第十二章波動光學

1、第十二章波動光學本章教學要求1. 重點掌握楊氏雙縫干涉、薄膜干涉（垂直入射）、弗朗禾費單縫衍射，光柵衍射實驗的基本裝置和實驗規(guī)律及條紋位置的計算。2. 確切理解光程和光程差、偏振光和偏振光的產(chǎn)生與檢驗、旋光現(xiàn)象、能夠用馬呂 斯定律解決實際問題。3. 了解邁克爾遜干涉儀的原理、圓孔衍射的規(guī)律。習題12-1.在楊氏雙縫實驗中，兩縫相距22 10-4m屏與狹縫相距0.94m，第三條明紋間相距1.5 x io-2m求所用光波波長。解：雙縫干涉明條紋的位置為D ,x k，k =0,1,2d其中x為明條紋距屏中心的距離，題中給出的是中心兩側第三條明紋間距離，即2x ,將x值代入上式可求出波長。根據(jù) x二D

2、 k ，有d.xd扎=kD1.5_2取k =3, x10 m，可得21.5 102.2 10，二5.85 10 m = 585 nm2 0.94 312-2.有一雙縫相距0.3mm,要使波長為600nm的紅光通過并在光屏上呈現(xiàn)干涉條紋， 每條明紋或暗紋的寬度為 1mm問光屏應放在距雙縫多遠的地方？解：雙縫干涉的明條紋或暗條紋的寬度由式= D 表示，此題已給出d、=x、d，可解出Db根據(jù)= D ，貝ydxd1.0 漢 10 漢 0.3漢10D90.5m丸600勺012-3. 一雙縫干涉裝置，兩縫相距1.0mm,屏與雙縫相距為50cm,當入射光波長為546nm時，求干涉圖樣中第一極小的角位置。解：

3、如題123圖，屏上雙縫干涉暗條紋的位置為對第一極小即第一級暗條紋，取k=1，所以Dx =2d0表示第一極小的角位置，則.-L X 二 ta n DL0對第一級暗條紋，k=1，則第一極小在屏 上的位置為Dx =2dv - tanrtantan J 2.73 10*D2d題12 3圖 2.73 10* rad0.3mm以波長為600nm的紅光照射狹縫，求在12-4.在楊氏雙縫實驗中，雙縫相距離雙縫50cm遠的屏幕上，從中央向一側數(shù)第二條與第五條暗紋之間的距離。解：雙縫干涉暗條紋的位置為x2對第五條暗紋,因此第5條暗紋的位置為DX5 一 d59D2對第二條暗紋,因此第2條暗紋的位置為DX2 一 d9

4、 D3D3D=/u /u = /2d2dd3 50 10 Ja3 巴 600 10 0.3 10_3=3 10 m = 3mm12-5.有波長為690nm的光波垂直投射到雙縫上，距雙縫為1.0m遠的屏幕上，21個明條紋之間共寬2.3cm，求兩縫的間距。解：明條紋寬度為D-X =dDi因此d2690 10* =6.0 10Z 2.3X0 /2012-6.在楊氏雙縫干涉實驗中，用鈉光燈作光源，屏與雙縫相距為 50cm雙縫間距為1.2mm,問：（1）在空氣中相鄰干涉條紋間距是多少？（2）若在水中（n=4/3 ），相鄰干涉條紋間距是多少？解：依據(jù)明條紋間距 = D ，在空氣中鈉光波長 0 = 589.

5、3nm，在水中鈉光波 d長二0，可求出相應介質(zhì)中條紋的間距。n（1）-X = -;-03 589.3 10= 2.5 10*m （2） -X = -d1.2 漢10d n0.5q589.3 10 41.2 10 -3=1.8 10“m12-7.用薄的云母片（n=1.58 ）蓋在雙縫裝置中的一條縫上，這時屏上原中心亮紋被 第7條亮紋占據(jù)，若 入=550nm求云母片的厚度。解：如題12 7圖，在縫S蓋上厚度為e的云母片后，縫 S和S到屏中心O點的光SOIO程不相等，所以 O點處不再是零級明條紋，零級 明條紋會下移至 O點，這時兩光線至O點的光程 差 0，即mne S2O' - e yo&#

