數(shù)學教學中運用數(shù)學史的方式探究

1、    數(shù)學教學中運用數(shù)學史的方式探究    徐潔 張波摘 要：數(shù)學史講述了數(shù)學發(fā)展的歷史，揭示了數(shù)學思想方法的起源。而在實際中小學的教學中，很多數(shù)學教師因為考試壓力，只重視教學生硬邦邦的公式、概念，忽視了數(shù)學作為人類創(chuàng)造，服務生活的人性美。在數(shù)學教學中合情合理的運用數(shù)學史可以幫助學生打開數(shù)學思路，提高學生對于教學內(nèi)容的認知，體現(xiàn)數(shù)學的育人價值，也更容易完成學習目標。本文通過附加式、復制式、順應式、重構式四種方式的具體案例探究數(shù)學教學中數(shù)學史的運用方法。關鍵詞：數(shù)學教學；數(shù)學史；運用方式隨著1972年hpm（數(shù)學史與數(shù)學教學的關系國際研究小組的簡稱）的成

2、立，廣大數(shù)學教育者開始開發(fā)數(shù)學史的教育價值。美國數(shù)學史家卡約黎曾經(jīng)說過，數(shù)學史知識是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”。而如何應用數(shù)學史為學科教學服務，使其不僅發(fā)揮文化功能，增加趣味性，還能直接或間接的幫助學生對有關數(shù)學教學內(nèi)容更好的認知，促進學生的發(fā)展，不同的數(shù)學學者提出了不同的想法。而本文介紹的主要是在fauvel、tzanakis、jankvist等人的基礎上總結整理的運用數(shù)學史的四種方式：附加式、復制式、順應式和重構式。具體如表1所示。借鑒或者重新構造教學知識發(fā)生發(fā)展的歷史。適應于“發(fā)生教學法”中，激發(fā)學生學習動機，完成教學目標。四種方式各有千秋，可以根據(jù)教學內(nèi)容選擇合適的某一個方式或者組

3、合方式，最終目的都是使數(shù)學史融入課堂教學當中，提高學生對于所學知識的認知，完成有效教學。例如，在小學數(shù)學圓周率的學習中，可以采用附加式方法，通過介紹古代數(shù)學家祖沖之的生平事跡，激發(fā)學生對于中國圓周率領先世界一千年的民族自豪感。在初中數(shù)學“二元一次方程組”的學習中，可以采用復制式和順應式相結合的方法，引用孫子算經(jīng)中的“雞兔同籠”問題，既活潑生動又能激發(fā)學生學習新知識的熱情，之后的對于題目的改編，有助于學生對于新知識的鞏固。而在高中數(shù)學的對數(shù)學習中，可以采取重構式的方式，通過借鑒當時對數(shù)發(fā)展時遇到的問題，讓學生親自經(jīng)歷尋求簡捷算法的過程，更加理解對數(shù)產(chǎn)生的思想方法，有助于之后的對數(shù)教學。但是值得注

4、意的是，數(shù)學史并不能融入所有的學習單元，強行硬加可能會適得其反，不僅影響教師的教學計劃，還會影響學生學習積極性。因此，在適合數(shù)學史融入的教學中選取合適的方式尤為重要。以下將詳細舉例四種方式的運用。一、 附加式例：笛卡爾與解析幾何學在講解高中必修二“空間直角坐標系”前，可以在ppt上展示笛卡爾的頭像，向學生講述我們將要學習的空間直角坐標系的始祖，第一個傾斜坐標的誕生，利用坐標系誕生的有趣故事，啟發(fā)學生對于坐標系的認知，再通過講解解析幾何學的意義及現(xiàn)在解析幾何學的前沿課題，增加學生的數(shù)學視野。美國數(shù)學史家m.克萊因曾經(jīng)這樣評價：“代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就會緩慢，隨之而來，應用也會變得狹窄。

