高考數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)講解

1、高考沖刺：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系編稿：辛文升 審稿：孫永釗 【高考展望】1.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系判定是基礎(chǔ)內(nèi)容，是高考必考內(nèi)容；2.直線與圓錐曲線相交有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的弦長(zhǎng)公式是考試的重點(diǎn)內(nèi)容；3.掌握?qǐng)A錐曲線有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題的求解方法；4.關(guān)于直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題歷來(lái)是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要強(qiáng)化練習(xí)，形成必要的技巧和技能?！局R(shí)升華】【高清課堂：直線與圓錐曲線 369155 知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種位置關(guān)系。1直線Ax+By+C0和橢圓的位置關(guān)系：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，

2、其判別式為.0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；0直線和橢圓相離直線和橢圓無(wú)公共點(diǎn)2直線Ax+By+C0和雙曲線的位置關(guān)系：將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程。（1）若方程為一元一次方程，則直線和雙曲線的的漸近線平行，直線和雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切不是切點(diǎn)；（2）若為一元二次方程，則若0，則直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))；若0，則直線和雙曲線相切，有一個(gè)切點(diǎn)；若0，則直線和雙曲線相離，無(wú)公共點(diǎn).3直線Ax+By+C0和拋物線y22px(p0)的位置關(guān)系：將直線的方程與拋物線的

3、方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y方程。（1）若方程為一元一次方程，則直線和拋物線的對(duì)稱軸平行，直線和拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切不是切點(diǎn)；（2）若為一元二次方程，則 若0，則直線和拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))； 若0，則直線和拋物線相切，有一個(gè)切點(diǎn)； 若0，則直線和拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)二：圓錐曲線的弦長(zhǎng)1.直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦。設(shè)直線與圓錐曲線相交于，兩點(diǎn)，直線的斜率存在且為k，則弦長(zhǎng)公式：當(dāng)k存在且不為零時(shí), 弦長(zhǎng)公式還可以寫(xiě)成：2. 焦點(diǎn)弦：若弦過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)叫焦點(diǎn)弦；拋物線的焦點(diǎn)弦公式，其中為過(guò)焦點(diǎn)的直線的傾斜角.3. 通徑：若焦點(diǎn)弦垂直于焦點(diǎn)

4、所在的圓錐曲線的對(duì)稱軸，此時(shí)焦點(diǎn)弦也叫通徑.拋物線的通徑知識(shí)點(diǎn)三：圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率?！镜湫屠}】類型一：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定與應(yīng)用【高清課堂：直線與圓錐曲線 369155 例4】例1、直線y=x+3與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )(A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)3個(gè)【解析】分和分別畫(huà)出曲線，容易看出，答案選D舉一反三：【變式1】求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)直線x-y+9=0上一點(diǎn)，且離心率最大的橢圓方程.【解析一】由

5、已知可設(shè)所求橢圓方程為， 又，c=3, e最大即a最小. 把y=x+9代入所求方程中有(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0，由已知0，即(18a2)2-4(2a2-9)(90a2-a4)0，解之有a245， a2=45時(shí)，e最大，此時(shí)所求橢圓方程為.【解析二】由已知，c=3, e最大即a最小.令P為x-y+9=0與所求橢圓公共點(diǎn)，而此橢圓焦點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0)，由已知|PF1|+|PF2|=2a，所以即求x-y+9=0上一點(diǎn)P，使|PF1|+|PF2|最小， F1、F2在x-y+9=0同側(cè)，所以作F1關(guān)于x-y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)Q(-9,6), 而|PF1|+|PF2

6、|的最小值即|F2Q|， F2(3,0), Q(-9,6), , , e最大時(shí)， a2=45, b2=a2-c2=45-9=36, 所求方程為.例2. 求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，與直線y=x+8有公共點(diǎn)，且離心率最大的橢圓方程.【解析一】已知橢圓焦點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0) 所求橢圓焦點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4，0)，c=4設(shè)所求橢圓方程為則，若要e最大，必有a最小，即長(zhǎng)軸2a最小.設(shè)所求橢圓與直線y=x+8有公共點(diǎn)P，則|PF1|+|PF2|2a.設(shè)F1(-4,0)關(guān)于y=x+8對(duì)稱點(diǎn)為則為所求所求橢圓方程為【解析二】已知橢圓焦點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0) 所求橢圓焦點(diǎn)F1(-4