6、39;=n -1e - S| O - S?O式中，：=S1OS2O k , k = 7則有題 127 圖n 一1 e = k則可以求出云母片的厚度 e。在S2蓋上云母片后，兩光線至新零級明條紋O點的光程差為:二 n T e-k由于代-0 , k =7，貝Ule7 550 10e 二n 11.58 1= 6.64 10 f12-8.如題128圖所示的楊氏雙縫干涉實驗中，用波長為589.3nm的單色光作光源S,在屏上觀察到零級明紋在O點處。若將S移至s'則零級明紋向下方移動了4個明條紋間距的距離至 O點。欲使明紋重新回到O點，應在哪個縫的右邊放一薄的云母片（n=1.58 ）?此云母片的厚度

7、為多少?OO解：單色光源S分成兩束相干光后在屏 中心O點處形成零級明條紋，這時兩束 光至O點的光程相等，即SS0 = SS20當光源S上移至S 時，兩束光至O點的 光程不再相等，此時 O點處不是零級明 條紋位置，零級明條紋下移至O 處，由S發(fā)出的兩相干光至 O,點的光程差 相等，即sso = SS2O顯然，要使零級明條紋重新回到O點,通過上面的分析可知，要使明條紋的位置重新回到O點，需在S縫上蓋上云母片。需在S1縫上蓋上云母片。設云母片的厚度為 e,則有= (n i1)e-k' =0k-4 589.3 10占e4.06 10 mn T 1.58T12-9.楊氏實驗中，如果點光源由兩個波

8、長入1=550nm入2=500nm組成，兩縫間距d=0.1cm，縫與屏間距 D=500cm求：（1）每一波長干涉條紋的寬度。 （2）兩個波長的亮 條紋第一次重合的位置（不包括零級條紋） 。解：條紋寬度由'確定。d當不同波長明條紋在屏上距中心O的位置x相等時，明條紋發(fā)生重合，即而Xi =匕.伙1, X2=k2.)X2，由此可得出兩光的明條紋重合時的干涉級ki和k2，從而求出明條紋重合的位置。/、D、500_j（1）-Xii550 100.275cmd0.1D r500立-X22500 100.25cmd0.1（2）由于 捲 =X2,捲 二 kX1， X2 二 k2=X2貝ULX1k2x2

9、k1k20.27511kJ 0.25 _10因此，兩明條紋重合時，k1 =10, k2 =11。兩明條紋重合時的位置= kv x1 = k2 x2 = 10 0.275 = 2.75cm12-10.在楊氏雙縫干涉實驗中，用白光正入射，兩縫間距為 3.0 10-4m，雙縫與屏相 距2.0m，白光的波長范圍為 400nm760nm ,試求第一級彩帶的寬度。解：白光入射時，屏上的干涉明條紋除零級外，均為有一定寬度的彩色條紋帶，明條紋的位置由下式?jīng)Q定x k d不同波長在屏上明條紋的位置不同，可見光波長范圍為 400 nm 760nm。因此，同級明條紋彩帶的寬度由波長為 400nm和波長為760nm在屏

10、上產(chǎn)生干涉明條紋間的距離 決定。設 =400nm,2 = 760nm , k =1,代入上式，貝UDD1X22dd所以：x = x2 -為2 一 20 4 760 -40010d3.0漢10二 2.4 10 "m 二 2.4mm12-11. 一單色光波在真空中的波長為'，它射入折射率為 n的介質(zhì)中，由一點傳播到另一點位相改變了3 二3 ，求此光波在這兩點的光程差和幾何路程差。2解：光程差與相位差的關系為129因此，光程差為»2712 二2 二.:二 nr，所以A 3 ,r =n 4n設r為幾何路程差，則12-12.空氣中有一水膜，折射率為4/3，厚度為0.10mm,

11、用波長為500nm的光垂直(1)光波在水中的波長是多少？ (2)在2d距離內(nèi)含有多少個完整的照射此水膜。波？解：問:(1)500375 nm432d n =2 0.10 10653337512-13.在水面上漂浮著一層厚度為0.316卩m的油膜，其折射率為1.40，中午的陽光垂直照射在油膜上，問油膜呈現(xiàn)什么顏色？解：垂直入射時，光程差滿足下式時反射加強 2nek-' 2因此2ne32 1.40 0.316 10 ,769.6nm13二240 °.316 10 二 590nm122當k =3時,32 仏 O.316 10 =354nm3*131顯然，只有，=59 Onm時為可見