5、只有當二者結合，才會互相完善?！倍鴮⒍呓Y合在一起的正是笛卡爾。早在很久以前，古希臘學者就開始研究曲線，卻一直苦于找不到曲線表示的方法。17世紀的法國數(shù)學家笛卡爾出色地解決了這一難題。他將構成曲線軌跡的點用有序數(shù)對表示，從而建立曲線的方程。巧妙地將幾何問題轉化為代數(shù)問題。而笛卡爾當時用的坐標系并不是現(xiàn)在常見到的直角坐標系，而是傾斜坐標，這也是數(shù)學史上第一個坐標系。講到這里，同學們肯定覺得笛卡爾是因為非常聰明才取得如此大的成就，實際上笛卡爾從小身體弱，上學也比別人晚，只是特別刻苦努力，愛思考問題。有一個有趣的故事說笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的靈感來源于天花板上的蒼蠅，笛卡爾躺在床上望著天花板上的蒼蠅，不

6、停地思考如何描述曲線軌跡，突然想到可以將蒼蠅看為運動的點，根據(jù)蒼蠅與各個墻壁的距離確定蒼蠅的位置，用數(shù)字表示出蒼蠅位置，從而得到蒼蠅這個點的運動軌跡。從中可以看出每一個成功都離不開背后的努力。笛卡爾和費馬創(chuàng)立的解析幾何學，打開了數(shù)學新世界的大門，開啟了數(shù)學新時代。后來的數(shù)學學者站在巨人的肩膀上，利用數(shù)形結合、類比的思想，不僅表示出三維空間的點，還推廣到四維空間甚至高維空間，極大促進了數(shù)學的發(fā)展。讓人欣喜的是，解析幾何學并沒有停滯不前，反而愈加充滿活力，現(xiàn)在高等教育中的泛函分析及代數(shù)幾何便是其分支。通過上述附加式的引入，不僅讓學生了解到早期的坐標系誕生的背景，也感受到了坐標系的誕生為數(shù)學學者研究

7、幾何學提供便利，更重要的是笛卡爾勤于動腦的好學精神，更加值得同學們學習。二、 復制式例：斐波那契數(shù)列（一） 引入題目教師：同學們，現(xiàn)在我們來看一個老朋友。（展示ppt）大家眼熟嗎？學生看到后紛紛表示這個是小學時候的兔子數(shù)列。教師：同學們的記憶力真好，這個兔子數(shù)列是意大利數(shù)學家斐波那契提出的，因此也叫作斐波那契數(shù)列。同學們可以看出來斐波那契數(shù)列的規(guī)律嗎？由于比較簡單，學生回答比較快。即從第三項開始，每一項都是前兩項的和。教師：非常好，那我們可以得到規(guī)律即：fn+2=fn+1+fn（nn+）。但是這個并不是斐波那契數(shù)列的通項公式，同學們能不能根據(jù)我們已經(jīng)學過的等差數(shù)列及等比數(shù)列的知識，求出斐波那契

8、數(shù)列的通項公式呢。在ppt上展示題目：已知f1=f2=1，fn+2=fn+1+fn（nn+），求數(shù)列fn的通項公式。（二） 引導解題學生列出表格觀察每一項的規(guī)律，列出表格：通過復制式方式，將斐波那契數(shù)列融入高中數(shù)學解題中，學生們在利用所學知識的解題過程中，也能感受到數(shù)學的神奇與美麗。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)的問題被學生們解決，學生也會感受到收獲知識的喜悅感、成就感。三、 順應式例：解二元一次方程組在解“二元一次方程組”中，經(jīng)常會采用孫子算經(jīng)中的“雞兔同籠問題”引入，其實，中國傳統(tǒng)數(shù)學非常重視算術及應用，唐代時，就有了算經(jīng)十書作為人們學習數(shù)學的教材。其內(nèi)容也為中學課堂教學提供了豐富的課程資源。比如在張邱建算