7、,0)，F(xiàn)2(4，0)，c=4設(shè)所求橢圓方程為則，若要e最大，必有a最小將y=x+8代入方程整理得由題意，所求橢圓方程為舉一反三：【變式1】已知曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和為4（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過(guò)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為橢圓，其中，則所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， 由方程組 得則，代入，得即，解得或，當(dāng)或時(shí)，均有方程的所以，直線的方程是或例3中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率為，與直線x+y+1=0相交于M、N兩點(diǎn)，若以|MN|為

8、直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求橢圓方程.【解析】由已知可設(shè)橢圓方程為，又 ，橢圓方程可化為由x+y+1=0有y=-x-1，代入x2+4y2=a2中有5x2+8x+4-a2=0有,y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, |MN|為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，, , 橢圓方程為.【總結(jié)升華】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的一類常見(jiàn)題型.本題首先根據(jù)已知條件設(shè)好待定系數(shù)，再根據(jù)待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，由已知條件及相關(guān)公式設(shè)法列出相應(yīng)個(gè)數(shù)的方程，以得關(guān)于待定系數(shù)的方程組.舉一反三：【變式1】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓交于和，且，求橢圓方程 【解析】設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)、由 得,即,由,所以

9、,即, 又2,將,代入得由、式得,或,故橢圓方程為或 類型二：圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題例4已知一斜率為2的直線與橢圓相交所得弦的長(zhǎng)為，求此直線方程.【解析】設(shè)此直線方程為,、由消得: ，解之得:.故所求直線方程為.【總結(jié)升華】涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，通常采取設(shè)而不求，即設(shè)出,，但不是真的求出、，而是借助于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理“設(shè)而不求”計(jì)算弦長(zhǎng)，簡(jiǎn)化運(yùn)算.舉一反三：【變式1】設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-1，6)和(-1，-2)，對(duì)稱軸與x軸平行，開(kāi)口向右，直線y=2x+7被拋物線截得的線段的長(zhǎng)是，求該拋物線的方程.【解析】拋物線過(guò)點(diǎn)(-1，6)、(-1，-2)，它的對(duì)稱軸是y=2

10、，設(shè)頂點(diǎn)為(a，2)，而開(kāi)口向右則方程為(y-2)2=2p(x-a)(p>0)-而點(diǎn)(-1，6)在拋物線上，得8=-p(1+a)-又聯(lián)立直線y=2x+7與可得：4x2+(20-2p)x+(25+2pa)=0-(*)設(shè)(*)的兩根為x1，x2，由違達(dá)定理由弦長(zhǎng)公式：化簡(jiǎn)得p2-20p-8pa=128-聯(lián)立并注意到p>0得p=16，拋物線方程是類型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題的處理技巧例5求橢圓內(nèi)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程.【思路點(diǎn)撥】已經(jīng)知道直線過(guò)點(diǎn)，只需再求出它的斜率即可.【解析一】當(dāng)弦垂直于軸時(shí)，不符合題意當(dāng)弦不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線，由 消得:點(diǎn)在橢圓內(nèi)，.設(shè)兩交點(diǎn)、則，解之得.所求直線方程為：即【解析二】設(shè)直線與橢圓兩交點(diǎn)、.則，(2)-(1)得，將上式化簡(jiǎn)得 ，即.所求直線方程為：即.【解析三】設(shè)兩交點(diǎn)、中一點(diǎn)為，則另一點(diǎn)為.、都在橢圓上， 兩式相減得即為所求.【總結(jié)升華】求中點(diǎn)弦所在直線方程的基本思路是求出斜率, 如解法1，2均是引入端點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，建立關(guān)于參數(shù)和斜