12、光，因此油膜呈黃色。12-14.在一塊平整的玻璃片（n=1.50 ）上覆蓋一層透明介質(zhì)薄膜（n=1.25 ）,使波長 為600nm的光垂直投射其上而不反射。求這層薄膜的最小厚度。解：由題意可知，介質(zhì)薄膜兩側介質(zhì)對薄膜的表面來說都是從光疏到光密介質(zhì)，因 此光程差為2ne不發(fā)生反射時，則應滿足干涉暗條紋的條件，即2n e = 2k 1k =0,1,2,32對于薄膜的最小厚度，應取 k = 0。貝y九 600 e120nm4n 4 1.251215. 一平面單色光垂直照射在厚度均勻的薄油膜上，油膜覆蓋在玻璃板上，所用 光源的波長可以連續(xù)改變。在500nm與700nm這兩個波長處觀察到反射光完全抵消，

13、而且在這兩波長之間的其它波長都不發(fā)生完全抵消。已知油膜的折射率為1.30，玻璃的折射率為1.50，求油膜的厚度。解：由題意可知，油膜兩側介質(zhì)情況與上題相同，即經(jīng)膜上下兩表面反射的兩束相 干光的光程差沒有半波損失，則光程差應為.:二 2ne反射光完全相消時為暗條紋，則2n e = 2k 1k =0,1,2,32在兩個波長間沒有其它波長相消的暗條紋，因此，兩波長的暗條紋干涉級相鄰，設 為k, k 1。由上式可確定出干涉級，則可將油膜厚度求出。設I =700nm ,匕=500nm，相應的級次分別為k , k 1，分別代入上式有2ne =2ne/k+W< 2丿所以132#3 500 - 7002

14、2700 -500（n 1k +忙2十1因止匕e = = x 700 = 673nm2n 2 0.301216.兩塊矩形的玻璃板疊放在一起，將一薄紙片從一邊塞入它們之間，形成劈形 空氣膜，用波長為 589.3nm的光垂直照射，發(fā)現(xiàn)在劈棱方向上每厘米有10條亮條紋，求劈形空氣隙的角度。解：由公式211式中丨0.1cm10589.3 1024 所以2 95 10 rad20.11217.兩塊矩形的玻璃板疊放在一起，在一邊夾入直徑為 5.0 10-2mm的細絲后，形成空氣隙，已知板長 L=20cm,用波長589.3nm的鈉光垂直照射，空氣隙表面出現(xiàn)干涉條 紋，求相鄰暗條紋之間的間距。解：根據(jù)公式h

15、L ,則有2l,h、589.3 心0上, cl L2 200 =1.2mm2h 2 5.0 101218.在邁克爾孫干涉儀的兩臂中，分別插入l=10cm長的玻璃管，其中一個抽成真空，另一個則儲有壓強為1.013 105Pa的空氣，用以測量空氣的折射率n。設所用光波波長為546nm,實驗室向真空玻璃管中逐漸充入空氣，直到壓強達到1.013 105Pa為止，在此過程中，觀察到 107.2條干涉條紋的移動，求空氣的折射率。解：邁克爾孫干涉儀的干涉現(xiàn)象可以等效為薄膜干涉（兩平面鏡互相垂直一一等傾 干涉）和劈尖干涉（兩平面鏡不垂直一一等厚干涉），本題為后一種情況， 放入玻璃管后， 兩相干光的光程差發(fā)生了

16、變化，從而引起干涉條紋的移動（相當于空氣劈尖的厚度改變）。設玻璃管充入空氣前，兩相干光的光程差為，充入空氣后，兩相干光的光程差為厶2，則兩相干光的光程差的改變量為 ' = '2 = 2 n 11。光程差的改變引起 N條條紋的移動，根據(jù)劈尖干涉明條紋的條件，有2 n -1 I 二 N因此.仁1072 546伏21 2 101 =1.000291219.單縫被氦氖激光器產(chǎn)生的激光（入=632.8nm ）垂直照射，所得夫瑯禾費衍射圖樣的第一級暗條紋對單縫法線的夾角為50,求單縫的寬度。解：根據(jù)夫瑯和費單縫衍射的暗紋條件a sin = k k = 1, _2;取k"，則又很小

17、，則 二sina 二一<p632.8 1051803.14-7.3 10“m1341m處產(chǎn)生衍射圖樣，若兩個x，則1220.波長為589nm的鈉黃光通過單縫后在距離單縫 第一極小值之間的距離為2mm求單縫的寬度。解：暗條紋的條件為a sin =k'取 k =1，貝Usin =a設第一極小值距屏中心（即中央明條紋的中心）的距離為又；:：', 則 sin = tan 所以a二嚴9 叮 1.0=5.9 10訃x f x2 10 /21221. 一單色平行光垂直照射于單縫上，若其第三條暗紋位置正好和波長600nm的單色光入射時的第二級暗紋位置一樣。求前一種單色光的波長。解:暗條紋