9、經(jīng)中，就有“百雞問題”，“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”這個問題可以列三元一次方程組解決。而我們在學習解二元一次方程組，可以將其改編為二元一次方程組的問題。買一只母雞需要十元錢，一只小雛雞需要兩元錢，現(xiàn)在共買了母雞和小雛雞共18只，花費100元錢，問：買了多少只母雞，多少只小雛雞？這個問題列二元一次方程組即可解決。借助數(shù)學史改編的問題引入，也可告訴學生，早在公元5世紀左右，我們的數(shù)學家就開始用方程解決實際問題，不僅有二元一次方程組，還有三元一次方程組?？梢娭袊湃松朴谠趯嶋H情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。四、 重構式

10、例：復數(shù)的引入我們熟悉的復數(shù)教學表面容易教，記住公式多做題就可以取得成績，實際上卻難于讓學生掌握對于復數(shù)的本質理解，真正認同復數(shù)。不妨嘗試重構式教學，用發(fā)生的方法引導學生參與到復數(shù)的歷史中來。（一） 卡丹的發(fā)現(xiàn)解方程組x+y=10.xy=40學生解得結果為x1=5+-15，x2=5-15，感覺自己解錯了，出現(xiàn)了負數(shù)的開方，但是驗證卻是正確的。實際上，這與16世紀的意大利數(shù)學家卡丹的經(jīng)歷是一致的。他在解出這個題目后，認為這很矯揉造作卻又自圓其說。其實，早在卡丹以前，也有數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了虛數(shù)，但都以負數(shù)沒有平方根直接否決了?？ǖs承認了這種形式的數(shù)，并且將它用于計算。卡丹的這種敢于突破傳統(tǒng)實事求是的精

11、神很令人佩服。（二） 邦貝利的觀察套用卡爾達諾公式x3=px+q（p，q均為正數(shù)）解x3=15x+4。由于這個公式學生也不是很熟悉，教師可以嘗試給予方法幫助學生解決，師生共同參與解得x=32+-121+32-121。再次出現(xiàn)負數(shù)的開平方，同學們出現(xiàn)疑惑，難道方程的根不存在？而通過師生的觀察和嘗試，發(fā)現(xiàn)這個方程竟有三個實數(shù)根，分別為：4，-2+3，-2-3，這與剛才利用卡爾達諾公式所解的答案似乎有矛盾。邦貝利也遇到了與同學們相同的問題，但是他沒有像他的前輩卡丹一樣，回避這個矛盾，而是直面問題得到了一個意想不到的結果。邦貝利假設32+-121=a+-b，32-121=a-b解得：a=2b=1則：x

12、=32+-121+32-121=2+-1+2-1=4邦貝利創(chuàng)造性的使用了-121，-1這種形式的數(shù)，矛盾解決了，也使這種形式的數(shù)有了存在的意義。笛卡爾將其命名為“虛數(shù)”，意思為想象中的數(shù)。而隨著數(shù)學學者發(fā)現(xiàn)了復數(shù)在幾何上的意義，復數(shù)在數(shù)學上逐漸得到大家的認可，有了用武之地。通過上述采用重構式的引入，讓學生參與到復數(shù)的歷史中來，遇到了與數(shù)學家相同的問題，逐步克服認知障礙，提高學生對于復數(shù)的認知能力，增加學生學習復數(shù)的動機。同時也感受到數(shù)學上的每一個發(fā)現(xiàn)都不是憑空出現(xiàn)的，而是人類在探索數(shù)學世界時不同時期不同數(shù)學家共同努力，遇到問題解決問題的結果?？偠灾?，在數(shù)學教學中使用數(shù)學史的方式有很多，不僅有文中的附加式、復制式、順應式、重構式，還可以采用其他方法。其根本目的都是幫助學生更好的學習數(shù)學，形成良好的數(shù)學素養(yǎng)和文化素養(yǎng)，也使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。