 Nu，如果0duNN則證明是安全的，否則是不安全的。 已知：0l、b、h 、fcd、fsd、sdf、Md、Nd、sA、sA 求：Mu、Nu 偏心受壓構件校核承載力校核偏心受壓構件

26、校核承載力校核 彎矩作用平面內彎矩作用平面內 垂直于彎矩作用的平面內垂直于彎矩作用的平面內 彎矩作用平面內的承載力復核彎矩作用平面內的承載力復核 1. 1. 判別大小偏心判別大小偏心：先假定大偏心 ssdf0()2cdssdsssdssxf bx ehf A ef A e0/xx hbb大偏心小偏心b02sbaxh2. 2. 大偏心大偏心 4uN2sax5uusMNe3. 3. 小偏心小偏心b0ducdsdsssNNf bxf AA()sdssdssdbfff0(1)sscuhEx+相對受壓區(qū)高度0/xx h 0/bh h截面部分受壓、部分受拉 uN上面的公式0/h h全截面受壓 靠近縱向力一

27、側的邊緣混凝土破壞0/h h 1uN上面的公式距縱向力遠側截面邊緣破壞的可能性 2uN12min(,)uuuNNN垂直于彎矩作用的平面內的承載力復核垂直于彎矩作用的平面內的承載力復核因為在垂直于彎矩的平面內，由于柱子長細比較大，可能發(fā)生縱向彎曲而破壞。所以也需要對此平面進行復核。公路橋規(guī)規(guī)定，在對垂直于彎矩作用平面的承載力進行復核時，不考慮彎矩作用，而按軸心受壓構件考慮穩(wěn)定系數(shù)。注意在計算長細比時，取用相應的截面長度b。矩形截面偏心受壓構件的構造要求矩形截面偏心受壓構件的構造要求 與普通箍筋柱相仿 截面尺寸截面尺寸最小不宜小于 300mm，常用的的/1.53h b 。為了模板尺寸的模數(shù)化，邊長

28、宜采用 50mm 的模數(shù)。(如果邊長大于 800mm，采用的模數(shù)為 100m)。 縱向鋼筋的配筋率縱向鋼筋的配筋率縱筋沿短邊布置， 截面全部縱筋和一側鋼筋的最小配筋率min， 見附表 1-9。 縱筋的常用配筋率，1%3%0.5%2%大偏心小偏心 當截面長邊600mmh ， 應在長邊方向設置直徑為(1016mm)的縱向構造鋼筋，必要時相應地設置附加箍筋或復合箍筋，以保持鋼筋骨架的剛度。 例題7-1講解。例題7-2講解。例題7-3講解。矩形截面偏心受壓構件對稱配筋計算矩形截面偏心受壓構件對稱配筋計算 對稱配筋的偏心受壓構件，在工程中應用極為廣泛?？蚣苤?，廠房的排架柱等要承受水平荷載(風荷載，地震作

29、用等)。 優(yōu)點：構造相對簡單施工方便，不易造成配筋錯誤 對稱配筋的含義 sssdsdssAAffaa矩形截面的對稱配筋：公式同非對稱配筋矩形截面的對稱配筋：公式同非對稱配筋 截面設計截面設計截面復核截面復核截面設計截面設計1. 大小偏心的判別 先假定是大偏心 0ducdsdsssNNf bxf AAsssdsdssAAffaa+00/cdNx hf bhbb大偏心小偏心b2. 2. 大偏心大偏心 02sbaxh62sax200(1 0.5 )()scdsssdsNef bhAAfha000()()2dsucdsdssxN eMf bx hf A ha02sseeha00()dsusdssN e

30、Mf A ha0()sssdsNeAfha3. 3. 小偏心小偏心b首先計算相對受壓區(qū)高度x ()sdssdssdbfff0ducdsdsssNNf bxf AA000()()()sdcdsdssbbsdscdbbcdsdsbfNf bhf AAf ANf bhf bhf A2002000(1 0.5 )()(1 0.5 )()()scdsdssbcdcdsbNef bhf A haf bhNf bhha000()()2dsucdsdssxN eMf bx hf A ha公路橋規(guī)給出的簡化方法0.61.0小偏心受壓(10.5 )0.4302000.43()()cdbbscdbsNf bhNef bhha200(1 0.5 )()scdsssdsNef bhAAfha000()()2dsucdsdssxN eMf bx hf A ha在全截面受壓情況下，不會出現(xiàn)遠離縱向力一側的混凝土先破壞的情況。矩形截面偏心受壓構件對稱配筋的計算框圖矩形截面偏心受壓構件對稱配筋的計算框圖 截面復核截面復核 截面復核對彎矩作用平面和垂直于彎矩方向進行復核，方法與非對稱相同。截面復核對彎矩作用平面和垂直于彎矩方向進行復核，方法與非對稱相同。P160 例題7