18、的條件為135k =1,2,a sin = k-對'1,k =3,貝 Uasin對'2 ,k =2 ,貝yasin =2 2可得3、=2二222. 12600 = 400 nm331222.用平行的單色光垂直入射到縫寬為4.0 10-4m的單縫上，在縫后放置的透鏡焦距為40cm,若在接收屏上距中央明條紋的中心1.1mm處的p點觀察到一暗條紋，求:（1）該條紋的級數(shù)；（2）單色光的波長；（3）在p點看來，單縫處的波面可分成幾個半 波帶；（4）中央極大的角寬度；（5）第二級暗紋中心的衍射角。解：（1）暗條紋條件a sin二k ，則sin 二 k 一a又；陷:-, 所以 tan 二s

19、in，而tan =，貝V2f1362f#, ax 4.0 10，1.1 10；1.1 101/ 2 hf40匯10扎丸對可見光的上、下限值，有min - 400nm kmax = 275max - 760nmkmin _ 1 .45k只能取整數(shù)，因此在可見光范圍內(nèi)，k = 2。,八x丸（2）由（1 ）知 2 , k =2f a所以ax4.0 10，1.1 仿2 40 10= 5.5 10”m=550nm2f#對p點來說，k = 2，則可分成的波帶數(shù)為n = 2k = 2 2=4(4 )對暗條紋a sin 二 k'，(3)根據(jù)菲涅爾半波帶法，對暗條紋，可分成偶數(shù)個半波帶，即n =2k。當

20、k =1時，式中角為中央極大的半角寬度，因此sin =a由于很小，所以二 si n= 550"0 a 4.0 10*-1.375 10"rad中央極大的角寬度為的2倍，即;0 =2 =2.75 10"rad 。(5)對暗條紋有a si n二k-，取k =2，則對第二級暗紋有a si n 2 二 2由于很小，所以2=2a=2 陽"5 宀1223.在正常照度下，人眼瞳孔的直徑約為長為550nm,問：(1)人眼的最小分辨角為多少?兩物點相距多遠時才能被分辨？解：(1)人眼最小分辨角1.22 1.22=-dt日0tan23mm而在可見光中，人眼最靈敏的波2)若物

21、體放在明視距離 25cm處，則(2)如圖則有所以在明視距離550 10'= 2.24 10 radta n02 22 L25cm處，能分辨的最小距離為xrL=2.24 10，25 = 5.6 10cm1371224.地球與月球相距 3.8 108m試估計月球上兩物體相距多遠時，剛好被地球上的觀察者（1）用肉眼能分辨（設人眼瞳孔的直徑5.0x10-3m）; （2）用5m孔徑的望遠鏡所能分辨。解：設光的波長為550nm。根據(jù)瑞利判據(jù)，最小分辨角為.j1.22 二 si n d因為很小，則有 v - tanv - si nr所以x 1.22' I 一 d1.22 , xI1.22 5

22、50 10-5.0。0，4= 5.1 10 m 二 51km3.8 108138#（2）原理同（1）。1.22 .xId22 550 忻 3.8 108.51m51225.利用分光計可以精確測定單色光的波長，如題1225圖，為分光計裝置圖。圖中S為單色光源，經(jīng)平行光管C后成為平行光束，垂直照射到光柵G上，通過可左右轉動的望遠鏡觀測光柵光譜，測得不同級數(shù)的譜線所對應的耳角，從而計算出波長。若已知光柵常數(shù)為1/600mm,利用分光計測得第一級主極大的衍射角為 20°,求光源的波長。解：依據(jù)光柵方程d sin v - k k =0,_1,_2式中，取k =1， - d si n 1sin

23、200 一 570nm600 10#1226.波長為600nm的單色光，垂直入射到一光柵上，有兩個相鄰主極大明紋分別出現(xiàn)在sin R =0.20與sin0.30處，且第四級缺級，求：（1）光柵常數(shù)；（2）光柵狹縫的最小寬度；（3）按上述選定的縫寬和光柵常數(shù)，寫出接受屏上實際呈現(xiàn)的全部級 數(shù)。解：設相鄰兩明條紋的級數(shù)分別為k和k 1，由光柵方程dsinv - k可知d sin 二 kdsinr2 Ek T用式減式，可得d si"2 sin 冃=Qd =sini sinK600 10 66 10 m0.30-0.20（2）缺級的級次滿足下式k = 1,_2a b ' kaa最小時

24、，k =1,則有所以 a10-mk 421392#（3 ）能接受到的譜線條數(shù)應是在一無限大的屏上可能出現(xiàn)的所有的譜線條數(shù)。由于,ji jr接收屏是無限大的，因此衍射角的范圍為到一之間。2 2根據(jù)光柵方程dsin v - k，有2#2#亠 Ji由于時，譜線實際接收不到，故 k的最大級次取為9。所以依據(jù)光柵方程在2#屏上出現(xiàn)k =0, _1一2，_9共19條譜線。由于缺級而在屏上消失的譜線的級次k為a +b ' kk =4kk =1,_2,a因此，k =：4一8的明條紋消失，實際在屏上出現(xiàn)的明條紋為k =0,_1,_2,_3, _5,_6,_7,_9。31227.鈉黃光（入1=589nm入

25、2=589.6nm）正入射到每厘米有 5.0x10條刻痕的平面 透射光柵上。求：（1）最多能看到幾級光譜？（ 2）設觀察透鏡的焦距為 1.0m，求這兩條 黃光的第二級明紋在透鏡的焦平面上的間距。TE TE解：（1）根據(jù)光柵方程d si nv -k，,二范圍在 到一之間，則有2 2dsin 土一 ！ = k九'、2 丿d _5.0 103 - 589 10=3.4140取整則k = 3，所以最多看到 3級光譜。kk（2）光柵方程 dsin J -k，則 sin，取 k =2 ,入 1=589nm 入 2=589.6nm。d所以分別有2 1 - 2 2sin 可sin 二2 :dd2 58

26、9 10 J-40二 sin 0.589 =36.09#5000r2 =sin ° 2 2 二 sin 'd2 589.6 10 J丿5000二 sin0.5896 =36.13°#對衍射角K和V2來說，顯然有tan 二2則 Xi = f tan » , X2 = f tan *：x =x2 -捲=f tanv2 -tan= f tan36.13° -tan36.090= 1.00.7300-0.7289 =1.1 10m1228.可見光譜的范圍大約是從 400nm到700nmo當光垂直入射到1m有500條刻痕 的平面光柵時，所產(chǎn)生的第一級可見光

27、譜的角寬度是多大？1 3解：光柵常數(shù)d=mm =2010 mm500根據(jù)光柵方程d sin v - k ，取 k =1，則有1 "、可見光波長范圍為=sinJ - sind400nm 700nm，則相應的衍射角為1 ' 2J2 二 sin -d“ U “n二-sin=sin70L n406dd2.0102.010二sin0.350 sin0.200 = 20.48° -11.54° = 8.940 ： 901229. 一束光是自然光和線偏振光的混合，當它通過一偏振片時，發(fā)現(xiàn)透射光的強度取決于偏振片的取向，其強度可以變化5倍，求入射光中兩種光的強度各占總入射

28、光強度的幾分之幾？解：旋轉偏振片時，只會對入射光中的線偏振光有影響。當偏振光的振動方向與偏 振片的偏振化方向平行時，透射光強最大，用lmax表示，當兩個方向垂直時，透射光強最小，用Imin，分別計算lmax與I min ,依題意= 5，可以解出兩種光強在入射光中1 min的比例。設入射的混合光的光強為I，其中線偏振光的光強為 xl，自然光的光強為 1 -x I , 旋轉偏振片后，當線偏振光的振動方向與偏振片偏振化方向平行時，有最大透射光強I max ,1 , 1yxI x匕1 xI142Imin，即當線偏振光的振動方向與偏振片偏振化方向垂直時，有最小透射光強1Imin 石1-XI依題意Lax =5，因此Imin解得x1230.1J x11-xl2221上，即線偏振光占2，自然光占丄。333自然光入射到放在一起的兩個偏振片上，問:-5(1)如果透射光的強度為最大1透射光強的1，這兩塊偏振片的偏振化方向的夾角是多少？ (2)如果透射光強度為入射31丄，則它們的偏振化方向的夾角又為多少？3光強度的解:(1)設兩偏振片偏振化的夾角為V ,自然光的光強為